Lezione 8 Perdita di energia di e ±

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1 Gli ± prdono nrgia pr: Lzion 8 Prdita di nrgia di ± Ionizzazion (Bth Block). la formula va lggrmnt modificata in quanto gli ± sia hanno piccola massa possono ssr diffusi nlla collision con gli atomici T max = (E-mc )/, sia hanno divrs szioni d urto di scattring d fftto dnsità lggrmnt minor. M m de dx de dx K K Z A Z A mc ln I mc ln I 3ln.95 4ln.0 o salita rlativistica lggrmnt minor pr ±. o fftto dnsità lggrmnt minor pr ±. Rivlatori di Particll

2 Brmsstrahlung Lzion 8 Prdita di nrgia di ± L lttron incidnt di alta nrgia vin dclrato dalla collision col nuclo d mtt nrgia.m. (raggi ). La prdita di nrgia pr collisioni col nuclo, com funzion dl tmpo è: de dt 3 c dov a l acclrazion. 3 a Z,A (ricorda la formula di Larmor o di Linard pr la radiazion di sincrotron ch dic ch la potnza irraggiata va com a ) Rivlatori di Particll

3 Prdita di nrgia di ± Un calcolo smiclassico dlla szion d urto di brmms da: d 5 4 mc r Mv z z ln dk c Mv k k incluso bmin b max M= massa dlla particlla incidnt k= impulso (nrgia) dl foton msso z= carica dlla particlla (incidnt o dl nuclo) = particlla incidnt = nuclo Rivlatori di Particll 3

4 Prdita di nrgia di ± d 5 4 mc r Mv z z ln dk c Mv k k incluso bmin b max La szion d urto va com /M important solo pr ±. (Nl sguito considrrmo solo lttroni, massa m) Dipnd dal mzzo attravrsato lmnti più psanti fanno prdr più nrgia. Il Brmss. avvin anch sugli lttroni dll atomo z z(z+) ssndoci z lttroni nll atomo. Dcrsc al crscr dll nrgia dl foton (/k). L importanza principal dgli lttroni atomici è il loro fftto di schrmo. Classicamnt quando il paramtro d impatto è > dl raggio atomico ci attndiamo una molto piccola in quanto gli schrmano la carica dl nuclo la particlla incidnt vd una carica più piccola. b max (fisso k) si ottin pr q min (q= impulso trasfrito al nuclo) q min è dtrminato dal raggio dll atomo, più ch dal minimo valor cinmatico ch può assumr. Qusto fnomno si chiama schrmatura complta. Quanto dtto è vro anch pr una trattazion quantistica prché possiamo smpr dfinir una distanza fficac dlla particlla incidnt dal nuclo = ħ/q. Rivlatori di Particll 4

5 Prdita di nrgia di ± Cnni sulla trattazion quantistica (QED) I diagrammi di Fynman all ordin più basso ch dscrivono il Brmss sono: ± ± ± ± * * Z i Z f ) Dobbiamo scambiar un foton virtual con il nuclo pr consrvar il quadrimpulso. ) L intrazion non dipnd dalla carica dll lttron stssa szion d urto pr ±. Z i Z f Rivlatori di Particll 5

6 Prdita di nrgia di ± Bth Hitlr hanno sguito il calcolo nl caso di un lttron nl campo di un nuclo psantissimo ( non lo usano pr la consrvazion dll nrgia), puntiform snza spin. Il calcolo usa l approssimazion di Born. L approssimazion usata è valida s (pz )/(ħv)<<, ssndo v la vlocità dll lttron dopo o prima dll mission dl foton ral. Qusta approssimazion è in gnr valida pr particll nrgtich. Gli fftti di schrmo dgli lttroni atomici sono dtrminati dal paramtro G 00mc G 3 Z k E E i f 00mc 3 Z E E i d E f sono l nrgia inizial final dll lttron. G è ottnuto dividndo il raggio dll atomo r a = ħ/(amcz /3 ) pr il massimo valor prmsso dlla distanza fficac ħ/q.( ssndo q il momnto trasfrito dall lttron al nuclo) Si ha schrmatura complta pr G 0, condizion quasi smpr vrificata trann ch pr k/e~, cioè quando l lttron trasfrisc tutta la sua nrgia al foton irraggiato. i k E i k E Rivlatori di Particll 6 i

