Campi Vettoriali. Capitoli di Meccanica Analitica *** Indice. Sergio Benenti. 16 aprile Vector fields Integral curves and flows...

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1 Capitoli di Meccanica Analitica *** Campi Vettoriali Sergio Benenti 16 aprile 2013 Indice 1 Vector fields Integral curves and flows First integrals Parentesi di Lie

2 1. Vector fields 1 1 Vector fields Definizione 1.1 A vector field on a manifold M is a section of the tangent bundle TM, that is a smooth map X : M TM which assigns to each point x M a vector X(x) T x M at that point. Such a map is locally described by equations ẋ i = X i (x) The functions X i are the components of the vector field X in the coordinates (x i ). There is an equivalent definition: Definizione 1.2 A vector field is a derivation on F(M); that is a map X : F(M) F(M) such that { X(aF + bg) = a X(F) + b X(G), a, b R (linearity), X(FG) = X(F) G + F X(G) We use the angle bracket notation (Leibniz rule). X(F) = X, df This function is called the derivative of F with respect to X. The link between these two definitions is given by equation X, df (x) = X(x), df x M, F F(M). The components of a vector field X are the derivatives of the coordinates, X i = X, dx i so that X, df = X i i F We denote by X (M) the set of the smooth vector fields on M. It is a module over the ring F(M) and an infinite-dimensional vector space over R, the sum and the product by a function being defined by (X + Y )(x) = X(x) + Y (x), (fx)(x) = f(x)x(x).

3 2. Integral curves and flows 2 s:icf 2 Integral curves and flows Definizione 2.1 Let X be a vector field on a manifold M. An integral curve of X is a curve on M, γ : I M, such that γ(t) = X(γ(t)) for all t I (i.e., γ = X γ). The integral curves of X are locally represented by the solutions of a first-order differential system in normal form, dx i dt = Xi (x). Hence, a vector field can be interpreted as a dynamical system. We say that an integral curve is based at a point x if γ(0) = x. For smooth vector fields the Cauchy Theorem 1 asserts that for each point x there exists a unique maximal integral curve γ x : I x M based on x, such that any other integral curve based at x is defined on an interval I I x. When I x = R for all x, then the field is said to be complete. Definizione 2.2 A flow on a manifold M is a smooth map such that for all t, s R the map ϕ: R M M : (t, x) ϕ(t, x) ϕ t : M M : x ϕ(t, x) is a transformation of M and ϕ t ϕ s = ϕ t+s. It follows that ϕ 0 = id M, ϕ t ϕ s = ϕ s ϕ t, ϕ t = (ϕ) 1. The set of all ϕ t, t R, is said to be a one-parameter group of transformations. It can be proved that: Teorema 2.1 A complete vector field X generates a flow ϕ X : R M M defined by ϕ X (t, x) = γ x (t). Conversely, a flow ϕ generates a complete vector field X by setting e:icf1 (1) X(x) = γ x (0), where γ x : R M is the curve defined by γ x (t) = ϕ(t, x). These curves are the maximal integral curves of X. 1 See s:ct?? below.

4 2. Integral curves and flows 3 Osservazione 2.1 A non-complete vector field generates local flows, defined on open subsets of R M. 2 Osservazione 2.2 If e:icf2 (2) x i = ϕ i (t, x h 0) is a local representation of a flow ϕ in local coordinates (x i ) then, according to Eq. ( e:icf1 1), the components of the associated vector field at the point x 0 are given by X i (x 0 ) = Dϕ i (0, x 0 ), where D represents the derivative with respect to the variable t. Osservazione 2.3 If ϕ X t is the one-parameter group of transformations generated by a complete vector field X, then Tϕ X t : TM TM is a one-parameter group of transformations of TM, generating a vector field on TM which we denote by X. The vector field Ẋ is projectable onto X. This means that the following diagram is commutative, Tτ M TTM.. Ẋ.. τ M TM.. TM.. X M that is Tτ M Ẋ = X τ M. The components of Ẋ in coordinates (x i, ẋ i ) of TM are (X i, Ẋ i ) where X i are the components of X and Ẋ i (x h 0, ẋ j 0 ) = ϕi j(0, x h 0) ẋ j 0, where ϕ i j(t, x h 0) = ϕi x j, 0 being ϕ i (t, x h 0 ) the local representative of ϕx t ; see Eq. ( 2). e:icf2 Osservazione 2.4 Un punto p M si dice punto singolare del campo X su M se X(p) = 0 (nei punti singolari si annullano tutti i secondi membri delle equazioni (3)). Se p è un punto singolare di X allora la curva γ p : R M definita da γ p (t) = p è la curva integrale massimale basata in p. Segue che i punti singolari sono fissi rispetto al gruppo di trasformazioni (ϕ t ): ϕ t (p) = γ p (t) = p. 2 See s:ct?? below.

