CARTOGRAFIA. rappresentare il territorio sul piano

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1 CARTOGRAFIA V 2 P V 3 V 1 π rappresentare il territorio sul piano LA TRRA UA SUPRFICI COMPLSSA COMUQU O RAPPRSTABIL MDIAT UA FORMULA MATMATICA Superficie topografica (P) llissoide (P ) Rappresentazione piana 1

2 RAPPRSTAZIO PIAA geometricamente Meridiano origine λ P φ P(φ, λ) quatore 0 P Proiezioni prospettiche analiticamente 0 =f(φ, λ) =g(φ, λ) Le proiezioni più comuni avvengono centrografica su un piano > prospettiche la proiezione può avvenire da punti diversi ortografica coniche scenografica stereografica cilindriche su superfici di rotazione sviluppabili nel piano 2

3 L ellissoide non è una superficie sviluppabile sul piano La rappresentazione piana è deformata Modulo di deformazione lineare µ = ds r / ds e LLISSOID PIAO ds r ds e 3

4 Modulo di deformazione areale m a = dσ r / d σ e LLISSOID PIAO d σ e dσ r Deformazione angolare δ = α - α LLISSOID α B PIAO α 4

5 CLASSIFICAZIO DLL RAPPRSTAZIOI Una carta è conforme (isogonica) quando COSRVA GLI AGOLI el passaggio cioè fra LLISSOID PIAO α α rimane invariato α, angolo fra due direzioni uscenti da un punto δ = 0 5

6 Una carta è equivalente quando COSRVA L AR el passaggio cioè fra LLISSOID PIAO rimane invariata l area del quadrilatero infinitesimo m a = 1 Una carta è afilattica quando SOO PRSTI TUTTI I TIPI DI DFORMAZIOI, MA OGUO MATUTO I LIMITI PIU RISTRTTI POSSIBILI 6

7 La rappresentazione dell ellissoide sul piano è definita da due funzioni: x = x(ϕ,λ) y = y(ϕ,λ) QUAZIOI AALITICH DLL RAPPRSTAZIOI che stabiliscono la corrispondenza biunivoca tra la posizione di un punto P sull ellissoide e la corrispondente posizione del punto P sulla rappresentazione tali funzioni si determinano risolvendo complesse equazioni (differenziali) ottenute imponendo le condizioni relative alla rappresentazione di interesse. Isogona o conforme δ =0 equivalente m a = 1 7

8 La soluzione di tali equazioni dipende da una certa funzione che deve essere particolarizzata: in teoria esistono quindi infinite rappresentazioni di un certo tipo (ad esempio conformi), ma solo poche permettono di ottenere rappresentazioni semplici che si adattano bene a rappresentare cartograficamente una regione del globo terrestre La cartografia ufficiale italiana adotta una rappresentazione conforme: la rappresentazione di GAUSS P ϕ = g(ϕ,λ) P = f (ϕ,λ) λ Dato un generico punto P sull ellissoide di coordinate P (ϕ,λ) Le coordinate della sua proiezione P sulla carta di Gauss sono = g(ϕ,λ) = f (ϕ,λ) Le funzioni f e g sono molto complesse e realizzano particolari condizioni 8

9 È stata scelta una proiezione COFORM per motivi storici: prima dell avvento dei distanziometri elettronici la maggior parte delle misure che venivano eseguite erano misure angolari. ra quindi conveniente adottare un sistema che consentisse di inserire le misure angolari senza apportare correzioni CODIZIOI DLLA PROIZIO α 1 il meridiano origine delle longitudini deve trasformarsi nell asse 2 l quatore ellissoidico deve trasformarsi nell asse 3 un arco di lunghezza m sul meridiano origine deve trasformarsi in un segmento di pari lunghezza (particolarizzazione) 4 un angolo α formato da due direzioni uscenti da un punto sull elllissoide deve mantenersi uguale all angolo formato dalle corrispondenti direzioni riportate sulla carta (isogona) 5 il coefficiente di deformazione lineare µ varia da punto a punto ma è uguale per tutte le direzioni uscenti da un punto (conforme) 9

