Capitolo 5. La Trasformata discreta di Fourier e l algoritmo FFT 373

Transcript

1 Capitolo 5. La Trasformata discrta di Fourir l algoritmo FFT 373 Pr quanto riguarda l rror di troncamnto, ovvro dll rror introdotto dall avr assunto ch la funzion f sia nulla al di fuori dll intrvallo [0,T] ch quindi coincida con la funzion f p, fissato h, talquantità dcrsc sponnzialmnt al crscr di ( quindi di T ) [4]. In gnral, in bas a tali considrazioni è possibil una sclta opportuna di paramtri h in modo da garantir di risultati accttabili con un costo computazional non lvato. 5.3 La Trasformata Vloc di Fourir (FFT) Dalla dfinizion di DFT di un vttor di numri complssi si dduc ch la valutazion dirtta di ciascuna componnt dl vttor DFT richid il calcolo di moltiplicazioni complss 1 addizioni complss, d inoltr la valutazion di sponnziali complssi. Supponndo noti gli sponnziali complssi, il calcolo dlla DFT di un vttor di lunghzza richid, quindi: T () = [ molt. complss + ( 1) add. complss] = O( ) oprazioni floating point. Dunqu, a part la valutazion dgli sponnziali complssi, la complssità computazional dl calcolo di una DFT è quivalnt a qulla di un prodotto matric-vttor. Fino al 1965, anno di pubblicazion dl primo algoritmo di Fast Fourir Transform (FFT) nonostant la già ampia diffusion dlla DFT, la sua applicazion prsntava problmi lgati al costo computazional. L ida di J. Cooly J. Tuky, alla bas dgli algoritmi FFT, fu di smplificar opportunamnt i calcoli dcomponndo il problma, ovvro il calcolo di una DFT di lunghzza, in sottoproblmi dllo stsso tipo ma di dimnsion non solo più piccola ma anch tal da consntir di liminar una buona part di oprazioni inutili ridondanti. In altr parol, un algoritmo FFT implmnta una mtodologia di tipo divid t impra, applicandola più volt a ciascuno di sottoproblmi così ottnuti, in modo da riorganizzar fficacmnt l oprazioni ch coinvolgono gli sponnziali complssi. La difficoltà principal di un algoritmo pr il calcolo di una DFT, più in gnral di tutti gli algoritmi numrici utilizzati nll analisi di Fourir, è smpr stata la valutazion fficint dll funzioni trigonomtrich, indipndntmnt dall ambint di calcolo a disposizion. Già nl 195, Witthakr, avndo a disposizion l macchin calcolatrici pr sguir moltiplicazioni, oltr ch l tavol trigonomtrich, utilizzando la mtodologia divid t impra, propos uno schma pr il calcolo di cofficinti di Fourir pr = 6, 1, 4, ch facva uso solo dll valutazioni ngli angoli notvoli. Tal algoritmo, ad smpio pr = 1, impigava solo 44 oprazioni. l 1958, Gortzl propos un algoritmo basato su formul di ricorrnza pr il calcolo di cofficinti di Fourir pr un qualsiasi valor di ch utilizzava solo valutazioni trigonomtrich (algoritmo di Gortzl (1958), succssivamnt rso stabil dalla modifica introdotta da Rinsch [13]). Chiaramnt qusto algoritmo, a diffrnza dll algoritmo poposto da

