Metodo Monte Carlo. E. Vardaci

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1 Metodo Monte Carlo Metodo Monte Carlo Alcazon Bblografa Metodo Monte Carlo R. Y. Rubnsten; Smulaton and the Monte Carlo Method, Wley &Sons (98 Yu. A. Shreder; Method of Statstcal Testng, Elsever (964 F. James; Monte Carlo Theory and ractce, Re. rog. hys. Vol.43 (98 45 L. Lyons; Statstcs for nuclear and artcle hyscsts, Cambrdge (989

2 Introduzone al Metodo Monte Carlo Concett ntroduttv e dstrbuzon Metod d Generazone d sequenze con dstrbuzon assegnate Metodo esato Integrazone d Funzone Alcazon l Metodo Monte Carlo (I un metodo numerco d rsoluzone d roblem matematc attraverso l camonamento d varabl random nseme d metod d smulazone d un qualsas rocesso la cu evoluzone e condzonata da fattor stocastc (aleator cercare la soluzone d un roblema raresentandola quale arametro d una otetca oolazone e nello stmare tale arametro tramte l esame d un camone della oolazone ottenuto medante sequenze d numer casual.

3 l Metodo Monte Carlo (II ota storca Il termne Monte Carlo fu ntrodotto da Metrools durante l Manhattan roject. Sequenze d numer random furono usate da Ferm er studare la dffusone d neutron n materal fssl. Ht or Mss (I A Ht Selezonamo unt unformemente e stocastcamente nel rettangolo (hnt: lancamo de sass ad occh chus S A S ˆ S θ S A Mss s numero d unt che cadono nella suerfce S S S A robablta che un sasso cada all nterno dell area S stma d stma d S Una stma d S e l valore atteso d θ

4 Ht or Mss: F. A. Q. Quant lanc? Ovvero, qual e l errore? Che succede se l area e fuor dalla nostra gttata? Il metodo e d scarso auto se non conoscamo la recsone della stma! Bernoull Trals Eserment n cu sono ossbl solo due est (outcomes: successo ( o nsuccesso ( X X varable aleatora d Bernoull ρ - ρ < ρ < E(X (-ρ ρ ρ E(X (-ρ ρ ρ Var(X E(X - E(X ρ ( ρ

5 Bernoull Trals (II Ma no samo nteressat al numero d success su tentatv Dobbamo qund esegure eserment d Bernoull statstcamente ndendent con robablta d successo: S A robablta che un sasso cada all nterno dell area S Dstrbuzone Bnomale Dato un esermento che uò avere come esto un successo o un nsuccesso (Varable Bernoullana detta la robabltà d avere un successo, la robabltà d avere k success n n tentatv è data da: ( k;, k k ( k k!! ( k! k ( k La dstrbuzone bnomale accetta solo valor dscret L ordne de success nella sequenza non e mortante La dstrbuzone bnomale O è smmetrca

6 Bnomale vs. Bernoull Bnomale Bernoull E[X] E[X] Var(X (- Var(X (- La dstrbuzone bnomale s rduce a quella d Bernoull er. DstrbuzoneBnomale (II robabltà n 3.5 meda.5 σ.43 robabltà n 3.5 meda 5 σ # d success # d success (ν er n >> la dstrbuzone dventa smmetrca er n >> la dstrbuzone è arossmata da una gaussana

7 Ht or Mss (II X v.a. d Bernoull S S S θ A A stmatore d S E(θ Var σ θ [ θ ] E A Var A A E A ( E( X A S S S S ( A A S S Var( s ( A S ( A S A ( D Ht or Mss (III n: numero medo d success n < S >< > < > σ θ θ σn n ( σ θ θ S S Es. SA/, n /, σ θ /θ -/, er stmare S con la recsone dell % occorre lancare 4 sass.

