Asse della trave. Sezione finale. Sezione iniziale

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1 zon che sollectano le costruzon In questa arte c occueremo n dettaglo delle forze e delle condzon che devono soddsfare affnché un determnato sstema strutturale sa n equlbro. a raresentazone delle forze agent non uò avvenre che attraverso vettor da consderars alcat a sngol unt costtuent. o scoo rncale delle strutture è quello d racchudere e delmtare uno sazo, ma talvolta la struttura serve a collegare due unt, come nel caso de ont, oure a resstere all azone d forze natural, come nel caso d dghe o mur d sostegno. e dverse funzon cu una struttura archtettonca deve assolvere rchedono dverse strutture le qual sono sottooste ad una varetà d azon. Sono dette azon tutte le cause che sollectano una costruzone, vale a dre che roducono una combnazone d forze agent su tale costruzone. a determnazone de carch agent su una struttura costtusce un roblema d notevole comlesstà. a natura e l enttà de carch varano essenzalmente n funzone della confgurazone della struttura, de materal megat e della sua ubcazone. I carch ù mortant sostenut da una struttura non sono soggett a rade varazon nel temo: ess s defnscono statc ed è n funzone d ess che la struttura vene generalmente roorzonata. l fne d semlfcare la verfca della stabltà d una struttura, carch che ù comunemente s rscontrano n ratca non vengono calcolat caso er caso ma sono suggert o anche most dalle norme tecnche. I carch most dalle norme sono carch convenzonal: er l carco gravante su d un solao vene assunto un valore costante er untà d suerfce. a determnazone delle azon (orgne, natura), della loro amezza (meda, massma robable) e della loro eventuale combnazone è ertanto un asso mortante e sesso dffcle dello studo delle costruzon. nevtable eso roro della struttura, e quello d tutt carch che su d essa gravano n ermanenza, costtuscono l cosddetto carco ermanente, detto anche eso roro. In molt cas l carco ermanente è l ù mortante fra carch a cu è soggetta una struttura, sece n strutture d grand dmenson e realzzate con materal esant. Tutt carch che non costtuscono l carco ermanente vengono chamat carch accdental o anche sovraccarch. Ess comrendono tutt carch mobl (ersone, aret dvsore, macchne e attrezzature, ecc.). ra carch accdental s ossono annoverare la ressone e la deressone rovocata dal vento, la ressone delle masse d acqua, la snta delle terre. e consderazon svolte nel seguto s rferscono alla trave. ome gà ndcato, s defnsce trave l soldo che s genera facendo traslare una fgura geometrca bdmensonale, detta sezone della trave stessa, n modo che rmanga erendcolare ad una lnea, n generale curva, detta lnea d asse. Il unto della sezone ntersecato dalla lnea d asse non è qualsas, ma è l barcentro della sezone. a lnea d asse uò essere una curva qualunque; se s tratta d una retta, s ha una trave rettlnea. a sezone della trave uò varare d amezza e d forma durante l movmento; se resta nvarata s ha una trave a sezone costante. Se noltre l suo asse è rettlneo s ottene una trave rsmatca. regola le dmenson lnear della sezone trasversale sono ccole rsetto allo svluo dell asse geometrco e al suo mnmo raggo d curvatura, l che consente d lmtare lo studo all asse geometrco stesso, senza consderare la forma della sezone trasversale. Inoltre, se l asse è contenuto n un ano e se n questo ano è contenuto anche l sstema d forze agent sul coro, la trave s dce ana. sse della trave Sezone fnale Sezone nzale Ne cas real uò essere talvolta comlesso ndvduare una lnea d asse tale da verfcare le condzon rcheste dalle otes. Tuttava questa schematzzazone è necessara er determnare lo

2 stato d sollectazone d una struttura reale. E nfatt estremamente comlessa la defnzone della geometra sazale, de materal costtutv del coro, delle azon rovenent dall ambente esterno, ecc. mostazone analtca er l calcolo della soluzone rchede, d conseguenza, una schematzzazone della raresentazone della struttura rcorrendo ad un modello matematco. Per determnare lo stato d sollectazone n una struttura è necessaro n rmo luogo analzzare le azon rodotte dall ambente esterno. Per le forze che agscono su una struttura s adottano crter ù o meno semlfcatv a seconda del lvello d dettaglo che s ntende raggungere ne rsultat. Il crtero sesso utlzzato d consderare le forze agent n un unto come se fossero concentrate n esso è un astrazone d cò che s verfca n realtà. e azon che generano forze agscono necessaramente su una orzone non nfntesma eserenza c mostra che var carch agscono su orzon non nfntesme d suerfce o volume, ossa sono costtut da forze dstrbute. Tuttava n alcun cas, quando le dmenson delle suerfc d azone sono ccole, s refersce er semlctà d calcolo consderare le forze concentrate n un unto dando così luogo alle cosddette forze concentrate. d esemo l elemento dell ordtura secondara d un solao trasmette carch alla trave rncale su un area molto ccola a fronte delle dmenson longtudnal della trave stessa. In tale caso è ossble consderare l carco trasmesso come una forza concentrata con unto d alcazone concdente con l barcentro dell effettva area d rartzone. Travetto rea d rartzone Travetto rncale I carch ossono erò essere raresentat anche come forze dstrbute lungo una lnea, su una suerfce, o all nterno d un volume. Esamnamo l caso ora del eso roro d un oggetto: c trovamo d fronte ad una forza che nel comlesso conoscamo, ma che sul coro stesso è dstrbuta con contnutà nel volume che esso occua. S arla allora d carco rartto. Il carco rartto vene raresentato grafcamente medante un dagramma, detto aunto d carco, dsegnato sora lo schema dell elemento consderato: l ordnata, corrsondente ad una sezone qualunque della trave, letta sul dagramma n una determnata scala (quella delle forze), raresenta l ntenstà del carco agente su quella sezone. cost () (a) (b) In (a) s ha l caso assa frequente nelle alcazon d carco unformemente rartto, coè costante lungo l asse; n (b) s ha l caso ù generale d carco rartto varable lungo l asse. Il caso (a) uò corrsondere, ad esemo, ad una trave che sostene metà solao:

3 trave cost P trave trave Un carco dstrbuto o rartto è dmensonalmente esresso n N/m o N/m. d esemo l carco che agsce sul solao è unformemente dstrbuto sulla sua suerfce e come tale è esresso n N/m ; l solao a sua volta trasfersce detta azone sulle trav ortant ancora n qualtà d carco unformemente dstrbuto nello svluo lneare della trave, ossa n N/m. Il rsultante d un carco dstrbuto ha modulo concdente con l area del dagramma che lo descrve e retta d azone assante er l barcentro del dagramma stesso. In artcolare, nel caso sora ndcato d carco unformemente rartto, l rsultante P agsce nella metà della luce e vale: P efnamo ora l caso generale d forza dstrbuta. ome detto, le azon esterne agent su un coro rgdo ossono essere schematzzate come forze o coe concentrate n un unto solo se tal azon s eslcano n regon molto ccole, rsetto alle dmenson del coro, tal da oter essere consderate untform. ltrment le forze sono dstrbute. P () d d () P ( ) P P ( ) d P d P Per esemo l eso del tmano muraro che sovrasta la trave n fgura grava su questa roorzonalmente alla sua altezza e conseguentemente, essendo l tmano d forma trangolare, anche l dagramma d carco è trangolare, coè ha una varazone lneare, da un valore mnmo uguale a ad un valore massmo ma. ma P /3 P () ma (varazone lneare) P ma d ma (area del trangolo) 3

4 P P ma d ma d ma ma d ma ma Nel caso seguente, dove l tmano ha una forma traeza, l corrsondente dagramma d carco è d nuovo a varazone lneare, ed è traezo. P ma mn area del dagramma equvale al eso roro del muro P, ossa: P ( ) ma mn (area del traezo) dove ma h ma s γ m (N/m) mn h mn s γ m (N/m) h ma, h mn altezza massma, mnma del muro s sessore del muro γ m eso er untà d volume della muratura. Il rsultante P ha retta d azone assante er l barcentro del corrsondente dagramma. Nelle successve alcazon s vedrà come sa ossble consderare l carco traezo scomosto n due carch equvalent: un carco unformemente rartto e un carco d forma trangolare. S not che l rsultante del carco rartto non è sosttutvo della reale dstrbuzone del carco erché a questa corrsondono effett d sollectazone e d deformazone nell elemento strutturale ben dvers da quell che s otterrebbero se s consderasse l rsultante alla stregua d una forza concentrata. Il rsultante P uò essere assunto come sosttutvo del corrsondente carco dstrbuto solo nella rcerca delle condzon d equlbro, ossa delle reazon vncolar. lcazone Un solao d legno è formato da trav arallele oste ad nterasse d.6 m, d sezone 3 cm e lunghe 4. m, sulle qual ogga un tavolato sesso 5 cm. ato l eso secfco del legno γ 6 da N/m 3 l volume V della trave è (. m.3 m 4. m).4 m 3 ; l eso della trave P è dato da: P γ V 6 da N/m 3.4 m 3 44 da N Il eso untaro er untà d lunghezza della trave d legno è dato da: eso totale della trave da N/m lunghezza trave 4. Il eso roro della trave è un carco unformemente dstrbuto lungo la trave. nals de carch er metro quadrato d solao: Il eso roro del tavolato è dato da: (.5 m. m. m) 6 da N/m 3 3 da N/m Il eso roro delle trav è dato da: 4

5 (. m.3 m. m 6 da N/m 3 ) / (.6 m /m) 6 da N/m Se chamamo con la msura n metr dell nterasse tra le trav, la suerfce d solao che comete ad un metro lneare d trave vale: ( m m)/ ( m) m /m Se q è l eso dell untà d suerfce del solao, s rcava l eso che comete all untà d lunghezza della trave moltlcando l valore untaro q er l nterasse delle trav, ossa er metr quadrat d solao che nsstono sul metro lneare d trave: q (N/m ) (m /m) q (N/m) Vceversa se è noto, ossa l carco er untà d lunghezza della trave, s rcava q: q / Se suonamo che l solao è ad uso d cvle abtazone, l carco accdentale è da N/m Il carco totale a metro quadrato gravante sul solao è qund 9 da N/m Poché le trav hanno nterasse ar a.6 m, l eso er metro lneare d trave è dato dal rodotto del carco er metro quadrato er l nterasse delle trav: q (N/m ) (m /m) 9 da N/m.6 m /m 74 da N/m 74 da N/m 4. a snta del vento su d un edfco è dffcle da stablre con recsone, n quanto dende sa dalla veloctà del vento che dalla forma e dalla suerfce dell edfco stesso. a forma dell edfco uò rovocare sa sovraresson che deresson e la scabrostà delle suerfc uò nflure sulla rartzone delle resson local. Inoltre, l ntenstà e la drezone del vento sono nfluenzate non solo dalla oszone geografca del luogo che s consdera, ma anche dal roflo del suolo, n quanto la resenza d dslvell altera l moto degl strat d ara alle quote ù basse. omunque n sntes s uò dre che l vento causa: 5