2 374 Witthakr, potva ssr sguito pr un qualsiasi valor di, anch s la sua complssità computazional (O( )) n impdiva l implmntazion ffttiva pr valori di grandi. Solo l introduzion dgli algoritmi FFT ha consntito l ffttivo sviluppo di qull applicazioni dll analisi di Fourir basat sull approccio computazional, tra l quali vi sono qull carattristich dlla disciplina ch prnd il nom di digital signal procssing o anch più in gnral, di digital imag procssing. In tali applicazioni è almno dll ordin di O(10 3 ). Il primo algoritmo FFT, introdotto da Cooly Tuky, si basa sulla dcomposizion dgli indici j k ch dfiniscono rispttivamnt l componnti dl vttor di input di qullo risultant [4]. Qusta dcomposizion consnt di smplificar l oprazioni coinvolt applicando opportunamnt l proprità dgli sponnziali complssi. A partir dall ida introdotta da Cooly Tuky, l anno succssivo Gntlman Sand 19 pubblicarono un articolo ch dscriv in manira complta d saustiva l algorimo FFT, corrdandolo di analisi dlla complssità dlla stabilità [11]. Dal 1965 ad oggi, sono disponibili moltplici implmntazioni dll algoritmo FFT, ciascuna spcializzata in bas a vari fattori com il valor dl paramtro, ch dfinisc la lunghzza dl vttor DFT, il tipo di fattorizzazion di, l applicazion o mno dl bit rvrsal. Il pacchtto softwar FFTW contin tali implmntazioni, utilizzabili in manira dl tutto trasparnt prchè sono gnrat automaticamnt da un compilator intrno alla librria L algoritmo di Cooly Tuky L ida alla bas di tutti gli algoritmi FFT è calcolar la DFT di un vttor di lunghzza = r q ffttuando q DFT di lunghzza r o vicvrsa. Esmpio 5.1. Considriamo la DFT di un vttor f =(f 0,f 1,f,...f 11 ) di lunghzza =3 4 = 1: posto: allora: Poiché: w (4j1+j0)(3k1+k0) DFT[f] k := F k = 11 k = 3k 1 + k 0 k 1 =0, 1,, 3 k 0 = 0, 1, j = 4j 1 + j 0 j 1 =0, 1, j 0 = 0, 1,, 3 1 = w 1j1k1 19 Sand ra allivo di Tuky. 3 j 0=0 j 1=0 f j w jk 1 (5.1) f(4j 1 + j 0 )w (4j1+j0)(3k1+k0) 1 (5.) 1 w 4j1k0 1 w 3j0k1 1 w j0k0 1 = w 1j1k1 1 w j1k0 3 w j0k1 4 w j0k0 1

3 Capitolo 5. La Trasformata discrta di Fourir l algoritmo FFT 375 w 1j1k1 1 = 1, la (5.) si può scrivr com: 3 w j0k1 4 j 0=0 j 1=0 f(4j 1 + j 0 )w j1k0 3 DFT di lunghzza 3 w j0k0 1 4 DFT di lunghzza 3 (5.3) A part il fattor sponnzial w j0k0 1, il calcolo di una DFT di lunghzza 1 si riconduc al calcolo di 4 DFT di lunghzza 3. In particolar, si ossrva ch i 4 vttori di cui si calcola la DFT, ottnuti da f(4j 1 + j 0 ) fissando j 0 = 0, 1,, 3 rispttivamnt facndo variar j 1 = 0, 1,, sono costruiti considrando l componnti dl vttor f i cui indici distano di 4 unità. Considriamo la DFT di un vttor f =(f 0,f 1,f,...f 1 ) di lunghzza = r 1 r : Posto: allora: Poiché: w (r j 1 +j 0 )(r 1 k 1 +k 0 ) 1 f j w jk (5.4) k = r 1 k 1 + k 0 k 1 =0, 1,..., r 1 k 0 = 0, 1,..., r 1 1 j = r j 1 + j 0 j 1 =0, 1,..., r 1 1 j 0 = 0, 1,..., r 1 = w j 1k 1 r 1 r 1 1 f(r j 1 + j 0 )w (r j 1 +j 0 )(r 1 k 1 +k 0 ) (5.5) j 0 =0 j 1 =0 w r j 1 k 0 1 w r 1j 0 k 1 w j 0k 0 w j 1k 1 = 1, la (5.5) si può scrivr com: r 1 w j 0k 1 r 1 j 0 =0 [ r1 1 = w j 1k 1 f(r j 1 + j 0 )w j 1k 0 j 1 =0 w j 1k 0 r 1 w j 0k 1 r w j 0k 0 r ] DFT di lunghzzar 1 w j 0k 0 r DFT di lunghzza r 1 (5.6) A mno dll sponnzial w j 0k 0, il calcolo di una DFT di lunghzza = r 1 r si riconduc al calcolo di r DFT di lunghzza r 1. S poi r 1 si fattorizza nl prodotto r = r 3 r 4, si può applicar tal ida alla DFT di lunghzza r, prvnndo via via a DFT di lunghzza più piccola.