8 Dsuguaglanza d Chebychev (I v.a. X con df qualsas E[X] µ momento rmo della oolazone V[X] σ varanza della oolazone la robablta che una nuova estrazone dffersca da E[X] (n valore assoluto u d una quantta assegnata ostva e e data da: V[ X ε ( E[ X ] ε V[ X ] σ La relazone e vera anche er camon e gl stmator ] ε ε Dsuguaglanza d Chebychev (II ε kσ E[ X ] kσ k ( ( er k3 E[ X ] 3σ. 9 el 9% crca de cas E[ X ] < 3σ

9 Dsuguaglanza d Chebychev (III Dato un camone d dmensone della v.a. X meda del camone s Var[ ] varanza del camone ( E[ ] ε Var ε [ ] Sccome E [ ] E[ X ] µ V [ ] σ ε ( E[ ] ε σ Ma quante rove? (/ Crtero generale: Ma quant trals dobbamo esegure er avere una data recsone, ovvero scelto un ε e un δ n ],[ doo quante rove e ( θ S < ε δ? Alco la dsuguaglanza d Chebychev Var[ θ ] A Var[ θ ] ( ( θ S ε ε δ A ε ( δ A δε (

10 Ma quante rove? (/ A δε ( Ma dende da (non nota ed A Ma sccome, n ogn caso, (- e massma er /, rnormalzzando l area (A ( 4 4δε Es. Fluttuazone della densta n un gas, V ρ V Come quantfcare le fluttuazon d ρ all equlbro?, V Il numero d molecole all nterno del volume V e una varable random X v.a. d Bernoull: V ( X V ( X <X >; Var{X}; <>; Var{}? R.: <X >, Var{X}(-, <>, Var{} (- Come usare un calcolatore er smulare le fluttuazon n ρ?

11 DstrbuzoneBnomale (III In un rocesso d Bernoull d arametro >, con robablta s avra rma o o un successo aradosso d Borel: Una scmma (o un automa che batte a caso tast d una tastera d un c, rma o o scrvera l testo della Dvna Commeda Quanto rove bsogna esegure er avere l rmo successo? R. / Es.. Uno studente rsonde a caso a domande a rsosta multla. Se le rsoste sono 4 er ogn domanda, qual e la robablta d rsondere esattamente ad almeno 5 domande? Es.. Remendo a caso una schedna d totocalco, qual e la robablta d fare almeno? Es. 3. Calcolare la robablta che, alla rossma estrazone del lotto, esca l numero sulla ruota d aol Es. 4. Calcolare la robablta che, alla rossma estrazone del lotto, esca l numero su almeno una delle ruote del lotto.

12 Es.. Uno studente rsonde a caso a domande a rsosta multla. Se le rsoste sono 4 er ogn domanda, qual e la robablta d rsondere esattamente ad almeno 5 domande? La robabltà d azzeccare una rsosta esatta e /4 L aver azzeccato o meno una rsosta non modfca la caacta d azzeccare le altre. ossamo qund schematzzare l nostro esermento aleatoro con una successone d rove d Bernoull, con robablta d successo nella sngola rova /4. Detto Y l numero delle rsoste ndovnate allora: ( Y 5 k 5 k 4 k 3 4 k.78 Es.. Remendo a caso una schedna d totocalco, qual e la robablta d fare almeno? Su una schedna del totocalco sono elencate 4 artte e ogn artta uo avere tre rsultat, o X. La robablta d azzeccare una sngola artta, scrvendo a caso uno de smbol, o X, e, almeno n rma arossmazone, uguale ad /3. Inoltre l aver azzeccato o meno l rsultato d una certa artta non nfluenza la caacta d azzeccare le altre. ossamo qund schematzzare l nostro esermento aleatoro con una successone d 4 rove d Bernoull, con robablta d successo nella sngola rova /3. Detto Y l numero d artte azzeccate allora: ( Y 4 k 4 k 3 k 3 4k 6

13 Es. 3. Calcolare la robablta che, alla rossma estrazone del lotto, esca l numero sulla ruota d aol Assumendo che le estrazon sulle vare ruote sano statstcamente ndendent (esce l (non esce l Consderando una sola ruota, lo sazo camone S consste d tutte le ossbl quntule non ordnate d valor nter comres tra e 9 che sono n numero dato da: ' 5 umero d quntule che non contengono l ' ( non esce l 85 9 ' 85 5 ( esce l sulla ruota d aol Es. 4. Calcolare la robablta che, alla rossma estrazone del lotto, esca l numero su almeno una delle ruote del lotto. La robablta che non venga estratto l su alcuna delle ruote e ' La robablta che l venga estratto su almeno una delle ruote e '.435

14 Relazone d Rcorrenza Bn( k;, k k ( k k!! ( k! k ( k k Bn( k ;, Bn( k;, k Doo aver calcolato Bn(;, s ossono rcorsvamente calcolare tutt gl altr valor della robablta senza calcolare drettamente coeffcent bnomal Ht or Mss: F. A. Q. Che succede se l area e fuor dalla nostra gttata? L alternatva e entrare nel camo e.... lancare l sasso.. sostars nella oszone d arrvo del sasso 3. lancare un altro sasso 4. andare al unto fnche θ-s < ε In questo modo e ancora ossble camonare tutta l area (Markov-chan samlng.ma.