7 Prdita di nrgia di ± i. Ad alta nrgia i fotoni sono mssi ~ collinari con l lttron incidnt ssndo l angolo mdio di mission <qmc /E, indipndnt dall nrgia dl foton msso. ii. iii. I fotoni mssi sono polarizzati con il vttor di polarizzazion al piano formato dal foton l lttron incidnt; la polarizzazion dl dipnd inoltr dalla polarizzazion dll incidnt. La intgrata sugli angoli di mission dl di scattring dll lttron è (nl caso di schrmatura complta): d 4 Z a dk k dov w r E f E i w 3 83 w ln Z E i 3 mc w 9 Rivlatori di Particll 7

8 Prdita di nrgia di ± Ossrviamo:. S vogliamo includr gli lttroni atomici Z Z (Z +). d/dk pr k 0 divrgnza infrarossa, liminata con fftti di intrfrnza la formula non è valida pr k 0 3. d/dk dipnd da E i /E f non splicitamnt dall nrgia dll lttron 4. dipnd dal mzzo attravrsato (Z ) Rivlatori di Particll 8

9 Prdita di nrgia di ± La prdita di nrgia pr Brmmstrahlung di un lttron ch attravrsa dl matrial è: con X de dx 0 Br 0 k max 0 L ' kn a d dk 4N dk L 0 0 Un' approssimazion util pr i calcoli 0 83 ln Z 3 è : g / cm 83 ln Z 3 la lunghzza di radiazion sprssa in g / cm X de dx o o E L A 4aN Z r 76.4 A 87 Z ln Z Z A r ae i cm ovvro k max =E i -mc è la massima nrgia possibil dl foton. n a =numro di atomi pr cm 3. N 0 è il numro di Avogadro A è il pso atomico è la dnsità dl matrial Rivlatori di Particll 9

10 Prdita di nrgia di ± La formula de/dx=e/x 0 è molto util in quanto splicita la dipndnza dll nrgia dlla particlla incidnt () dall proprità dl matrial attravrsato contnut in X 0. Intgrando ottniamo: E=E o -x/xo Qusta funzion dscriv l attnuazion sponnzial dll nrgia dgli lttroni pr Brmsstrahlung. Dopo avr attravrsato un tratto x=x 0 l nrgia si ridotta di un fattor /. La X 0 di un composto può ssr approssimata da: X 0 = /S i f i / X 0i ) Dov f i sono l frazioni in massa di componnti con lunghzza di radiazion X 0i La lunghzza di radiazion è sprssa in g/cm, ma dividndo pr la dnsità si ottin L R = lunghzza di radiazion in cm. Si trovano normalmnt tabulat sia X 0 ch L R. Ricordiamo ch la prdita di nrgia è in raltà invrsamnt proporzional alla massa al quadrato dlla particlla incidnt important solo pr lttroni ( m di alta nrgia). Nl dfinir la lunghzza di radiazion abbiamo considrato lttroni com particll incidnti (r ). In ogni caso X 0 d L R sono smpr tabulat pr lttroni Rivlatori di Particll 0

11 Enrgia critica. Lzion 8 Prdita di nrgia di ± L nrgia critica E c è qull nrgia alla qual l prdit pr ionizzazion brmmstrahlung sono uguali. de/dx coll = de/dx brmms pr lttroni incidnti in liquidi o solidi E c =60/(Z+.4) MV. pr lttroni incidnti in gas E c =70/(Z+0.9) MV La diffrnza è dovuta ad un minor fftto dnsità ni gas ch ni solidi o liquidi. Pr un lttron ch attravrsa un solido od un liquido l nrgia critica è di qualch dcina di MV. Nl caso di un m ch attravrsa un matrial (solido o liquido) l nrgia critica scala com il rapporto dll mass al quadrato. Rivlatori di Particll

12 Prdita di nrgia di ± (Lo) nrgy loss (radiativ + ionization) of lctrons and protons in coppr Ricordiamo ch si ha una probabilità non trascurabil di mttr di alta nrgia la distribuzion dll prdit di nrgia è molto larga. Rivlatori di Particll

13 Annichilazion di + Lzion 8 Prdita di nrgia di ± Il dstino final di positroni nlla matria è l annichilazion con un - S l - è lgato al nuclo si può avr annichilazion in un solo, ma la è più bassa. La ann in di un + con nrgia nl laboratorio pari ad E è 4 3 ann pr ln La è massima pr =E/m. Il positron prima prd nrgia poi si annichila. NOTA: si puo anch formar il positronio ch poi dcad in (singoltto) monocromatico o in (tripltto) Rivlatori di Particll 3

