CAPITOLO ELEMENTI FINITI

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1 CAPITOO EEMENTI INITI

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3 R. BARBONI COSTRUZIONI AEROSPAZIAI. Generaltà Con l avvento degl elaborator elettronc s è avuto un enorme svluppo d tutte quelle tecnche n grado d generare modell matematc n termn d un numero, anche molto elevato, d varabl dscrete. n verso la metà degl ann 5 l progetto strutturale venva condotto facendo largo uso d teore semplfcate n grado d produrre modell matematc d agevole soluzone analtca. o studo d strutture elementar qual aste, trav ad asse rettlneo o curvo, membrane, pastre, gusc,... condotto con modell matematc formulat n termn d equazon dfferenzal e le tecnche d rsoluzone analtca hanno consentto ndscutbl progress e conoscenze pù che suffcent per valutare l comportamento d tal element struttural. Quando po fosse stato necessaro l uso d tecnche numerche per la rsoluzone delle equazon dfferenzal, c s lmtava a dscretzzare l modello con un numero lmtato d parametr n modo da avere modell che mezz d calcolo del tempo consentvano d trattare. avvento degl elaborator elettronc ha rvoluzonato le metodologe d anals e verfca prvlegando modell dscret anche con un gran numero d varabl. Nel flone delle tecnche d dscretzzazone enorme rlevo ha ogg l metodo degl element fnt (M.E..) per la capactà d consentre, attraverso process tpc da elaboratore elettronco, l esame d strutture comunque complesse e con la precsone voluta. Pur rsultando dffcle precsare la data n cu l metodo degl E.. è stato nventato, possamo dre che nzalmente è stato svluppato su base fsca per l anals de problem della meccanca delle strutture. Comunque l metodo è applcable anche n altr settor ed ogg l concetto d elemento fnto ha assunto un sgnfcato ben pù ampo d quello esposto nelle present note. El.fnto Il M.E.. può essere consderato una generalzzazone del metodo Nodo matrcale utlzzato per l anals d strutture dscrete. e bas affondano n tre dstnt settor: della matematca applcata [,,], della fsca[4] e dell ngegnera[5,6] e la dzone Elemento nto è stata conata da Clough [7].

4 4 R. BARBONI EEMENTI INITI dea fondamentale del metodo è quella d pensare un contnuo, che d per sè non possede dvson natural, come un mosaco realzzato con tessere che sono element struttural d dmenson rdotte. e tessere costtuscono un retcolo cu punt d ntersezone vengono dett nod ; ogn tessera è d per sè un contnuo ma l suo comportamento, date le rdotte dmenson, può essere rappresentato con un numero dscreto d parametr defnt a suo nod. In altr termn ogn elemento strutturale vene dscretzzato e consderato collegato ne nod agl element crcostant. elemento d contnuo così dscretzzato prende l nome d elemento fnto ed l numero d parametr nodal che lo descrvono defnscono grad d lbertà dell elemento. Il numero de parametr dscret n grado d rappresentare l sngolo elemento fnto dpende dal tpo d elemento strutturale e dalla precsone voluta per rappresentare la realtà del contnuo dell elemento. Se ndchamo con N (e) l numero de nod del generco elemento e con g n grad d lbertà dell n-esmo nodo, l elemento possede un numero d grad (e) N d lbertà par a G (e) (e) = g. n= n Se ndchamo con N l numero de nod dell ntera struttura ed al generco nodo,..., n,..., N sono assocat g n grad d lbertà, dremo che la struttura è N stata schematzzata con G= grad d lbertà. g n n= Il contnuo è così rportato ad un sstema dscreto l cu comportamento è descrtto da un nseme d varabl dscrete ovvero da un numero G d parametr o grad d lbertà. Il numero d element fnt con cu rappresentare l ntera struttura dpende dal tpo e dalla precsone rchesta per rappresentare la realtà del contnuo. In generale, l mpego d poch element fnt d grand dmenson permette una valutazone rapda ma alquanto approssmata del comportamento della struttura reale, mentre un numero maggore d element fnt porta a rsultat pù attendbl ma ad un costo computazonale certamente maggore. ovvo compromesso porta frequentemente ad una grgla d schematzzazone cu element sono d dmenson dverse, utlzzando element d dmenson rdotte nelle part che rchedono una anals pù accurata ed element d dmenson pù grand nelle altre part.