6 zon statche che s traducono n forze comlessve che agscono sull nseme della costruzone, e o n resson e deresson local che s eserctano sulle aret della costruzone; Per costruzon abbastanza flessbl, azon dnamche che s manfestano sotto forma d oscllazon d tutta la costruzone o d art d essa. Quando l vento ncde su una costruzone la corrente d ara, dvdendos, forma un camo d elevate resson sulla arete drettamente esosta, mentre le vene flude erferche tendono ad abbraccare lat del fabbrcato runendos o ad una certa dstanza da questo. Questo comorta una generazone d azon d deressone sulle aret lateral. ontemoraneamente sulla coertura la corrente d ara scorre n manera ù o meno turbolenta e, n ragone dell nclnazone delle falde drettamente esoste, tal mot ossono tradurs n resson e deresson, mentre su quelle non drettamente nvestte l nstaurars d azon d deressone. a normatva ntroduce una sere d arametr che tengono n conto var fattor sora ndcat necessar alla determnazone della ressone q del vento. Una volta determnato tale valore, che er cascun elemento strutturale s ottene consderando la combnazone ù gravosa tra la ressone (deressone) agente sulla facca esterna e la ressone (deressone) agente su quella nterna, questo deve consderars come un carco alcato statcamente, detto azone statca equvalente. a rsultante d tutte le azon statche equvalent su sngol element struttural fornsce l azone comlessva eserctata dal vento sull ntera costruzone. Tutte le strutture sono soggette a varazon d temeratura, e mutano d forma e dmenson con le escurson termche gornalere e stagonal. Gl effett delle varazon d dmenson rovocate dall esansone e contrazone termca equvalgono sesso a quell d fort carch, che ossono rsultare artcolarmente nocv n quanto non evdent. Una struttura è artcolarmente sensble alle varazon d temeratura qualora er la sua forma, le sue condzon d vncolo e materal d cu è costtuta, tenda a contenere le varazon d dmensone dovute alla temeratura. altro canto, la struttura deve essere rgda erché le deformazon sotto carco rmangano entro lmt accettabl; ertanto le esgenze d rgdtà e quelle moste dalle sollectazon termche sono contraddttore. Un altra condzone, che roduce effett equvalent a quell rovocat da fort carch, uò dervare da cedment non unform delle fondazon d un edfco. Un terreno d resstenza neguale, carcato col eso d un edfco, uò subre un cedmento ù ronuncato n alcun unt delle fondazon che n altr. I carch che mutano radamente o sono alcat mrovvsamente, sono dett carch dnamc. Tutte le strutture entro cert lmt e n msura dversa sono elastche, coè hanno la roretà d deformars sotto carco e d rtornare alla confgurazone nzale quando venga a cessare l azone del carco. In conseguenza della loro elastctà le strutture hanno tendenza a oscllare: un grattacelo osclla se è nvestto da una raffca d vento e un onte ferrovaro osclla vertcalmente doo l assaggo d un treno. Il temo occorrente erché la struttura coma una oscllazone comleta è l suo erodo roro d oscllazone. Una struttura rgda ha un erodo breve, mentre una struttura flessble osclla lentamente. a durata dell alcazone d un carco va semre rferta al erodo roro d oscllazone della struttura: se la durata è breve n confronto al erodo roro, l carco ha effett dnamc; se è lungo, gl effett sono statc. e azon ssmche, che consstono n brusche oscllazon del suolo, sono essenzalmente a comonente orzzontale. azone d un terremoto su d un edfco dende sa dalla natura del suolo, che dalle caratterstche struttural dell edfco stesso. etermnazone delle reazon vncolar e strutture sono n generale soggette a forze a esse alcate dall esterno. e forze attve sono raresentate da carch che la struttura è destnata a soortare, qual l eso roro, l eso degl element struttural gravant su d essa, l azone del vento, l terremoto, ecc. e forze reattve sono 6