14 Intrazioni di Pr potr ssr rivlati i dvono prima crar una particlla carica /o trasfrir nrgia all particll carich. L principali intrazioni di fotoni con la matria sono: Efftto fotolttrico Efftto Compton Produzion di coppi Tutt qust intrazioni sono di tipo lttromagntico. Rivlatori di Particll 4

15 Intrazioni di Rayligh (cilo blu) Fotolttrico MV } Compton Produzion di coppi Rivlatori di Particll 5

16 Intrazioni di Pr nrgi 500 KV abbiamo solo fftto fotolttrico Pr nrgi > 50 MV abbiamo solo produzion di coppi Pr nrgi intrmdi abbiamo fftto Compton A bass nrgi possiamo avr scattring cornt (Rayligh). Il foton intragisc con tutti gli lttroni atomici, snza ccitarli od ionizzarli (nssuna prdita di nrgia). È il rsponsabil dl cilo blu Rivlatori di Particll 6

17 Intrazioni di Efftto fotolttrico. ē atom X atom X + L fftto fotolttrico consist nll assorbimnto di un foton da part dll atomo intro. L lttron vin msso con nrgia cintica T=ħw-E b Con E b nrgia di lgam dll atomo ħw nrgia dl foton incidnt. Pr nrgi dl foton incidnt poco sopra soglia l lttron è msso a 90 o risptto alla dirzion dl foton incidnt. Crscndo l nrgia l angolo di mission diminuisc; ma scattring multiplo la dirzion dll lttron è random risptto alla dirzion dl foton incidnt. L fftto fotolttrico è possibil solo nll vicinanz dl nuclo, non può avvnir pr un lttron libro. Rivlatori di Particll 7

18 Intrazioni di La szion d urto pr bass nrgi è: (non rlativistich) K photo E 8 7 a Z Th Th pr 3 m c (Thomson ) Prsnta di picchi corrispondnti ai livlli atomici K,L,M S siamo sopra soglia vngono mssi prfribilmnt lttroni dallo shll K. Ad alt nrgi la è: K photo 4p r 4 a Z 5 Rivlatori di Particll 8

19 Intrazioni di A bass nrgi dcrsc con ħw dl foton alla -7/ fnomno important a bassa nrgia. Dipnd dal matrial com Z 5 important pr la costruzion di rivlatori di fotoni (.g. camr a Xnon). Pr fotoni incidnti di bassa nrgia la dipndnza da Z è una complicata funzion di Z comunqu minor di Z 5. Ad smpio pr nrgi 0. MV E 5 MV l sponnt di Z varia fra 4 5. Pr applicazioni dll fftto fotolttrico in mdicina vdi rivlatoridt4 diapositiva 6 (su lzioni stiv 003) Rivlatori di Particll 9

20 Intrazioni di Efftto Compton (Diffusion di un foton incidnt su un lttron atomico) hn, k 0 hn, k T, p q f hn+mc =hn +T+mc k 0 = k+p T=mc [ (-cosq)]/[+(-cosq)] ; =hn/mc Cotf = (+)tg(q/) La szion d urto pr lo scattring Compton è molto facil da calcolar in QED. ( Klin Nishina) Rivlatori di Particll 0

21 Intrazioni di I diagrammi di Fynman da prndr in considrazion sono: out in Canal t, contributo di diffusion in Canal s, contributo di assorbimnto out Rivlatori di Particll

22 Rivlatori di Particll Lzion 8 Intrazioni di La diffrnzial, mdiata sugli spin dl foton incidnt è : La distribuzion in nrgia si ottin liminando q sostitundolo con hn (sfruttando la consrvazion dll nrgia dll impulso): La szion d urto total approssimata pr alt nrgi è : cos cos cos cos cos r d d ' ' ' ' ' n n n n n n n p n h h h h h h h r h d d valida pr /(+) (hn )/(hn) ln 8 3 ln p Th Compt r Con th limit classico Ricordiamo ch la szion d urto Thompson è il limit classico di diffusion di fotoni su lttroni libri (valida a bass nrgi)

23 Produzion di coppi. Lzion 8 Intrazioni di L intnso campo lttrico vicino al nuclo prmtt al foton di trasformarsi in + d -. L nrgia di soglia è mc. La produzion di coppi può anch avvnir vicino ad un lttron atomico. In qusto caso l nrgia di soglia è 4mc l lttron di rinculo acquista un nrgia cintica 3 tracc carich. La trattazion in QED procd sulla falsariga dl Brmsstrahlung Rivlatori di Particll 3

24 Intrazioni di ± ± ± ± * * Brmsstrahlung Z i Z f Z i Z f + - * * + - Prod. di coppi Z i Z f Z i Diagrammi praticamnt idntici Z f Rivlatori di Particll 4