15 Ht or Mss: F. A. Q. A S Che succede se un lanco fnsce fuor?. Retere l lanco?. Sostars comunque? La rsosta e nel concetto d blanco dettaglato ( a b π( b ( b π( a a Controllo d Qualta R k C k V f(r k,c k I valor delle R k e C k sono not con una data recsone e sono dstrbut ntorno a valor nomnal. D quanto vara V a causa d queste devazon?

16 Trasmssone d neutron attraverso una astra E n E θ 9 λ k θ k I neutron ossono essere dffus elastcamente o catturat:. trasmssone. rflessone 3. cattura σ el σ c -> sezone d urto elastca -> sezone d urto d cattura k k a σ t σ el σ c Come stmare: robablta d trasmssone robablta d rflessone robablta d cattura Eserment, Store, Event Esermento rocesso aleatoro, fsco o matematco Evento Elementare uno de rsultat (outcomes ossbl dell esermento ω Sazo Camone Ω (Samle Sace l nseme d tutt gl event elementar Ω {ω,ω,...} rova o Stora (tral Evento una realzzazone dell esermento Un qualunque sottonseme E Ω del quale e ossble calcolare la robablta. Una caratterstca o conseguenza del rsultato dell esermento. Ad ogn evento e ossble assegnare una robablta data l aleatoreta dell esermento.

17 Es. lanco d un dado Ω {,,3,4,5,6} Lo sazo camone e costtuto da 6 event elementar (rsultat ossbl Ogn rova da come rsultato una delle 6 facce. Gl Event sono defnt n termn de ossbl rsultat: E {,4,6}; la facca suerore ha un numero ar E {5,6}; la facca suerore ha un numero maggore d 4 E3 {4}; la facca suerore ha l numero 4 (l evento e uno de rsultat ossbl E ed E3 sono dsgunt E ed E3 ossono avere lo stesso rsultato (ntersezone non nulla Ma cos e una varable aleatora? Una varable aleatora (v.a. e una varable l cu valore e determnato dall esto d un esermento stocastco (evento. v.a. e una funzone che assoca un numero reale ad un evento elementare: ξ : Ω Essendo assocata una robablta ad ognuno degl est d un evento E, una v.a. e comletamente secfcata dalla vareta de valor che uo assumere e dalla robablta ( con cu ognuno d ess s uo verfcare. Es. ξ: Ω n ξ assume l valore d n ad ogn lanco d un dato n cu s ottene n R

18 Varabl Aleatore Dscrete (I E defnta da una tabella del to: X X n ξ... n... n Valor ossbl della varable ξ n robablta con cu la varable ξ assume uno de ossbl valor: { ξ } Se assegnamo un valore numerco ad ogn ossble Evento nseme alla robablta che esso s verfch, un Evento e una varable aleatora. Varabl Aleatore Dscrete (II Lanco d un dado: ξ Estrazone d allne d dverso colore: ξ 3 3 Le v.a. ermettono una quantfcazone de rocess random rosso verde 3 gallo

19 Varabl Aleatore Contnue ξ... ξ [ a,b] n... n ( -> densta d robablta (.d.f. Esem d Varabl Aleatore. l rmo estratto della ruota d aol. l temo d vta d una lamadna 3. l eso d una ersona scelta a caso n una certa oolazone 4. l altezza meda d un camone d ersone al varare del camone 5. l numero d teste rma d una croce nel lanco d una moneta 6. la velocta rscontrata da un autovelo 7. l energa d uscta d una artcella che attraversa un assorbtore 8. la msura d una grandezza fsca 9. l conteggo manuale d kg d monetne d c. l oraro d arrvo d un naoletano ad un auntamento....