5 R. BARBONI COSTRUZIONI AEROSPAZIAI 5 Nel condurre la dscretzzazone dovrà essere garantta l attendbltà della rappresentazone dscreta d un contnuo, sa per quanto rguarda l comportamento del sngolo elemento sa per quanto rguarda l potes che gl element fnt contgu vengono consderat unt uncamente ne loro nod, mentre nella realtà sono unt su tutto l loro contorno. In merto alla scelta de parametr dscret per defnre lo stato del sstema è naturale pensare, n smltudne al metodo degl spostament o degl sforz, che ess possano essere le varabl cnematche o quelle cnetche che vengono genercamente ndcate come spostament e forze. Nel metodo delle forze è necessaro ndvduare un sstema prmaro d forze nterne statcamente compatble, n partcolare: se la struttura è statcamente determnata, le equazon d equlbro sono suffcent a determnare l sstema d forze statcamente compatble. se la struttura è statcamente ndetermnata, le forze nterne oltre all equlbro debbono soddsfare anche la compatbltà. Nel metodo delle forze occorre qund un prmo e non sempre facle esame per rdurre la struttura ad un sstema prmaro statcamente determnato; noltre la rcerca della matrce d flessbltà ed l conseguente assemblaggo non è faclmente meccanzzable. Nel metodo degl spostament, per ogn elemento sono defnt gl spostament nodal n modo da formare un sstema prmaro geometrcamente determnato; s determnano qund le forze dovute a carch e gl spostament nodal untar (le rgdezze) del sstema prmaro ed nfne s calcolano valor degl sforz necessar ad asscurare l equlbro. Nel metodo degl spostament, s lavora su una struttura prmara cnetcamente determnata che d per sè permette un procedmento automatco. Rsulta qund evdente l vantaggo del metodo degl spostament rspetto al metodo delle forze. Alla base del metodo degl element fnt c è la scelta de parametr che caratterzzano l comportamento dell elemento e crter con cu rcercare l modello dscreto.. Procedmento questo legato alla schematzzazone d element struttural contnu (qund ad nfnt grad d lbertà) con element l cu comportamento è descrtto con un numero fnto d grad d lbertà. Una volta determnata la matrce d rgdezza o flessbltà dell elemento s utlzzano le metodologe classche de metod matrcal. Senza le necessare garanze, element b-tr-dmensonal contgu potrebbero aprrs o sovrappors lungo l contorno compreso tra punt nodal.

6 6 R. BARBONI EEMENTI INITI. Metod Matrcal A)Se l sstema è d per sè gà un dscreto, l metodo matrcale è una tecnca molto utle per defnrne l modello matematco n forma semplce e d pratco mpego per l anals numerca con l mpego del calcolatore. o scopo è quello d descrvere le propretà d ogn sngolo componente dscreto attraverso matrc che vengono po assemblate con tecnche faclmente generalzzabl e programmabl su elaboratore elettronco. S consder come prmo esempo un sstema composto da un certo numero d molle d rgdezza assale k (n) e s prenda n esame la sngola molla. u, k u, I suo estrem, nod natural ndcat con e, possono subre gl spostament u,u dovut all applcazone delle forze,. e equazon d equlbro s possono ottenere dalla stazonaretà dell energa potenzale: (.) E = k(u u ) u u da cu, dervando parzalmente rspetto ad u, u, s hanno le equazon: ku ku = (.) ku + ku = ovvero n forma matrcale: k k u (.) coè [ K]{ U} { } k k = = u a matrce [K] che trasforma gl spostament n forze è la matrce d rgdezza e rappresenta n termn esatt l legame costtutvo della molla. Poché la molla possede due grad d lbertà u,u, la matrce [K] ha dmenson ( ). In partcolare se u =u, la molla ha un moto rgdo d traslazone e le (.) sono dentcamente soddsfatte quando = sono equlbrate dalle forze d nerza; qund uno de grad d lbertà è relatvo al moto rgdo d traslazone e l altro al moto d deformazone elastca; questo è evdente anche dal fatto che l determnante della [K] è nullo, K =. a matrce [K] è smmetrca, rappresentando un sstema elastco ovvero d natura conservatva, e semdefnta ( K = ). C lmtamo ad esamnare l metodo matrcale pù dffuso nell anals strutturale senza dmentcare che ne esstono altr qual la matrce d trasfermento,... S not che, ed hanno lo stesso verso.

7 R. BARBONI COSTRUZIONI AEROSPAZIAI 7 Consderamo l sstema d fgura costtuto da due molle. u, k () u, k () u, per cascuna delle due molle consderate separatamente, vale la (.): () () k k u () () = k k u a a u, k () u a, a a ( ) ( ) k k u b b ( ) ( ) = k k u b u b, k () u, che, per l momento scrvamo nella forma: (.4) k k k k () () () () k k k k ( ) ( ) ( ) ( ) u u a a = u b b u Unendo le due molle, nel nodo deve essere garantta la congruenza u a =u b e l equlbro a + b =, pertanto: () () k k u () () ( ) ( ) (.5) k k + k k u coè [ K] { U} { } = = ( ) ( ) k k u formalmente analoga alla (.) salvo le dmenson ( ) d [K] perchè ora l sstema ha tre grad d lbertà u, u, u. Nel caso d un numero elevato d molle, l processo esposto potrebbe dventare nooso ma può essere faclmente automatzzato con meccansm tpc da elaboratore elettronco. Scrvendo la [K] che compare nella (.5) nella forma generale: (.6) [ K] k k k = k k k k k k