25 Intrazioni di Nl caso di schrmatura complta l szioni d urto sono: Brmss d dk 4 o k w 83 wln 3 3 Z w 9 Coppi d de 4 o k w w 3 w w ln 83 Z 3 9 w w Con: w = E f /E i (lttron); o = az r ; k = impulso dl foton w + = E + /k ; E + = nrgia dl positron w - = E - /k ; E - = nrgia dll lttron Rivlatori di Particll 5

26 Intrazioni di L analogia di du procssi non è solo la similitudin di diagrammi, ma si può vdr il procsso invrso dlla produzion di coppi com un procsso di Brmss di un + ch mtt un foton cad in uno stato di nrgia ngativa ( -, Dirac). Ottngo gli lmnti di matric da qulli dl brmss pr smplic sostituzion. S il incidnt ha impulso k la coppia prodotta ha nrgia E + d E - la schrmatura è misurata usando il paramtro: 00mc G' 3 Z k E E G è simmtrica in w + w - dcrsc al crscr di k 00mc 3 Z kw w Rivlatori di Particll 6

27 Intrazioni di In caso di schrmatura complta (G ~0) la sprssa in funzion dll nrgia cintica dl positron normalizzata a o è quasi uniform I positroni sono prodotti con tutt l nrgi possibili gli + d - dlla coppia non hanno la stssa nrgia. La dipnd dal matrial com Z.(incluso nlla o ) Ad alta nrgia + d - tndono ad ssr prodotti a piccolo angolo risptto alla dirzion di volo dl. < q > = mc /E ( E = E + od E - ) Rivlatori di Particll 7

28 Intrazioni di La szion d urto total pr produzion di coppi si ottin intgrando d/de + su tutt l possibili nrgi dll +, nl caso di schrmatura complta, è : 4a pair r Z ln cm / 3 Z 54 atomo Scartando /54 d introducndo il matrial (A, N A ) ottngo: pair 4ar N 7 83 Z A Z ln A X 0 7 Rivlatori di Particll 8

29 Intrazioni di A causa dl brmsstrahlung, un fascio di ± di nrgia inizial E 0, dopo un tratto x di matrial ha un nrgia: E = E 0 -x/xo In un mzzo omogno di lunghzza di radiazion X 0, a causa dlla produzion di coppi, l intnsità di un fascio monocromatico di, diminuisc dopo un tratto x di matrial com sgu: I = I 0 -(7/9)x/Xo Rivlatori di Particll 9

30 Intrazioni di Sia l fftto fotolttrico, ch qullo Compton la produzion di coppi sono di procssi distruttivi. Efftto fotolttrico: assorb d mtt - Efftto Compton: cambia la n di ( trasfrimnto di nrgia al mzzo) Produzion di coppi: trasforma i in + d - Rivlatori di Particll 30

31 de/dx de/dx Lzion 8 Sciami lttromagntici Ricordiamo l intrazioni lttromagntich fondamntali + / - Ionisation Photolctric ffct E Brmsstrahlung E E Efftto Compton E Pair production Rivlatori di Particll 3

32 Sciami lttromagntici A qusto punto abbastanza facil capir cosa succd s si ha un fascio di ± o di ch attravrsa dl matrial. Elctron showr in a cloud chambr with lad absorbrs Rivlatori di Particll 3

33 Smplic Modllo qualitativo Lzion 8 Sciami lttromagntici Considriamo solo Brmsstrahlung produzion di coppi. Assumiamo X 0 =l pair =9/7X 0 Il procsso continua finché E(t) < E c ln E / E tmax 0 c t tmax 0 tmax Ntotal ln t 0 Ec Dopo t=t max I procssi dominanti sono ionizzazion, Compton d fftto fotolttrico assorbimnto Rivlatori di Particll 33 E

34 Sciami lttromagntici Sviluppo longitudinal dllo sciam Massimo dllo sciam t max E ln 0 E c de dt ln a t t Contnimnto longitudinal t t 0.08Z 95% max 9.6 L dimnsioni longitudinali dllo sciam crscono solo logaritmicamnt con E 0 Rivlatori di Particll 34

35 Sciami lttromagntici Lo sviluppo trasvrsal dllo sciam non tanto dovuto agli angoli di mission di od ± (ntrambi molto piccoli) quanto allo scattring multiplo. 95% dllo sciam in un cilindro di raggio R M R M MV E c X 0 gr / cm 6 GV/c - Raggio di Molièr Sviluppo longitudinal trasvrsal dllo sciam scalano con X 0, R M Exampl: E0 = 00 GV in lad glass Ec=.8 MV tmax 3, t95% 3 X0 cm, RM =.8 X0 3.6 cm 46 cm 8 cm (C. Fabjan, T. Ludlam, CERN-EP/8-37) Rivlatori di Particll 35