4 376 Figura 5.3: Algoritmo di Cooly Tuky pr il calcolo di una DFT di lunghzza 1 mdiant la dcomposizion in 3 DFT di lunghzza 4. L componnti dl vttor f distano di 3 unità. Esmpio Considriamo la DFT di un vttor f =(f 0,f 1,f,...f 11 ) di lunghzza =4 3= 3 = 1: posto: si ha: Poiché: w (3j1+j0)(4k1+k0) DFT[f] k := 11 k = 4k 1 + k 0 k 1 =0, 1, k 0 = 0, 1,, 3 j = 3j 1 + j 0 j 1 =0, 1,, 3 j 0 = 0, 1, 1 = w 1j1k1 3 j 0=0 j 1=0 f j w jk 1 (5.7) f(3j 1 + j 0 )w (4j1+j0)(3k1+k0) 1 (5.8) 1 w 3j1k0 1 w 4j0k1 1 w j0k0 1 = w 1j1k1 w 1j1k1 1 = 1 allora la (5.8) si può scrivr com: 3 w j1k1 f(3j 1 + j 0 )w j1k0 j 0=0 3 j 1=0 1 w j1k0 4 w j0k1 3 w j0k0 1 4 DFT di lunghzza 4 w j0k0 1 3 DFT di lunghzza 4 (5.9) Il calcolo di una DFT di lunghzza 1 si riconduc al calcolo di 3 DFT di lunghzza 4. Com illustrato nlla Figura 5.3, in qusto caso gli r = 3 vttori di lunghzza r 1 = 4 di cui si dv calcolar la DFT, ottnuti pr j = 0, 1, rispttivamnt, sono costruiti considrando l componnti dl vttor f ch distano di r = 3 unità. Applichiamo la stsso schma alla DFT più intrna di lunghzza 4. Introduciamo il vttor F di lunghzza 3 così dfinito:

5 Capitolo 5. La Trasformata discrta di Fourir l algoritmo FFT 377 Figura 5.4: Al scondo livllo dll albro, il calcolo dlla DFT di lunghzza 1 vin ricondotto a qullo di 6 DFT di lunghzza. La distanza fra l componnti èdir 1 = 3 unità. Sia: allora: F (j 0 )= 3 f(3j 1 + j 0 )w j1k0 4 j 1 =0, 1,, 3 (5.30) j 1=0 j 1 = j 1 + j 0 j 1 =0, 1, j 0 = 0, 1 F (j 0 )= 1 w j 0 k0 4 j 1 =0 1 f(3j 1 + j 0 )w j 1 k0 j 0 } =0 {{} DFT di lunghzza DFT di lunghzza ovvro una DFT di lunghzza 4 è sprssa com DFT di lunghzza. Dall (5.9) (5.31) sgu quindi ch: 1 w j1k1 3 w j 0 k0 j 0=0 j 1 =0 1 f(3j 1 + j 0 )w j 1 k0 j 0 } =0 {{} DFT di lunghzza DFT di lunghzza w j0k0 1 3 =6 DFT di lunghzza (5.31) (5.3) Si nota ch la DFT più intrna coinvolg coppi di componnti dl vttor f ch distano di 3 unità, com anch illustrato in Figura 5.4. In particolar, poiché p 0 =3j 1 + j 0 =3(j 1 + j 0 )+j 0 =6j 1 +3j 0 + j 0 l 6 DFT vngono ffttuat fissando nll du sommatori strn j 0 =0j 1 = 0 quindi utilizzando l coppi di componnti dl vttor f in corrispondnza di p 0 =0p 0 = 3, poi, fissando j 0 =0j 1 =1 si ottin p 0 =6p 0 = 9, succssivamnt fissando j 0 =1j 1 =0,sihap 0 =1p 0 = 4, mntr pr j 0 =1j 1 =1sihap 0 =7p 0 = 10. Infin, pr j 0 =j 1 =0sgup 0 =p 0 =5prj 0 = j 1 = 1 si ha l ultima coppia di componnti ovvro p 0 =8p 0 = 11.

