Analisi statistica degli eventi idrologici estremi. Campione e Popolazione

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1 Anals statstca degl event drologc estre Capone e Popolazone La statstca tratta le osservazon coe ndpendent le une dalle altre, l valore d un osservazone rsulta ndpendente rspetto ad un osservazone precedente (p. es. l valore d portata assa annuale osservata n un certo anno non dpende dal valore del asso osservato durante l anno precedente). Questo tpo d descrzone statstca è approprata per event drologc estre (portate e precptazon asse annual; portate ne). I etod statstc sono basat su prncp ateatc che descrvono la varazone casuale delle osservazon. Non sono ntes a rappresentare fenoen che hanno deternato le osservazon. Qund, per esepo, una stessa funzone d dstrbuzone d probabltà può essere utlzzata per descrvere l coportaento delle pogge ntense e anche quello delle portate d pena. I sste drologc sono talvolta nvestt da event estre (eteore, pene, scctà). La agntudo d un evento estreo è nversaente proporzonale alla sua frequenza d accadento, ovvero event olto sever/ntens accadono eno frequenteente d event d oderata ntenstà. L obettvo prncpale dell anals statstca de dat drologc è quello d collegare la agntudo degl event estre alla loro frequenza d accadento trate l pego d dstrbuzon d probabltà. In pratca, questo s consegue utlzzando per le anals statstche valor ass annual della varable d nteresse. Quando s tratta una sere d valor d portata assa annuale ogn valore è consderato ndpendente rspetto agl altr e può essere consderato coe la realzzazone d un processo stocastco dentco per tutt gl ann consderat. Questo naturalente plca che l sstea drologco che produce tal valor estre (l bacno drografco) non subsca varazon nel perodo consderato. Varazon tpche sono quelle collegate all uso del suolo, o alla costruzone d uno sbarraento. L nsee de dat dsponbl (p. es. 5 valor d precptazon orare asse annual rlevate per una data stazone tra l 93 ed l 988, con qualche buco) vene consderato coe un capone estratto da una potetca popolazone d densone nfnta. Le propretà statstche de capon (eda, varanza,..) varano da capone a capone, entre quelle della popolazone sono unche. Tuttava edante tecnche d nferenza statstca, le propretà della popolazone possono essere state a partre da quelle del capone dsponble. In pratca s dentfca una funzone d probabltà, rferta all ntera popolazone, che consente d specfcare, fra l altro, la probabltà che un generco valore X venga (o non venga) superato.

2 Fgura - Capone e popolazone e funzon d probabltà correlate (da Appled Hydrology, Chow, 988) Le funzon d frequenza relatva (relatve frequency functon) e d frequenza cuulata (cuulatve frequency functon) sono defnte per l capone. Le funzone d denstà d probabltà f() (probablty densty functon) e d probabltà F() (probablty dstrbuton functon) rappresentano le equvalent funzon per la popolazone. In partcolare F() è la probabltà che la varable X assua un valore copreso fra 0 ed, che sa qund nore d. In tal caso F() ndca la probabltà d non superaento. Il legae tra le funzon dscrete (capone) e quelle contnue (popolazone) è evdenzato dalle relazon proposte nel cercho che ncornca la fgura. Ad esepo la funzone d frequenza cuulata defnta per l capone tende a concdere con la funzone d probabltà all auentare del nuero de dat (n) e al dnure dell apezza d classe ( X)

3 L obettvo della statstca è quello d estrarre l nforazone essenzale da un nsee d dat sntetzzandolo n un certo nuero d paraetr. D seguto sono rportat paraetr fondaental. popolazone capone + µ f ( ) d tendenza centrale (eda) n n σ + f ( ) d ( µ ) n n varabltà (varanza) s ( ) γ + ( µ ) 3 3 σ f ( ) d setra (coeffcente d asetra) C s n ( ) ( n )( n ) s 3 3