20 l Metodo Monte Carlo (II Sstema Fsco: ucleo Ecctato Smulazone Monte Carlo α γ Aarato d msura 3 ( Funzon d densta d robablta Soluzone umerca Convenzonale: Modello matematco del sstema fsco Dscretzzazone d eq. dfferenzal Rsoluzone d un sstema algebrco Rsultato della smulazone Settr n energa delle vare radazon emesse, dstrbuzon angolar, moltelcta Controllo d Qualta I valor delle R k e C k sono V f(r k,c k not con una data R k C k recsone e sono dstrbut ntorno a valor nomnal. D quanto vara V a causa d queste devazon? E ragonevole consderare arametr d tutt gl element e la stessa V come varabl random e stmare <V> e σ. Schema Monte Carlo Dat: le dstrbuzon d tutt gl element la funzone f. Estrarre l valore d ogn elemento dalla sua dstrbuzone. Calcolare V f(k volte 3. Calcolare <V> e σ < V > V V s V V < V > ± s V < V > < V >

21 Ingredent rcal d un Algortmo Monte Carlo Dstrbuzon d robablta l sstema fsco o matematco e raresentato da un nseme d df; Un generatore d numer random unforme n [,]; Samlng rules - rescrzon er l Camonamento delle varabl con df assegnate; Scorng - rsultat devono essere oortunamente accumulat (es.stogramm; Stma degl error e auscable una stma dell errore statstco n funzone del numero d store o altre quantta d nteresse del modello; Tecnche er rdurre la varanza metod er rdurre la varanza delle soluzon stmate e l temo d calcolo; arallelzzazone e vettorzzazone rcal Caratterstche del Metodo Monte Carlo Struttura d calcolo semlce Un rogramma e scrtto er esegure una sola rova o stora (tral; la stora e retuta volte; ogn stora e ndendente dalle altre; rsultat delle store e degl event sono medat; Errore Statstco D D costante numero d event er rdurre l errore d un fattore bsogna aumentare d volte. Un dato roblema uo essere rsolto attraverso vare verson del MC, ognuna avent un dverso valore d D La recsone uo essere aumentata attraverso una scelta rora del metodo d calcolo avente valore d D u ccolo

22 Alcazon Tche del Monte Carlo Dsegno d eserment (aarato d msura, caacta d dstnguere tra le revson d dverse teore QCD Decadmento d ucle Ecctat (evaorazone, fssone Effcenza geometrca ed ntrnseca Stma d contamnazon (segnal vald vs. background Evoluzone Stellare Controllo della qualta ed affdablta Trasorto d radazon Traffc flow Economa... Schema Generale del Metodo Monte Carlo (I Soluzone d un roblema raresentandola quale arametro d una otetca oolazone. Suonamo d voler calcolare l valore m d una certa grandezza X: v. a. : < > m σ b Consderamo varabl ndendent,, con dstrbuzon dentche a quella d. er suffcentemente grande segue (teorema del lmte centrale: v.a. ρ... µ m σ b e dstrbuta normalmente.

23 Schema Generale del Metodo Monte Carlo (II { µ 3σ < ρ < µ 3σ} { m 3b < ρ < m 3b }. 997 m 3b < ρ < m 3b.997 m < 3b.997 Questa relazone fornsce l metodo d calcolo m e del suo errore.

24 Camonamento d Varabl Aleatore La generazone d un camone d una varable aleatora costtusce un ngredente essenzale d ogn esermento Monte Carlo. Metodo della Trasformata Inversa Metodo del Rfuto Metodo della Comoszone Densta d robablta Unforme v. a. U : f U ( u u altrment < u >.5 σ.88 La funzone d densta d robablta unforme e la densta da cu e ossble la generazone delle altre dstrbuzon d robablta.

25 Metodo della Trasformata Inversa (I γ [a,b]: (; F ( γ ( d [,] : U[,] a la v.a. γ data da: γ a ( d F ( γ ( y(b y(a monotona crescente a a γ b b y( a (' d' y(a ; y(b < y( < y ( ( > e dstrbuta secondo (. γ F X ( y [,] [a,b] unca soluzone della ( { a' < γ < b' } { y(a' < < y(b' } { y(a' < < y(b' } { a' < γ < b' } b a ' ' y(b' y(a' (d b a ' ' (d γ, radce della (, ha densta d robablta ( se e dstrbuta unformemente, qualunque sa (. Metodo della Trasformata Inversa (II Il teorema non dstngue tra ( contnue e dscrete: la dstrbuzone cumulatva uo essere calcolata anche er una densta d robablta dscreta. Il metodo e lmtato alle funzon ( n cu l nversa F - ( uo essere ottenuta analtcamente o attraverso una semlce arossmazone numerca. Algortmo. Generare unformemente n U(,. X F - ( 3. Rtornare X Questo metodo ha un effcenza del % : ogn estrazone d roduce una.