10 P (ϕ,λ) ϕ Le funzioni f e g della rappresentazione di Gauss = g(ϕ,λ) = f (ϕ,λ) realizzano le condizioni prima esposte. Tale rappresentazione è molto vicina a quella che si ottiene proiettando i punti della superficie ellissoidica su un cilindro O λ Q* Q P R* ϕ Q R S λ 1 O Q* P P (λ = 0 ; ϕ = ϕ P ) R (λ = λ 1 ; ϕ = 0 ) Q (λ = λ 1 ; ϕ = ϕ Q ) R* S 10

11 La deformazione della carta cresce all aumentare della longitudine Dalle funzioni f e g si ricava il coefficiente di deformazione µ Questo coefficiente vale per elementi infinitesimi di arco (varia da punto a punto) dm = µ dm µ vale 1 sul meridiano centrale (asse ) µ è maggiore di 1 altrove Ma come deforma la proiezione di Gauss? La deformazione cresce sensibilmente allontanandosi dal meridiano origine 11

12 Proiettando su un cilindro O centro dell'ellissoide s 1 s 2 s 3 s 4 s 5 quatore s 1 s 2 s 3 s 4 s 5 generatrice equatoriale del cilindro DFORMAZIOI TROPPO RILVATI! SI PROITTA L LLISSOID SU PIU FUSI DI AMPIZZA LIMITATA (6 0 ) OGI FUSO HA U SISTMA DI RIFRIMTO (,) IDIPDT 12

13 In particolare il territorio italiano è proiettato su due fusi: fuso Ovest e fuso st LLISSOID meridiano di Greenwich 9 G meridiano centrale del fuso Ovest meridiano di Monte Mario λ = ,40 st di Greenwich 15 G meridiano centrale del fuso st km 2520 km Fuso Ovest Fuso st

14 ACH PROITTADO IL TRRITORIO AZIOAL SU 2 FUSI DFORMAZIOI TROPPO RILVATI In un fuso di 6 0 di ampiezza il modulo di deformazione lineare varia tra (λ = -3 0 ) 1 (λ = 0) (λ = 3 0 ) Per ridurre alla metà le deformazioni massime si contrae la rappresentazione moltiplicando le coordinate per il coefficiente il modulo di deformazione lineare varia tra (λ = -3 0 ) (λ = 0) (λ = 3 0 ) ed assume il valore 1 lungo due linee intermedie tra il meridiano di riferimento ed i meridiani estremi equatore centro dell'ellissoide cilindro secante asse del cilindro introduzione al cilindro secante Se invece di proiettare su un cilindro tangente si proietta su un cilindro secante SI OTTGOO DFORMAZIOI DI SGO DIFFRT : COTRAZIOI DILATAZIOI DFORMAZIOI PIU PICCOL I VALOR ASSOLUTO asse del cilindro cilindro secante 14

15 COM SI OTTI LA PROIZIO SU U CILIDRO SCAT? LL FORMUL = g(ϕ,λ) = f (ϕ,λ) IVC DI VALORI DI SMIASSI LLISSOIDICI a b, SI ISRISCOO VALORI RIDOTTI DLLO 0,4 / 00 a = a b = b x x meridiano origine a b m' l" m" a' b' l' meridiani limite del fuso luoghi dei punti a deformazione nulla Considerando il cilindro secante una delle condizioni di Gauss non vale più LA DFORMAZIO O PIU ULLA LUGO IL MRIDIAO ORIGI MA LUGO L ITRSZIOI TRA CILIDRO D LLISSOID adesso O centro dell'ellissoide s 1 s 2 s 3 s 4 s 5 s 1 s 2 s 3 s 4 s 5 quatore equatore cilindro secante PRIMA DFORMAZIO ULLA SUL PUTO DI TAGZA CO IL MRIDIAO ORIGI centro dell'ellissoide asse del cilindro deformazio ne nulla PROIZIO DL MRIDIAO ORIGI 15

