Elementi di meccanica dei fluidi

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1 IMPIANTI E SISTEMI AEROSPAZIALI Dsense del corso, versone 0 Catolo 3 Element d meccanca de flud 3.

2 IMPIANTI E SISTEMI AEROSPAZIALI Dsense del corso, versone 0 3. Introduzone In molt mant l collegamento fra var comonent è costtuto da una tubazone n grado d contenere un fludo. Lo scoo del fludo uò essere quello del trasorto d una qualsas delle grandezze d stato che lo caratterzzano; la fnaltà dell manto uò qund essere quella del trasorto d una massa (collegata qund alla denstà) come ad esemo nell manto combustble o nell manto d ventlazone, del trasorto d una forza (collegata qund alla ressone) come ad esemo nell manto oleodnamco, del trasorto d calore (collegato qund alla temeratura) come ad esemo nell manto antghacco. Le legg che reggono l funzonamento dell manto sono le stesse ndendentemente dalle sue fnaltà; otranno al massmo assumere maggore o mnore mortanza, e qund essere n ratca trascurabl, alcun termn. Verranno n seguto rchamate le rncal caratterstche fsche e le legg fondamental er l calcolo del flusso nterno utl er l rogetto e la verfca degl mant a fludo con artcolare rfermento a flud allo stato lqudo. 3. Caratterstche rncal de flud I flud n genere sono caratterzzat da un certo numero d roretà fsche d cu qu s elencano le ù rlevant, con artcolare rguardo er lqud, ndcando le untà d msura utlzzate secondo l sstema metrco nternazonale ed nella ratca. 3.. Denstà La denstà (o massa volumca) è la massa dell'untà d volume d una determnata sostanza, dende dalla ressone e dalla temeratura, ha dmenson [ML -3 ] e vene esressa con le seguent untà d msura: sstema metrco nternazonale kg/m 3 sstema tecnco kg f s /m 4 sstema anglosassone lb f s /ft 4 Nel caso de gas la dendenza della denstà da temeratura e ressone è esressa dalla equazone d stato ρ = valda er cam d temeratura e ressone utlzzat negl RT mant; er lqud non è ossble stablre una legge così semlce, ma s rcorre ad arossmazon lnear come trattato nel aragrafo Peso secfco Il eso secfco è l eso dell'untà d volume. Ha dmenson [FL -3 ] o, ù roramente, [ML - T - ]. E' legato alla denstà dalla relazone γ = ρg, dove g è l'accelerazone d gravtà. 3.

3 IMPIANTI E SISTEMI AEROSPAZIALI Dsense del corso, versone 0 Anche esso è qund dendente da ressone e temeratura. Il eso secfco è esresso con le seguent msura: sstema metrco nternazonale N/m 3 sstema tecnco kg f /m 3 sstema anglosassone lb f /ft Pressone La ressone è data dal raorto fra una forza e l'area su cu questa agsce. Dmensonalmente è qund [FL - ], le untà d msura utlzzate sono vare: sstema metrco nternazonale Pa=N/m sstema tecnco kg f /cm sstema tecnco anglosassone s = lb f /n Il Pascal è un'untà d msura ccola er cu vengono ù usat l kpa o l MPa. Sono ancora molto n uso vecche untà, comrese quelle che msurano la ressone come altezza equvalente d una colonna d acqua o mercuro: atm 035 Pa at 9806 Pa kg/cm bar Pa atm kg/m 9.8 Pa s 6890 Pa mmhg 33.3 Pa mh O Pa atm, at, bar, 760 mmhg, 0 mh O corrsondono all ncrca alla ressone atmosferca alla quota zero n condzon standard. Rcordamo che quando s arla d msura d ressone molte volte s trascura d recsare se s tratta d una msura d ressone assoluta o relatva; n moltssm cas questo è charo dal contesto o è nessenzale; occorre comunque rcordare che la msura uò essere eseguta n entramb mod e sesso gl strument msurano la ressone relatva rsetto a quella atmosferca nel luogo d msura. Se la msura è utlzzata er valutare dfferenze d resson fra due unt dvers o le sollectazon ndotte dalla ressone, l una o l altra msura ortano agl stess rsultat, dato che conta solo la dfferenza fra le due resson; esstono erò fenomen legat alla ressone assoluta: uno d quest è l fatto che la ressone assoluta non uò dventare negatv. In tale caso s avrebbe, nfatt, l assaggo da uno stato d comressone ad uno d trazone, stato d sforzo al quale flud non ossono resstere; n artcolare er lqud esste un valore d ressone mnmo al dsotto del quale l fludo assa allo stato gassoso. Il valore d ressone al quale questo fenomeno avvene è la tensone d vaore ed è n genere fortemente nfluenzato dalla temeratura. 3.3

4 IMPIANTI E SISTEMI AEROSPAZIALI Dsense del corso, versone Vscostà La vscostà è la caactà d un fludo a resstere a forze tangenzal. Per far scorrere l uno rsetto all altro due an arallel searat da un fludo, è necessara una forza F roorzonale alla suerfce d contatto A, alla veloctà relatva v ed nversamente roorzonale alla dstanza h delle due suerfc: da cu: F Av h = μ μ = Fh Av Le dmenson della vscostà sono qund [FL - T]. Le untà d msura utlzzate er la vscostà sono le seguent: sstema metrco nternazonale Ns/m o Pa s sstema tecnco kg f s/m sstema anglosassone lb f s/m ma n ratca vengono semre usat l ose P o l centose cp, essendo: P = dyne s/cm = 0. Pa s. VISCOSITA' CINEMATICA [cst] E sesso usata anche la vscostà cnematca, data dal raorto fra la vscostà e la μ denstà: ν = ρ ed avente le dmenson d lunghezza er veloctà [L T - ], è usualmente msurata n Stoker: St = cm /s o ù comunemente n centstokes: TEMPERATURA [ C] Fg Vscostà n funzone della temeratura (lqudo a base etrolfera) lqudo a base etrolfera. cst = 0-6 m /s La vscostà dende fortemente dalla temeratura, come evdente nel dagramma d fg.3. relatvo ad un tco 3.4