36 Risoluzion in nrgia Lzion 8 Sciami lttromagntici Pr misurar l nrgia si contano l tracc carich E E 0 Ntotal c E E N N N E 0 La risoluzion rlativa in nrgia migliora crscndo E 0 Anch la risoluzion spazial d angolar scalano con E -/ Rivlatori di Particll 36

37 Intrazioni nuclari (forti) L intrazion di adroni nrgtici (carichi o nutri) è dtrminata da procssi nuclari anlastici. hadron p,n,p,k, Z,A multiplicity ln(e) p + p n p - p 0 p t 0.35 GV/c Rottura dl nuclo frammnti nuclari + produzion di particll scondari. Ad alt nrgi (>qualch GV) la szion d urto anlastica dipnd poco dall nrgia dal tipo di particlla incidnt (p, p, k.). In analogia a X 0 possiamo dfinir una lunghzza di assorbimnto Ed una lunghzza di intrazion inl 0 A mb l a = A/(N A inl ) A ¼ poiché inl 0 A 0.7 l I = A/(N A total ) A ¼ Rivlatori di Particll 37

38 Intrazioni nuclari (forti) Matrial Z A [g/cm 3 ] X 0 [g/cm ] l a [g/cm ] Hydrogn (gas) (g/l) Hlium (gas) (g/l) Bryllium Carbon Nitrogn (gas) (g/l) Oxygn (gas) (g/l) Aluminium Silicon Iron Coppr Tungstn Lad Uranium Rivlatori di Particll 38

39 X 0, l a [cm] Pr Z>6 l a > X 0 Lzion 8 Intrazioni nuclari (forti) 00 l a and X 0 in cm l a 0 X Z Rivlatori di Particll 39

40 Cascat adronich Lzion 8 Intrazioni nuclari (forti) Molti procssi coinvolti molto più complicat ch gli sciami.m. P T ~ 350 MV sciami adronici molto più larghi di qulli.m. (95% in un cilindro di raggio l I ) (Grupn) Rivlatori di Particll 40

41 Intrazioni nuclari (forti) Adronica + Componnt.m. chargd pions, protons, kaons. Braking up of nucli (binding nrgy), nutrons, nutrinos, soft s muons. invisibl nrgy nutral pions lctromagntic cascad p ln E( GV) 4. 6 n 0 xampl 00 GV: n(p 0 )8 Largh fluttuazioni dll nrgia risoluzion in nrgia limitata Rivlatori di Particll 4

42 (C. Fabjan, T. Ludlam, CERN-EP/8-37) Lzion 8 Intrazioni nuclari (forti) Sviluppo longitudinal dllo sciam t t max 95% ( l ) 0.ln E[ GV ] 0.7 I ( cm) a ln E b Frro: a = 9.4, b=39 l a =6.7 cm E =00 GV t 95% 80 cm Rivlatori di Particll 4

43 Intrazioni nuclari (forti) Trasvrsalmnt lo sciam consist in un nocciolo + un alon. Il 95% contnuto in un cilindro di raggio l I. Gli sciami adronici sono molto più lunghi più larghi di qulli lttromagntici Rivlatori di Particll 43

44 Conclusioni Abbiamo accnnato a tutti i procssi.m. o forti ch avvngono quando una particlla carica (o no) attravrsa la matria (scludndo il nutrino), tutti procssi utili pr costruir i rivlatori. Da un punto di vista puramnt strumntal possiamo suddividr i procssi in non distruttivi distruttivi: Distruttivi: produzion di sciami lttromagntici adronici. Qusti procssi sono utili pr misurar l nrgia dlla particlla ( ±, calorimtri lttromagntici); (adroni m calorimtri adronici). È ovvio ch la part distruttiva dll apparato sprimntal dv star alla fin dl rivlator. Non distruttivi: o Prdita di nrgia pr collision (Bth-Block) (misuro il o il dlla particlla carica). o Efftto Črnkov (misuro il dlla particlla carica). o Radiazion di transizion ( misuro il dlla particlla carica). Tutti tr i procssi non distruttivi possono ssr usati pr idntificar la particlla, d il primo (prdita di nrgia pr collision) è più spsso usato pr misurar la posizion dlla particlla carica Rivlatori di Particll 44