7 7 nvece costtute dalla reazon de vncol che collegano la struttura con l ambente esterno o gl element struttural tra d loro. Il roblema d ndvduare le condzon cu deve soddsfare un sstema d forze attve e reattve er essere n equlbro s one n tutta la sua generaltà quando c arestamo a studare l equlbro de cor n generale. oerazone concettuale che s come consste nel sostture alla struttura le forze che agscono su d essa ( e qu s ntende tutte le ossbl forze) e qund d verfcare le condzon d equlbro. In altre arole la struttura dventa uno schema astratto atto a fornre un suorto er le forze su d essa alcate. questo unto er gudcare l equlbro d una struttura ossamo rvolgere la nostra attenzone alle forze agent, ntese come vettor. S rcorda nnanztutto che una certa confgurazone d una sstema materale, soggetto ad una assegnata dstrbuzone d forze, s dce d equlbro se, abbandonandov l sstema con atto d moto nullo, questo v ermane ndefntamente. ue sstem d forze ' ed '' alcat al medesmo coro rgdo s dcono statcamente equvalent se hanno lo stesso vettore rsultante e lo stesso momento rsultante rsetto ad un olo O arbtraramente scelto, se coè: ) ( ) (, O O M M S dmostra faclmente che, se le recedent sono verfcate er un artcolare unto O, due sstem d forze hanno lo stesso momento rsultante rsetto a qualunque altro unto O. a defnzone d equvalenza ermette d suddvdere gl nfnt sstem d forze n class d equvalenza. In cascuna classe d equvalenza sstem sono tra loro dvers (er numero d forze, unt d alcazone, drezone e ntenstà) ma hanno le stesse caratterstche global. Poché le comonent d ed M(O) sono se, sstem statcamente equvalent sono 6. ato un sstema d forze agent su un coro rgdo, a fn dell equlbro è lecto sostture ad esso un sstema equvalente, n quanto nelle equazon cardnal della statca comaono solo le caratterstche global ed M(O) che, er defnzone, non sono alterate dalle oerazon d equvalenza. Il sstema equvalente non è uguale a quello orgnaro, ma solo equvalente nel senso recsato. ato un sstema d forze ( ),,... alcate ad un coro rgdo ne unt P, P, Il sstema d forze uò essere rdotto ad un olo O consderando l rsultante e l momento rsultante M O : z γ β α z γ β α ( ) O O P M ( ) ( ) ( ) Oz O O O z z z z M M M M β α γ α γ β γ β α ( ) ( ) ( ) Oz O O O z z M M M β α γ α γ β M e condzon d equlbro er un coro rgdo s ossono relogare nelle due relazon necessare e suffcent er l equvalenza a zero d un sstema d vettor: M O n cu ndca l rsultante ed M O l momento rsultante rsetto ad un generco olo O del sstema d forze alcate. Esse s rducono ovvamente solo alla rma quando l coro sa schematzzable come unto materale nel quale concorrono tutte le forze agent. S dce anche che, affnché un coro sa n equlbro, l sstema delle forze esterne deve essere

8 equvalente a zero. e recedent, dette equazon cardnal della statca, s trasformano, se roettate sugl ass d una terna cartesana Oz, nelle equazon scalar: z esrment l equlbro alla traslazone nelle drezon degl ass, e z, e nelle: M M M z esrment l equlbro alla rotazone ntorno agl stess ass. e forze agent sul coro ossono essere, come gà detto, concentrate o dstrbute, e la crcostanza che esse fgurno nelle equazon cardnal della statca solo attraverso l loro rsultante e l loro momento rsultante, ermette d comorle tra loro tutte o n gru arzal. S consder ora un sstema costtuto da n c cor rgd (,,...,n c ) n una data confgurazone d rfermento, cascuno sottoosto ad un sstema d forze (,,...,n c ). ttraverso oerazon d equvalenza statca è ossble rdurre l sstema al olo O arbtraramente scelto, consderato soldale a. Gl n c sstem d forze equvalgono ercò ad n c forze ed n c coe e ossono qund essere descrtt dagl n6n c (o n3n c er sstem an) arametr scalar. Va rmarcato l fatto che le oerazon d equvalenza statca devono essere esegute tra forze alcate al medesmo coro, e non tra forze alcate a cor dvers. Infatt, le equazon cardnal della statca rchedono che s annullno searatamente le caratterstche global d cascun sstema d forze. e forze sono assunte ndendent dalla oszone del coro e dalla veloctà S ammette che l atto d moto nzale sa nullo, rnuncando così ad analzzare gl asett dnamc del roblema. onseguentemente, se l coro occua una oszone d equlbro, ermane n quete n quella oszone. Il concetto d equlbro e d quete vengono ercò dentfcat. ato un sstema d forze non s è nteressat a determnare tutte o alcune delle ossbl oszon d equlbro del coro, ma uttosto s è nteressat a determnare se una data oszone P, assunta come oszone d rfermento, è oure no d equlbro. ò remesso s ha che condzone necessara e suffcente er l equlbro d un coro materale nteso come rgdo è che l sstema d forze ad esso alcate sa nullo o anche equvalente a zero. ondamentale n merto è la qualfca d rgdo che l coro deve ossedere erché la condzone rcordata rsult suffcente oltre che necessara. d esemo, consderamo due sstem materal costtut entramb da aste rgde: - - (a) Nel caso (a) le aste sono soldarzzate comletamente n così da rguardare l sstema come un unco coro rgdo, mentre n (b) esse s suongono collegate medante una cernera. Se entramb gl schem sono sottoost ad un sstema d forze equvalente a zero, ndcato n fgura, è evdente che l rmo è n equlbro mentre altrettanto non uò drs del secondo. Se l sstema è costtuto da ù cor rgd le equazon cardnal della statca devono essere soddsfatte er cascun coro, consderando le forze esterne a cascuno d ess. Queste sono costtute dalle forze esterne al sstema alcate al coro n questone e dalle forze che lo stesso coro scamba con gl altr cor. Se un sstema d forze è costtuto da forze le cu rette d azone gaccono nel medesmo ano π, l sstema è detto ano. Il vettore rsultante è arallelo al ano π, mentre, scelto O π, M(O) è ortogonale al ano. Per defnre le caratterstche global sono ercò necessar tre arametr: sstem an d forze statcamente equvalent sono 3. (b) 8