5 IMPIANTI E SISTEMI AEROSPAZIALI Dsense del corso, versone Tensone d vaore La tensone d vaore è la grandezza ù sgnfcatva er descrvere la volatltà d un lqudo. Un fludo allo stato lqudo è caratterzzato dall'avere un volume roro; se l fludo vene osto n un recente d volume maggore del volume del lqudo, nel recente l fludo s trova arzalmente allo stato lqudo e arzalmente allo stato gassoso. La ressone alla quale vene a trovars lo stato gassoso è detta tensone d vaore e dende dalla temeratura (fg. 3.); er esemo la tensone d vaore dell acqua a 00 C è notoramente d atm. La tensone d vaore è un arametro fondamentale er l'equlbro fra le due fas del fludo ed è un ndce della tendenza del lqudo ad evaorare, è qund l arametro fondamentale er fenomen d cavtazone. Una grandezza correlata alla tensone d vaore è l unto d ebollzone, la temeratura coè alla quale l lqudo tende a assare allo stato gassoso, questa temeratura è funzone della ressone. TENSIONE DI VAPORE [Pa] TEMPERATURA [ C] Fg Tensone d vaore n funzone della temeratura (lqudo a base etrolfera) 3..6 Infammabltà L nfammabltà è una caratterstca molto mortante er la scurezza dell'manto e del velvolo stesso, uò essere l crtero d scelta determnante er l fludo da megare n un determnato manto. L nfammabltà vene caratterzzata attraverso tre temerature caratterstche valutate n condzon refssate:. unto d nfammabltà: temeratura mnma alla quale l lqudo, vaorzzato n modo defnto, crea una mscela caace n resenza d una famma d creare una vamata;. unto d famma: temeratura mnma alla quale s genera vaore suffcente a mantenere la combustone che deve comunque essere nnescata; 3. unto d autognzone: temeratura alla quale s crea una famma sontaneamente n resenza d ara senza che debba essere nnescata. 3.5

6 IMPIANTI E SISTEMI AEROSPAZIALI Dsense del corso, versone Comrmbltà I flud megat negl mant draulc sono lqud e qund caratterzzat dall'avere un volume roro; n realtà sotto effetto della ressone l fludo tende a comrmers e a rdurre l roro volume; una msura d questo effetto è data dal modulo d comrmbltà defnto come raorto fra la varazone ercentuale d volume e la varazone d ressone che la ha rodotta, come meglo descrtto n seguto (ar 3.3) Resstenza all ara L ara uò essere resente n un lqudo sotto dverse forme: dscolta, dsersa n bollcne ben dstnte e n schuma, ossa bolle agglomerate n suerfce. Gl ultm due cas sono da evtare er l corretto funzonamento dell manto, n quanto vengono radcalmente modfcate alcune caratterstche fsche del lqudo (n artcolare denstà e comrmbltà) Stabltà La stabltà chmca è la tendenza a mantenere nvarate le rncal caratterstche. S arla n genere d: stabltà all ossdazone, ossa alla reazone con l ossgeno; stabltà termca, ossa alla decomoszone rodotta dalla temeratura; stabltà all drols, ossa alla reazone con l acqua Corrosone Indca l aggressvtà del fludo su materal usat negl mant. Può essere d due t: corrosone chmca, n genere ossdazone o attacco acdo; corrosone elettrochmca, tcamente quella galvanca, che ntervene nel contatto d due metall bagnat da un elettrolto. 3.6

7 IMPIANTI E SISTEMI AEROSPAZIALI Dsense del corso, versone Equazone d stato e modulo d comrmbltà Le grandezze fondamental che defnscono lo stato d un fludo sono, come noto: ressone [FL - ]=[MLT - ] denstà ρ [ML -3 ] temeratura T [ ] Le grandezze d stato non sono ndendent, ma legate dall equazone d stato che nel caso de gas erfett assume la nota forma: = Rρ T questa relazone è valda er gas erfett, n un ben recso camo d resson e temerature; l coeffcente d roorzonaltà R ha un valore dendente dalla comoszone del gas ed n artcolare dal eso molecolare degl element che lo comongono. Per gas esstono anche formulazon dell equazone d stato ù comlesse valde n condzon ù ame. Per lqud non è nvece ossble determnare un equazone d stato così semlce che abba un suffcente camo d valdtà; s rcorre qund ad una lnearzzazone che orta ad un equazone d stato valda solo nell ntorno d un unto noto. Tale equazone, esressa ù comunemente n funzone del volume secfco, o drettamente d volum, se c s rfersce ad una determnata massa, ha la forma: 500 ΔV V = Δ+ α ΔT β Coeffcente d comrmbltà [MPa] Pressone [MPa] Fg Andamento del modulo d comrmbltà con la ressone La arte dell equazone d stato che fornsce l legame ressonedenstà (sa ure questo esresso n termn d volume), a temeratura costante, dventa così n termn fnt: ΔV Δ = β V o n termn dfferenzal : d dv V = β 3.7

