Principali distribuzioni di probabilità continue

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1 Capitolo 5 Principali distribuzioni di probabilità continu In qusto capitolo prsntiamo alcun distribuzioni di probabilità assolutamnt continu 51 La distribuzion uniform La distribuzion uniform è la distribuzion di vnti quiprobabili Nl caso continuo una variabil alatoria si dic ch sgu una distribuzion uniform nll intrvallo con s ha la sgunt funzion di dnsità: Scrivrmo allora #"$ #"$ s altrimnti La spranza matmatica la varianza di una variabil alatoria sono dat rispttivamnt da: + Var ) - Figura 51: Funzion di dnsità di distribuzion uniform continua su 119

2 120 CAPITOLO 5 PRINCIPALI DISTRIBUZIONI DI PROBABILITÀ CONTINUE Il paradosso di Brtrand Si scgli a caso una corda di un crchio di raggio cntro Qual è la probabilità ch sia maggior dl lato dl triangolo quilatro inscritto? Il problma ha più di una soluzion in quanto non risulta chiaro il significato dlla fras scglir una corda a caso Indichiamo con la lunghzza dl lato dl triangolo quilatro inscritto 1 Considrata una corda sia il punto intrmdio La corda è più lunga dl lato dl triangolo quilatro s il punto ricad all intrno dl crchio di raggio cntro Il rapporto fra tali ar è 14 prtanto risulta 2 In bas alla simmtria un strmo dlla corda può ssr sclto sulla circonfrnza dl crchio in corrispondnza di uno di vrtici dl triangolo I vrtici dl triangolo dividono la circonfrnza in tr archi di ugual lunghzza prtanto si ha 3 Sclto un punto a caso uniformmnt sul raggio dl crchio considriamo la corda prpndicolar a tal raggio passant pr Allora la corda casual ha lunghzza maggior di di s il punto appartin alla mtà dl raggio più vicina al cntro In bas alla simmtria non importa qual raggio vin sclto prtanto si ha Spigazion Ciascuno di tr mtodi utilizza una divrsa distribuzion uniform: 1) sul crchio 2) sulla circonfrnza 3) sul raggio dl crchio 52 La distribuzion sponnzial ngativa Abbiamo visto in prcdnza ch sotto opportun ipotsi il numro di volt in cui un crto vnto si vrifica in un intrvallo di tmpo di lunghzza può dscrivrsi mdiant una distribuzion di Poisson: S si indica con la va ch rapprsnta il tmpo ncssario affinchè l vnto si manifsti pr la prima volta allora è una va continua La distribuzion di si chiama distribuzion sponnzial ngativa scrivrmo #" la sua funzion di dnsità è data da: pr altrov 51) Si noti ch la 51) può ssr scritta sintticamnt com: La vrifica dlla 43) porg: "$# ) "$# ) d d + -

3 52 LA DISTRIBUZIONE ESPONENZIALE NEGATIVA 121 La funzion di ripartizion è data da: La funzion: "$# ) d + ) + - vin chiamata funzion di sopravvivnza Essa sprim la probabilità ch la va valor suprior a La spranza matmatica intgrando pr parti è data da: "$# ) d + - d assuma un In manira analoga si ottin: Var quindi la distribuzion sponnzial ngativa è carattrizzata dal fatto ch la spranza matmatica è ugual allo scarto quadratico mdio Al pari dlla distribuuzion gomtrica la distribuzion sponnzial ngativa possid la proprità di assnza di mmoria infatti: ssndo Si noti ch la distribuzion sponnzial ngativa può ssr anch intrprtata invc ch com tmpo d attsa di un vnto anch com lgg di dnsità dll intrvallo di tmpo ch spara gli istanti in cui si vrificano du vnti alatori in accordo ad una lgg di Poisson Esrcizio 51 Un sistma è composto da du componnti in sri i cui tmpi di durata fino al guasto sono quantità alatori indipndnti dnotat rispttivamnt con Il vttor alatorio ha una dnsità di probabilità pr Calcolar 1 Il valor dlla costant 2 La funzion di sopravvivnza dl tmpo di guasto di 3 la prvision di