9 In realtà cor sono anche vncolat. I vncol oltre ad avere la funzone d lmtare grad d lbertà del sstema e d nflure ercò sul suo comortamento cnematco, hanno anche la roretà d eserctare sull oggetto cu sono alcat, delle forze, sosttubl ne roblem meccanc a vncol stess, che ntervengono accanto alle forze eslcte condzonandone l equlbro e l moto. e reazon vncolar raresentano l azone che, attraverso dsostv d vncolo, l suolo esercta sul sstema (reazon vncolar esterne) ovvero che cor s scambano a due a due (reazon vncolar nterne). e forze vncolar non sono note; esse raresentano le ncognte del roblema statco. a sosttuzone ndcata ntroduce ne roblem statc, al osto de vncol geometrc, delle enttà dette genercamente reazon vncolar che ossono dstnguers n forze e coe reattve. Questa sosttuzone raresenta un ostulato fondamentale della Meccanca e consente d stablre un mmedata corrsondenza tra la cnematca e la statca del coro rgdo. Postulato delle reazon vncolar:, se l vncolo è ndendente dal temo, blaterale e lsco (coè rvo d attrto), le reazon eslcate sono d ntenstà qualsas e drette secondo le comonent d sostamento medte. In altre arole s ammette che l vncolo non eserct reazon secondo le comonent d sostamento lbere. a caratterzzazone statca del vncolo uò anche essere enuncata come segue. e reazon vncolar comono lavoro nullo ne corrsondent sostament consentt da vncol (n assenza d cedment vncolar). Infatt, a cascuna grandezza statca non nulla corrsonde una grandezza cnematca nulla e vceversa. d ogn condzone semlce d vncolo vene fatta corrsondere una forza o una coa equvalente, nel senso che l una o l altra ossono sostturs al vncolo senza alterare la stuazone statca del sstema. Pù recsamente a vncol che medscono una traslazone corrsondono forze alcate al unto vncolato n drezone arallela alla traslazone bloccata, e a vncol caac d medre una rotazone corrsondono coe d asse momento arallelo all asse d rotazone medta. Vncolo aresentazone eazone EO ENIE GIO M M INSTO M M g.: eazon de vncol an estern 9

10 osì, ad esemo, l carrello, che medsce la traslazone n drezone erendcolare al ano d aoggo, alca al unto del coro una forza d ntenstà arbtrara ortogonale alla retta d scorrmento del carrello (secondo cu lo sostamento è medto). a cernera, che medsce due traslazon, fornsce due reazon nelle drezon degl sostament medt. Il glfo, che medsce una rotazone e una traslazone, reagsce con un momento e una forza erendcolare alla drezone della traslazone medta. Infne, l ncastro fornsce tre reazon, due forze e un momento. Può drs n generale che un vncolo d moltelctà m alca m reazon vncolar ndendent, uno er cascun vncolo semlce costtuente l vncolo. Per quanto rguarda le reazon de vncol an ntern, oché ess lmtano gl sostament relatv tra due unt e j de due cor collegat, le reazon saranno drette secondo gl sostament relatv medt e sono ugual e d segno oosto su due cor. Vncolo Interno aresentazone EO j j ENIE j j j GIO M M j j j j INSTO g.: eazon de vncol an ntern ome gà ndcato, gl schem d vncolo commentat sora non sono altro che esemlfcazon d vncol real, che nseme allo schema d trave fornscono la ossbltà d modellare una struttura reale. Schema d calcolo M M j j Trave aoggata (es. trave n legno su mur) oggo n neorene d esemo, n fgura è llustrato l modello d una trave aoggata che nella realtà è costtuta da una trave n legno aoggata su due mur ermetral. Il carrello è lo schema d calcolo dell aoggo n neorene n fgura.

11 Nel caso generale d un sstema d n c cor rgd s ensa d sostture ad eventual vncol multl, ù vncol semlc equvalent. Se s eslctano nelle e M O le sngole azon reattve e s roettano le stesse equazon sugl ass d una terna cartesana ortogonale s ottene un sstema algebrco d 3n c equazon nelle n v ncognte, non omogeneo. S lbera qund la struttura da ogn vncolo, esterno ed nterno, er rdurla ad un sstema d trav, d cascuna delle qual sa ossble studare l equlbro usufruendo delle equazon cardnal della statca che convolgono le sole forze attve e reattve che drettamente le nteressano. Nel caso d equlbro d forze qualsas nel ano O s ossono sostture qund le tre equazon scalar: Σ Σ ΣM O () delle qual soltanto una, la terza, è un equazone de moment, con tre equazon de moment scrtte rsetto a tre ol dstnt non allneat, coè: ΣM ΣM ΣM () In questo caso s ottene una matrce d coeffcent dagonale. on rfermento alla fgura seguente basta sceglere tre ol,, nel modo ndcato n fgura erché le equazon () contengano soltanto le ncognte,, : S uò qund affermare che NES affnché un coro rgdo vncolato sa n equlbro è che s ( a) ( r) annull l momento M O M O delle forze attve e reattve agent sul coro rsetto a tre unt dsost secondo vertc d un trangolo non degenere. POEM STTIO S consder un sstema costtuto da n c cor rgd, mutuamente vncolat, generalmente, ma non necessaramente, vncolato al suolo. Il sstema occu la confgurazone d rfermento con atto d moto nullo e sa sollectato da un sstema d forze attve note. S vuole saere se l sstema ermane n quete n quella confgurazone e n caso affermatvo quant e qual sono gl stat reattv (coè l comlesso delle reazon vncolar) equlbrat con le forze attve note. Il roblema è governato dalle equazon cardnal della statca che devono essere soddsfatte er cascun coro del sstema. ducendo sa le forze attve che quelle reattve a ol O, nel rfermento O z, s ossono defnre delle forze attve e reattve generalzzate er le qual s scrvono le equazon cardnal della statca. oè s scrve un sstema d equazon del to: (a) (v) M O (a) M O (v) In cu (a) (a), M O e (v) (v), M O denotano rsettvamente l rsultante e l momento rsultante rsetto al olo O de sstem d forze attve e reattve agent sul coro -esmo. Per l generco coro s ha:

12 h h M Oh ( h ) M O ( ) h dove sono le forze esterne attve drettamente alcate a ed h sono le reazon che scamba con l suolo (reazon vncolar esterne) e con cor a cu è collegato (reazon vncolar nterne). Proettando le recedent relazon nel rfermento O z e tenendo conto che le equazon sono lnear nelle ncognte h s ottene: h he s uò anche scrvere come: h ( α β ) ( α β ) h h h h α h h β h h h h α r f β ove è la matrce d equlbro del sstema, d dmenson n m, dove m è la moltelctà globale de vncol ed n6n c, oure n3n c ; r {... } T è un vettore colonna d lunghezza m, che elenca le reazon vncolar ncognte; f è un vettore d lunghezza n che elenca le forze attve generalzzate. e reazon vncolar devono asscurare l equlbro con le azon esterne. Non è erò asscurato a ror che vncol sano n grado d equlbrare carch arbtrar né, se cò avvene, le sole equazon cardnal della statca determnano unvocamente l valore delle loro reazon. onsderamo ora sstem d trav, rcordando che l soldo trave uò ensars generato da un area ana (sezone trasversale) che trasla mantenendos normale alla traettora descrtta dal suo barcentro, detta asse geometrco. onsderamo come esemo un arco a tre cernere. Il sstema è costtuto da cor rgd. S assumono come ol d rduzone unt e. I vers otzzat come ostv er le reazon vncolar sono ndcat n fgura n corrsondenza de vncol (sa con l suolo che tra due cor). S scrvono qund con rfermento al caso n esame le equazon cardnal della statca. m Σ Σ oro () ΣM Σ Σ oro () ΣM M

13 3 Sntetzzando quest sstem d equazon n forma matrcale, s ha: M [] {r} {f} In altre arole, roettando le equazon cardnal della statca nel rfermento O z s ottene un sstema d equazon che uò essere scrtto come: [] {r} {f} {} dove [] è la matrce de coeffcent (o anche matrce d equlbro) del sstema d equazon d dmensone 6n c n v nello sazo e 3n c n v nel ano; {r} è un vettore colonna che elenca le reazon vncolar ncognte; {f} è un vettore che elenca le forze attve generalzzate, coè rdotte a ol O ( d dmenson 6n c nello sazo e 3n c nel ano). Se [] è quadrata ed è l det[], l sstema è statcamente determnato o sostatco e l roblema statco ammette una ed una sola soluzone: {r} [] - {f} Se l numero d vncol n v è suerore al numero (6n c o 3n c ) d grad d lbertà, l sstema è statcamente ndetermnato o erstatco. a matrce [] ha un numero d colonne maggore d quello delle rghe, er cu l sstema è ndetermnato. M

14 Se l numero d vncol è nferore al numero d grad d lbertà del sstema, l sstema è statcamente mossble o ostatco. a matrce [] ha un numero d rghe maggore del numero d colonne, er cu l sstema è sovradetermnato. Il roblema statco, n generale, non ammette soluzone. In base alle caratterstche della matrce d equlbro (dmenson 3n c n v ), s uò rocedere qund ad una classfcazone statca de sstem d cor rgd. S dstnguono quattro cas fondamental dscuss nel seguto. a) 3n c n v : Il numero de vncol è ar a grad d lbertà del sstema, la matrce è quadrata ed ha rango massmo, oché det. Il sstema s defnsce sstema statcamente determnato, o sostatco (3n c n v ). Il roblema statco ammette una ed una sola soluzone: r f qualunque sa l vettore delle forze attve generalzzate f. In questa classe rcadono sstem n cu l numero d reazon vncolar n v è uguale al numero d forze generalzzate, n6n c (nello sazo) o n3n c (nel ano) e er qual le forze generalzzate reattve rsultano lnearmente ndendent. onsderamo un sstema statcamente determnato o sostatco costtuto da un solo coro. e equazon cardnal della statca sono: r f In cu s ha: [ ] { r} { f } { } 3n n n 3n 3n c v v c c Polo d rfermento M r f Se s scegle l olo, s ha: 4

15 5 M b) 3n c <n v : Il numero de vncol è maggore de grad d lbertà del sstema. Il sstema s defnsce sstema statcamente ndetermnato, o erstatco (3n c <n v ). In questo caso un dato sstema d forze attve uò essere equlbrato da nfnt sstem d forze reattve tra loro equvalent. a matrce ha un numero d colonne maggore d quello delle rghe, er cu l sstema d equazon è ndetermnato. onsderamo l seguente esemo Polo d rfermento M f r e equazon ossono essere rscrtte ortando a secondo membro una colonna d e facendo n modo che la sottomatrce che resta a rmo membro sa non sngolare (ad esemo onamo n questo caso X): X X X X X X X a soluzone vene qund a dendere dalla scelta d X, che è un arametro arbtraro.