8 IMPIANTI E SISTEMI AEROSPAZIALI Dsense del corso, versone 0 Il fatto che anche lqud sano comrmbl ha dverse conseguenze tra le qual le ù rlevant consstono nel fatto che è necessaro un certo lavoro d comressone er arrvare ad una determnata ressone e che una trasmssone draulca non è rgda, ma resenta una certa elastctà. È da notare che er molte alcazon ratche la comrmbltà è suffcentemente ccola da rsultare trascurable ne calcol, occorre comunque rcordare che fscamente essa esste ed è strettamente collegata al meccansmo d generazone della ressone. Il modulo d comrmbltà β (bulk modulus nella letteratura anglosassone) è dendente n modo non lneare dalla ressone, secondo un andamento qualtatvamente descrtto n fg.3.3; er l utlzzo della relazone n termn fnt occorrerà qund consderarne un valore medo. β ha le dmenson d una ressone ed l suo valore dende dalla ressone; s uò assumere er var flud utlzzat negl mant oleodnamc, mant oerant alle ù alte resson, dove qund la comrmbltà è n grado d far sentre suo effett, valor dell ordne d grandezza d 500 MPa. Assumendo tale valore come valore medo ndendente dalla ressone ne dervano le varazon d volume del fludo rortate n tab. 3.. Varazon d ressone dell ordne d grandezza de 0 MPa, che sono valor utlzzat Δ ΔV V [MPa] Tab Contrazone del volume n funzone del salto d ressone negl mant oleodnamc d bordo, sono qund n grado d rdurre l volume del fludo gà d una quanttà suerore all.3%; recrocamente varazon d volume dell ordne dell % sono necessare er far nascere varazon d ressone dell ordne de 5 MPa. In effett l equazone d stato deve essere vsta come l analoga dell equazone d Hooke er sold; la ressone defnsce lo stato d sforzo e la varazone d volume corrsonde alle deformazon. Per quanto rguarda l termne legato alla temeratura: ΔV V = α ΔT Il valore d α è crca C - er un olo draulco. Le conseguenze dalla dlatazone rovocate da ncremento della temeratura sono n ncremento d ressone se l lqudo è contenuto n un volume chuso, come ure è ossble una varazone d volume del contentore come ad esemo n un clndro attuatore con sostamento del stone. 3.8

9 IMPIANTI E SISTEMI AEROSPAZIALI Dsense del corso, versone Modulo d comrmbltà effettvo Per quanto rguarda valor del modulo d comrmbltà, occorre fare attenzone che nella ratca s deve tenere conto anche del fatto che n un manto, nonostante tutte le recauzon che s ossono rendere, è nevtablmente contenuto, oltre al lqudo, anche una frazone d gas e che comonent dell manto, er quanto rgd, ossono resentare una certa elastctà e qund er effetto della ressone s deformano aumentando l loro volume. Il comortamento del gas esresso n termn d modulo d comrmbltà è faclmente ottenble dato che questo è rcavato n condzon soterme; er un gas qund: V dv + Vd = 0 d = β = = cost Se un certo volume V tot è occuato arzalmente da lqudo V l e arzalmente da gas V g, s uò rcavare un modulo d comrmbltà effettvo: dv V Vtot = Vl + Vg ΔVtot = ΔVl + ΔVg V V V V V tot l l g g = Δ Δ Δ = + β e Vtot Δ Vtot Vl Vtot Vg Δ V V l g = + β V β V β e tot l tot Dato che normalmente l volume d gas contenuto nel recente è ccolo rsetto a quello del lqudo, l modulo d comrmbltà effettvo uò essere arossmato con: g Vg = + β β V β e l Evdentemente l modulo d comrmbltà dende dalla quanttà d gas contenuto nel volume n esame, quanttà che deve essere normalmente ccola. La tab. 3. rorta valor d varazone d volume che s ottengono con vare ercentual d gas, consderando er l modulo d comrmbltà del gas l valore corrsondente alla ressone meda. S uò notare che l effetto corrsondente alla ressone d 30 MPa con solo lqudo s ha alla ressone d.5 MPa con una ercentuale dell % d gas, d 5 MPa con una ercentuale del % e sotto.5 MPa con ercentual sueror. tot g 3.9

10 IMPIANTI E SISTEMI AEROSPAZIALI Dsense del corso, versone 0 ΔV/V V g /V tot Δ [MPa] Tab Contrazone del volume n dendenza della concentrazone d gas Il dscorso uò erò essere nvertto: er ortare a 30 MPa l lqudo con resenza del % d ara devo rdurne l volume del 50% n ù rsetto al lqudo senza ara, devo qund comere un lavoro maggore del 50%. Effett nello stesso senso s hanno er la dlatazone de comonent che contengono l lqudo, er cu è ossble defnre un modulo d comrmbltà dovuto all ncremento d volume del recente ed avere n defntva: β c tot Vg = + + β β V β β e ΔV = V Δ l tot g c In ratca qund l modulo d comrmbltà è normalmente ù basso d quanto atteso n base a valor del solo lqudo e questo ha conseguenze, er quanto ccole, sulla quanttà d lqudo necessaro a remre un dato volume. Inoltre l legame ressone - volume è da veders come una rgdezza e questa n ratca rsulta ù bassa d quanto d cometenza del solo lqudo. 3.0

11 IMPIANTI E SISTEMI AEROSPAZIALI Dsense del corso, versone Idrostatca: l rnco d Pascal L drostatca è governata dal rnco d Pascal; se s consdera un ccolo elemento d fludo n condzon statche, la ressone che s msura sulle aret d quell elemento s trasmette a tutto l fludo, con eguale ntenstà ed n ogn drezone: = cost S consder, er meglo charre la ortata del rnco d Pascal, l sstema n fg. 3.4, costtuto essenzalmente da due clndr dfferent munt d stone, collegat tra loro da un condotto, l tutto remto d lqudo. F A S A F S All equlbro deve essere: Fg Torcho draulco = F F A A = A F = A F l che sgnfca che un sstema del genere è n grado d trasmettere forze varandone l ntenstà a seconda del raorto tra le aree de ston (torcho draulco). D altro canto, se non c sono erdte d lqudo, l volume sostato da una arte deve rtrovars dall altra: V = A s = V A s = s A = A s 3.

