Lezione 1-03/10/2018, dalle alle in aula 3 - Esempi svolti: Svolgimento di alcuni esercizi della settimana del 28/09/2018.

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1 DIARIO DELLE LEZIONI DI TUTORATO DI ANALISI MATEMATICA I Corsi di laurea in Ingegneria delle Comunicazioni e Ingegneria Elettronica Tutor: Dott. Salvatore Fragapane Lezione 1-03/10/2018, dalle alle in aula 3 Svolgimento di alcuni esercizi della settimana del 28/09/2018. Inoltre: Es.1 Determinare i seguenti insiemi numerici: {x R : x 4 3x 2 + 2x = 0} {x R : 1 x x 0}. i) Dimostrare la seguente uguaglianza: (b) {x R : x x + 1}. A \ (B \ C) = (A \ B) (A C). ii) Dati gli insiemi e A = {n N : n 2 < 36} B = {n N : n è un divisore primo di 30} {1, 4}, dire se c è una qualche relazione di inclusione tra essi. iii) Provare che inf( 1, 3) = 1. iv) Determinare inf e sup dei seguenti insiemi numerici, specificando se si tratta di min e max: A = { n + 7 n + 1 : n N}.

2 (b) B = { ( 1)n+1 n 2 : n N}. n + 3 (c) C = { ( 1)n n n + 1 : n N}. v) Determinare i seguenti insiemi numerici: {x R : x 4 10x = 0} {x R : x 3 5}. (c) {x R : (b) {x R : x 2 + 3x + 2 < x + 2}. x + 2 x 2 + 2x 1} {x R : 4 x 2 < 1}. (d) {x R : x 2} {x R : x + 2 x 2 < 0}. (e) {x R : x 2 x < x 2 } {x R : x 2 4 x > 7}. Lezione 2-10/10/2018, dalle alle in aula 3 Svolgimento di alcuni esercizi della settimana del 05/10/2018. Inoltre: Es.1 Dimostrare, usando il principio di induzione, che la seguente proprietà P (n) è vera per ogni n N. n P (n) : k 2 (n + 1)(n + 2)(2n + 1) =. 6 k=1 i) Raprresentare graficamente le seguenti funzioni, precisandone il dominio, l immagine, la monotonia e le eventuali simmetrie: f(x) = max{ x, x } (b) f(x) = min{1, 3 x} ii) Determinare il dominio naturale delle seguenti funzioni: f(x) = log 8(x 2 + 2x + 1), 5 3x x + 1 (b) f(x) = 2 log 2 (x 1) + x, 2

3 3 x4 3x (c) f(x) = log 3 (log 1 (3x 2)), 2 (d) f(x) = x + 5 π x 4 + 3x iii) Determinare l insieme numerico individuato dalle soluzioni delle seguenti equazioni: 3 2x+1 > x, (b) log 2 (x 1) + log 2 (x + 3) > log 2 x, (c) x 2 + 3x > x 2, (d) log 3 ( 1 x 2) 1, 1 2x (e) x, x (f) x 3 x 7 > 1 4x, (g) 4 x 4 x log 2 (7 x 2 ). Lezione 3-17/10/2018, dalle alle in aula 3 Svolgimento di alcuni esercizi della settimana del 12/10/2018. Inoltre: Es.1 Rappresentare graficamente le seguenti funzioni, precisando sup e inf (ed eventuali minimi e meassimi assoluti): f(x) = log 3 (x 7), (b) f(x) = 2 sin(x + π ) 3. 4 Es.2 Determinare il dominio naturale delle seguenti funzioni: f(x) = 3x2 + 1 x 2 + x 1, (b) f(x) = sin(arcsin(7x 4)), (c) f(x) = tan(arcsin(x 2)), 3

4 log (d) f(x) = 2 (x 1) log 2 (4x 7) 1. i) Rappresentare graficamente le seguenti funzioni, precisando sup e inf (ed eventuali minimi e meassimi assoluti): f(x) = log 5 (x 3) + 2, x (3, 5], (b) f(x) = 2 x+1 3, x (0, 7). ii) Determinare il dominio naturale delle seguenti funzioni: f(x) = arcsin( x 5), (b) f(x) = arctan(x + x 4 3x 2 4), (c) f(x) = tan(x 2 + π 2 ), (d) f(x) = 2 x+log 5 (3x 2) 1. (e) f(x) = log 3 (log 2 (2 x 1)), (f) f(x) = (7x2 8x + 1) π 1. 2 x x 1 1 iii) Determinare inf e sup (min e max) delle seguenti successioni: a n = n + 1 n + 5, (b) a n = n2 n + 1, (c) a n = n 4 + 4n 2, Lezione 4-24/10/2018, dalle alle in aula 3 Svolgimento di alcuni esercizi della settimana del 19/10/2018. i) Verificare i seguenti iti usando la definizione. n + 2n 2 3n = 2 4 x ; (b) 3 x 0 x 4 = ;