26 Alcazon Metodo della Trasformata Inversa. v.a. dstrbuta unformemente n [a,b]. v.a. dstrbuta esonenzalmente 3. Generazone d una drezone sotroa Ω(θ,ϕ 4. v.a. dstrbuta trangolarmente (J 5. v.a. con densta d robablta costante a tratt 6. Generazone d vettor random Varable Aleatora γ Unforme n [a,b] γ F - ( ( b a a b altrment a < σ e b >.5.88 a γ ( d a γ b a d γ b a a γ a ( b a

27 Varable Aleatora dstrbuta Esonenzalmente ( ae a <, a > ( γ a a aγ [ ] F ( γ ae d e γ e e aγ γ ln( a ( γ e' dstrbuta come ln( a Generazone d Drezone Isotroa Ω(θ,ϕ (I Vettore untaro dstrbuto sotrocamente nello sazo 3D. Il vettore e alcato all orgne del sstema d coordnate. Drezone Isotroa: Tutte le drezon sono equrobabl I unt d coordnate (, θ, ϕ sono dstrbut unformemente sulla sfera d raggo untaro..d.f. congunta ( θ, ϕdθdϕ ds 4π senθdθdϕ 4π θ π ϕ π θ( θ π ( θ, ϕdϕ πsenθ 4π senθ ϕ( ϕ π ( θ, ϕ dθ π senθ 4π dθ π

28 Generazone d Drezone Isotroa Ω(θ,ϕ (II Alcando l metodo della nversone: θ θ θ θ θ( 'd ' senθ'dθ' θ [ cos θ' ] [ cos θ] γ ϕ ϕ( ϕ' dϕ' π ϕ cosθ - ϕ π γ Es. Angolo soldo d un rvelatore a: sezone crcolare o quadrata; corona crcolare; Varable Aleatora con Dstrbuzone Trangolare ( l l l m (l dl dσ dl l m l l m ( l dl l m lm l l l ( l' d l' l lm m { l l l ( l lm m l { } 4 ( l l m m l l l m

29 altrment n,,... ; C ( b... a C n n < < < < j j F d ( ( C F d C ( F j j } : ma{j j j C F F F a 3 4 b 4 Varable Aleatora con densta costante a tratt (I Algortmo. Generare unformemente n U(,. Determnare dalla relazone 3. Rtornare < j j j j C F Varable Aleatora con densta costante a tratt (II

30 Correzone er la erdta d energa n strat assv (I Er Range Er E Energy Er a centro bn Correzone er la erdta d energa n strat assv (II

31 Correzone er la erdta d energa n strat assv (III Trasformazone Lab-> CM V lab Vcm θ lab θ cm V V lab V V cm

32 Vettor random (,..., n ; F ( (I CASO : le varabl random sono ndendent dstrbuzone d robablta congunta (,... n ( n ( margnale d F (,...,n Vettor random (,..., CASO : le varabl random sono dendent dstrbuzone d robablta congunta ( ( (,... n ( margnale d,...., n ( ; F (..... ( k k k condzonata d k n n (II n Teorema: l vettore X ottenuto rsolvendo l sstema d equazon seguente n. F ( F n F ( (..,...., n e dstrbuto secondo la F ( n,, (, ( ( (, ( ( Warnng!! n! combnazon A seconda della scelta dell ordne s uo ottenere o meno un sstema d equazon d semlce soluzone

33 Estrazone d v.a. con dstrbuzon dscrete (I roof.... n n 3 n F F F 3 F n- F n y 3 - n < y < F F < y < F. F n- < y n < F n Estraamo la v.a. unforme n [,]: se cade nell -smo ntervallo la robablta che [,] cada entro uno degl ntervall e roorzonale alla lunghezza dell ntervallo. se F < < F { < < F } { < < F } F { < < F } n n F n KKKKKK Estrazone d v.a. con dstrbuzon dscrete (II Estra o < F S