5 3. First integrals 4 s:fi 3 First integrals Definizione 3.1 A first integral or integral function of a vector field X on M is a function F F(M) such that X, df = 0. The first integrals can be locally determined by integrating the first-order linear partial differential equation X i i F = 0. There is an equivalent definition: Definizione 3.2 A first integral of X is a function F that takes a constant value along any integral curve of X: D(F γ x ) = 0. Indeed, the local expression of this condition is d dt F(γi (t)) = i F γ i (t) = i F X i (t) = 0. A vector field may not have global first integrals. However, Teorema 3.1 In a neighborhood of a nonsingular point x M (X(x) 0) there exist n 1 independent first integrals. This follows from Teorema 3.2 In a neighborhood of a non-singular point x M (X(x) 0) there exists a coordinate system (x i ) such that X = / x 1. These coordinates are said to be adapted to X. Esempio 3.1 Il campo X su M = R 2 definito da X(P) = OP, quindi di componenti (x, y), non ha integrali primi globali. Ne ha infiniti se si esclude l origine dal campo di definizione. Sono generati dalle funzioni sopra una circonferenza centrata nell origine. Esempio 3.2 Sul toro T 2 = S 1 S 1 il campo vettoriale X di componenti costanti (ω 1, ω 2 ) non ha integrali primi globali se queste componenti sono incommensurabili. 3 Se F è un integrale primo del campo X allora è anche integrale primo di ogni campo del tipo fx con f F(M). La composizione (differenziabile) di un numero qualunque di integrali primi è ancora un integrale primo: se (F a ) = (F 1, F 2,..., F k ) sono integrali primi e se f : R k R è una funzione 3 Si veda p.es. [AR].

6 3. First integrals 5 differenziabile, allora f(f 1, F 2,..., F k ) è un integrale primo. Infatti ogni composizione è costante su ogni curva integrale se lo sono le (F a ). Quindi, per esempio, ogni combinazione lineare a coefficienti costanti di integrali primi è un integrale primo. Se (F a ) = (F 1,..., F k ) sono integrali primi di X, per ogni c = (c a ) R k l insieme Q c definito dalle k equazioni F a = c a si dice insieme di livello (potrebbe anche essere vuoto). Al variare di c in R k si stabilisce sulla varietà M una partizione in sottoinsiemi disgiunti. Un orbita del campo X, vale a dire l immagine di una curva integrale, appartiene ad uno ed un solo insieme di livello Q c. Pertanto la conoscenza di integrali primi consente di ottenere informazioni geometriche sulle orbite. Definizione 3.3 Le k funzioni differenziabili (F a ) = (F 1, F 2,..., F k ) su M si dicono indipendenti in un punto di M se in quel punto i corrispondenti differenziali sono indipendenti. I differenziali sono indipendenti se e solo se la matrice k m [ ] F a x i ha rango massimo. Se vi è un legame funzionale (C ) fra le funzioni (F a ) allora i loro differenziali sono ovunque linearmente dipendenti e quindi le funzioni sono dipendenti. Viceversa, si dimostra (teorema delle funzioni implicite) che se i loro differenziali sono dipendenti in un punto, allora vi è, nell intorno di quel punto, un legame funzionale. Se gli integrali primi (F a ) sono ovunque indipendenti, escluso al più un insieme chiuso Ω, il che implica k < n 4, allora gli insiemi di livello Q c sono superfici regolari (superfici di livello) di dimensione n k e formano un fogliettamento di M Ω. Il campo X è tangente ad ognuna di queste superfici. Se k = n 1 esse sono delle curve e coincidono dunque con le orbite di X. Esempio 3.3 Nello spazio affine euclideo tridimensionale riferito ad un punto origine O si consideri il sistema dinamico dr dt = v, dv dt = γ r 3r (γ R). Si tratta della dinamica di un punto soggetto ad un campo newtoniano o coulombiano (γ 0). Si conoscono tre integrali primi, E = 1 2 v2 γ r K = r v, L = v (r v) γ r r, (v 2 = v v), uno scalare, due vettoriali: E è l integrale dell energia, K è il momento della quantità di moto o integrale delle aree, L è il vettore di Laplace. In tutto sono 7 integrali primi scalari, 4 Se fosse k = n seguirebbe X = 0 ovunque, perché le superfici di livello si ridurrebbero a dei punti.