16 c) 3n c >n v : Il sstema ha un numero d vncol mnore del numero d grad d lbertà. Il sstema s defnsce sstema statcamente mossble, o ostatco. a matrce ha numero d rghe maggore del numero d colonne, er cu l sstema d equazon è sovradetermnato (3n c >n v ). Il roblema statco, n generale, non ammette soluzone. onsderamo l seguente esemo: Polo d rfermento r f Il roblema è mossble n quanto la rma e terza rga della matrce d equlbro sono tra loro roorzonal. Qualunque sano ed, l loro momento rsetto a, unto d ntersezone delle loro rette d azone, è nullo. Poché n generale la rsultante delle forze attve ha retta d azone r esterna a, l momento rsultante rsetto a è dverso da zero, coscché l equlbro non uò sussstere. d) 3n c n v : Il numero d reazon vncolar è ar a grad d lbertà del sstema, ma è det. In questo caso l sstema è statcamente degenere e l roblema statco non ammette soluzone. Il sstema degenere è qund essenzalmente statcamente mossble onsderamo l seguente esemo: 6

17 S scegle semre l Polo d rfermento. r f Il sstema non è rsolvble. causa della convergenza n delle reazon vncolar, è nullo l momento rsetto a delle reazon vncolar stesse, mentre è dverso da zero quello dovuto alle forze attve. Metod strategc d soluzone Il calcolo delle reazon vncolar uò essere effettuato se l sstema d cor rgd è vncolato n modo sostatco, ossa se l numero d vncol semlc è ar a grad d lbertà del sstema e vncol stess sono ben dsost (o effcac), coè dsost n modo da non lascare qualche moto rgdo al sstema. In defntva, le reazon vncolar ossono determnars, ne sstem an, scrvendo due equazon d equlbro alla traslazone secondo due drezon dstnte (n generale ortogonal) e una equazone d equlbro alla rotazone ntorno ad un unto qualsas del ano. altra arte, come vsto, la scrttura dretta delle equazon d equlbro d un sstema d cor rgd uò condurre ad un sstema d equazon le cu dmenson ossono essere grand, n relazone al numero d cor resent. nconvenente è rlevante se s rocede manualmente alla rcerca della soluzone. Per ovvare a tale roblema s cerca d svluare delle stratege d soluzone che, rcorrendo semre alle equazon d equlbro, conducano a formulazon che rchedano un mnore onere comutazonale. Per fare cò s cercherà d rsolvere delle equazon d equlbro n cu comaa semre una sola nuova ncognta rsetto a quelle sno ad allora determnate. S cerca qund d scrvere le equazon d equlbro sa er tutto l sstema che er sngole orzon d struttura, ovvero relatve a gru d cor, n modo tale che la rma equazone contenga una sola ncognta. questo unto s scrve una seconda equazone che contenga eventualmente l ncognta gà trovata ù una seconda ncognta, che ossa qund essere mmedatamente determnata, e così va. È ossble ercò raggruare cor a due a due, a tre a tre, etc., ovvero consderare l sstema nella sua globaltà. Per cascuno d quest gru d cor s scrvono tutte, o arte delle equazon cardnal della statca. In questo modo s cerca d combnare lnearmente n modo dretto le equazon d equlbro n modo da semlfcare la matrce de coeffcent. È mortante sottolneare che le equazon che s ossono scrvere sono n numero molto maggore delle reazon vncolar da determnare. ò n quanto le equazon non sono tra loro lnearmente ndendent: esse sono combnazon lnear delle equazon cardnal scrtte er cascun coro, che raresentano le equazon fondamental del roblema. In alcun cas uò, noltre, essere convenente o ndsensable rnuncare a scrvere la rma equazone n una sola ncognta e accontentars d scrvere due equazon n due ncognte, er o eventualmente rosegure con equazon n una sola ncognta. Per rocedere qund al calcolo delle reazon vncolar con la suddetta rocedura s nza soltamente cercando d utlzzare scrvendo le equazon d equlbro de moment equazon cardnal della statca urché ol sano dstnt e non rsultno (se n numero d tre) allneat. e equazon ossono essere relatve a ù cor, talvolta a tutto l sstema. 7

18 rendamo n esame l arco a tre cernere. E a scrttura dretta delle equazon cardnal della statca er due cor (coro) e E (coro ) fornsce tre equazon er cascun coro, e qund ad un sstema d se equazon n se ncognte. e reazon nterne ossono essere sosttute dalle comonent secondo gl ass d rfermento. Σ Σ oro ΣM Σ Σ oro E ΣM ome s uò notare ogn equazon contene al suo nterno due ncognte. ΣM ΣM Sosttuendo nelle altre equazon s ha:

19 elogo reazon /4 E /4 /4 /4 3/4 /4 Per semlfcare ulterormente l roblema s cerca ora d scrvere una rma equazone che contenga una sola ncognta. S consder ora l coro E (ossa tutto l sstema) e scrvamo l equlbro de moment ad esemo rsetto al olo (s uò anche nzare rendendo come rfermento l olo ). In questo caso l vncolo nterno non entra n goco n quanto s suone l sstema come fosse costtuto da un unco coro. e reazon nterne s evdenzano solo se s dvde l sstema nelle due art. oro E: ΣM Qund s rosegue con l equlbro n drezone : 4 Σ 4 questo unto s consdera uno de due cor d cu è comosto l arco a tre cernere, ad esemo l coro E: E 3 4 /4 9

