Lezione. Prof. Pier Paolo Rossi Università degli Studi di Catania

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1 Lezone PONTI E GRANDI STRUT TURE Prof. Per Paolo Ross Unverstà degl Stud d Catana

2 IL COMPORTAMENTO DEGLI IMPALCATI DA PONTE

3 Modellazone Il modello d anals dovrebbe : Ⱶ Ⱶ Ⱶ Ⱶ Ⱶ Ⱶ Ⱶ Ⱶ rflettere la rsposta strutturale n termn d deformazon, resstenze e stabltà locale e globale. ncludere quanto pù element struttural possble (tela trasversal, rrgdment, appogg ) consderare tutt gl stad d costruzone e cas d carco consderare carch faclmente applcabl consentre l comportamento dnamco e ncludere pù sgnfcatv mod d vbrazone essere faclmente mplementable determnare rsultat che consentono faclmente la verfca d normatva essere supportato da programm d anals n commerco 3

4 Modellazone Il ponte, che è un sstema spazale, può essere rcondotto a : Ⱶ Ⱶ Ⱶ modello monodmensonale modello d calcolo bdmensonale pastra equvalente gratcco d trav modello d calcolo trdmensonale 4

5 Modello monodmensonale 5

6 Modellazone monodmensonale Preg Ⱶ I modell monodmensonal sono supportat da programm commercal d anals strutturale che consderano le fas d costruzone, l nfluenza della temperatura, vscostà e rtro ed eseguono automatcamente le verfche struttural d normatva. Dfett Ⱶ I modell monodmensonal ben s adeguano al progetto per carch vertcal. Tuttava, ess non consderano tutt gl element struttural (ad esempo le trav trasversal, controvent orzzontal). Pertanto, alcune verfche (ad esempo l nstabltà laterale) vanno esegute a parte. Ⱶ I modell monodmensonal non sono accurat per pont curv o sbech. 6

7 Modellazone monodmensonale La soluzone del problema d De S. Venant può essere consderata se esste un pano p, detto pano d sstema, che contene : l asse geometrco della trave uno degl ass prncpal d nerza della sezone retta B gl ent sollectant L p z s x a λ 1 λ a y 7

8 Modellazone monodmensonale Problem : La conservazone della forma può non essere garantta vsto che la sezone è a paret sottl. Alla conservazone della forma tende l progettsta medante l uso d nervature trasversal. La garanza della conservazone della forma consentrebbe d sostture carch dstrbut con le loro rsultant. Gl ent sollectant non sono spesso concentrat n corrspondenza del pano d sstema. 8

9 Modellazone monodmensonale 1. Caso della sezone ndeformable (travers rgd) L unco elemento trascurato nella utlzzazone de rsultat della trave è l eccentrctà che l carco rsultante dstrbuto o le forze rsultant concentrate hanno rspetto al pano del sstema Il carco rsultante Q tot è caratterzzato da : Q tot Q ( ntenstà ) Q 1 Q Q 3 e Qe Q tot ( poszone ) e Problema da rsolvere : Ⱶ eccentrctà del carco y e 9

10 Modellazone monodmensonale. Caso della sezone deformable (travers non rgd) Lo stato d sollectazone e d deformazone del sngolo elemento della sezone non dpende solo dalle caratterstche del carco rsultante ma anche dalle caratterstche (ntenstà e poszone) de sngol carch Q 1 Q Q 3 Problema da rsolvere : e Ⱶ Ⱶ eccentrctà del carco rpartzone trasversale del carco y e 10

11 Modello monodmensonale: comportamento flessonale 11

12 Comportamento flessonale Le caratterstche della sollectazone M e V provocano tenson normal e tangenzal : M y I V b0 S ( formula d Jourawsky ) I 1

13 Comportamento flessonale Lo spostamento vertcale è ndpendente dalla coordnata x v z, x v z Lo spostamento assale nasce per effetto della rotazone flessonale ed è ndpendente dalla coordnata x : w( y, z) v' y B L z s a λ 1 λ a y x 13

14 Comportamento flessonale Per dervazone delle precedent equazon s ottene : w y v'' y v'' M EI e per successva dervazone v''' V EI B L z s x a λ 1 λ a y 14

15 Deformazon a taglo Nella maggor parte de cas, le deformazon a taglo sono alquanto pccole e pertanto la loro nfluenza può essere trascurata. L nfluenza delle deformazon a taglo deve essere consderata ne pont d pccola luce In tal caso, se s aggunge l contrbuto della deformazone da taglo, s ha : M V v' dz C EI GA dove χ è l fattore d taglo 15

16 Modello monodmensonale: comportamento torsonale 16

17 Equlbro torsonale Ipotes: La sezone trasversale è rgda nel propro pano Oggetto : elemento d travata lungo dz e soggetto a momento torcente. Equazone d equlbro alla rotazone ntorno a z T dt m dz T z z z 0 O y Tz T z dz m T z m dz z x dt z (+) Da questa relazone s ottene. dtz dz m 17

18 Equlbro torsonale dtz dz m Per detto elemento d travata vale : (1) Tz GJ GJ ' dove : G J (1) modulo d elastctà tangenzale rgdtà torsonale prmara angolo untaro d torsone (rotazone relatva tra due sezon a dstanza untara) Dervando questa relazone, s ottene : GJ '' m Questa relazone può rteners valda se la sezone è compatta 18

19 Rpartzone del carco torcente Alla rotazone (z) della sezone corrspondono spostament vertcal, C F valutabl tramte la relazone : 0 1 e 3 v x Q tot m=q tot e La torsone globale della trave è fronteggata attraverso : Ⱶ Ⱶ torsone della sezone flessone delle nervature longtudnal v 0 v 1 v x 0 m=q tot e v 3 19

20 Rpartzone del carco torcente D questa nflessone delle nervature è possble tener conto : 1. trascurando la contnutà rotazonale tra soletta e nervature (teora d Engesser). consderando la contnutà rotazonale tra soletta e nervature (teora della torsone non unforme) 0

21 Metodo d Engesser A fn della rpartzone del carco torcente : Ⱶ la sezone è schematzzata come un nseme d trav longtudnal d eguale lunghezza Ⱶ la rgdtà torsonale prmara è trascurata x 0 x 1 Fredrch Engesser Il carco torcente è fronteggato dall nflessone delle sngole trav Le trav s oppongono allo spostamento con un carco reattvo : v 0 v 1 C m=q tot e v v 3 R EI v EI x '''' '''' R 0 R 1 R R 3 1

22 Metodo d Engesser I carch reattv devono : verfcare l equlbro alla traslazone vertcale (rsultante complessvamente nulla) verfcare l equlbro alla rotazone torsonale ovvero Da queste relazon derva : R EI x '''' '''' 0 R x EI x m m Q e '''' tot EIx EIx

23 Metodo d Engesser Per effetto del carco torcente per untà d lunghezza Q tot e, l carco reattvo sulla generca trave è : (carco torcente) EI x R EI x '''' Q e EIx tot Per effetto del carco centrato Q tot, l carco reattvo sulla generca trave è : (carco centrato) R Q tot EI EI 3

24 Metodo d Engesser Complessvamente, l carco reattvo della generca trave è : EI EI x EI EI x R Q Q e e Q Q tot, tot tot tot tot EI EIx EI EIx dove τ è un coeffcente d rpartzone ovvero dato l carco d ntenstà Q tot ed eccentrctà e, l coeffcente d rpartzone τ fornsce la quota d carco che compete alla generca trave. Per Q tot =1 ed eccentrctà e varable, la relazone precedente fornsce la lnea d nfluenza della reazone della trave -esma 4

25 Metodo d Engesser Se le trav sono tutte ugual, ma con luc qualsas, l carco reattvo della generca trave è : F C 0 1 e 3 x l 1 l l 3 x 1 x R e Q Q tot, tot tot n 1 x essendo : (n+1) l numero d nervature longtudnal 5

26 Metodo d Engesser Se le luc l delle trav sono egual : l x n Inoltre : essendo n n n n n n n l l x 4 n 4n 4 n n l 4 4 l n n n n n n n n n n 1 n n 6 e n 0 0 e n l n n 1 x C F x 6

27 Metodo d Engesser Se le luc l delle trav sono egual : R tot, e qund : Rtot, 1 n 1 x x e Q tot l n 1 n l n n n eq tot Q tot C x 0 e n l x 1 6 n 1 e Q n 1 l n n tot Se =0 o n (trave d estremtà) : R tot, 1 6e 1 n 1 l n Q tot 7

28 Metodo d Engesser R x EI x m '''' Dalle relazon rcavate n precedenza s ha : Q EI '''' e e v EI x tot EIx Data l affntà tra la rotazone torsonale e lo spostamento vertcale, lo spostamento totale della generca trave vale: EI v v x 1 e x v v tot, m m m EIx dove α è un coeffcente d amplfcazone dello spostamento medo. '''' 8

29 Metodo d Engesser Se le luc l delle trav sono egual : C F x v tot, m dove : v EI 1 ex EIx 6 1 n e l n n n 0 essendo x n n 1n l 1 0 e n l x Se la trave è d estremtà : 0 6e 1 l n n x l n 9

30 Metodo d Engesser Poché spostament, caratterstche della sollectazone e tenson sono tra loro correlat da legam d proporzonaltà, lo stato tensonale della sngola nervatura longtudnale potrà essere dedotto da quello conseguente alla flessone retta amplfcato medante l coeffcente α, ovvero : b M y I 0 V I S Tenson normal Tenson tangenzal 30

31 Influenza del numero de camp Se la larghezza del ponte è varable le luc tra le trav sono egual l carco è eccentrco con e=b/ s ha 6e 3n n 1 1 l n n All aumentare de camp, le nervature estreme sono sempre pù sollectate. n B=nl C Q tot 0 n l e = B/ x l l l l l x Non v è alcun vantaggo nel creare mpalcat molto largh. n 31

32 Influenza del numero de camp 1 EI EIx ex Se la larghezza del ponte è fssa le luc tra le trav sono egual l carco è eccentrco con e=b/ ed noltre : n 1EI cost I cost (rgd. fless. globale) (nerza nervatura long.) s nota che l numero de camp ha una scarsa nfluenza sulla rpartzone. La scelta del numero d camp è prncpalmente condzonata dalla progettazone della soletta. B C 0 n l=b/(n+1) e = nl/ n n 1 x x 0 x B B Q tot n x 3

33 torsone prmara: sezon aperte e chuse 33

34 Rgdtà torsonale prmara n sezon aperte La sezone aperta del ponte rsulta scomponble n una sere d rettangol allungat costtut da : Ⱶ Ⱶ soletta d mpalcato nervatura Per cascuna d queste part la rgdtà torsonale prmara s scrve : dove : L GJ 1 G L 3 lato maggore della sezone rettangolare lato mnore della sezone rettangolare coeffcente d forma 3 34

35 Rgdtà torsonale prmara n sezon aperte Il coeffcente Ψ s deduce dalla relazone : np 1 tanh 5 p L n1,3,5 n L Per L/δ.5 è lecto effettuare la seguente approssmazone : L L/ 35

36 Ponte a travata Rgdtà torsonale prmara n sezon aperte Per un mpalcato con n+1 trav ugual s ha : 1 GJ G Bs ( n 1) h b B H s h 0 b 0 b 0 b n 36

37 Tenson da torsone prmara n sezon aperte Lo stato tensonale è quello della sezone rettangolare con valor massm agl estrem de lat mnor dove : T 3 L T alquota d momento torcente prmaro relatvo al sngolo rettangolo, ottenble scomponendo T tot n part proporzonal alla rgdtà delle sngole part secondo la relazone : GJ L T T T 3 tot tot 3 GJ L 37

38 Torsone prmara n sezon chuse Nel caso d sezon chuse, l elevato grado d connessone determna una certa dffcoltà d soluzone. 0 1 b n 0 s 1 G h s B/ B/ x 38

39 Torsone prmara n sezon chuse Una soluzone approssmata può essere determnata assumendo che l ntenstà de fluss (τb 0 ) var con la dstanza x dal pano d smmetra. Pertanto, detto (τb 0 ) l valore reattvo delle nervature estreme s ha : b0 b0 x b b 0 s1 G h b 0 b 0 s x b/ b/ 39

40 Torsone prmara n sezon chuse I fluss nelle solette sono esprmbl n funzone de fluss (τb 0 ), ovvero : n 1 j j 0 b =j s s b x ( analoga drodnamca ) s 1 b/ s b/ = h b h x 6 b 4 b b 6 b b 6 5 b6 b5 b4 40

41 Torsone prmara n sezon chuse I fluss nelle solette sono esprmbl n funzone de fluss (τb 0 ), ovvero : n n s1 s b0 b0 x j j b =j =j b 0 s 1 s G h x B/ B/ 41

42 Torsone prmara n sezon chuse L equlbro tra l momento torcente esterno T e quello nterno mpone che valga la relazone : h T b hx s lh b x n n n 0 j j1 b 0 x 6 Contrbuto nervatura T b x h x B T 0 h b 5 b 6 Contrbuto soletta TS s x h b0 x x h B b

43 Torsone prmara n sezon chuse L equlbro tra l momento torcente esterno T e quello nterno mpone che valga la relazone : h T b hx s lh b x n n n 0 j j1 b 0 Rsolvendo rspetto a (τb 0 ) s ottene: T b T b T 0 bh x x b Questa relazone può ntenders come la formula generalzzata d Bredt, a cu s torna n assenza d nervature ntermede ponendo l coeffcente correttvo z=1. 43

44 Torsone prmara n sezon chuse L angolo untaro d torsone può otteners dall uguaglanza del lavoro esterno con l lavoro nterno Le L T 1 G c b() s ds Dall nverso dell angolo untaro d torsone s rcava la rgdtà torsonale prmara : GJ 4G h b b b 0 1 b x s s 44

45 ntegrazone dell equazone fondamentale della trave soggetta a torsone 45

46 Torsone prmara e secondara Con l metodo d Engesser s è mostrato come è possble fronteggare un carco torcente esterno n assenza d rgdtà torsonale prmara. Se sono consderate entrambe le rgdtà torsonal (prmara e secondara), l equazone fondamentale della trave soggetta a momento torcente dventa : dove : GJ rgdtà torsonale prmara E '''' m E (z) GJ '' (z) = S EI x è la rgdtà torsonale secondara dell mpalcato 46

47 Integrazone dell equazone fondamentale L equazone fondamentale della trave soggetta a torsone E ''''(z) GJ ''(z) m s può anche scrvere : ''''(z) ''(z)= m E essendo GJ E (equazone dfferenzale lneare a coeffcent costant) 47

48 Integrazone dell equazone fondamentale L ntegrale generale dell equazone omogenea assocata è del tpo e hz '''' '' 0 L equazone caratterstca è che ammette le soluzon 4 h h 0 h 0 (doppa radce) h h L ntegrale generale è : C C z C e C e z con C 1 C 4 da determnare n funzone delle condzon a lmt z 48

49 Integrazone dell equazone fondamentale Essendo : snh z e z e z cosh z e z e z l ntegrale generale dell equazone omogenea assocata può anche essere scrtto : dove : C C C ' C C C ' C C z C cosh z C snh z ' '

50 Integrazone dell equazone fondamentale L ntegrale partcolare dell equazone fondamentale della trave soggetta a torsone E ''''(z) GJ ''(z) m è m k E z con k costante da determnars 50

51 Integrazone dell equazone fondamentale Se calcolamo le dervate dell angolo d rotazone torsonale : m '' k E '''' 0 e le sosttuamo nell equazone dfferenzale, s ha : m m k E E e qund 1 k L ntegrale partcolare è. m E z 51

52 Integrazone dell equazone fondamentale In defntva, l ntegrale generale dell equazone dfferenzale è E ''''(z) GJ ''(z) m m C C z C cosh z C snh z z ' ' E 5

53 Integrazone dell equazone fondamentale Per determnare le costant d ntegrazone s pone : 0 ' 0 '' 0 E ''' GJ ' T E ''' T.... rotazone torsonale nulla - vncolo - ngobbamento mpedto ( sz ' ( x, y) 0 ) - sezon d smmetra o vncolo - tenson normal nulle ( E y v '' 0 ) - sezon d estremtà - momento torcente nullo, - sezon d estremtà o d smmetra - momento torcente nullo e =0 53

54 Integrazone dell equazone fondamentale Nel caso d contnutà d pù tronch, s pone nelle sezon d contatto : s ' s '' s d ' d '' d s d contnutà delle rotazon torsonal nelle sezon d contatto contnutà degl spostament assal nelle sezon d contatto eguaglanza delle tenson normal nelle sezon d contatto rotazon torsonal nulle nelle sezon d contatto 54

55 Prncpal rferment Aldo Rathel.. Lguor edtore ISBN X 55

56 FINE 56