6 378 S assumiamo ch sia divisibil pr, scglindo r 1 = / r =, l sprssion (5.6) si scriv com: / 1 1 w j 0k 1 f(j 1 + j 0 )w j 1k 0 w j 0k 0 (5.33) j 0 =0 / j 1 =0 / DFT di lunghzzar 1 =/ DFT di lunghzza / lo schma appna dscritto porta alla dcomposizion dl vttor f in vttori di lunghzza /. Dalla (5.33) si ossrva, in particolar, ch fissato j 0 = 0 nlla sommatoria strna, l algoritmo di Cooly Tuky porta alla dcomposizion dl vttor f in una part contnnt l componnti con indic j 1,conj 1 =0,...,/ quindi l componnti con indic pari, in un altra part, pr j 0 = 1, contnnt l componnti con indic dispari 0. Siano quindi {f j },...,/ {f j+1 },...,/ 1 i du vttori di lunghzza / costruiti a partir dal vttor di componnti {f j },..., 1 contnnti, rispttivamnt, il primo l componnti di f corrispondnti a valori pari dll indic j, il scondo l componnti corrispondnti a valori dispari dll indic j. Esmpio Considriamo il calcolo dlla DFT di un vttor di lunghzza =16= 4. DFT[f] k := Fissato k, conk =0,..., 1siha: 15 f(j)w jk = 16 = 15 7 f(j)w jk 7 f(j)w jk 8 + w k f(j)w jk 16 k =0,...,15 (5.34) f(j +1)w (j+1)k 7 f(j +1)w jk 8 16 = Ossrviamo ch, sfruttando la priodicità dll sponnzial complsso coinvolto, ovvro di trmini ω jk 8 ω8 k, basta calcolar l componnti di F (k) prk =0,...,7, prché l altr 8 si possono ricavar dall prim 8 Ad smpio, ω j9 8 = ω j(8+1) 8 = ω j 8 8 ω j 1 8 = ω j 1 8 (ω8 r = ωrmod8 8 ). 0 Qusta particolar dcomposizion fu scoprta già nl 194 da Danilson Lanczos [5].

7 Capitolo 5. La Trasformata discrta di Fourir l algoritmo FFT 379 quindi ci si riconduc al calcolo dlla componnt con indic k = 1. Siano, allora, F E (k) = F O (k) = 7 f(j)w jk 8, k =0,...,7 7 f(j +1)w jk 8, k =0,...,7. L algoritmo di Cooly Tuky, al primo passo, porta alla dcomposizion dl vttor F com: Poiché sgu Siano Dalla (5.4) si ha: 1 f(j)ω jk / 1 F E (k)+ω jk 8 F O (k), k =0,...,7 = / 1 ω (j+1)k f(j)ω jk F E (k) = F O (k) = / + w k / 1 / 1 f(j)ω jk = ω jk ω k / 1 / 1 + f(j +1)ω (j+1)k. (5.35) = ω jk / ω k f(j +1)ω jk /, k =0,..., 1 f(j)ω jk /, k =0,...,/ 1 f(j +1)ω jk /, k =0,...,/ 1 l du DFT di lunghzza / ottnut a partir dai vttori {f j },...,/ 1 {f j+1 },...,/ 1. La (5.35) divnta quindi: F E (k)+ω k F O (k) k =0,...,/ 1 (5.36) sfruttando la priodicità dll sponnzial complsso ω /, l altr / componntisi ricavano a partir dall prim /. S è divisibil pr,ovvror 1 = / è divisibil pr, applicando la stssa ida all du DFT, {F E (k)} k=0,...,/ 1 {F O (k)} k=,...,/ 1, di lunghzza /, l algoritmo

8 380 di Cooly Tuky dcompon ciascuna DFT in DFT di lunghzza /4, ottnut utilizzando l componnti con indic pari qull con indic dispari di ciascuno di du vttori {f j },...,/ 1 {f j+1 },...,/ 1. Qusto comporta ch il calcolo dl vttor F al primo passo vin ricondotto a qullo di 4 DFT di lunghzza /4. Esmpio (Continua l smpio 5.14). Considriamo i du vttori {F E (k)} k=0,...,7 {F O (k)} k=,...,7 ottnut nll smpio Ciascuna DFT di lunghzza 8 si puó dcomporr in DFT di lunghzza 4. Ad smpio: Siano F E (k) = 7 f(j)w jk = 8 = 3 f(4j)w jk 3 f(4j)w jk 4 + w k F EE (k) = F EO (k) = f(4j +1)w (j+1)k 3 f(4j +1)w jk 3 f(4j)w jk 4 3 f(4j +1)w jk 4 8 = l DFT di lunghzza 4 costruit utilizzando i vttori {f 4j },...,3 {f 4j+1 },...,3. Al scondo passo, l algoritmo di Cooly Tuky porta alla dcomposizion di {F E (k)} k=0,...,/ 1 com: F E (k) =F EE (k)+w8 k F EO (k) k =0,...,3 quindi il calcolo dl vttor F vin ricondotto al calcolo di 4 DFT di lunghzza 4. In gnral, assumndo ch sia sprimibil com una potnza di, ad smpio = m, al passo k il calcolo dlla DFT di lunghzza vin ricondotto a qullo di k DFT di lunghzza m k, ovvro il vttor f vin dcomposto in k vttori di lunghzza m k.dopom 1 passi, l algoritmo di Cooly Tuky dcompon il vttor f in m 1 coppi di componnti, laddov ciascuna coppia dfinisc una DFT di lunghzza. L algoritmo così ottnuto è la variant FFT radix- di Cooly Tuky. Esmpio (Continua l smpio 5.15). Riscrivndo ciascuna DFT di lunghzza 4 (ottnuta nll smpio 5.15) com somma di DFT di lunghzza, si ha: F EE (k) = 3 f(j)w jk 4 = 1 f(8j)w jk f(8j +1)w (j+1)k 4 =

9 Capitolo 5. La Trasformata discrta di Fourir l algoritmo FFT 381 Siano = 1 f(8j)w jk + w4 k F EEE (k) = F EEO (k) = 1 f(8j +1)w jk 1 f(8j)w jk 1 f(8j +1)w jk l DFT di lunghzza ottnut condidrando rispttivamnt l componnti (f 0,f 8 )(f 1,f 9 ). In conclusion, pr =16= 4, dopo 3 passi l algoritmo di Cooly Tuky porta alla dcomposizion sgunt: F k = Fk E + F k O = =(Fk EEE =(Fk EE + Fk EO )+(Fk OE + Fk OO )= + F EEO )+(F EOE + F EOO )+(F OEE + F OEO )+(F OOE + F OOO k k k k k k k ) laddov la prima somma coinvolg DFT di lunghzza 8, la sconda somma coinvolg 4 DFT di lunghzza 4 l ultima 8 DFT di lunghzza. Qusto è lo schma dll algoritmo FFT radix-, introdotto da Cooly Tuky. Si nota la natura ricorsiva dll algoritmo di Cooly Tuky. L ida di bas dll algoritmo di Cooly Tuky è dcomporr riptutamnt il vttor f sparando l componnti con indic pari da qull con indic dispari finché si arriva a m 1 coppi di componnti. Dopo qusta prima fas di dcomposizioni succssiv si passa alla fas di calcolo ffttivo: partndo dalla DFT più piccola, ovvro qulla di lunghzza si calcolano DFT di lunghzza 4 combinando DFT di lunghzza, poi, combinando DFT di lunghzza 4, si calcolano DFT di lunghzza 8 così prosgundo fino a ottnr 1 DFT di lunghzza. Qusta vrsion dll algoritmo prvd da un punto di vista implmntativo una fas di riordinamnto inizial una sconda fas di calcolo (oprazioni buttrfly) sul vttor ordinato. In tal modo, qusta vrsion produc il vttor risultant scondo l ordin natural. Qusta stratgia è anch nota in lttratura con l appllativo di dcimazion nl tmpo, prchéè basata sulla dcomposizion dl vttor di input, ch nll analisi di Fourir rapprsnta usualmnt una funzion priodica ch volv nl tmpo. In manira analoga drivano gli algoritmi FFT radix-r. I più comuni sono qulli pr r =3prr =5. Esmpio Considriamo la DFT di un vttor f =(f 0,f 1,f,...f 8 ) di lunghzza =3 3=9: DFT[f] k := F k = 8 f j w jk 9 (5.37)