34 Interazone d neutron termc con 35 U scatterng elastco σ el b n 35 U fssone σ fss 586 b σ tot 73 b assorbmento σ ass 7 b S vuole conoscere la stora d neutron. Il roblema s rsolve scrvendo la robablta de var rocess ed estraendo gl event secondo le robablta dscrete date. el fss ass σ σ σ σ σ σ el tot fss tot ass tot F F F 3.4 el F fss ass F F F 3 Scatterng elastco < <.4 Fssone.4 < <.8478 Assorbmento.8478 < < Come s calcola l errore statstco? Ste nel decadmento d un ucleo Comosto In uno ste del decadmento d un nucleo comosto dverse ve d decadmento ossono essere ossbl: emssone d artcelle leggere, fssone o emssone d foton. Il modello statstco fornsce la robablta d ognuna d queste ve. Queste robablta sono esresse n termn della larghezza d decadmento Γ. n α Γ Γ Γ Γ n tot Γ tot Γ α tot..6. Γ tot Γ n Γ Γ α La va d decadmento e scelta estraendo tra queste robablta dscrete.

35 Dstrbuzone contnua non ntegrable analtcamente (I Quando la funzone cumulatva non uo essere valutata analtcamente, oure la dstrbuzone d robablta e nota solo tabularmente s uo tentare la dscretzzazone della dstrbuzone d robablta. L algortmo delle v.a. dscrete fornsce come valor ossbl della solo valor central de bns la v.a. dventa dscreta. Una soluzone mglore e quella d usare l algortmo er le funzon costant a tratt. Il temo d rcerca dende dal numero d bns e la recsone del metodo dende dalla forma della dstrbuzone e dalla larghezza del bn. La larghezza del bn uo essere varable nel domno d. recsone del metodo e temo d calcolo non sono ndendent Dstrbuzone contnua non ntegrable analtcamente (II Metodo della Interolazone della Cumulatva ( F F ma ( F { : < F} F F( F ma - ( d F F Interolazone lneare della funzone cumulatva ( F Una soluzone alternatva e quella d nterolare lnearmente la (: C C a ( C a ( altrment F C ( a ( Una strada alternatva u nteressante e l metodo Monte Carlo esato.

36 Emssone Isotroa d neutron da un ucleo Ecctato nel sstema d rfermento soldale al nucleo Lo settro energetco de neutron emess da un nucleo ecctato e d forma Mawellana. V.98 E A v Vsenθ cos ϕ v v y z Vsenθsenϕ V cos θ A Algortmo n(e E T e E T. Generare drezone sotroa Ω(θ,ϕ. Generare E dalla Mawellana Y As Ttle B 3. Calcolare V, v, v y,v z dσ dσ 4. Scorng:,... dω dθ X as ttle v.a. con dstrbuzone Mawellana n(e E T e E T vod SetMawell(nt, double Este, double T, double *Area { nt ; double Tot.; } Ste ; En (double * malloc((ste * szeof(double; A (double * malloc((ste * szeof(double; C (double * malloc((ste * szeof(double; F (double * malloc((ste * szeof(double; (double * malloc((ste * szeof(double; En[].; A[].; C[].; F[].; [].; for( ; < Ste; { En[] (double( * Este; C[] Mawell(En[], T; A[] (C[]-C[-] / (En[]-En[-]; [] (C[]C[-] * (En[]-En[-]/.L; F[] F[-] []; Tot Tot []; } *Area Tot; double GetMawell(double eta { nt ; double ; } whle( eta > F[] ; En[-] - (En[] - En[-]*(F[-] - eta/(f[]-f[-]; return ;

37 Camonamento d una v.a. dstrbuta ormalmente (I σ µ π σ ( e (, ( b o a b a z : se σ µ z e normale con µ a e σ b { } { } { } d e b z z z dz' e b a z b a z z b a z z z z b a ( b a z b a z z' π < < π < < < < < < z e dstrbuta normalmente Camonamento d una v.a. dstrbuta ormalmente (II Metodo d Bo - Muller θ π θ θ θ µ σ π y arctan g y ( R R sen y R cos ; e y (, y (,y Questo metodo roduce due v.a. normal e ndendent da due v.a. unform n [,] L astuza e d artre dalla dstrbuzone normale n due dmenson θ ρ π θ ρ θ ρ θ ρ θ ρ ρ ρ θ ρ d d e d d, ( sen y cos R, Se ρ e generata esonenzalmente e θ unformemente n [, π], e y costtuscono una coa d un camone a dstrbuzone normale. Algortmo. Generare e unformemente n U(,. ρ -ln( ; θ π Rtornare e y θ ρ θ ρ sen y ; cos π ρ π θ θ π ρ ρ θ ρ ρ π ρ d e ( e d e (

38 Camonamento d una v.a. dstrbuta ormalmente (III Metodo d Bo - Muller ρ R ρ cos θ y ρ sen θ vod gauss(double *g, double *g { double I, Theta, R; ρ -ln( ; θ π } I acos(-.l; Theta.L * I * drand48(; R sqrt(-.l * log(drand48(; *g R * cos(theta; *g R * sn(theta; Routne lenta a causa delle chamate a funzon trgonometrche vod gauss(double *g, double *g { double,, R; } do{.l * drand48(.l;.l * drand48(.l; R * * ; } whle(r >.L R sqrt((-.l * log(r/r; *g * R; *g * R; Camonamento d una v.a. dstrbuta ormalmente (IV ρ R ρ cos θ y ρ sen θ ρ -ln( ; θ π γ ln( cos(π γ ln( sen(π γ γ ln( γ ln( ar

39 Camonamento d una v.a. con df Mawellana (, M(udu π 3 u 3 r e d u 4 π u u 4 E E M(E e T v u α α m kt m π T 3 u 3 3 u M(udu r e d u π e du π 3 G(u,, du u u ( e du 3 / γ e'normale e' unforme u ln γ Metodo esato Classco. S estrae la v.a. con uno de metod dalla sua dstrbuzone (. Score: HISTO(X HISTO(X esato. S estrae la v.a. n [a,b] unformemente. Score: HISTO(X HISTO(X ( Rchede l uso d un metodo d estrazone L area dell stogramma e uguale al numero d store D u facle nterretazone nel caso d u dstrbuzon normalzzate Ogn stora vene consderata con un suo eso La df non deve necessaramente essere normalzzata Tutt valor d X, anche quell rar, sono camonat n egual msura L effetto comlessvo e un mnore errore statstco a arta d store on rchede l uso d un metodo d estrazone L area dell stogramma non e uguale al numero d store J.M. Hammersley and D.C. Handscomb, Monte Carlo Methods (Methuen, London, 964.

40 Trasmssone d neutron attraverso una astra ( Trasmssone Rflessone Cattura L Trasmssone d neutron attraverso una astra ( E n E θ 9 λ k θ k I neutron ossono essere dffus elastcamente o catturat:. trasmssone. rflessone 3. cattura σ el σ c -> sezone d urto elastca -> sezone d urto d cattura k k a σ t σ el σ c Suonamo che: l energa de neutron non camba con la dffusone le drezon d rnculo sono equrobabl λ lbero cammno medo (dstanza ercorsa tra una collsone e la successva Voglamo stmare: -> robablta d trasmssone - -> robablta d rflessone -> robablta d cattura σ λ e una v. a. con T ( λ σ T e σ T ln(

41 Trasmssone d neutron attraverso una astra (3 Qual e la robablta d non nteragre entro una dstanza? ( -> robablta d non nteragre doo una dstanza ( w d -> robablta d nteragre tra e d d d (( w d ( d w d d d wd ( C e( w ( C La robablta d soravvvere ad una collsone a dstanza ha andamento esonenzale Trasmssone d neutron attraverso una astra (4 λ ln( σ k k λ k µ k T µ k cos θ k µ k γ Metodo d calcolo. Generare e γ unformemente n U(,. Determnare l to d reazone ed ncrementare l eventuale contatore

42 Trasmssone d neutron attraverso una astra (5 k,, µ Start λ k (-/σ T ln k k λ k µ k S k > L? o T T - - k <? T < T? ξ < σ C /σ T T T T End µ k γ- k k Trasmssone d neutron attraverso una astra (7 roblema: doo avere eseguto l calcolo s score che le tre robablta rsultano avere un errore relatvo molto dverso tra loro. In artcolare, la robablta d valore assoluto mnore avra un errore maggore. Come s calcola l errore sulle stme d, - e? S usa la dstrbuzone bnomale