12 IMPIANTI E SISTEMI AEROSPAZIALI Dsense del corso, versone 0 ossa gl sostament vengono anch ess varat dal raorto delle aree. Ovvamente l lavoro s conserva: L = = F s = A s = A s = F s L Con tale dsostvo, che sta alla base della trasmssone draulca, s uò trasmettere lavoro varandone l ntenstà della forza e dello sostamento, ovvero s uò amlfcare la forza a atto d rdurre lo sostamento, e vceversa. 3.6 Equazone d contnutà Sotto questo termne s ntende l equazone che esrme l rnco d conservazone della massa, e del quale gà s è vsta un esressone elementare nel aragrafo recedente. L esressone classca è: er un volume chuso, o t V dm dt ρdv = 0 A ρvda = 0 dove V è l volume consderato, A sono le aree attraverso le qual uò avers entrata o uscta d massa nel volume consderato e v è la comonente d veloctà normale alla suerfce A ostva se entrante. uando l fludo uò essere rtenuto ncomrmble, ρ è costante e uò qund essere elmnato; er le alcazon mantstche non ha quas ma nteresse l effettva dstrbuzone d veloctà nelle sezon d assaggo er cu s consdera una veloctà meda: v = A A vda da l equazone d contnutà s rduce qund a: dv v A dt =, n = 0 o, ntroducendo la ortata volumetrca dalla sngola sezone d assaggo: = v A dv dt n = = 0 dove sono le sngole ortate volumetrche, ostve entrant. 3.

13 IMPIANTI E SISTEMI AEROSPAZIALI Dsense del corso, versone 0 La relazone recedente è utle ad esemo er calcolare l volume d lqudo contenuto n certo stante n un serbatoo. A arte serbato tutt gl altr comonent d mant a fludo sono comletamente remt d lqudo, er tutt comonent dove non s ha varazone d volume s ha qund: n = = Una classe mortante d comonent ne qual s uò avere varazone d volume è costtuta dagl attuator lnear (normalmente dett martnett); n quest l ncremento o decremento d volume è ottenuto a sezone costante e qund s ha un legame d roorzonaltà fra la ortata entrante o uscente e la veloctà d azonamento del martnetto: = Ax& Conservazone dell energa Il rmo rnco della termodnamca mone la conservazone dell energa; ragonament energetc ortano a formulazon estremamente utl er l calcolo del flusso n tubazon. Esso nfatt ossede energa n forma cnetca, dovuta coè alla sua veloctà, ed n forma otenzale, dovuta coè all elevazone del condotto ed alla ressone del fludo. uando s studa l moto del fludo n un condotto s osservano le vare grandezze fsche n sezon d controllo fsse. Vene utle rferrs all energa er untà d massa, o d eso, o d volume del fludo. Vedamo d seguto le vare forme d energa ossedute dal fludo, er untà d volume. Energa cnetca L energa cnetca d qualsas massa m che vagg alla veloctà v è notoramente data da: Ec = mv Nel caso n esame, rferendos all untà d volume ed essendo ρ la denstà, sarà: Ec = ρ v Energa otenzale L energa otenzale, n senso classco, d una artcella d fludo d massa m dende dalla sua altezza z msurata da un ano arbtraro d rfermento. L energa otenzale er untà d volume è qund: E z = ρgz Energa d ressone L energa d ressone uò essere elementarmente defnta nel seguente modo attraverso l lavoro che la ressone uò comere. S consder un recente come quello ndcato nella fg. 3.5, contenente del lqudo. Ad una certa dstanza dal elo lbero s suonga v sa un tubo che s stacca dal contentore, chuso da un stone moble d area A. La forza eserctata dal lqudo su tale stone, dovuta 3.3

14 IMPIANTI E SISTEMI AEROSPAZIALI Dsense del corso, versone 0 alla sua ressone drostatca, è A. Il lavoro comuto dal fludo er sostare l stone d una lunghezza L, dalla sezone alla sezone, sarà A L; l volume d fludo che come tale lavoro è quello che assa er la sezone, ossa A L. Il lavoro er untà d volume rsulta qund: E = L Fg Lavoro d ressone A Energa nterna L energa nterna è legata alla temeratura del fludo ed al calore secfco a volume costante e, er untà d volume, ossamo scrverla come nsegna la termodnamca: E = c T v Conservazone dell energa Il rmo rnco della termodnamca asscura che l energa vene conservata o meglo che le varazon d energa n un sstema sono ugual al lavoro che vene eserctato sul sstema stesso. Per un tubo d flusso le varazon comlessve delle quattro energe sora vste devono qund uguaglare l lavoro ed calor fornt dall esterno: + ρv + ρgz + c vt = + ρv + ρ gz + c vt + L + q dove lavoro e calore sono consderat er untà d volume. La stessa esressa er untà d eso orta alla seguente dove γ è l eso secfco: γ v v + z + + ct v = + z + + ct v + L + q g γ g In tale esressone le dmenson sono quelle d una lunghezza. uesto modo d esrmere la conservazone dell energa è sfruttato sorattutto nell draulca classca dove termn legat a dslvell resent negl acquedott e qund all energa otenzale hanno mortanza redomnante. Consderamo n seguto alcun cas artcolar. 3.4

15 IMPIANTI E SISTEMI AEROSPAZIALI Dsense del corso, versone Moto stazonaro d un fludo ncomrmble Se l fludo è ncomrmble ρ è costante: + ρgz + ρv + ct v = + ρgz + ρ v + ct v + L+ q 3.9 Fludo n quete Se la veloctà è nulla, l fludo n equlbro termco, non s verfca scambo d lavoro e d calore con l esterno, c s rduce a: + ρgz = + ρgz = ρgδz uando le resson sono consstent e le varazon d quota ccole, l termne dell energa otenzale uò essere trascurato rsetto al termne della ressone e c s rduce al rnco d Pascal er flud n quete: = cost 3.0 Perdte d carco dstrbute Rrendamo dall esressone della conservazone d energa er un fludo ncomrmble n moto stazonaro n una tubazone: + ρgz + ρv + ct v = + ρgz + ρ v + ct v + L+ q In assenza d lavoro e calore scambato con l esterno, consderando trascurable l energa otenzale rsetto alle altre grandezze n goco ed otzzando l condotto a sezone costante (l che mlca la conservazone della veloctà), s ottene: cv T = + cvt +, In effett s nota sermentalmente che, se l moto è nella drezone dalla sezone alla, la ressone è nferore alla, questo mlca un aumento della temeratura. Esstono qund fenomen dssatv, er cu arte dell energa d ressone vene trasformata n energa termca e qund consderata ersa dal unto d vsta meccanco, tanto che è usuale chamare questo termne erdta d carco. È convenente esrmere questo trasformando la relazone recedente n: 3.5