20 etermnamo nnanztutto la reazone : Σ 4 È nel verso oosto rsetto a quanto otzzato n artenza. Proseguamo calcolando la reazone : ΣM Infne: Σ 4 tornando ora al coro E e scrvendo l equlbro n drezone orzzontale, s ha: Σ 4 ome s uò notare sono state scrtte se equazon (ar a grad d lbertà del sstema), cascuna contenente una sola ncognta. Utlzzando lo stesso rocedmento s ossono ovvamente consderare altre strade equvalent alla recedente. 4 ESEMPIO Per la struttura raresentata n g. s rchede d:. dmostrarne l sostatctà;. calcolare le reazon vncolar esterne ed nterne. E 4 m 4 N/m / / / Il sstema (un arco a tre cernere) è costtuto da due cor. Ha qund se grad d lbertà. I cor sono vncolat da due cernere esterne e una cernera nterna che fornscono comlessvamente se condzon d vncolo semlce (3n c n v ). e tre cernere non sono allneate non sono allneate, er cu vncol sono ben dsost. Il sstema è statcamente determnato o sostatco. In manera alternatva, er verfcare la condzone suffcente er l sostatctà del sstema, s uò determnare la matrce statca e controllare che non sa sngolare (det ).

21 alcolo delle reazon vncolar Sosttut vncol n, ed con le comonent reattve ncognte, l equazon d equlbro de moment rsetto al olo, scrtta er l comlesso della struttura, coè er le sole reazon esterne, fornsce: E 4 m 4 N/m / / / 3 3 ΣM 6 N 4 8 Proseguendo semre con lo stesso coro, s ha: 3 9 Σ 8 N 8 S rcorda che le drezon delle reazon sono note, mentre vers ossono essere nzalmente fssat n modo del tutto arbtraro. Se valor ottenut delle reazon rsultano ostv, vers arbtrar nzalmente fssat erano esatt. In caso contraro, dovranno essere modfcat e sosttut con vers oost a quell nzalmente assunt. questo unto, er determnare le atre reazon, s dvde l sstema ne due cor costtuent e s determnano le reazon vncolar rmaste. onsderamo l coro : oro 3/8 6 KN

22 Σ 3 8 N 8 Qund l verso nzalmente otzzato er la reazone è errato. ΣM N 6 Σ N 6 Tornamo ora al coro E: Σ N 6 nche n questo caso l verso ottenuto è oosto a quello otzzato. S uò a questo unto relogare le reazon trovate. elogo eazon Vncolar /6 KN E /8 KN 4 m 4 N/m /6 KN /6 KN / / / 3/8 6 KN 9/8 8 KN Provamo ora a determnare le reazon scrvendo drettamente l sstema d equazon rf. I vers otzzat delle reazon sono ndcat nella seguente fgura n accordo a quell otzzat nelle recedent elaborazon. Sceglamo come ol d rfermento ed. oro, olo : Σ Σ ΣM 4 oro E, olo :

23 Σ Σ ΣM E 4 m 4 N/m / / / a scelta de ol ed comorta che nelle due equazon d equlbro de moment comaano solo le reazon e. S uò qund nzare a rsolvere l sstema d equazon artendo da queste due. ΣM ΣM 4 ( ) 4 8 e qund: ( ) N 8 6 Sosttuendo valor così determnat nelle altre quattro equazon, s ha: N oro, olo : Σ N 6 3 Σ ( ) 6 N 8 8 oro E, olo : Σ 6 9 Σ 8 N 8 Una volta determnate le reazon esterne ed nterne è semre oortune verfcare la loro correttezza controllando che ognuno de cor che formano l sstema artcolato sa n equlbro. 3

24 ESEMPIO Per la struttura raresentata n g., s rchede d calcolare l valore delle reazon vncolar. m 4 N/m P 8 N P E g. In questo caso è convenente artre dal coro E che s confgura come una trave aoggata. Infatt, è mmedato constatare che le due reazon vertcal sono ar alla metà del carco rartto. E E E ΣM E 8 N Σ E 8 N Prendamo ora n esame l coro, er l quale è ora nota la reazone : P 8 N Σ 3 4 N ΣM P P (P 3)/ 6 N Σ P (P 3)/ P P 8 N 4

25 Tornando ora al coro E, s scrve l ultma equazone d equlbro necessara er trovare la reazone rmasta: Σ E E 6 N S not che vers otzzat n artenza erano corrett. elogo reazon vncolar: 8 N 4 N P m 4 N/m P 8 N 8 N 6 N 6 N 8 N E E 8 N E 6 N ESEMPIO 3 Per la struttura raresentata n g. s rchede d calcolare l valore delle reazon vncolar: m 4 N/m E g. 5

26 In questo caso er scrvere una equazone d equlbro contenente una sola ncognta è oortuno artre dal coro E. E E m 4 N/m ΣM 3 6 N Σ 8 N Passamo ora al coro n cu è ora nota la reazone : 8 N Σ ΣM 4 N Σ 4 N Tornando ora al coro E, s scrve l ultma equazone d equlbro necessara er trovare l ultma reazone: Σ E E 4 N 6

27 elogo reazon vncolar l/4 m 4 N/m l/4 l8 l/4 l8 E l/4 l6 7