7 4. Parentesi di Lie 6 quindi non possono essere indipendenti. Si verifica infatti che i due integrali primi vettoriali sono ortogonali, K L = 0, ed inoltre che L 2 = 2E K 2 + γ 2. L esistenza di queste due relazioni implica che essi equivalgono al più a cinque integrali indipendenti. Fissato il valore di K, l orbita giace nel piano per O ad esso ortogonale, il sistema dinamico si riduce ad un sistema dinamico su questo piano e l integrale delle aree si riduce ad un integrale primo scalare K 2 = K K. Il vettore di Laplace giace nel piano del moto e dà luogo a due integrali primi scalari. In virtù della relazione precedente, l energia è un integrale primo ridondante, sicché si hanno in definitiva tre integrali primi per un sistema dinamico in quattro dimensioni (quattro equazioni). Se sono indipendenti (e lo sono) da essi si devono poter ricavare le orbite. Per questo basta osservare che dalla definizione di K e L segue mentre, per definizione di prodotto scalare, L r = K 2 γr, L r = L r cosϑ, (L = L ), con ϑ angolo compreso tra il vettore fisso L e r. Segue che posto r = K 2 L cosϑ + γ = p 1 + e cosϑ, p = K2 γ, e = L γ. Si conclude che le orbite sono delle coniche (di eccenticità e e parametro p) e che il vettore di Laplace è parallelo alla congiungente i due fuochi. La condizione L = 0 caratterizza le orbite circolari, perché per queste è e = 0, cioè L = 0. Le orbite circolari sono possibili solo per γ > 0. Infatti per le orbite circolari v ed r sono ortogonali, quindi L = (v 2 r γ)u = 0. 4 Parentesi di Lie Definizione 4.1 Dicesi parentesi di Lie di due campi vettoriali X e Y su di una varietà M il campo vettoriale denotato con [X, Y ] e definito, come derivazione, dall uguaglianza e:pl1 (3) [X, Y ]f = X(Y f) Y (Xf) con f F(M). È immediato verificare che l operazione [X, Y ]f così definita sulle funzioni è lineare e soddisfa alla regola di Leibniz, sicché essa é effettivamente una derivazione e la Def. 1 è ben data. L operazione binaria interna [, ] stabilisce sullo spazio X (M) dei campi vettoriali su M una struttura di

8 4. Parentesi di Lie 7 e:pl2 (4) algebra di Lie. Per essa valgono infatti la proprietà anticommutativa, la bilinearità (su R), e l identità di Jacobi: [X, Y ] = [Y, X], [a X + b Y, Z] = a [X, Z] + b [Y, Z], a, b R, [ X, [Y, Z] ] + [ Y, [Z, X] ] + [ Z, [X, Y ] ] = 0. Se nella definizione ( e:pl1 3) si pone f = x i si trova la definizione della parentesi di Lie in componenti: e:pl3 (5) [X, Y ] i = X k k Y i Y k k X i posto k = x k. Si dice che due campi vettoriali X e Y sulla medesima varietà M commutano se [X, Y ] = 0. Si dimostra infatti che Teorema 4.1 Siano ϕ X t : M M e ϕ Y t : M M i diffeomorfismi su M associati ai flussi di due campi vettoriali X e Y. Questi diffeomorfismi commutano se e solo se si annulla la parentesi di Lie dei campi vettoriali: ϕ X t ϕ Y s = ϕ Y s ϕ X t, t, s R [X, Y ] = 0. t:pl2 Definizione 4.2 Un campo vettoriale è tangente a una sottovarietà S M quando tutti i vettori X(p), p S, sono tangenti a S. Si dimostra che t:pl3 Teorema 4.2 Una campo vettoriale X è tangente ad una sottovarietà S se e solo se per ogni funzione f F(M) che sia costante su S, f S = costante, la sua derivata rispetto a X si annulla su S: Xf S = 0. Corollario 4.1 Se la sottovarietà S è definita da un sistema di equazioni indipendenti S a (x) = 0, allora un campo vettoriale X è tangente a essa se e solo se X(S a ) = 0 nei punti p S. È importante sapere che Teorema 4.3 Se due campi vettoriali X e Y sono tangenti ad una sottovarietà S M, allora anche la loro parentesi di Lie [X.Y ] è tangente a S. Dimostrazione. Si applica il Teorema 4.2: t:pl2 per ipotesi, se f è costante su S, allora Xf e Y f si annullano su S, sono quindi costanti su S. Di conseguenza le funzioni X(Y f) e Y (Xf) si annullano su S, e quindi anche [X, Y ]f = 0 su S, per la definizione di parentesi di Lie. Sempre per Teorema 4.2 t:pl2 la parentesi di Lie risulta essere tangente a S.