5 1 (c) x 1 x = 1 ; (d) 2 arctan(x) = π x 2 ; (e) x 3 x 2 9 x 3 (g) 2x = 6 ; (f) x + x + 1 = + ; +1 x 5 x2 = 0 ; 2x 2 (i) x 1 x + 1 (h) x 0 2 x3 = 2 ; = 1 ; (l) n + sin ( 1 n ) = 0. Lezione 5-31/10/2018, dalle alle in aula 3 Svolgimento di alcuni esercizi della settimana del 26/10/2018. Inoltre: Es.1 Calcolare, se esistono, i seguenti iti. (c) x 2 + 2x 3 ; (b) 2 3 x + 3 ( n n 2 1) ; n + ( n 2 + n + 1 log n 2 1) ; (d) 4 (x + 4 x ) n + x + log 2 ( x ). Es.2 Verificare il seguente ite, usando la definizione. 1 x x 0 x =. Lezione 6-07/11/2018, dalle alle in aula 3 Svolgimento di alcuni esercizi della settimana del 02/11/2018. i) Calcolare, se esistono, i seguenti iti: x + x 7 3x x 6 3x 7 + 7x 3 ; arctan(ln(1 + x)) (c) ; (d) x 0 x n + (e) x π 2 cos 2 x (x π 2 )2 ; (f) x + 5 (b) x 1 7x x 2 3x + 2 ; 3n n 2a + 7n, a R ; 1 a ( x ) x 5 3 2x 3 ; x 3 + 2

6 (k) (i) (g) x + [ x 1 ]x ; (h) x 0 + xx+1 ; 1 cos x tan x 2 arcsin x ; (j) x + x 2 x 0 (e x 1) ln(1 + x 2 ) ; x + x3 [ln(x 3 + x) ln(x 3 + 1)] ; (l) (sin + 3n 1 n + n)n2 ; 4n (o) (m) n + x + n!e n n n 4n (1 e 1 x 3 )x x cos 1 ; (n) x 3 sin(x 3) x (a + 1) n 4 ; (p) n + 2 n+1 + n, a 1. Lezione 7-14/11/2018, dalle alle in aula 3 Svolgimento di alcuni esercizi della settimana del 09/11/2018. Inoltre: Es.1 Dire per quali valori del parametro x R le seguenti serie risultano convergenti e calcolarne la somma. n=0 (x + x 2 1) n, (b) ( x 2 4 ) n. 3 Es.2 Studiare, al variare di α R dove presente, il carattere delle seguenti serie numeriche. (c) [arctan(n + 1) arctan(n)], ( n α 3 n 2 ) +, (d) n α i) Studiare il carattere delle seguenti serie numeriche. (b) ln(1 + 1 ) n 2 sin 1, n ( n + 1 ) n. n + 3 n 2 n 5 + 1, (b) + 1 ne n, (c) 10 n n 1, + (d) [ n n 2 1], 6

7 (e) [ n 2 + 3n 2 n]. Lezione 8-21/11/2018, dalle alle in aula 3 Svolgimento di alcuni esercizi della settimana del 16/11/2018. Inoltre: Es.1 Studiare il carattere delle seguenti serie numeriche. ( 3 ) n n Es.2 Studiare la continuità delle seguenti funzioni (al variare di α R dove richiesto). e 1 x 2, x 0 x α 1 f(x) =, (b) f(x) =, x > 1 cos x, x π x 1 x, (c) f(x) = π 2 2 0, x = 0 αx 2 3x + 1, x 1 2, x = π 2. i) Studiare il carattere delle seguenti serie numeriche (al variare di α R dove richiesto). ( 1 ) tan, (b) n + 1 tan n!en n n+2, + (c) ( 1) n 1 n + 7, n=0 (f) (d) n=0 sin 3 n n 3 + 2n + 1, n 2 n α + ln n, (e) + n α (1 e 1 n 2 ), + (g) ( 2 2n n n ) n, n 1 ii) Studiare la continuità delle seguenti funzioni (al variare di α R dove richiesto). x sin 1 x f(x) =, x 0 ln(1+x 2 ), x 0 (1 + αx 4 ) 1 x 3, x > 0 3x, (b) f(x) = 2, (c) f(x) = 0, x = 0 0, x = 0 α, x = 0 x 2 +αx, x < 0 x 3 +x Lezione 9-05/12/2018, dalle alle in aula 3 7

8 Correzione dell esonero del 28/11/2018 e svolgimento di alcuni esercizi delle settimane del 23/11/2018 e del 30/11/2018. Inoltre: Es.1 Calcolare (sin x) e x2 x 0 ln(1 + x 2 ) x. 2 Lezione 10-12/12/2018, dalle alle in aula 3 Svolgimento di alcuni esercizi della settimana del 07/12/2018. Inoltre: Es.1 Calcolare i) Determinare l ordine di infinitesimo di f(x) = e 1 x 2 e 1 x 2, x < 0 f(x) = x 2, x 0. x+1 ( ln ) ( 2 sin, x +. x x) ii) Studiare continuità e derivabilità della funzione f(x) = max{ 1 + x 2, 1 + x}. iii) Data la funzione sin(πx), 1 x 1 f(x) = x 2 1, 5 x < 1 1 < x 3 studiare la continuità e la derivabilità; (b) dire se è possibile applicare i teoremi di Rolle e Lagrange; (c) disegnarne il garfico. Lezione 11-19/12/2018, dalle alle in aula 3 Svolgimento di alcuni esercizi della settimana del 14/12/2016. Inoltre: Es.1 Esercizio 2 del l esame del 16/12/

9 Es.2 Esercizio 4 del l esame del 06/02/2018. Es.3 Determinare gli asintoti della seguente funzione ( 1 f(x) = x arctan. x) Es.4 Studiare la seguente funzione e tracciarne il grafico ( 1 f(x) = x + arctan. x) 9