16 IMPIANTI E SISTEMI AEROSPAZIALI Dsense del corso, versone 0 ( T T ) = + + cv Δ =, dove l termne c v (T -T ) è stato sosttuto dal generco Δ. Le tubazon sono state amamente studate dagl draulc nel dcannovesmo secolo. L'ntenstà delle erdte d carco rsente molto della resenza d un moto regolare, caratterzzato dall'avere nelle sngole artcelle veloctà sensblmente drette come l'asse del condotto e nel verso del moto, o moto rregolare con comonent d veloctà n tutte le drezon; l rmo to d moto è detto moto lamnare, l secondo moto turbolento. Se s osserva sermentalmente l moto del fludo, s vede che n certe condzon l moto è d to lamnare ed n altre dventa turbolento. La transzone del moto da lamnare a turbolento è domnata dal raorto fra le forze d massa e le forze vscose, esrmble da una grandezza admensonale, l numero d Reynolds, defnto da: ρvd vd Re = = μ ν dove ρ è la denstà, v la veloctà meda, D l dametro draulco, μ la vscostà e ν la vscostà cnematca. La caduta d ressone lungo la lnea è qund dovuta a dsunformtà nella veloctà che rovoca conseguent effett vscos. E stata rconoscuta una relazone tra la caduta d ressone e l energa cnetca: = +α ρ v e s è gunt er va sermentale a determnare er le tubazon la seguente esressone d α: L α = λ D dove λ è un coeffcente d erdte dstrbute, L è la lunghezza della tubazone e D l dametro draulco. La caduta d ressone sull ntera tubazone è qund data dalla legge d Darcy - Wesbach: L = λ ρ v D Il dametro draulco corrsonde al dametro geometrco nel caso d tub a sezone crcolare, er altre forme della sezone è defnto come: S D = 4 C dove S è l area della sezone e C l ermetro; nel caso d sezone crcolare: πd 4 4S = 4 = D C πd Il coeffcente λ dende dal to d moto, ndcato dal numero d Reynolds, e dalla rugostà suerfcale del condotto, defnta come raorto tra lo sessore medo delle rregolartà ed l dametro del tubo. Il dagramma d Moody d fg. 3.6 rorta l andamento del 3.6

17 IMPIANTI E SISTEMI AEROSPAZIALI Dsense del corso, versone 0 coeffcente n funzone del numero d Reynolds della corrente fluda e arametrato sulla rugostà suerfcale. Fg Dagramma d Moody LAMINARE TURBOLENTO Fg Profl d veloctà tc nel moto lamnare e turbolento S rconosce che er Re < 000 l moto è lamnare, la veloctà è nulla al contorno, dretta come l asse della tubazone e massma al centro del tubo (fg. 3.7), con una dstrbuzone arabolca; n questo caso è ossble rcavare anche teorcamente l valore d λ che rsulta: e qund: λ = 64 Re 64 L 64μ L L v v D vd D D v = Δ = ρ = ρ = 3μ Re ρ 3.7

18 IMPIANTI E SISTEMI AEROSPAZIALI Dsense del corso, versone 0 Nel moto lamnare la erdta d carco rsulta dendente, oltre che da arametr geometrc, n modo lneare dalla vscostà e dalla veloctà del fludo. La dendenza dalla vscostà orta ad una dendenza dalla temeratura dato che la vscostà è fortemente nfluenzata da questa. uando l numero d Reynolds suera l valore d 4000, l moto dventa turbolento, la dstrbuzone d veloctà sulla sezone nella drezone normale a questa s aattsce (fg. 3.7), la veloctà massma s avvcna qund alla veloctà meda, ma la veloctà ha comonent anche erendcolar alla tubazone: n questo caso valor d λ sono desumbl da curve sermental o da formule emrche. Per numer d Reynolds molto alt, λ è sensblmente ndendente dal numero d Reynolds e dende solo dalla rugostà. In tale camo d moto la erdta d carco rsulta qund dendente dal quadrato della veloctà ed ndendente dalla vscostà del fludo (questa ntervene comunque nel calcolo del numero d Reynolds!). Per valor del numero d Reynolds fra 000 e 4000 s ha una zona d transzone non ben defnta, dato che l assaggo dallo stato lamnare a quello turbolento è un fenomeno d nstabltà che uò avere qund un certo margne d ndetermnazone. Sono state rooste formule che ermettono d ottenere valor nterolat d λ : 0.36 er tub lsc e 4000 < Re < λ = 0. 5 Re er tub lsc e Re > 4000 = log0 ( Re λ ) 0. 8 λ er la zona d transzone fra tub lsc e ruvd con Re > 4000 : e 9.35 =.4 log0 + λ D Re λ er tub ruvd e flusso turbolento comletamente svluato: e =.4 log 0 λ D dove e/d è la rugostà relatva. Per le tubazon s arla comunemente d erdte dstrbute dato che la caduta d ressone è dstrbuta unformemente su tutta la lnea; la ressone ha qund sulla lnea un andamento lneare: x = λ ρ v D In realtà le erdte d carco così determnate avvengono quando l moto nella tubazone è a regme; se consderamo l nzo del tubo s ha una zona d una certa lunghezza nella quale la veloctà assa da una dstrbuzone nzale nella sezone alla dstrbuzone tca del moto lamnare o turbolento che s ha o nell ntero tubo; er tubazon d una certa lunghezza questo fenomeno non orta a dfferenze sgnfcatve, ma er tubazon corte questo uò non essere ù vero. 3.8

19 IMPIANTI E SISTEMI AEROSPAZIALI Dsense del corso, versone 0 3. Comonent dscret Le erdte d carco sono dovute agl effett vscos causat da dfferenze d veloctà ne var unt nel fludo; questo avvene tutte le volte che l fludo trova nel suo cammno un ostacolo d natura qualsas o comunque la geometra del condotto orta a varazon del vettore veloctà (fg. 3.8). Nell draulca classca, dove le tubazon hanno una lunghezza molto elevata, queste erdte ossono essere d enttà molto mnore rsetto a quelle nelle tubazon, tanto che nella letteratura anglosassone vengono defnte erdte mnor; negl mant d nostro nteresse le tubazon sono nvece relatvamente corte ed esstono molt comonent n grado d causare erdte d valore sgnfcatvo. Verranno genercamente ndcate come erdte concentrate. Fg Cause d erdte d carco concentrate Anche n questo caso le erdte ossono essere esresse come funzone d un energa cnetca: = α ρ v I coeffcent necessar er l calcolo delle erdte d carco concentrate sono ovvamente funzone della geometra del comonente, ma anche d un numero d Reynolds d rfermento. È da notare che dal unto d vsta degl mant d nteresse aeronautco non ha molta mortanza la varazone d ressone lungo un tubo, quanto valor alle sue estremtà. D conseguenza s uò consderare l tubo come un elemento dscreto con resson alle sue estremtà legate dalla: L = α ρ v con α = λ D Ne aragraf seguent vengono rortat alcun esem d coeffcent d erdte d carco concentrate er le stuazon ù comun. Ama mole d dat sull argomento sono reerbl su vare font ed n artcolare su data sheet ESDU e sul volume Idel ck Memento des ertes de charge (versone francese dal russo). 3.9

20 IMPIANTI E SISTEMI AEROSPAZIALI Dsense del corso, versone Orfzo L orfzo consste n un restrngmento seguto da un allargamento; nel caso deale ossamo ensarlo realzzato da un orfzo a bord afflat. A seconda del numero d Reynolds l flusso uò avere andamento lamnare (a) o turbolento (b) come mostrato nella fgura 3.9: 3... Orfzo con flusso turbolento Nel caso d flusso turbolento l assaggo attraverso l orfzo rovoca un restrngmento del tubo d flusso; la sezone rstretta uò essere collegata a quella dell orfzo medante un coeffcente d contrazone C c. S ha qund: Fg. 3.9 Orfzo A = C c A 0 Tra la sezone e la s uò rtenere d non avere erdte d carco e d conseguenza: essendo: s ha + ρ v = + ρv = ρ A = ( v v ) v Av = ρ A A ( ) v = A ρ A In realtà a causa degl attrt vscos la veloctà v sarà leggermente nferore; ntroducendo un coeffcente d veloctà la ortata rsulta: cv A = Acv v = ( ) A ρ A consderando l coeffcente d contrazone, n modo da rferrs alla sezone dell orfzo: v 3.0

21 IMPIANTI E SISTEMI AEROSPAZIALI Dsense del corso, versone 0 = c c v c c c A 0 A0 A ρ ( ) con: c d = c c v A c 0 c A c = cd A0 ρ ( ) c v è d oco nferore a e normalmente A 0 è molto mnore d A ; n tal condzon c d è arossmatvamente uguale a c c. Per orfz a sgol vv è ossble calcolare teorcamente c c ed l rsultato è mostrato nella fgura 3.0. L eserenza mostra che er orfz a sgolo vvo, se l flusso è turbolento e la sezone dell orfzo è suffcentemente ccola rsetto al dametro del tubo s uò utlzzare l valore: c d c c π π + = 0.6 Fg. 3.0 Coeffcente d scarca L esressone delle erdte d carco uò essere ortata nelle consuete forme: = ζ ρv = K con ρ K = d A 0 ( c ) ζ = c d A A0 3.

22 IMPIANTI E SISTEMI AEROSPAZIALI Dsense del corso, versone Orfzo d lunghezza fnta Per orfz d una certa lunghezza ossono essere usat valor del coeffcente d scarca c d desumbl dal dagramma d fgura 3.. Fg. 3. Coeffcente d scarca Orfzo con flusso lamnare Per bass numer d Reynolds l coeffcente d scarca uò essere desunto dalla fgura 3.; er Re=500 l coeffcente tende al valore 0.6 ndcato er l flusso turbolento. Fg. 3. Coeffcente d scarca er flusso lamnare 3.

23 IMPIANTI E SISTEMI AEROSPAZIALI Dsense del corso, versone Allargament - Restrngment La fgura 3.3 rorta coeffcent d erdta d carco er allargament o restrngment mrovvs n tubazon. Fg. 3.3 Varazone d sezone La fgura 3.4 rorta coeffcent relatv a erdte d carco d mbocco (assaggo da recente d grand dmenson a tubazone) e sbocco (scarco n ambente d grand dmenson). Fg. 3.4 Imbocco e sbocco I coeffcent K ndcat sono relatv all energa cnetca nella sezone a veloctà maggore: Δ = K ρv 3.3

24 IMPIANTI E SISTEMI AEROSPAZIALI Dsense del corso, versone 0 Le fgure seguent rortano altr esem d allargament o restrngment: Fg. 3.5 Allargament Fg. 3.6 Restrngment 3.4

25 IMPIANTI E SISTEMI AEROSPAZIALI Dsense del corso, versone Curve La erdta d carco er un tratto curvo uò essere calcolato con: L Δ = λ + β K g ρ v d L dove λ esrme le erdte dstrbute nel tratto d gomto e K g d cambo d drezone del vettore veloctà β le erdte dovute al K g e β sono rcavabl da dagramm d fgura Fg. 3.7 Perdte d carco n tratt curv 3.5