4 122 CAPITOLO 5 PRINCIPALI DISTRIBUZIONI DI PROBABILITÀ CONTINUE Soluzion In bas all ipotsi la funzion di dnsità di In bas all ipotsi dv risultar: cioè: da cui quindi La va è data da pr altrimnti quindi: è data da: " quindi sgu una distribuzion sponnzial di paramtro cioè quindi Proposizion 52 Siano du va indipndnti avnti distribuzion sponnzial di paramtro Allora 53 La distribuzion normal sgu una distribuzion $ La distribuzion normal o gaussiana è la distribuzion ch più di ogni altra trova applicazion in statistica La ragion principal di ciò risid nl fatto ch ssa costituisc un modllo ch approssima numros altr distribuzioni possid notvoli proprità matmatich Distribuzion normal standard Dirmo ch una variabil alatoria sgu una distribuzion normal standard o gaussiana standard scrivrmo " s ha la sgunt funzion di dnsità: 52) Pr dimostrar ch ffttivamnt la 52) è ffttivamnt una funzion di dnsità dobbiamo dimostrar ch val la proprità 43) A tal scopo dimostriamo la sgunt rlazion: 53)

5 53 LA DISTRIBUZIONE NORMALE 123 Considriamo la quantità: Considrata la trasformazion in coordinat polari considrato ch il modulo dllo jacobiano 1 è ugual a si ottin: Si ha quindi la 53) da cui sgu: La spranza è data da: Pr quanto riguarda la varianza poichè torma di intgrazion pr parti si ha: Var dfinita da allora sgu Var in bas al La funzion di ripartizion dlla distribuzion normal standard vin usualmnt dnotata col simbolo cioè Si noti ch pr la simmtria dlla distribuzion normal standard si ha: pr ogni In particolar dalla rlazion prcdnt si ottin la sgunt rlazion fra i quantili con di una distribuzion normal standard: 54) ch risulta molto util nl calcolo pratico di quantili di una distribuzion normal standard 1 Pr il calcolo dllo Jacobiano si rimanda ai tsti di analisi matmatica

6 124 CAPITOLO 5 PRINCIPALI DISTRIBUZIONI DI PROBABILITÀ CONTINUE Famiglia dll distribuzioni normali Sia " Considriamo la va siano 55) In bas alla 424) la va ha funzion di dnsità: - 56) In qusto caso dirmo ch la va sgu una distribuzion normal di paramtri " scrivrmo Ossrviamo ch pr dalla 56) si ottin la dnsità dlla normal standard 52) In bas alla 424) dalla 55) si ottin la funzion di ripartizion di : 57) Con ragionamnti analoghi al caso standard ottniamo la spranza matmatica la varianza di " una variabil alatoria : Var pr sono va indipndnti avnti distribuzion rispttivamnt sono numri rali allora la variabil alatoria Proposizion 53 Siano va indipndnti con " Allora il va sgu una distribuzion Più in gnral s con ha distribuzion Al- Proposizion 54 Siano va indipndnti con distribuzion lora sono indipndnti Esrcizio 55 Sia Calcolar a) b) c) una va avnt distribuzion normal con mdia d) varianza

7 53 LA DISTRIBUZIONE NORMALE 125 Soluzion Essndo dov " pr i punti a) b) si ha rispttivamnt dnota la va normal standard Pr quanto riguarda il trzo punto ossrviamo prlim- è quivalnt a inarmnt ch la rlazion da cui sgu: quindi: Infin tnndo conto ch d ssndo in bas al punto a) dobbiamo ricavar prliminarmnt solo da cui sgu Esrcizio 56 Sia 1 la varianza 2 3 una va normal avnt spranza matmatica di sapndo ch Calcolar:

8 126 CAPITOLO 5 PRINCIPALI DISTRIBUZIONI DI PROBABILITÀ CONTINUE Soluzion Pr quanto riguarda il primo punto dall quazion da cui: sgu: Indicato con il quantil cioè il valor pr cui la funzion di ripartizion assum valor 06293) dall tavol si ottin da cui: " Prtanto Pr quanto concrn il scondo punto prliminarmnt convin scrivr l insim com cioè Si ha quindi: quindi Infin si ha: Esrcizio 57 Un industria produc su commission dll sbarr di acciaio cilindrich il cui diamtro dv ssr di 4 cm ma ch tuttavia sono accttabili s hanno un diamtro comprso fra 3995 cm 4005 cm Il clint nl controllar l sbarr fornitgli constata ch il 5 sono di diamtro infrior a qullo tollrato d il 12 sono di diamtro suprior Supponndo ch l misur di diamtri sguano una distribuzion normal calcolarn i paramtri Dtrminar inoltr il valor di affinchè la probabilità ch l sbarr abbiano un diamtro suprior a qullo tollrato sia infrior al 2 Soluzion Valutando la probabilità con la frqunza in bas ai dati dl problma possiamo impostar il sistma:

9 54 ALTRI ESERCIZI 127 cioè: Da tali quazioni si ottin: dov sono rispttivamnt i quantili dlla distribuzion normal standard ottnuti dall tavol dlla stssa distribuzion Ottniamo prtanto il sistma: da cui si ottngono i valori: Pr quanto riguarda l ultimo punto si richid di calcolar il valor dllo scarto cioè: ovvro: da cui tal ch: Dall tavol dlla normal si ricava il quantil 098 cioè da cui si ottin infin 54 Altri srcizi Esrcizio 58 Siano quattro variabili alatori indipndnti d idnticamnt distribuit con lgg uniform nll intrvallo Considrata la variabil alatoria calcolar la dnsità di probabilità d il valor attso dlla va

10 128 CAPITOLO 5 PRINCIPALI DISTRIBUZIONI DI PROBABILITÀ CONTINUE Soluzion Prliminarmnt ossrviamo ch pr ipotsi ciascuna dll variabili ha funzion di dnsità: pr altrimnti Pr calcolar la funzion di dnsità di calcoliamo dapprima la funzion di ripartizion: Pr l ipotsi di indipndnza dll va pr l ipotsi di lgg uniform in La funzion di ripartizion di è data da: si ha: si ha prtanto: pr pr pr Sgu allora la funzion di dnsità di : pr pr Nota la funzion di dnsità possiamo calcolar il valor attso di :

11 54 ALTRI ESERCIZI 129 Esrcizio 59 Un sistma è composto da 4 componnti Il componnt è in sri con mntr è in sri con Inoltr sono in paralllo con I tmpi alatori) fino al guasto di quattro componnti sono rispttivamnt Il vttor alatorio ha com dnsità la funzion: pr altrov Calcolar: 1 la dnsità congiunta dl vttor pr ogni 2 il valor attso dl tmpo di guasto dl sottosistma costituito dai componnti in sri 3 la probabilità ch il sistma non si guasti fino ad un dtrminato tmpo Soluzion l va Ossrviamo immdiatamnt ch poichè: sono indipndnti sguono una distribuzion sponnzial di paramtro Si ha inoltr: d Indicato con il tmpo di guasto dl sottosistma costituito dai componnti si ha: d ssndo va indipndnti si ha: quindi " da cui sgu: Pr lo stsso motivo posto sgu " Si ha quindi:

12 130 CAPITOLO 5 PRINCIPALI DISTRIBUZIONI DI PROBABILITÀ CONTINUE Esrcizio 510 Si considrino una variabil alatoria avnt distribuzion uniform sull insim d una va indipndnt da avnt distribuzion normal standard dtrminar: Posto 1 il cofficint di corrlazion di 2 la funzion di ripartizion 3 il valor tal ch Soluzion In bas all ipotsi ssndo uniform su quindi Cov si ha: Prtanto in bas all proprità dl cofficint di corrlazion risulta: Cov Inoltr poichè sono indipndnti anch Cov Cov in quanto sgu una distribuzion normal standard quindi sono indipndnti quindi: Prtanto sgu: Pr quanto concrn la funzion di ripartizion di si ha: Prtanto " quindi il valor tal ch è dato dal valor tal ch cioè $#