16 RICOSIDRIAMO L CODIZIOI DLLA CARTA DI GAUSS meridiano origine asse ord equatore asse st coeff. di deformazione µ varia da punto a punto ma rimane costante per tutte le direzioni uscenti da un punto angolo α fra 2 due direzioni uscenti da un punto sull ellissoide = l angolo α fra le tangenti alle trasformate sulla carta di quelle direzioni CARATTRISTICA FODAMTAL la carta di Gauss è una carta conforme ALTR PROIZIOI 16

17 PROIZIO COICA DI LAMBRT λ π/2 π/2 π/2 π/2 ϕ P π/2 ϕ parallelo standard, parallelo medio della zona da rilevare asse del cono asse dell ellissoide generatrice tangente al parallelo standard una rappresentazione conforme, in cui la superficie di riferimento viene proiettata su un cono avente l asse coincidente con l asse di rotazione terrestre, e tale da risultare tangente all ellissoide lungo un parallelo, o secante l ellissoide lungo due paralleli. Cono Secante 17

18 A ϕ 0 = Angolo di apertura del cono P P ϕ 0 ϕ ϕ 0 0 π/2- ϕ 0 Proiezione conica sezione meridiana Proiezione conica risultato sul piano θ varia con la longitudine p varia con la latitudine A e/ π ϕ 1 sinϕ + e tg esinϕ p = p 0 e θ p π ϕ0 1+ esinϕ 0 tg sinϕ e 0 ϑ = λ sinϕ0 P 2 / 2 sinϕ0 p 0 Parallelo di tangenza y O x x = y = p sin ϑ p cos ϑ 18

19 Caratteristiche della rappresentazione conica di Lambert La superficie della carta viene definita entro un settore circolare, il cui angolo al vertice dipende dall angolo di apertura del cono I meridiani vengono rappresentati sul piano cartografico come rette uscenti dal punto omologo del vertice del cono. I paralleli vengono rappresentati da archi di circonferenze. Le linee standard sono una (un parallelo, per il cono tangente) due (due paralleli, per il cono secante) RISULTATO DLLA PROIZIO : U STTOR CIRCOLAR paralleli > cerchi concentrici meridiani >rette uscenti dal punto omologo del Polo 19

20 VA B PR AZIOI IL CUI TRRITORIO SI SVILUPPA PRICIPALMT SCODO LA DIRZIO DI PARALLLI La carta di Lambert è utilizzata in: Francia, Belgio, stonia, Romania, Spagna e alcuni stati del ord America. Per diminuire le deformazioni si può usare un fattore di riduzione (ad es ) moltiplicando per tale valore le coordinate: ciò corrisponde a considerare non un cono tangente ma "secante": le deformazioni in questo caso sono nulle su due paralleli, detti standard, anziché sul parallelo di tangenza. P P i STROGRAFICA POLAR P i PROIZIO CTRAL COFORM (come Lambert con angolo di apertura del cono pari a π/2) 20

21 quazioni della proiezione R O S ϕ π ϕ 4 2 liminando ϕ si ottiene l equazione di una retta (trasformate dei meridiani). r P P π ϕ OP' = r = 2R tan 4 2 π ϕ x = 2R tan cosλ 4 2 π ϕ y = 2R tan sin λ 4 2 liminando λ si ottiene l equazione di una circonferenza (trasformate dei paralleli). 2 2 π ϕ x + y = 2R tan 4 2 y = x tan λ Rappresentazione di Cassini-Soldner una rappresentazione analitica ricavata dalla cilindrica inversa; usata per gli stati con sviluppo prevalente ORD-SUD. Considerato un punto O come origine, le coordinate del punto P nella rappresentazione di Cassini-Soldner coincidono con le coordinate geodetiche rettangolari di P rispetto ad O, cioè: P (ϕ,λ 0 ) Y O(ϕ 0,λ 0 ) X P(ϕ,λ) X = PP è la distanza del punto P dal meridiano origine, misurata sull arco di geodetica perpendicolare al meridiano; Y = OP è la distanza misurata sull arco di meridiano fondamentale quazioni carta: =X =Y Proprietà->Afilattica 21