8 8 R. BARBONI EEMENTI INITI ed ndcando la [K (e) ] dell e-esmo elemento come: () () () () () k k () k k (.7) K = ; K () () () () k k = k k s può faclmente verfcare che coeffcent della (.6) s ottengono da coeffcent delle (.7) nel modo seguente: (.8) k = k + k ( ) ( ) In sostanza è come se le due sottomatrc della (.4) s sovrappongono al nodo dove confluscono le due molle. Il processo può qund essere così generalzzato: termn sulla dagonale prncpale k s ottengono sommando tutte le rgdezze degl element struttural che confluscono sul nodo -esmo, termn fuor dagonale k s ottengono sommando tutt termn degl element che legano l nodo -esmo con quello -esmo. a matrce d rgdezza (.6) possede le stesse propretà delle (.7): [K] è una matrce quadrata (N N) con N numero d grad d lbertà; [K] è smmetrca; l determnante K=, ndce d presenza d moto rgdo. oltre quella d rsultare bandata ovvero con termn che s addensano nell ntorno della dagonale prncpale. Vedamo ora come nterpretare l sstema (.5): (.9) [ K]{ U} = { } In cascun nodo, se è dato lo spostamento s ha come ncognta la forza e vceversa, se è data la forza s ha come ncognta lo spostamento. Pertanto la (.9) è un sstema d tante equazon n altrettante ncognte. Così nel caso n cu fosse mpedto lo spostamento nel nodo mentre ne nod, c fossero applcate le forze,, ndcando con R la reazone vncolare, s ha: (.) = (k k )u k u k u + k u = () k u R () () () + = () () le ultme due sono un sstema d due equazon nelle due ncognte u,u : () () () k + k k u * (.) K { U} { } () () = = k k u

9 R. BARBONI COSTRUZIONI AEROSPAZIAI 9 a matrce [K * ] nella (.) è quella orgnara (.5) senza la prma rga e la prma colonna; n pratca mporre u =, equvale ad elmnare nella (.5) la corrspondente rga e colonna. Naturalmente, avendo elmnato l moto rgdo, l determnante della [K * ] è, qund l sstema (.) è nvertble: ( ) ( ) ( ) u k k k (.) u = + ( ) ( ) k k Not gl spostament, la prma delle (.) consente d determnare l ultma ncognta, la reazone vncolare R. Come s vede, una volta nota la [K (e) ] dell elemento, è tutto estremamente semplce con process tpc da calcolatore elettronco che rassumamo: )S assemblano le [K (e) ] utlzzando la (.8): e (.) k = ( ) k e )S rorganzza l vettore {U} accorpando n un sottovettore {U N } gl spostament nodal assegnat ed n {U I } quell ncognt, qund: (.4) { } + { } = { } { } + { } = { } K U K U R K K U K U K U NN NI N I NN N NI I I K K U R NI II I = N NI N II I N )Dalla seconda delle (.4), s rcava l vettore degl spostament ncognt: ( ) I II N NI N (.5) { U } = [ K ] { } [ K ]{ U } 4)Dalla prma delle (.4), s rcava l vettore delle reazon vncolar: ( ) I NN N NI II N NI N (.6) { } = [ K ]{ U } + [ K ][ K ] { } [ K ]{ U } B)Anche per un contnuo è possble, n partcolar cas, realzzare un modello matematco esatto n termn d un numero d fnto parametr. B)S consder una travatura retcolare pana composta da aste unte agl estrem da cernere. I carch sano applcat solo agl estrem (nod) delle sngole aste. Y Z 4 4 X

10 R. BARBONI EEMENTI INITI I sngol element sono qund soggett solo a carch assal e s comportano come aste sollectate lungo l propro asse. Esamnamo la sngola asta n un sstema d rfermento ortogonale x,y,z, con x concdente con l asse dell asta, che ndchamo come sstema d rfermento locale, per dstnguerlo da quello globale X,Y,Z. Indchamo, per la generca asta, come nodo -esmo l estremo d snstra e nodo -esmo quello d destra.. A dett y x nod sono applcate le forze assal, z e sono possbl gl spostament u, u. u, u, equazone nel campo, u (x)=, ha come soluzone: (.7) u(x)=c +c x funzone delle due costant c,c. Per uno specfco problema, tal costant dpendono dalle specfche condzon agl estrem. Volendo caratterzzare l comportamento dell elemento n termn general dcamo che lo spostamento al nodo -esmo vale u e quello al nodo -esmo u. Possamo qund esprmere c, c n funzone d u, u, mponendo le condzon (.8) u()=u ; u()=u e qund: x u( ξ) = ( ξ) u + ξu dove ξ = che, n forma matrcale, s scrve: (.9) u( ξ) = {( ξ) ; ξ} u u Per l prncpo de lavor vrtual, per cu l lavoro vrtuale delle forze nterne è uguale a quello delle forze esterne: = + (.) da σδε dξ δu δu A Rcordando le relazon costtutve e cnematche e la (.9): dδu δu Edu E u δε = = { } ; { } d u σ = = d u ξ δ ξ S lasca al lettore l utlzzazone del prncpo d stazonaretà dell energa.