13 54 ALTRI ESERCIZI 131 Esrcizio 511 Un impigato abita all strma prifria dlla città la strada più brv pr raggiungr il suo ufficio passa pr il cntro in qusto caso il tmpo richisto pr prcorrr tragitto può ssr dscritto mdiant una variabil alatoria di mdia minuti scarto minuti 20 scondi Sono possibili altr du strad altrnativ il cui tragitto può ssr dscritto mdiant rispttivamnt una va con mdia minuti scarto minuti 30 scondi d una va con mdia minuti scarto minuto 10 scondi Assumndo ch l tr va abbiano tutt distribuzion normal calcolar qual sia tragitto più opportuno da prcorrr nl caso in cui: i) l impigato dbba ssr in ufficio ntro 30 minuti ii) l impigato dbba ssr in ufficio ntro 35 minuti? Soluzion Prliminarmnt scriviamo gli scarti quadratici in trmini di unità di misura omogn: 30 scondi quivalgono a 05 minuti 20 scondi quivalgono a minuti 10 scondi quival a 0167 minuti pr cui in bas all ipotsi dl problma si ha: " " " Nl primo caso il tragitto da scglir è qullo pr cui risulta maggior la quantità con mntr nl scondo caso si scglirà il tragitto pr cui risulta maggior òln bas all ipotsi dl problma si ha con Valutiamo prtanto: In qusto caso risulta opportuno prcorrr il tragitto più brv Nl scondo caso si ha: In qusto caso è più opportuno prcorrr il trzo tragitto Esrcizio 512 Sia d avnt dnsità: Calcolar il valor dlla costant una va doppia a valori in pr altrov l funzioni di dnsità

14 132 CAPITOLO 5 PRINCIPALI DISTRIBUZIONI DI PROBABILITÀ CONTINUE Soluzion Essndo la funzion Calcoliamo la funzion di dnsità : una funzion di dnsità dv risultar: quindi da cui quindi Ed infin Esrcizio 513 Sia una va continua avnt funzion di distribuzion funzion di è ancora continua d sprimr la dnsità Dimostrar ch la variabil alatoria sua funzion di distribuzion la sua funzion di dnsità in trmini di Inoltr calcolar la funzion di dnsità di ni casi in cui: 1 sgu una distribuzion normal 2 sgu una distribuzion di Laplac avnt dnsità 3 sgu una distribuzion di Cauchy avnt dnsità Soluzion La funzion di distribuzion di èp data da: Poichè la funzion di distribuzion è pr ipotsi diffrnziabil infatti sist la funzion di dnsità ) allora anch è diffrnziabil è una va continua con funzion di dnsità Applicando la formula sopra ricavata ni tr casi richisti si ricava: 1 pr

15 54 ALTRI ESERCIZI pr pr Esrcizio 514 Siano du va indipndnti avnti distribuzion normal con mdi rispttivamnt d avnti la stssa varianza a) b) c) d) Soluzion Poichè pr ipotsi " " allora posto $ si ha $ " $ $ dov sono va normali indipndnti quindi sgu: dnota la va normal standard Pr quanto riguarda il punto succssivo si ha: Pr quanto riguarda il trzo punto posto " si ha Infin posto " si ha quindi: quindi Esrcizio 515 Si considri un ngozio in cui arrivano a caso mdiamnt 20 clinti l ora

16 134 CAPITOLO 5 PRINCIPALI DISTRIBUZIONI DI PROBABILITÀ CONTINUE 1 Calcolar la probabilità ch gli intrvalli di tmpo fra du arrivi conscutivi siano infriori a tr minuti 2 Calcolar la probabilità ch gli intrvalli di tmpo fra du arrivi conscutivi siano supriori a quattro minuti 3 Supponndo ch il 10 di clinti compri un crto oggtto ricavar la distribuzion di probabilità dl numro di clinto ch acquistano un oggtto in un ora Soluzion Sia l intrvallo di tmpo in minuti) ch intrcorr fra l arrivo di du clinti conscutivi Allora sgu una distribuzion sponnzial di paramtro d ha quindi dnsità: pr Indicata con 1 2 altrov la funzion di ripartizion sgu prtanto: Pr quanto riguarda il trzo punto indichiamo con il numro di clinti ch ntrano nl ngozio in un ora con il numro di qulli fra di ssi ch ffttuano acquisti La variabil sgu allora una distribuzon di Poisson di paramtro : pr altrov sgu una dis- In bas all ipotsi dl problma si ha poi ch la variabil dato tribuzion binomial di paramtri : pr altrov Si ha prtanto:

17 54 ALTRI ESERCIZI 135 tnndo conto ch Prtanto la variabil sgu una distribuzion di Poisson di paramtro 2 du funzioni di dnsità sponnziali di paramtro risptti- Si considri la funzion dfinita com sgu: Esrcizio 516 Siano vamnt 1 Dimostrar ch la funzion è anch ssa una funzion di dnsità 2 Calcolar la spranza matmatica di 3 Dnotata con una va avnt lgg calcolar il valor dlla costant tal ch Soluzion In bas all ipotsi dl problma l funzioni sponnziali di paramtri : pr pr altrov sono funzioni di dnsità altrov N sgu ch è dfinita su tutto l ass ral ssndo una combinazion linar di Pr quanto riguarda il primo punto bisogna vrificar ch soddisfa l du ipotsi richist pr la funzion di dnsità: 1 2 pr ogni La vrifica dlla prima condizion è immdiata in quanto è una combinazion linar di funzioni di dnsità risptto ai psi ch sono ntrambi positivi Anch la sconda condizion è vrificata poichè: La spranza matmatica di si ottin da un applicazion dlla proprità di linarità ricordando ch la spranza matmatica di una va sponnzial di paramtro è ugual a

18 136 CAPITOLO 5 PRINCIPALI DISTRIBUZIONI DI PROBABILITÀ CONTINUE Pr quanto riguarda l ultimo punto calcoliamo dapprima Analogamnt a quanto visto in prcdnza ricordando ch la funzion di sopravvivnza di una dnsità sponnzial di paramtro è si ha: Prtanto il valor di tal ch da cui si ricava com soluzion dll quazion: Esrcizio 517 Sia la vita in or di un crto tipo di lampadin Da ossrvazioni passat è noto ch sgu una distribuzion normal S un acquirnt vuol ch almno il 95 di una partita di tali lampadin abbia una vita suprior all 150 or calcolar qual può ssr la massima varianza dlla popolazion di lampadin ch il comprator sia disposto ad accttar Soluzion varianza Dai dati dl problma si assum ch in modo tal ch " Si richid di valutar la in particolar la varianza massima ch l acquirnt è disposto a tollrar è qulla pr cui Dnotiamo al solito con " la 58) è quivalnt a Indicato con il quantil risulta $# 58) la variabil alatoria normal standard allora di una distribuzion normal standard cioè il quantil pr cui in particolar dall tavol di valori dll ar dlla distribuzion normal standard si ha ch Il valor di richisto si ottin prtanto da: da cui sgu quindi $#

19 " 54 ALTRI ESERCIZI 137 Esrcizio 518 Dtrminar i paramtri dlla distribuzion di una variabil alatoria sapndo ch il primo quartil di è ugual a 40 d il trzo quartil è ugual a 60 Succssivamnt calcolar Soluzion Il problma richid la dtrminazion di paramtri di una distribuzion normal noti i valori dl primo dl trzo quartil rispttivamnt Si tratta di impostar un sistma di du quazioni nll du incognit in dipndnza di paramtri noti : 59) dov In tal sistma la prima quazion si ottin considrando ch la distribuzion normal è simmtrica risptto alla mdia prtanto qusta è data dalla smisomma dl primo trzo quantil la " sconda quazion sprim la rlazion fra una variabil la corrispondnt dnota il trzo quartil di una variabil normal standard " variabil standard " Indicato con il quantil di una distribuzion normal standard cioè il quantil pr cui si risulta in bas all tavol si ottin: inoltr in bas ai dati dl problma si ha si scriv da cui si ottin la soluzion Si ha poi: Poichè sgu: prtanto il sistma 59)

20 138 CAPITOLO 5 PRINCIPALI DISTRIBUZIONI DI PROBABILITÀ CONTINUE Tavola di quantili dlla distribuzion normal standard: