COMPORTAMENTO DINAMICO DI ASSI E ALBERI

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1 COMPORTAMENTO DINAMICO DI ASSI E ALBERI VIBRAZIONI FLESSIONALI Costruzone d Macchne 3

2 Generaltà Il problema del progetto d un asse o d un albero non è solo statco Gl ass e gl alber, come sstem elastc, sotto l azone l d forze varabl perodcamente devono essere analzzat dnamcamente Il rscho da evtare è che con ecctazon prossme alle rsonanze le amplfcazon dano orgne a sforz e deformazon non accettabl Costruzone d Macchne 3

3 Ass e alber Gl ass e gl alber, descrtt come element monodmensonal,, mostrano dfferent comportament dnamc: assale, flessonale e torsonale. In realtà essendo sstem elastc contnu dotat d massa, nerza e smorzamento esbscono un unco comportamento dnamco, rappresentable da un sstema d equazon dfferenzal. Tal equazon ntegrate nel domno del tempo permettono d rappresentare l comportamento dnamco. Costruzone d Macchne 3 3

4 Ass e alber E possble dmostrare che sotto certe potes comportament dnamc relatv alla deformazone assale, flessonale e torsonale sono completamente dsaccoppat. Inoltre, n generale, le prme frequenze propre d vbrazone d cascun tpo d comportamento s presentano n camp d frequenze ben dstnt (torsonal basse frequenze, flessonal frequenze frequenze ntermede, assal alte alte frequenze). Cò consente d semplfcare grandemente l problema consderando un numero nferore d varabl ndpendent. Costruzone d Macchne 3 4

5 Modello a g.d.l. Una ulterore semplfcazone s può adottare rspetto a grad d lbertà. Il prmo passo è quello d consderare le propretà del sstema elastco concentrate n element separat. S ottengono così modell a parametr concentrat. Il pù semplce modello a parametr concentrat è l modello a grado d lbertà Costruzone d Macchne 3 5

6 Modello a g.d.l. Tpo d elemento Smorzamento (n % dello sm.crt.) Element n accao % Strutture saldate 4% Strutture bullonate 7% Strutture con el.elastom. 7% Strutture con el.idraulc % Equazone dfferenzale M && x + cx& + kx F (t) Ecctazone snusodale M&&+ x cx& + kx F sen( t) Costruzone d Macchne 3 6 Dvdendo per M e usando le funzon d varable complessa F t &&+ x δ x& + x e k Con le poszon usual δ k M c km c cr km

7 Modello a g.d.l. Integrando la soluzone completa è data dalla sovrapposzone d due ntegral. Il prmo, generale, è F &&+ x δ x& + x F( t) k x g e e t [ ] * t t x e + x e δ t * * * Dove * ( - δ ) / x *, e x * due costant complesse e conugate x p x e t Il prmo termne, a causa del contrb uto esponenzale fuor parentes è rapdamente decrescente nel tempo. A regme predomna qund l contrbuto dell ntegrale partcolare. Sosttuendo qund l ntegrale partcolare nell equazone dfferenzale s ottene x F k + δ Costruzone d Macchne 3 7

8 Costruzone d Macchne 3 Costruzone d Macchne 3 8 Modello a Modello a g.d.l. g.d.l. Se s rappresenta l equazone n forma vettorale e rcordando che le funzon snusodal dervate s sfasano d 9 s ottene E utle ntrodurre la funzone Rsposta complessa n frequenza ) ( + + δ δ δ k F x H Quando l valore d concde con s è n condzon d rsonanza e la parte reale d H è nulla; la parte mmagnara è δ ) ( H L angolo d fase φ è l angolo formato tra parte reale e parte mmagnara ) tan( δ φ

9 Modello a g.d.l. Il modulo della Rsposta n Frequenza ha l espressone δ.5 H( ) + δ 8 δ δ I H() I Angolo d fase π/...5,,5,,5,,5 3, δ.5 /,,5,,5,,5 Le sollectazon agent subscono qund un amplfcazone par a H(). S rconosce qund la percolostà delle condzon d rsonanza. Per calcolare l enttà delle sollectazon agent è necessaro conoscere l amplfcazone e l termne d / ecctazone F Costruzone d Macchne 3 9

10 Modello a g.d.l. Ne sstem rotant la fonte prmara d vbrazon è l eccentrctà delle masse rspetto all asse d rotazone. In tal condzon v è, per effetto centrfugo, una forza perodca par a: F M esen( t) essendo M l enttà delle masse eccentrche ed e l eccentrctà. L equazone dfferenzale s modfca nella seguente equazone: M&&+ x cx& + kx Me sen( t) Per essa vale la trattazone gà svolta essendo n partcolare F me ; pertanto l angolo d fase è ancora espresso dalla, mentre l modulo della rsposta n frequenza è par a: δ tan( φ) H ( ) + δ /H()/ δ.5 δ Costruzone d Macchne δ,,5,,5,,5 3, 3,5 /

11 Modello a g.d.l. Altr tp d sorgent d vbrazone sono carch estern. Sa nel caso d motor a combustone nterna sa d motor elettrc, s creano, anche a funzonamento a gr costant, de carch varabl. L ntenstà d tal carch è d determnazone assa complessa. Pù semplce è la determnazone delle pulsazon delle forzant perodche esterne, n funzone dell elemento motore o operatore e degl organ calettat. Elemento Forzante Motore elettrco k R k,,3 Ruota dentata ( Z numero d dent) kz R k,,3 Elca (Z numero d pale) kz R k, Alternator ( el pulsazone elettrca) el M. C. I. (Z numero clndr) k R Z k,,3,4 Spesso l anals dnamca d un sstema s lmta alla determnazone del rscho d rsonanze. Costruzone d Macchne 3

12 Modello a g.d.l. Spesso sstem ad un grado d lbertà non rescono a rappresentare correttamente l comportamento dell elemento elemento da studare. Dvers possono essere motv d questa nadeguatezza: La presenza d pù masse concentrate La rgdezza de vncol Ecc. Costruzone d Macchne 3

13 Modello a g.d.l. Per cuscnett la rgdezza s calcolar Cuscnett volvent k b d+cb d dametro nomnale b 3 ; c 65 cuscnett a sfere b ; c cuscnett a rull clndrc b 6 ; c cuscnett a rull conc Cuscnett a strscamento k.. F v /ψ Ψ goco radale F v Reazone vncolare SISTEMI COMPLESSI Sstema a n grad d lbertà Costruzone d Macchne 3 3

14 Vbrazon flessonal d ass e alber l anals dnamca de sstem meccanc ha come prmo passo l calcolo de mod propr d vbrare. I fenomen vbrator, relatv a sstem con una dmensone prevalente, vengono soltamente suddvs tra vbrazon flessonal e torsonal. Tale schematzzazone è lecta per gl alber a sezone crcolare per qual le deformazon flessonal e torsonal sono completamente dsaccoppate. Ne cas d sezon non smmetrche tale propretà non è pù verfcata e pertanto è necessaro affrontare l caso pù complesso d vbrazon flesso-torsonal torsonal. Costruzone d Macchne 3 4

15 Vbrazon flessonal Supponamo d avere una trave su cu sono present n masse m La frecca n corrspondenza della massa - esma è par a y m c α y +... αmc y mnc αn yn Utlzzando le n espresson s può scrvere ( αm c ) y + mc α y mnc α n yn... m c α y +...( αmc ) y mnc αn yn... m c α ny +... mα c y ( α nnmnc ) yn Costruzone d Macchne 3 5

16 Vbrazon flessonal Nello scrvere l sstema s è assunto che tutta la massa del sstema sa concentrata negl n punt n cu sono poszonate le masse m e che l elastctl elastctà del sstema sa rappresentata da fattor d nfluenza d α j che esprmono l valore del frecca nel punto quando nel punto j è concentrata una forza untara. Per la nota propretà d recproctà (Teorema d Maxwell) è ovvamente α j α j Il sstema scrtto forma un sstema d equazon algebrche omogenee che ammette soluzone non banale se è rspettata la condzone che l determnante de coeffcent è nullo Costruzone d Macchne 3 6

17 Vbrazon flessonal ( α m n α m α m c c c )... α m...( α m... α m n c c c...( α... α nn m n n n m )... α m n c n c c ) Tale condzone consente d scrvere un equazone d grado n nell ncognta c che, scartate le soluzon negatve che non hanno senso fsco, permette d calcolare veloctà crtche flessonal del sstema. L equazone scrtta è detta equazone secolare o delle frequenze e l metodo ora descrtto è denomnato metodo de fattor d nfluenza.. La sua applcazone è legata alla conoscenza de valor de fattor d nfluenza. Costruzone d Macchne 3 7

18 Vbrazon flessonal Schema d trave per l calcolo de fattor d nfluenza j a b α j a b 6EI l a a j + a b j a a 3 j b a j b j Costruzone d Macchne 3 8

19 Vbrazon flessonal Il sstema d equazon scrtte rsolve completamente l problema qualora le masse concentrate m non sano dotate d momento d nerza. Qualora esse sano nvece caratterzzate da un momento d nerza d propro, sano coè rappresentatve d sold a forma d clndro o cono, nasce un effetto agguntvo perché l asse d rotazone effettvo, concdente con la tangente alla deformata nel punto d poszonamento, n generale non concde con la normale al pano medo de dsch. Tale effetto è detto groscopco. Costruzone d Macchne 3 9

20 Vbrazon flessonal Il metodo esposto conduce a determnare con esattezza tutte le pulsazon propre d un sstema a n masse concentrate. Esstono molt metod approssmat che hanno sa un nteresse applcatvo sa storco. Un metodo d notevole nteresse applcatvo è quello detto d Stodola dal nome d ch lo propose per prmo ne prm decenn del secolo scorso. Tale metodo è fondato sull uso uso d una procedura d calcolo teratvo faclmente automatzzable. Costruzone d Macchne 3

21 Vbrazon flessonal ) S assume una deformata compatble con vncol [y[ (k) e φ (k)] ) S fssa una veloctà angolare 3) S calcola la deformata della trave F m y ( carcando l albero l con carch: M I φ ( 4) S esegue l confronto tra la deformata assunta (k) e quella ottenuta (k+). Se le due deformate sono affn coè è sempre: y ( k) costante y ( k + ) k) Costruzone d Macchne 3 k)

22 Vbrazon flessonal la veloctà crtca cercata è par: k k + k yk+ Se nvece la condzone d affntà geometrca non è rspettata s deve cambare forma alla deformata nzale (passo ) per esempo assumendo la deformata rcavata al passo 3. Assumendo un opportuno errore ammssble per l crtero d affntà,, s può prosegure l calcolo teratvamente fno al rspetto della condzone assunta come accettable. y Costruzone d Macchne 3

23 Vbrazon flessonal A tale punto l valore d veloctà crtca cercato può essere calcolato con una qualsas delle relazon scrtte oppure eseguendo la meda tra tutt valor y (k)/y (k+) e calcolando la veloctà crtca: k + k n n y ( k) y ( k + ) Costruzone d Macchne 3 3

24 Vbrazon flessonal Per la determnazone della prma veloctà crtca è possble fare rcorso ad un metodo, approssmato per dfetto, detto d Dunkerlay e d applcazone partcolarmente agevole. L equazone L secolare, determnata svluppando l metodo de fattor d nfluenza, ha la caratterstca che defnto λ /, l coeffcente del termne λ n è par ad e quello del termne λ n- è par a Σ α m. Costruzone d Macchne 3 4

25 Vbrazon flessonal Utlzzando la propretà delle equazon n n algebrche per la quale λ α m È possble defnre un metodo d calcolo approssmato assa celere. Infatt vsto l sgnfcato de fattor d nfluenza è possble scrvere per cascun termne della somma a secondo membro che α m * Costruzone d Macchne 3 5

26 Vbrazon flessonal avendo ndcato con * la veloctà crtca che l albero l avrebbe se su d esso fosse presente la sola massa m. Consderando po che le veloctà crtche d ordne superore sono rapdamente crescent è possble rtenere: n λ Costruzone d Macchne 3 6

27 Vbrazon flessonal λ In conclusone * In tal modo è possble determnare assa rapdamente la veloctà crtca fondamentale. È da notare che anche per sstem con poch volan l metodo fornsce valor che dfferscono d poch percento da quell esatt, con uno sforzo d calcolo del tutto modesto. Il valore calcolato è approssmato per dfetto n Costruzone d Macchne 3 7

28 Vbrazon flessonal Un altro metodo partcolarmente semplce da applcare è l seguente, detto d Raylegh- Rtz: In assenza d fenomen dsspatv, durante un fenomeno oscllatoro E E el + el,max E cn costante E cn,max Costruzone d Macchne 3 8

29 Vbrazon flessonal D altra parte s può scrvere Che dmostra che per calcolare la pulsazone propra s può usare la deformazone statca. Qund l espressone l dell energa energa per un sstema d n masse concentrate Ecn D conseguenza g g n n P y P y K m E el gk gm n gk P n P y g y st P y Costruzone d Macchne 3 9

30 Vbrazon flessonal Anche questo metodo fornsce valor approssmat per eccesso. Se l sstema ha una dstrbuzone d masse contnua, è suffcente sostture all operazone d sommatora quella d ntegrazone. L uso della deformata statca accelera anche l calcolo della pulsazone fondamentale medante l metodo d Stodola. Costruzone d Macchne 3 3