26 IMPIANTI E SISTEMI AEROSPAZIALI Dsense del corso, versone Dramazon La fgura 3.8 rorta coeffcent erdta er dramazon con un ramo ceco. Fg. 3.8 Dramazon ceche La fgura 3.9 rorta coeffcent er searazon o runon d corrent. Fg. 3.9 Searazone e runone d corrent 3.6

27 IMPIANTI E SISTEMI AEROSPAZIALI Dsense del corso, versone 0 3. Colo d arete Se a valle d una tubazone con un certo flusso s ha la chusura mrovvsa d una valvola, l energa cnetca della colonna d fludo s trasforma n energa otenzale d comressone con relatvo ncremento d ressone. L ncremento d ressone uò n determnate condzon essere tale da creare ser roblem. Una colonna d fludo n movmento ha una energa cnetca: Ec = ρ LAv suonendo d assare stantaneamente a veloctà nulla tutta l energa cnetca s trasforma n energa otenzale d ressone: E = Δ V dove ΔV è la varazone d volume e l ncremento d ressone. Dalla relazone che defnsce la comrmbltà: V LA E = = β β Se tutta l energa cnetca s trasforma n energa d ressone s ha un ncremento d ressone ar a: = βρ v Con valor tc er un olo mnerale (β=800 MPa; ρ=850 kg/m ) s ha: 6 6 = 800 *0 *850v =.4*0 v L arresto stantaneo d un flusso a 0 m/s rovoca qund un ncremento d ressone maggore d MPa. In realtà l fenomeno è ù comlesso erché non s comrme contemoraneamente tutta la colonna d fludo, ma s ha un onda d comressone che s roaga a monte alla veloctà delle ccole erturbazon (veloctà del suono nel lqudo c = β ; er olo mnerale ρ c = β 450m / s ); doo un temo ar a L/c l onda d comressone arrva all nzo ρ della colonna d fludo che rsulta così tutta comressa, a questo unto arte un onda d decomressone verso la chusura. Il fenomeno s rete fno a quando fenomen dssatv assorbono tutta l energa n goco. uanto sora vsto è valdo er una chusura stantanea della valvola; tale chusura s uò rtenere stantanea se avvene n un temo nferore a quello rchesto dall onda d erturbazone er comere un cclo comleto d andata e rtorno: L T Tcr = c Per tub cort l temo crtco rsulta molto ccolo (er un tubo d 0 m rsulta dell ordne del centesmo d secondo) e l temo d chusura rsulta faclmente maggore del temo 3.7

28 IMPIANTI E SISTEMI AEROSPAZIALI Dsense del corso, versone 0 crtco. In questo caso l calcolo dell ncremento d ressone rsulta ù comlesso, dende anche dalla lunghezza del tubo, dalla ressone nzale e dal temo d chusura della valvola. Il valore d ressone alla quale s arrva uò essere rcavato dal dagramma seguente. Fg. 3.0 Colo d arete er veloctà d chusura nferor alla crtca dove: K = ; = βρ v ; 0 ressone nzale 0 T N = ; T temo necessaro er la chusura; T c L T c = temo crtco d chusura c N raresenta l numero d volte che l fenomeno d roagazone e rtorno dell onda d comressone s verfca nel temo d chusura della valvola. È da notare che l valore massmo d ressone è semre nferore a quello corrsondente ad una chusura stantanea; salvo cas artcolar vene qund sesso assunto come valore d rogetto. 3.8

29 IMPIANTI E SISTEMI AEROSPAZIALI Dsense del corso, versone Collegamento d comonent Può essere convenente esrmere le erdte d carco n funzone della ortata, sosttuendo al termne d veloctà l corrsondente raorto tra ortata ed area del condotto: L L 8L = Δ = λ ρv = λ ρ = λ ρ = K 5 D D π D π D 4 o, nel caso d elemento con erdte concentrate: = Δ = α ρv = α ρ = α ρ = K 4 π D π D 4 L esressone del to = K (*) uò essere utlzzata er esrmere l legame fra le resson alle estremtà e la ortata che attraversa un generco comonente dove la ortata entrante ed uscente concdono, un comonente qund dove non ossono esserc varazon d volume del fludo contenuto. uesta esressone defnsce qund l legame fra ressone e ortata, le due grandezze caratterstche della otenza draulca, ndvdua qund la curva caratterstca valda er un generco comonente assvo. Il valore d K deve essere rcavato artendo da coeffcent λ o α del comonente, ma convene ortars a tale forma che consente d esrmere ù faclmente la conservazone d massa ne nod d collegamento fra var comonent. Per l sngolo comonente la relazone consente d rcavare una grandezza essendo note le altre due: conoscendo le resson all estremtà s uò rcavare la ortata, conoscendo una ressone e la ortata s uò rcavare l altra ressone. L esressone (*) è valda se è maggore d e l flusso è d conseguenza dretto da verso ; quando questa vene utlzzata n rogramm d calcolo dove non è noto a ror l verso della ortata l esressone deve essere sosttuta da: = K dove s assume ostva la ortata se dretta da a e negatva n senso contraro. Collegando due comonent con collegamento n sere, essendo ugual le ortate nelle due tubazon, s ha (fg. 3.): = K K = K + K S sommano qund coeffcent caratterstc. M M = = K ( K + K ) = K 3.9

30 IMPIANTI E SISTEMI AEROSPAZIALI Dsense del corso, versone 0 k M k k k Fg Lnee n sere e n arallelo Nel collegamento n arallelo, essendo ugual le resson alle due estremtà, s ha (fg.3.): = K = K = + = K + K = K + K = K K = K + K Le relazon sono analoghe a quelle delle resstenze elettrche n sere o n arallelo, con la dfferenza che l legame è quadratco anzché lneare. 3.30