10 38 Posto: si ha Poiché: k = 3k 1 + k 0 k 1,k 0 = 0, 1, j = 3j 0 + j 1 j 1,j 0 = 0, 1, j 0=0 j 1=0 w (3j0+j1)(3k1+k0) 9 = w 9j0k1 w 9j0k1 9 = 1 la (5.38) si può scrivr com: w 3j1k1 j 1=0 9 f(3j 0 + j 1 )w (3j0+j1)(3k1+k0) 9 (5.38) 9 w 3j0k0 9 w 3j1k1 9 w j1k0 9 f(3j 0 + j 1 )w 3j0k0 j 0=0 9 DFT di lunghzza3 w j1k0 9 3 DFT di lunghzza 3 Il calcolo di una DFT di lunghzza 9 si riconduc al calcolo 3 DFT di lunghzza 3. (5.39) La stratgia dscritta nl prcdnt smpio è alla bas dlla class di algoritmi FFT radix-3 in cui il vttor f ha lunghzza =3 m L algoritmo di Gntlman Sand Una stratgia lggrmnt divrsa da qulla alla bas dllo schma di Cooly Tuky sottnd la vrsion dll algoritmo FFT radix- introdotta da Gntlman Sand. Tal variant si basa sul dcomporr riptutamnt il vttor DFT da calcolar. Si ossrva ch l componnti con indic pari dlla DFT si possono sprimr com una DFT di lunghzza / costruita a partir da un vttor ottnuto combinando l componnti dl vttor di input ch distano di /. Analogo ragionamnto si fa pr l componnti con indic dispari dlla DFT da calcolar. Esmpio Considriamo il calcolo dlla DFT di un vttor di lunghzza =8= 3. Da: 8 f j w jk f j w jk f j w jk 8 (5.40) f j+4 w (j+4)k 8 (5.41)

11 Capitolo 5. La Trasformata discrta di Fourir l algoritmo FFT 383 spariamo l componnti dl vttor F con indic pari da qull con indic dispari, ovvro considriamo i du vttori: (F 0,F,F 4,F 6 ) (F 1,F 3,F 5,F 7 ). Sfruttando la proprità di priodicità dll sponnzial complsso, si ha: F (k) = F (k +1)= 3 [f(j)+f(j +4)]w jk 4,k =0,...,3 3 [f(j) f(j +4)]w j 4 w jk 4,k =0,...,3 Primo passo: L sprssion di F (k) dif (k + 1) suggrisc di costruir i vttori di lunghzza 4: y =(f 0 + f 4,f 1 + f 5,f + f 6,f 3 + f 7 ) z =(f 0 f 4, (f 1 f 5 )w4 1, (f f 6 )w4, (f 3 f 7 )w 3 Pr cui, i du vttori {F (k} k=0,1,,3 {F (k +1)} k=0,1,,3 si ottngono com DFT di lunghzza 4 costruit a partir dai vttori y z: F (k) = 3 [f(j)+f(j +4)]w jk F (k +1)= 4 = 3 y(j)w jk 4 k =0,...,3 3 z(j)w jk 4 k =0,...,3 Pr ciascuno di du vttori {F (k)} k=0,1,,3 {F (k +1)} k=0,1,,3, spariamo il calcolo dll componnti con indic pari da qullo dll componnti con indic dispari. Ad smpio, pr quanto riguarda {F (k)} k=0,1,,3, considriamo (F (0),F(4)) = {F (k)} k=0, (F (),F(6)) = {F (k)} k=1,3 La coppia (F (0),F(4)) si può sprimr com DFT di lunghzza costruita a partir dal vttor di componnti (y 0 + y,y 1 + y 3 ). Cioé: {F (k)} k=0, = {F (k)} k=1,3 = 1 [y(j)+y(j +)]w jk 1 [y(j)+y(j +)]w jk w j 4 Analogamnt, la coppia (F (),F(6)) si puó sprimr com una DFT di lunghzza costruita a partir dal vttor di componnti (y 0 y, (y 1 y 3 )w4 1 ). Scondo passo: qusta analisi suggrisc di costruir i du vttori y =(y 0 + y,y 1 + y 3 ), y =(y 0 y, (y 1 y 3 )ω 1 pr cui il vttor di componnti {F (k)} k=0,1,,3 si puó ottnr calcolando DFT di lunghzza costruit a partir dai vttori y y.cioè: F (k) k=0, = y (j)w jk,f(k +1) k=0, = 4 ) y (j)w jk 4 ).

12 384 Analogo ragionamnto val pr il vttor di componnti {F (k +1)} k=0,1,,3. Sparando l componnti con indic pari da qull con indic dispari, cioè considrando i du sottovttori: (F (1),F(5)) (F (3),F(7)), si trova ch (F (1),F(5)) = {F (k +1)} k=0, = (F (3),F(7)) = {F (k +1)} k=1,3 = Si costruiscono quindi i vttori: 1 [z(j)+z(j +)]w jk 1 [z(j) z(j +)]w jk = z j w jk 1 1 w j 4 = z =(z 0 + z,z 1 + z 3 ), z =(z 0 z,z 1 z 3 ) k =0, z (j)w jk k =1, 3 pr cui ciascuna coppia di componnti si può sprimr com DFT di lunghzza costruita rispttivamnt su z z. Il trzo passo comporta infin il calcolo dll DFT di lunghzza costruit al scondo passo, quindi il calcolo dll quantità: y = y 0 + y 1, yiv = y 0 y 1 Il vttor F = DFT[f] è: y v = y 1 + y y vi = y 1 y z = z 0 + z 1, z iv = z 0 z 1 z v = z 1 + z z vi = z 1 z F =(y,y iv,y v,y vi,z,z iv,z v,z vi )=(F 0,F 4,F,F 6,F 1,F 5,F 3,F 7 ) Com si può ossrvar, il vttor F ha l componnti non ordinat scondo l ordin natural. In fftti, la componnt F 4 si trova al posto dlla componnt F 1 vicvrsa, la componnt F 6 si trova al posto dlla componnt F 3 vicvrsa. L ordinamnto con il qual si prsntano l componnti dl vttor DFT è dtto ordinamnto dl bit invrso (bit rvrsal), prchè sj k sono du indici di tal vttor DFT, allora la componnt di indic j si trova al posto dlla componnt di indic k s j si ottin da k invrtndo l cifr dlla sua rapprsntazion binaria. Applicando la proprità di priodicità dll sponnzial complsso si ha: si ha: 1 f(j)w jk = / 1 f j w jk [f(j)w jk + f(j + /)w( j+/)k ]= / 1 + / 1 / 1 l ultima guaglianza sussist in quanto w / = 1 w jk f(j + /)w (j+/)k [f(j)+( 1) k f(j + /)]w jk/ / = w jk/