22 Proiezione Cilindrica x = Rλ y = R tanϕ y x P λ Q P ϕ R O y P Afilattica R λ x Carta di Mercatore La carta di Mercatore è derivata dalla precedente in modo tale da renderla conforme. Le equazioni della carta sono: x = R λ y 1 = R log 1 + e e sin ϕ sin ϕ 1 / 2 tan π ϕ = 4 2 Ru u = Latitudine ridotta 22

23 Confronto tra cilindrica diretta e carta di Mercatore IMPOSTAZIO DI CALCOLI SUL PIAO DI GAUSS 23

24 AGOLI AZIMUTALI A α LLISSOID B C A α B C PIAO RAPPRSTAZIO SI CHIAMA TRASFORMATA DI U ARCO (di ellissoide) LA LIA CH SI OTTRBB APPLICADO L FORMUL f g AGLI IFIITI PUTI DLL ARCO CODIZIO DI GAUSS α fra le tangenti alle direzioni uscenti sull ellissoide = α fra le tangenti alle trasformate 24

25 A α' B C QUADO ISRIAMO U AGOLO LLA CARTA, OI O LO ISRIAMO COM α = AGOLO FRA L TAGTI ALL TRASFORMAT MA COM α = AGOLO FRA L CORD B ε A α α COSI COMMTTIAMO 2 RRORI ε ed ε ε C ε ed ε si chiamano riduzioni angolari alla corda e si calcolano in funzione delle coordinate cartografiche di A, B, C ε = ε A C = (1/ 6 ρ) ( A - C ) (2 A + C ) dove ρ e si chiamano raggi principali di curvatura e valgono: ρ = a (1-e 2 ) / (d) 3/2 = a / (d) 1/2 d = 1- e 2 sen 2 ϕm 25

26 α = α ε + ε arctg C - α A = - arctg B - A C - A B - A A ε α α B ε C I valori ε ε sono rilevanti quando si voglia utilizzare una carta per progettare opere ingegneristiche, come strade, gallerie, ferrovie,.., dove le distanze tra i punti è dell ordine di qualche decina di chilometri 26

27 AZIMUTH AZIMUTH α = angolo tra il meridiano per P e la direzione PQ P α Q LLISSOID 27

28 P LLISSOID α Q γ α P Q PIAO RAPPRSTAZIO Convergenza del meridiano γ = angolo tra la tangente alla trasformata del meridiano per P e l asse γ = λ senϕ [1+1/3 λ 2 cos 2 ϕ (1+3η 2 )] η 2 = (-ρ)/ ρ P γ α ε θ θ = α - γ + ε θ = arctg Q - P Q - P Q PIAO RAPPRSTAZIO 28

29 DISTAZA B B A LLISSOID A PIAO RAPPRSTAZIO La trasformata di AB può essere confusa con la corda A B per distanze fino a 100 km (s t - s c )/ s t

30 A s e LLISSOID B A s c B PIAO RAPPRSTAZIO Per passare da s e a s c devo applicare il modulo di deformazione per archi finiti s c = m A B s e dove m A B = 1+ x 2 B +x A x B + x2 A 6 ρ m m ALTIMTRIA determinazione delle quote, cioè delle distanze dal GOID scrittura delle quote vicino ai particolari planimetrici corrispondenti collegamento di tutti i punti a ugual quota curve di livello 30

31 Il concetto di scala è importante perché ad esso è legato quello di deformazioni della carta; infatti queste occorre siano inferiori all errore di graficismo ( corrispondente a 0.2 mm sul foglio del disegno). Riportiamo una tabella contenente l'errore di graficismo corrispondente alla scala della carta. Tale valore corrisponde alla precisione planimetrica della carta. Scala carta Deformazione media 1 : cm = 0.2 mm*500 1: cm 1: cm 1: m 1: m 1: m 1: m 1: m 1: m La tolleranza della carta (l errore massimo) è, per convenzione, il doppio di questi valori. 31

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