11 R. BARBONI COSTRUZIONI AEROSPAZIAI la (.) s scrve: EA u u = Dovendo la (.) valere per qualsas scelta d δu, δu, e ponendo: (.) { δu ; δu } { } dξ { δu ; δu } AE (.) [ K] = { } la (.), s scrve: ( (.) [ K e ) ( ]{ U e ) ( } { e ) = } dξ = AE Dove le grandezze sono rportate con la soprallneatura per rcordare che sono valutate rspetto al sstema locale, mentre l apce (e) ndca che la (.) vale per l elemento e-esmo. Ovvamente prma d procedere all assemblaggo de var element della struttura retcolare dovremo trasformare la (.) nel sstema d rfermento globale X,Y,Z. B)S consder l telao (o portale) pano d fgura, smle al caso B) dove ora gl element, unt non da cernere ma rgdamente, sono trav, soggetta a forze e moment applcat solo agl estrem. Nel sstema d rfermento locale x,y,z, l 4 4 comportamento assale della trave è X descrtto dalle (.); c lmtamo qund a Y Z consderarne l solo comportamento flessonale. Al nodo -esmo d snstra e al nodo -esmo d destra sono applcate le forze, ed moment M, M ; le corrspondent varabl cnematche sono gl spostament, e, M, M x le rotazon,. a convenzone su segn d forze, moment, spostament e,, rotazon è quella rportata n fgura. Il lettore ponga attenzone a vers assunt per le forze ed moment. Tradzonalmente s adottano due dstnte convenzon: la prma utlzzata per la formulazone analtca e l altra per l anals numerca agl element fnt. Charamente, data la lneartà d comportamento due effett sono po sommabl.

12 R. BARBONI EEMENTI INITI a tabella mette a confronto le due convenzon, evdenzandone le dfferenze d segno. Convenz. Convenz. M T T a Τ M x,u P M M a P P P z a Τ y T T b M Τ M M a M b x,u b P P P b P z Poché spostament e rotazon rmangono Τ b y nalterate n ambedue le convenzon, non occorrono per esse trasformazon specal. Il perché d questa nuova convenzone è evdente se s pensa al momento dell assemblaggo delle matrc n cu moment e forze nello stesso nodo vanno sempre a sommars pur provenendo da element dvers. equazone nel campo, IV (ξ)=, ha soluzone: (.4) (ξ)=c +c ξ+c ξ +c ξ In smltudne a quanto fatto n B) mponendo: s ha: () = () = ξ= ; ξ= ' ' () = () = ξ = { ξ + ξ ξ+ ξ ξ ξ ξ ξ ξ } = ξ ( ) (.5) ( ) ;( ) ;( ) ;( ) { N( )}{ } Per l prncpo de lavor vrtual: (.6) EI '' '' δdξ = δ+ δ M + δ+ δ M poché: '' = 6+ ξ ; 46 ξ ; 6 ξ ; 6ξ = B( ξ) {( ) ( ) ( ) ( )} { }{ }

13 R. BARBONI COSTRUZIONI AEROSPAZIAI la (.6) s scrve: (.7){ } { } { } { } { } { } { } { } { } { } T T T T T EI B B d [K] δ ξ = δ δ = δ Qund, nel sstema locale e per la generca trave, analogamente alla (.): (.8) EI M M = n cu le component del vettore { } hanno tutte le dmenson d una lunghezza e quelle e del vettore { } d una forza. Volendo mantenere alle sngole component le dmenson del sgnfcato fsco che gl compete: (.9) EI M M = C)Trave trata ed nflessa. Nel caso n cu la trave s consdera con capactà sa estensonal che flessonal, la matrce d rgdezza s ottene dalla sovrapposzone dell elemento asta e trave nflessa, ovvero: EA EA EI EI EI EI EI EI EI EI EA EA EI EI EI EI EI EI EI EI u u x z =,, y x z y M M,,,,

14 4 R. BARBONI EEMENTI INITI. Trasformazone d coordnate nel pano A)Consderamo la struttura retcolare pana d fg. a) composta d element aste. Per la generca asta, d fg. b) valgono le (.,) nel sstema d rfermento locale x,y,z. x 4 4 X Y X Z g. a) z Z g. b) Tra due sstem, quello globale XYZ e quello locale xyz, vge la trasformazone: X x (.) Z = cos sen sen cos z e quella nversa: x z = cos sen sen X = cos Z (.) [ T] X Z Relazone valda anche per vettor forza e spostamento n cascun nodo e per qualsas vettore sa esso forza o spostamento. Qund: (.) [ T] u [ T] u x X x X z = ; = Z z Z ovvero: cos sen (.4) x, z, x, z, sen cos = cos sen sen cos che, ndcando soprallneate le grandezze nel sstema locale, s scrve: (.5) { } = [ R]{ } X, Z, X, Z,

