STATO DI TENSIONE IN SEZIONI MASSICCE. Sforzo normale

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1 STATO DI TENSIONE IN SEZIONI MASSICCE Sforzo normale In caso d sforzo normale trazone o comressone, s assume che nelle sezon della trave suffcentemente lontane da vcolo e dalle forze alcate, essta solo la tensone normale alla sezone e dstrbuta unformemente su d essa. Indcat con: A: area della sezone normale N: sforzo normale La tensone vale: N σ A Indcat con: E: modulo d elastctà longtudnale ( dende dal materale e s msura nella rova d trazone) L 0 : lunghezza della trave non carcata L: lunghezza della trave sotto l carco d trazone N Lo stato d deformazone, coè la lunghezza della trave sotto carco, s determna con le relazon: σ E L - L L 0 0 Il dagramma delle tenson è costante: Stato d tensone n sezon masscce 1

2 Moment d nerza e momento olare Area elementare A r Barcentro G della sezone Per una sezone s defnscono seguent arametr geometrc: Momento d nerza rsetto all asse : Momento d nerza rsetto all asse : Momento d nerza olare rsetto al barcentro della sezone: A A A r Da queste esresson s casce che a artà d area della sezone, ù l area è dstrbuta lontano dagl ass, maggor sono valor de moment d nerza. Il momento d nerza trova tabellato su manual er le sezon ù comun senza necesstà d dover esegure le sommatore. Stato d tensone n sezon masscce

3 Flessone Indcat con: M f : momento flettente : momento d nerza rsettto all asse della sezone : coordnata del unto n cu s calcola la tensone La tensone normale alla sezone e dovuta alla flessone vale: M σ f Questa è l equazone d una retta assante er l orgne er cu l dagramma delle tenson è: ma La tensone è massma agl estrem della sezone e vale: σ ma M f ma Defnto l termne modulo d resstenza a flessone: W f ma La tensone massma s esrme anche con l esressone: σ ma M W f f Il momento d nerza ed l modulo d resstenza a flessone s trovano tabellat su manual er le sezon ù comun. Maggore è l momento d nerza, mnore è la tensone. Sforzo normale e flessone Se n una sezone è ersente sa sforzo normale che flessone, la tensone normale è la somma algebrca d quella d tensone e d quella d flessone. Stato d tensone n sezon masscce 3

4 Taglo z z b T Indcat con: b: una corda, coè unsegmento arallelo all asse e che tagla la sezone n due art : la dstanza dall asse del barcentro d una delle due art n cu la corda b dvde la sezone A :l area d una delle due art n cu la corda b dvde la sezone S : s chama momento statco e vale S = A T : lo sforzo d taglo n drezone dell asse. Sa assume che: la tensone tangenzale z sa uguale a zero. la tensone tangenzale z sa costante lungo una fssata corda b. Sarà successvamente ndcata solo con. La tensone tangenzale ne unt d una fssata corda vale: T τ S b Stato d tensone n sezon masscce 4

5 Rcordamo la dstrbuzone d taglo nelle sezon rettangolare e crcolare ena: ma τ ma 3 T A ma τ ma 4 3 T A Stato d tensone n sezon masscce 5

6 Torsone tensone sezone crcolare e crcolare cava Indcato con: r: la dstanza dal barcentro della sezone al unto n cu s vuol calcolare la tensone. : l momento d nerza olare della sezone. M t : l momento torcente. La tensone è erendcolare al raggo e vale: M τ t r questa è una relazone esatta solo er la sezone crcolare, er le altre è arossmata. Questa è l equazone d una retta assante er l orgne er cu l dagramma delle tenson è: ma La tensone è massma agl estrem della sezone e vale: M τma t r ma Defnto l termne modulo d resstenza a torsone: Wt r ma La tensone tangenzale massma s esrme anche con l esressone: Mt τma Wt Il momento d nerza olare ed l modulo d resstenza a torsone s trovano tabellat su manual er le sezon ù comun. Maggore è l momento d nerza olare, mnore è la tensone. Se n una sezone è resente sa taglo che torsone, la tensone tangenzale è la somma algebrca delle due. Stato d tensone n sezon masscce 6

7 Deformazone a torsone sezone crcolare Per una trave a sezone crcolare costante sollectata a momento torcente costante lungo la sua lunghezza, l'esressone dell'angolo d torsone fra le due sezon d estremtà è: Indcat con M t : l momento torcente costante lungo la lunghezza della trave l: lunghezza della trave m G: modulo d elastctà tangenzale, rcordamo G m 1 E con m = 4 oure m =10/3 : l momento d nerza olare della sezone. Mt l G Torsone tensone sezone ellttca La tensone nterna massma e tangente al contorno della sezone e la sua ntenstà decresce avvcnandos al centro, ma con legge d roorzonaltà dversa er cascun dametro. La teora dell elastctà ha dmostrato che la τ n un unto generco, d coordnate e, vale: ndcat con: M t : l momento torcente. A: area della sezone a: semasse dell'ellsse n drezone b: semasse dell'ellsse n drezone,: coordnate del unto n cu s calcola la tensone M t 4 4 A a b La tensone tangenzale è massma all'estremtà del semasse mnore, coè = 0, = b Stato d tensone n sezon masscce 7

8 Torsone tensone e deformazone nella Sezone rettangolare Nel aragrafo recedente abbamo gà messo n luce motv er cu la τ s annulla n corrsondenza degl sgol; lungo due lat della sezone, nvece, la tensone nterna s mantene arallela a lat stess, come raresentato n FIGURA Lungo le medane la varazone d τ è lneare, mentre lungo le dagonal l ntenstà delle tenson nterne cresce fno a un certo valore er o dmnure fno ad annullars. La τ ma s verfca nel unto d mezzo de lat ù lungh; ndcando con: b, h le dmenson della sezone z, z': un oortun coeffcent tabellat. la tabella 4.1, sotto rortata, è dovuta agl stud effettuat da Sant-Venant. ma M z b h t ma M ' z h b Mt l z' G h b t 3 Stato d tensone n sezon masscce 8

9 Torsone tensone sezon qualsas, nternamente cave e d ccolo sessore (sezon tubolar) Per le trav d sezone qualsas, nternamente cava e d ccolo sessore, s uò rcorrere ad una trattazone suffcentemente arossmata; s rleva nfatt che la τ è dretta tangenzalmente al contorno sa dal lato nterno sa da quello esterno; noltre la tensone nterna uò rteners costante ne var unt dello sessore, er l suo ccolo valore. S dmostra nfne che l rodotto della tensone nterna er l relatvo sessore è costante n tutt unt della sezone: τ s = cost. relazone che semlfca notevolmente l rocedmento d calcolo. Indcat con: M t : l momento torcente. s: sessore della arete del tubo : area racchusa dalla lnea meda della sezone, ossamo anche assumere l'area geometrca racchusa dal contorno della sezone. M t s Stato d tensone n sezon masscce 9

10 Instabltà al carco d unta Vene ndcato con raorto d snellezza o semlcemente snellezza: dove: L 0 è la lunghezza lbera d'nflessone ed ndca la msura del segmento d trave che s ncurva lberamente e ertanto dende dalla tologa de vncol ( tologa ndcata tramte un coeffcente β ), nfatt, ndcando con l la lunghezza dell'elemento e β * l = L 0 : o o o o L 0 = l er una trave vncolata con cernere agl estrem L 0 = l er una trave vncolata con un solo ncastro erfetto (mensola) L 0 = 1/ l er una trave vncolata con ncastr erfett agl estrem L 0 = /3 l er una trave vncolata con un ncastro erfetto e una cernera ρ mn = I mn /A è l raggo d'nerza mnmo della sezone trasversale, dove: I mn è l momento d'nerza mnmo della sezone trasversale A è l'area della sezone trasversale Stato d tensone n sezon masscce 10

11 Nelle strutture metallche la snellezza non deve suerare l valore d 00 er le membrature rncal e 50 er quelle secondare. In resenza d azon dnamche rlevant, suddett valor devono essere lmtat rsettvamente a 150 e 00. Nelle strutture n calcestruzzo armato, vengono consderat snell lastr a sezone costante er qual la snellezza massma sa maggore d 35. Il valore lmte della snellezza al d sotto della quale l materale della trave cede er comressone senza che s abba l'nstabltà elastca è: ndcato con : E: modulo d elastctà normale del materale : tensone lmte d roorzonaltà del materale lm E er acca da costruzone λ lm = ; er la ghsa λ lm = 70 80; er l legno λ lm = 100; Il carco crtco oltre l quale l'asta comressa va n nstabltà elastca è: Crtero d resstenza d Von Mses In una sezone d trave d De St. Venant d z 3 z z n caso d z =0 rsulta d 3 da cu ammssble 0,58 ammssble Stato d tensone n sezon masscce 11