43 Trasmssone d neutron attraverso una astra (8 s T T ˆ ˆ Trasmssone d neutron attraverso una astra (9 roblema: doo avere eseguto l calcolo s score che le tre robablta rsultano avere un errore relatvo molto dverso tra loro. In artcolare, la robablta d valore assoluto mnore avra un errore maggore. ˆ ˆ ˆ ˆ s s >> Metodo Monte Carlo esato. Ad esemo otrebbe essere

44 Trasmssone d neutron attraverso una astra ( Metodo Monte Carlo esato uttosto che sommare ad ogn stora, s somma l eso relatvo d quella stora ottenuto dalle robablta relatve. E come se uttosto che un neutrone alla volta, s consderasse un acchetto d un grande numero ω d neutron che s muovono lungo la stessa traettora. Trasmssone d neutron attraverso una astra ( ω : numero d neutron nel acchetto <ω o > C ω σ C /σ T : numero medo d neutron catturat dal acchetto <ω o > S ω σ S /σ T : numero medo d neutron dffus Metodo d calcolo. Generare e γ unformemente n U(,. Determnare l to d reazone 3. Aggungere ω σ C /σ T al contatore de neutron catturat 4. Segure la frazone rmanente del acchetto dffuso Tutte le formule rmangono le stesse. Ad ogn collsone l numero d neutron e rdotto a: ω k ω k σ S /σ T numero d neutron catturat ω k σ C /σ T

45 Trasmssone esata d neutron attraverso una astra ( k,, µ, ω λ k (-/σ T ln k k λ k µ k ω k S k > L? T T - - ω k o k <? T < T? ω k ω k σ S /σ T ω k σ C /σ T T T T µ k γ- k k Vantaggo dell uso de es (3 Consderamo due v.a. raresentant l numero ed l eso d neutron trasmess n una stora da due rsettv metod. Metodo Classco n meda : < > < > Metodo esato ' ω q ω... ω q...q k k q σ ( σ ' ' q q k k k ω k ω k ( σ q k ω k ( Essendo ω k q k ω k q k ω k σ ' q k ω k ( σ ' σ

46 Metodo d estrazone basato sul rfuto (I by von uemann Generalzzazone del metodo ht or mss w( lmtata : ( w( Y ma es. un quadrato: w( ma. Estrarre unformemente n [a,b] e n [, ma ]: a (b-a y ma y a b Γ. Se Γ(,y e tale che: y ( s accetta, altrment s estrae una nuova coa. Γ(,y generato nel quadrato d area A ma (b-a Metodo d estrazone basato sul rfuto (II Γ(,y generato nel quadrato d area A ma (b-a La robablta che Γ cada al d sotto d ( e uguale al raorto tra l area A e quella S sottesa da (: Y ma y Γ { Γ S} b a ma (d (b a ma (b a ( a b { Γ S ;a' b' } b' a' ma (d (b a ( ( ( a' { a' b' } b' (d A A b' a' (d

47 Metodo d estrazone basato sul rfuto (III Imortance Samlng: w( cost con w( ( Y w(. Estrarre unformemente n [a,b] a (b -a e n [, w( ] y w( y Γ. Se Γ(,y e tale che: y ( s accetta, altrment s estrae una nuova coa a a b b Effcenza A ercentuale d numer estratt rsetto a quell calcolat A b a w( d Questa tecnca e effcente solo se la w( e vcna alla ( nell ntervallo [a,b]. Y ma Metodo d estrazone basato sul rfuto (IV L effcenza d questo metodo dende fortemente dalla forma della (. L algortmo non otrebbe essere alcato quando (-, Y ma OK ot OK a b Effcenza A ercentuale d numer estratt rsetto a quell calcolat A b a w( d a b Y ma Imortance Samlng a b

48 Camonamento d una v.a. dstrbuta ormalmente (V Metodo del Rfuto Sccome l domno d (, non e consderamo [-3σ, 3σ] e ma (. lmtato, double gauss3(vod { double ; } -3.L 6.L * drand48(; whle(drand48( > e(- * /.L; return ; Effcenza A ma (b a π.5 Eserczo (, y ddy ( yddy [ a b] y [ a, b], Come camonare e y? Stmare <>, <y> e Cov(,y