15 R. BARBONI COSTRUZIONI AEROSPAZIAI 5 Una relazone analoga vge per gl spostament: (.6) { U} = [ R]{ U} E evdente che, mentre nel rfermento locale l unca componente non nulla dello spostamento è la u x lungo l asse dell asta, nel rfermento globale sono genercamente present ambedue le component u X, Z. Pertanto per utlzzare le (.5,6) le relazon nel sstema locale (.,) devono essere scrtte prevedendo, anche se nulle, le component n drezone y, coè nella forma: u u EA (.7) z, = [ K]{ U} = {} che, utlzzando le (.5,6), nel sstema globale s scrve: (.8) [ K][ R]{ U} = [ R]{ } [ R] T [ K][ R]{ U} = { } n defntva: T (.9) [ ]{ } { } [ ] [ ] [ ][ ] x, x, z, K U = dove K = R K R Così, nel caso specfco, la matrce d rgdezza dell asta d fg.b) nel sstema globale XZ, ponendo c=cos, s=sen, rsulta: (.) [ K] = EA c cs c cs cs s cs s c cs c cs cs s cs s Solo ora, che conoscamo la [K] nel sstema globale, possamo procedere all assemblaggo delle vare aste che costtuscono l sstema strutturale d fg. a), utlzzando le relazon (.8).

16 R. BARBONI EEMENTI INITI 6 B)Nel caso d trave nflessa, possamo fare consderazon analoghe notando che mentre tra le component delle forze e degl spostament tra sstema globale e locale vgono le (.), per quanto rguarda rotazon e moment queste rmangono nvarate a seguto della trasformazone. Qund: (.) M c s s c M u c s s c u x z y X Z Y x z y X Z Y = = ; Rcordando la (.9) ed espandendo la matrce d rgdezza n modo da prevedere anche la componente u: (.4) EI u u M M x z y x z y =,,,,,, qund la matrce d trasformazone che consente d passare dal sstema globale a quello locale: (.5) { } [ ]{ } { } [ ]{ } R R = = ; rsulta: (.6) [ ] R c s s c c s s c = Per cu la matrce d rgdezza nel sstema globale s ottene utlzzando una relazone analoga alla (.9).

17 R. BARBONI COSTRUZIONI AEROSPAZIAI 7 4. elemento fnto Nella realtà, aste, trav, pastre, gusc,... non sono sollectat solo con carch applcat a loro estrem ed l loro comportamento non può essere rappresentato n modo esatto solo da due o quattro parametr come vsto precedentemente. Così nel caso d trave nflessa con carch dstrbut lungo l asse la (.5) non rappresenta la soluzone esatta del problema dell ntera trave. Se però mmagnamo d dvdere dealmente la trave d lunghezza n element d trave lungh l n ed mmagnamo d concentrare l carco solo a nod, la (.5) rappresenta una soluzone valda nell ambto d ogn elemento l n. Per cascuno d ess l comportamento elastco è descrtto dalla matrce d rgdezza (.9). Il modello ad E.. dell ntera trave sarà dato assemblando le [K (e) ] de var element. q x z z M, M, l,, x x Nel caso d fgura, consderando 7 nod, n ognuno de qual sono possbl due G.., l modello matematco del contnuo trave è dato da un sstema dscreto a 4 G.., salvo vncol. In tale modo d procedere notamo: a)che abbamo assunto che la struttura è una trave a comportamento flessonale; b)che, nell ambto della teora della trave, le varabl cnematche sono lo spostamento fuor del pano (x) e la rotazone (x); c)che lo spostamento (x), n ogn elemento pccolo ma contnuo, vene approssmato con un numero fnto d parametr utlzzando la (.4). Ne consegue, nell potes d Krchoff, la rotazone (x) = / x ; d)che parametr con cu esprmere lo spostamento (x) sono gl spostament e le rotazon a nod dell elemento; e)che l carco dstrbuto q(x) è ad un sstema d forze e moment concentrat ed applcat solo a nod. I pass c),d),e) fanno sì che un elemento contnuo sa modellzzato n termn dscret. Il modello dscreto dell elemento è detto elemento fnto.

18 8 R. BARBONI EEMENTI INITI Con questa sere d potes s realzza un modello approssmato del comportamento della struttura. mportante è fssare crter con cu s effettua la dscretzzazone e capre l tpo e l ordne d approssmazone ntrodotto. Questo consente d poter raffnare l modello fno a tendere alla soluzone esatta del problema. Vedamo var pass da fare n generale per arrvare al modello dscreto. )Innanz tutto la struttura reale, contnua, vene dealmente taglata da superfc e lnee n modo da pensarla costtuta da element. I punt estrem o d spgolo dell elemento sono nod. )S dentfca l comportamento d ogn elemento (o classe d element) della struttura con l comportamento d un elemento tpco nell ambto d una certa teora dell elastctà. S avranno così element tpo asta, trave,... In funzone del tpo d elemento s ndvduano le varabl cnematche, che ndcheremo genercamente come vettore spostamento {S(x,y,z)}, le varabl d deformazone {ε(x,y,z)} e d sforzo {σ(x,y,z)}. )S dscretzza l comportamento dell elemento rappresentando le varabl cnematche {S} attraverso un numero dscreto d parametr, defnt solo ed uncamente a nod. Tal parametr { } sono ndcat come spostament nodal. Il numero g delle component l vettore { }, ndca l numero d varabl con cu è dscretzzato l elemento e dremo che l elemento fnto (E..) possede g grad d lbertà (G..). Qund: (4.) {S(x,y,z)} = [N(x,y,z)] { } Ovvamente la (4.) può rsultare esatta solo nel caso d anals statca e per element che sano conness ad altr n un numero dscreto d punt. Nel caso generale d elemento unto con contnutà a quell crcostant e d anals dnamca la (4.) rappresenta solo una espressone approssmata degl spostament. a matrce [N] è l nseme delle funzon che consente d esprmere, punto per punto, lo spostamento all nterno dell elemento n funzone d { }. Possamo qund pensare ed ndcare le component d [N(x,y,z)] come funzon d nterpolazone degl spostament nodal. 4)Esprmere le deformazon n termn degl spostament nodal. Rcordando le relazon cnematche, che legano le deformazon agl spostament ed utlzzando le (4.): (4.) { ε } = [ Bxyz (,, )]{ } S not: )-{S},{ε},{σ} sono funzon d x,y,z, coè l elemento è ancora un contnuo; )- nom d tal vettor sono post tra ad ndcare che non sempre le dmenson fsche corrspondono al nome.

19 R. BARBONI COSTRUZIONI AEROSPAZIAI 9 5)Attraverso legam costtutv del materale possamo esprmere gl sforz n termn d { }: (4.) { σ} = [ C]{ ε} = [ C][ B( x, y, z) ]{ } 6)S esprmono le forze elastche n termn degl spostament nodal { }. A tale scopo s possono mpegare vare tecnche: mnmzzazone dell energa elastca, prncpo de lavor vrtual, equazon d agrange... Per la sua completa generaltà e possbltà d utlzzo ndpendentemente dalla natura delle forze n esame utlzzamo l prncpo de lavor vrtual, per cu l lavoro vrtuale delle forze elastche rsulta: T (4.4) δ = { δε} { σ} dv V che, rcordando le (4.,), s scrve: T T T (4.5) δ= { δ } [ B] [ C][ B] dv{ } = { δ } [ K]{ } V avendo ndcato con [K] la matrce d rgdezza: T (4.6) [ K] = [ B] [ C][ B] dv V Pertanto le forze elastche sono espresse come: (4.7) [ ] [ K]{ } E = S not come per ottenere la (4.6) s sano utlzzate sa le relazon cnematche che quelle costtutve. Inoltre, ntegrando su tutto l volume, nella [K] compaono anche le dmenson geometrche oltre a modul elastc del materale con cu è realzzato l elemento. 7)S concentrano a nod le eventual forze dstrbute. e forze (generalzzate), sa esterne che quelle dovute alle reazon vncolar, che rsultano concentrate n alcun punt, non mertano una partcolare anals. Infatt possamo sempre assumere punt dove le forze sono applcate come nod della struttura; n caso d forze dstrbute, queste vanno opportunamente rportate come carch concentrat applcat a nod. Invece nel caso d forze (generalzzate) dstrbute, s deve provvedere a sostturle con un sstema d forze (generalzzate) statcamente equvalente

20 R. BARBONI EEMENTI INITI applcato a nod. Charamente maggore è l numero d nod scelt, pù accurata è l anals ma maggore l lavoro da esegure. Una tale dscretzzazone può prescndere dalla (4.) ma n una ottca pù rgorosa nell ambto della teora degl E.. è opportuno che anche la dscretzzazone de carch segua la stessa logca seguta per valutare la (4.6). In quest ultmo caso s parla d matrce de carch consstente. Un modo semplce ma effcace per trovare l sstema d forze nodal consstente è quello d mporre che l lavoro vrtuale delle forze a nod sa uguale al lavoro vrtuale delle forze realmente applcate. Nel caso generale d forze per untà d volume {f V }, forze per untà d superfce {f S }, e forze concentrate a nod {f N }, s scrve: T T T T (4.8) { δs} { f } dv + { δs} { f } da + { δ } { f } = { δ } { } V V A S N 8)S scrve l equazone d equlbro dell elemento. A tal fne è suffcente uguaglare l lavoro vrtuale delle forze nterne espresso dalla (4.5) a quello delle forze esterne espresso dalla (4.8): T T (4.9) { δ } [ K]{ } = { δ } { } che, dovendo valere per qualsas {δ } porta alla classca relazone: (4.) [ K]{ } = { }

21 R. BARBONI COSTRUZIONI AEROSPAZIAI 5. Requst dell Elemento nto Ne var pass precedentemente espost abbamo scuramente soddsfatto, avendole mpegate, alcune delle relazon fondamental alla base della teora dell elastctà, qual: e relazon cnematche (4.). I legam costtutv (4.). e condzon (4.9) che garantscono l equlbro. Inoltre abbamo tenuto conto della geometra dell elemento ntegrando su tutto l volume dello stesso. Il tutto partendo con l assumere l campo degl spostament nella forma (4.), dove nente s è detto crca la scelta delle funzon nterpolant [N]. Sempre nell ambto della teora dell elastctà, gl spostament devono rsultare contnu e dervabl. Pertanto la [N(x,y,z)] deve essere scelta n modo da garantre spostament {S(x,y,z)} contnu n ogn punto dell elemento, contorno compreso. Altr requst mpost alle funzon nterpolant dervano dal garantre che nel processo d dscretzzazone non vengano perse alcune caratterstche propre del contnuo. Solo n tale caso s è garantt che aumentando l numero d G.. la struttura tende nuovamente al contnuo e la soluzone tende alla soluzone esatta. Per avere convergenza monotona, l elemento fnto deve rsultare completo e compatble. Propretà che possono essere garantte solo attraverso una donea scelta delle funzon nterpolant [N]. AUn elemento gode della propretà d completezza se soddsfa a due seguent requst: A. Capactà d compere spostament rgd. a necesstà d una tale propretà è evdente dalla fgura che rporta una trave prma e dopo la deformazone conseguente all applcazone del carco P. Tutt gl element, ndpendentemente dal P fatto che subscano deformazon a seguto della sollectazone, devono poter segure l moto dervante da ch l precede e/o segue. A tal mot rgd negl element,,,4 s vanno a sommare quell conseguent allo stato d sollectazone. Gl element 5,6,7, pur non sollectat, traslano e ruotano rgdamente. 5

22 R. BARBONI EEMENTI INITI Il numero de mod rgd possbl per un elemento può essere analzzato attraverso l anals degl autovalor della relatva matrce d rgdezza: (5.) [ K]{ X} = λ { X} da cu, ndcando con [W], la matrce degl autovettor e [Λ] la corrspondente matrce dagonale degl autovalor: T (5.) [ W] [ K][ W] = [ Λ ] pertanto possamo nterpretare l autovalore come la rgdezza generalzzata relatva al corrspondente autovettore. In altr termn λ, λ,..., ndca quanto è rgdo l elemento nel modo corrspondente. Qualora s abba λ=, la rgdezza corrspondente è nulla e qund la struttura s muove rgdamente. a trasformazone (5.) consente pertanto d ndvduare mod rgd rspetto a quell d deformazone elastca. A. Capactà d garantre uno stato d deformazone costante al tendere a zero delle dmenson dell E.. Infatt lo stato d deformazone d un elemento che tende a zero tende a dventare costante e pochè un elemento fnto può essere pccolo quanto s desdera, nella sua rappresentazone dscreta deve essere mplcta tale capactà. BUn elemento gode della propretà d compatbltà se gl spostament sono contnu non solo al suo nterno ma anche al suo contorno, ovvero lungo bord d element contgu. scamente la condzone d compatbltà garantsce che non v sano lacerazon e/o compenetrazon tra element contgu una volta assemblat. a compatbltà è automatcamente soddsfatta tra element aste e trav, dal momento che sono unt solo a nod dove s mpone l uguaglanza degl spostament tra element che convergono sullo stesso nodo. Nel caso d element nello stato d sollectazone o deformazone pana, element d lastra pana, element trdmensonal n cu le component d {S} sono u,v,, la contnutà è asscurata assumendo [N] lneare n x,y,z. Pù dffcle è garantre la compatbltà per element non monodmensonal soggett a flessone, dove n [N] compaono termn nelle potenze d x,y,z. Un modo d procedere per ottenere delle [N] che garantscono requst ndcat n A,B è d sceglere le [S(x,y,z)] come combnazone lneare d funzon [Φ(x,y,z)] contnue e dervabl.

23 R. BARBONI COSTRUZIONI AEROSPAZIAI Una classe d funzon Φ(x,y,z) molto utlzzate sono polnom, che sono funzon contnue e faclmente dfferenzabl. Indchamo con {A} l vettore de coeffcent della combnazone lneare: (5.) {S(x,y,z)} = [Φ(x,y,z)]{A} Tal coeffcent ncognt sono scelt n numero par a grad d lbertà g dell elemento, per cu l vettore {A} ha le stesse dmenson del vettore { }. I coeffcent {A} possono essere espress n termn degl spostament nodal rcordando che a nod deve rsultare {S} n ={ }, qund: (5.4) [Φ(x n,y n,z n )]{A}={ } da cu: (5.5) {A} = [Φ(x n,y n,z n )] { } pertanto coeffcent del polnomo non rappresentano uno spostamento fsco ma una combnazone lneare de real spostament nodal e per questo sono ndcat come coordnate generalzzate. Element fnt la cu formulazone è basata assumendo per gl spostament espresson che sono funzon d coeffcent ncognt consderat come coordnate generalzzate sono dett modell fnt n coordnate generalzzate. Sosttuendo la (5.5) nella (5.): (5.6) {S} = [Φ(x,y,z)] [Φ(x n,y n,z n )] { }=[(N(x,y,z)]{ } ovvero la (4.). Ovvamente, oltre a polnom possono essere usate altre funzon, mpegando la stessa tecnca. 6. Elemento fnto d asta Per l asta s ha: lo spostamento: (6.) {S(x)} u(x) la deformazone: (6.) {ε(x)} ε x (x) lo sforzo: (6.) {σ(x)} σ x (x)