31 IMPIANTI E SISTEMI AEROSPAZIALI Dsense del corso, versone Ret draulche La struttura degl mant a fludo d nteresse aerosazale è normalmente semlce e faclmente rsolvble con collegament n sere o arallelo vst nel aragrafo recedente. S rorta comunque una rocedura adatta a rcercare le condzon d equlbro d una rete comunque connessa. La rete vene schematzzata come un nseme d tratt conness n un certo numero d nod; ne dat d ngresso la rete è defnta attraverso un certo numero d nod e d tratt; tratt vengono dentfcat dal nome del nodo nzale e del nodo fnale. Per la rcerca delle condzon d equlbro vengono assunte come ncognte tutte le ortate ne tratt e tutte le resson ne nod. Il numero d ncognte nella soluzone è d conseguenza ar alla somma del numero d tratt e del numero d nod. Le ortate consderate nel calcolo sono ortate volumetrche, suonendo qund costante la denstà, e vengono assunte come ostve le ortate nel senso defnto dal nodo nzale al nodo fnale. Per ognuno degl m tratt consderat è ncognta la ortata ed è ossble scrvere una equazone che chamamo d to A: dove ( ) ( ) 0 f = f è una funzone normalmente non lneare n, che dende da var effett consderat, er una rete d dstrbuzone d fludo tratt ossono essere costtut de seguent element: a) Tub, raresentat come erdte d carco dstrbute: l f ( ) = Δd = λ ρv v = Kd d b) Element dscret, raresentat come erdte d carco concentrate: f ( ) = Δc = k ρv v = Kc c) Pome, defnte attraverso una curva caratterstca ortata ressone. Δ = f Per ognuno degl n nod consderat è ncognta la ressone ed è ossble scrvere una equazone che chamamo d to B e che esrme la conservazone della massa, se s tratta d un nodo nterno, o assegna un valore alla ressone o alla ortate, se queste sono note nel nodo; n alternatva qund una delle tre equazon seguent: n = ( ) = 0 = 0 = 0 3.3

32 IMPIANTI E SISTEMI AEROSPAZIALI Dsense del corso, versone Il sstema formato dalle m equazon d to A e dalle n equazon d to B è un sstema non lneare, er la sua soluzone s rcorre al metodo teratvo d Newton-Rason, che er l sstema n esame dventa: = Δ Δ l k j k l j l k j B A B B A A / / / / Per tutt tratt (n alternatva a seconda del to d elemento) = j j c j d j d df K K A fornsce element solo sulla dagonale rncale + = k A nelle colonne corrsondent a nod d entrata e uscta nel tratto Per nod ntern: + = j l B nelle colonne corrsondent a tratt n arrvo o n artenza dal nodo = 0 k l B Per nod estern n cu è assegnata la ressone: = 0 j l B = k l B sulla dagonale rncale Per nod estern n cu è assegnata la ortata: = ± j l B a seconda che s tratt d ortata entrante o uscente = 0 k l B I termn not sono costtut da valor delle funzon A e B valutat al asso recedente del rocesso teratvo.

33 IMPIANTI E SISTEMI AEROSPAZIALI Dsense del corso, versone 0 A scoo eslcatvo s rorta un semlce esemo d rete. La rete è formata da 9 element e 8 nod. I dat d defnzone degl element ossono essere descrtt n una matrce contenente nod d estremtà de var element, l ordne de nod defnsce l verso ostvo della ortata: Tratto Nodo Nodo Suonamo sano note le resson a due nod d estremtà e costruamo la matrce M rsolutrce. Le rme 9 rghe della matrce sono relatve a tratt, s avrà qund nelle rme 9 colonne: M = K = A d M = 0 er j j Nelle colonne successve s ha: M, Ntratt+ j = se l tratto nza dal nodo j, M, = se l tratto termna nel nodo j Ntratt+ j M, Ntratt+ j = 0 se l nodo j non aartene al tratto Per le rghe successve, nelle rme 9 colonne, s ha: M Ntratt+, j = se l nodo è nterno e l tratto j termna n esso M Ntratt+, j = se l nodo è nterno e l tratto j nza da esso M Ntratt+, j = 0 ne rmanent cas Nelle colonne successve s ha: M Ntratt+, Ntratt+ j = se =j e l nodo è esterno M Ntratt+, Ntratt+ j = 0 se j o l nodo è nterno 3.33

34 IMPIANTI E SISTEMI AEROSPAZIALI Dsense del corso, versone 0 La matrce de coeffcent nel nostro esemo dventa qund: A - A - 3 A 3-4 A 4-5 A 5-6 A 6-7 A 7-8 A 8-9 A E l vettore de termn not: K [ ] 3 K [ ] K 3 [ 3 ] K 4 [ 4 ] K 5 [ 5 ] K 6 [ 6 ] K 7 [ 7 ] K 8 [ 8 ] K 9 [ 9 ]

35 IMPIANTI E SISTEMI AEROSPAZIALI Dsense del corso, versone 0 Il calcolo, essendo basato sul metodo d Newton-Rason, è d to teratvo; ad ogn asso s utlzzano valor d j e k del asso recedente e s calcolano le correzon Δ j e Δ k da alcare, l rocesso rosegue fno a convergenza. È necessaro stablre de valor nzal d ortata e ressone con cu avvare l calcolo. Per una rete del to n esame s otrebbe assumere come valore nzale delle resson nterne un valore medo fra le resson fssate ne nod d estremtà e er le ortate l valore d ortata che ne derverebbe sul rmo tratto. 3.5 Bblografa Sono numeros test d Meccanca de flud, la matera è noltre trattata n tutt test relatv a mant a fludo. R.W.Jeson, Analyss of Flows n Pe Networks, Ann Arbor Scence Publshers. Daugherty and Franzn, Flud mechancs wth engeerng alcaton, McGraw Hll. Idel ck, Memento des ertes de charge, Eyrolles 3.35