13 Capitolo 5. La Trasformata discrta di Fourir l algoritmo FFT 385 Considriamo l componnti con indic pari: F (k) = [f(j)+f(j + /)w jk ], k =0,...,/ 1 / 1 qull con indic dispari F (k +1)= / 1 / [(f(j) f(j + /))w j ]w jk /, k =0,...,/ 1 Introdotti i vttori {y j },...,/ 1 {z j },...,/ 1 di componnti y j = f j + f j+/, z j =(f j f j+/ )w j, j =0,...,/ 1 i du vttori di lunghzza /, {F k } k=0,...,/ {F k+1 } k=0,...,/, si possono riguardar com DFT di lunghzza / costruit rispttivamnt su {y j },...,/ 1 {z j },...,/ 1 : F = DFT[f] =({F k }, {F k+1 }) k=0,...,/ =(DFT[y],DFT[z]) Al primo passo, l algoritmo di Gntlman Sand calcola i du vttori [y] [z]. Considriamo ciascuna DFT spariamo l componnti con indic pari da qull con indic dispari. I du vttori così costruiti, di lunghzza /4, sono sprimibili in trmini di DFT di lunghzza /4: DFT[y] = = /4 1 [f(j)+f(j + /)w jk / 1 (y j + y j+/4 )w jk /4 + /4 1 / ]= / 1 [(y j y j+/4 )ω j y j w jk S considriamo l componnti con indic pari dl vttor DFT[y]: DFT[y](k) = DFT[y](k +1)= /4 1 / = / ]w jk /4 (y j + y j+/4 )ω jk /4 k =0,...,/4 1 (y j y j+/4 )ω j /4 1 / ω jk /4 k =0,...,/4 1 introdotti i vttori di lunghzza /4, {y },...,/4 1 {y },...,/4 1,dicomponnti y j =(y j + y j+/4 ), y j =(y j y j+/4 )w j /,

14 386 sgu ch: {DFT[y]} = {DFT[y ],DFT[y ]}, Analogamnt, pr il vttor DFT[z] contnnt l componnti con indic dispari dlla DFT di f: = DFT[z](k) = [(f j f j+/4 )w j / 1 [(z j + z j+/4 )w j / ]wjk /4 1 /4 + /4 1 / 1 / ]w jk /4 = [(z j z j+/4 )w j 0 / ]w jk z j w jk Introdotti i vttori {z },l...,/4 1 {z },l...,/4 1 di componnti sgu ch z j = z j + z j+/4, z j =(z j z j+/4 )w j DFT[z] ={DFT[z ],DFT[z ]} / /4, k =0,/4 1 Al scondo passo, l algoritmo di Gntlman Sand calcola i vttori y, y, z z il calcolo dlla DFT di lunghzza vin ricondotto a qullo di 4 DFT di lunghzza /4: F = DFT[f] = =(DFT[y],DFT[z]) = /, =(DFT[y ],DFT[y ]), (DFT[z ],DFT[z ) Prosgundo in qusto modo, dopo m = log() passi, l algoritmo di Gntlman Sand costruisc / vttori di lunghzza. Ciascuna coppia è una DFT fornisc una coppia di componnti dlla DFT dl vttor f. A diffrnza dlla variant di Cooly Tuky, si nota ch in qusta stratgia l DFT calcolat in un crto passo sono ottnut utilizzando il vttor costruito al passo prcdnt, pr cui l algoritmo di Gntlman Sand prvd inizialmnt una fas di calcolo, pr un crto numro di passi dipndnt dalla dimnsion dl vttor f, poi, una volta arrivati a calcolar l / DFT di lunghzza, è ncssaria una fas di riordinamnto dl vttor DFT, dal momnto ch tal vttor risulta nll ordin scrambld, ovvro scondo l ordinamnto indotto dal bit rvrsal. Tal ordinamnto è così dtto prchè la componnt di indic j occupa la posizion dlla componnt di indic k vicvrsa, s k si ottin da j invrtndo l cifr dlla rapprsntazion binaria di k. Qusta variant è anch nota in lttratura com dcimazion nll frqunz, prché la dcomposizion vin ffttuata sull componnti dl vttor DFT, nll analisi armonica tal vttor fornisc informazioni sull frqunz contnut nl vttor dato [11].