24 4 R. BARBONI EEMENTI INITI elemento fnto è quello d fgura a due G.., per cu lo spostamento (6.) può essere approssmato con un polnomo n due sol parametr: (6.4) {S(x)} u(x) =a + a x ovvero, n forma matrcale: (6.5) ux ( ) = { x} a a Imponendo le (5.4): a a = = a a che sosttuta nella (6.5): (6.6) ux ( ) = { x} Pochè: x x = + u x (6.7) { ε} ε = = { } per cu, confrontata con la (4.): (6.8) { B} = { } x y z Dalla Tabella s ha che [C]=E, qund applcando la (4.6): x EA (6.9) [ K] = { } EA dx = Il lettore può constatare che l E.. d asta è: completo, dal momento che è consentto l moto rgdo d traslazone (presenza del termne a nella (6.4)) ed ndpendentemente dalla dmenson la deformazone è costante; compatble, perchè unto ad altr solo a nod dove è defnto lo spostamento.

25 R. BARBONI COSTRUZIONI AEROSPAZIAI 5 7. Elemento fnto d trave nflessa Per la trave nflessa s ha: le varabl cnematche del moto sono spostamento e rotazone, qund l vettore spostamento rsulta: (7.) { Sxz} (, ) = la deformazone conseguente è la curvatura: (7.) {ε(x)} / x lo sforzo è l momento: (7.) {σ(x)} Μ x (x) elemento fnto è quello d fgura a quattro G.. Consderando valde l potes d Krchoff per cu la rotazone è la dervata dello spostamento, lo, M, M x spostamento può essere approssmato con un polnomo con quattro coordnate generalzzate:,, (7.4) (x) =a + a x + a x + a 4 x ; = a + a x + a 4 x ovvero, n forma matrcale: (7.5) Imponendo le (5.4): a x ( ) x x x a ( x) = x x a a 4 a a a a 4 = a a = a a 4

26 6 R. BARBONI EEMENTI INITI che sosttuta nella (7.5): x x x (7.6) = x x Pochè: x (7.7) { ε} ε = = { x} x 6 per cu, confrontata con la (4.): (7.8) { B} = { 6+ x ; 4 + 6x ; 6x ; + 6x} Dalla Tabella s ha che per la trave nflessa [C]=EI, qund applcando la (4.6) s ottene la (.9). Il lettore può constatare che l E.. d trave è: completo, dal momento che è consentto l moto rgdo d traslazone (presenza del termne a ) e d rotazone (presenza del termne a ) ed per la deformazone (7.7) rsulta costante; compatble, perchè unto ad altr solo a nod dove è defnto lo spostamento e la rotazone.

27 R. BARBONI COSTRUZIONI AEROSPAZIAI 7 BIBIOGRIA [] Courant, Varatonal Methods for the Soluton of Problems of Equlbrum and Vbratons Bulletn of the Amercan Mathematcal Socety, Vol. 49, 94, pp.-. [] R.Courant and D.Hlbert, Methods of Mathematcal Physcs, John Wley & Sons, Inc., Ne York, N.Y., 95. [] J..Synge, The Hypercrcle n Mathematcal Physcs, Cambrdge Unversty Press, ondon, 957. [4] S.G.Mkhln, Varatonal Methods n Mathematcal Physcs, Pergamon Press, Inc., Elmsford, N.Y., 964. [5] M.J.Turner, R.W.Clough, H.C.Martn, and.j.topp, Stffness and Deflecton Analyss of Complex Structures, Journal of Aeronautcal Scence, Vol., 956, pp [6] J.H.Argyrs and S.Kelsey, Energy Theorems and Structural Analyss, Arcraft Engneerng, Vols. 6 and 7, 955. [7] W.Clough, The nte Element n Plane Stress Analyss, Proceedngs, nd A.S.C.E. Conference on Electronc Computaton, Pttsburgh, Pa., Sept. 96. [8] O.C.Zenkecz,, The nte Element Method, rd ed., McGra-Hll Book Company, Ne York, N.Y., 977. [9] J.S.Przemeneck, Theory of Matrx Structural Analyss, McGra-Hll Book Company, Ne York, N.Y., 968.