4 Frequenza, Probabltà e Tepo d rtorno Dato un capone d dat nulla s sa de dat regstrat precedenteente al capone né de dat che verranno regstrat successvaente al capone. Tuttava è possble agnare che l coportaento statstco della popolazone sa ragonevolente rappresentato da quello del capone. Nel caso llustrato sono not valor d pogga orara assa regstrata n cascun anno tra l 93 ed l 988 n una data stazone. I dat d alcun ann sono stat pers o non sono stat rlevat e c sono alcun buch. In tutto c sono 5 dat che coprono un perodo d 66 ann. La sere che costtusce l capone è abbastanza lunga per rtenere che sa statstcaente rappresentatva dell andaento delle pogge asse orare n un perodo olto pù apo, coprendente passato e futuro. La popolazone cu l capone appartene è rappresentata da tutt gl event d pogga orara assa annuale che s sono verfcat nella stazone dalla forazone della terra ad ogg, e tutt gl event che s verfcheranno fno alla fne de tep. Tale fnestra cronologca appare, per la vertà, un tantno apa e v è l sospetto che coprenda var utaent clatc, ovvero perod n cu l coportaento delle pogge è stato/sarà sgnfcatvaente dverso dall attuale. E puttosto probable che l capone non sa rappresentatvo per tal perod. Tuttava restrngendo la popolazone a qualche centnao d ann (ndetro e avant) è olto ragonevole rtenere che l capone sa statstcaente rappresentatvo. Se nel capone s dentfca la edana, coè l nuero che rappresenta la poszone centrale, per defnzone età de valor sono nferor a tale nuero e età superor. Un valore d pogga orara assa par alla edana o superore s presenta 6 volte su 5 osservazon, edaente una volta su due (crca). E un valore che rtorna edaente ogn due ann.

5 Il valore che s colloca al 4 posto della sere ordnata vene raggunto, o superato, crca 0 volte su 5, ovvero edaente ogn 5 ann. Rtorna edaente ogn 5 ann. La cosa rsulta pù evdente se s rportano dat ordnat n senso crescente senza crtero cronologco:

6 L asse delle ascsse rproduce una funzone d frequenza rcavata dalla poszone d cascun valore nella sere ordnata. Se [N] è l nuero d eleent (5) ed [] è la poszone d cascun eleento nella sere ordnata (crescente) la frequenza d non superaento, detta anche plottng poston, è data dalla: F ns + N I valor pù grand vengono superat poche volte nel perodo d osservazone ed hanno qund una bassa frequenza d superaento e, d conseguenza, una elevata frequenza d non superaento. La frequenza d superaento è ovvaente F s F ns. Per estrapolare dat nel futuro (e nel passato) è necessaro rcorrere ad una funzone ateatca che descrva adeguataente l capone a s estenda ben oltre valor dsponbl. S passa così dal capone alla popolazone e dalla frequenza alla probabltà. F s e F ns vengono rpazzat da P s (probabltà d superaento) e P ns (probabltà d non superaento) calcolat con etod ateatco-statstc. In questo abto l tepo d rtorno è defnto dalla: T P s P ns S not che se P s 0.0 (e P ns 0.99) rsulta T 00 ann. Il tepo d rtorno d un evento d assegnata ntenstà è qund: Nuero d ann che n eda separa l verfcars d due event d ntenstà eguale o superore a quella assegnata; Nuero d ann n cu l evento d ntenstà assegnata vene eguaglato o superato n eda una volta.

7 In queste defnzon, la parola chave è n eda. Infatt, l tepo d rtorno non è l nuero d ann che separa due event d ntenstà eguale o superore a quella assegnata. Secondo tale ulta defnzone, dopo l verfcars d un evento T-ennale (ovvero d probabltà d superaento /T), occorrerebbe attendere T ann affnché l evento s rpeta (con certezza). Questo non è vero: nfatt, la probabltà d un tale evento rane par ad /T n cascun anno, ndpendenteente dal verfcars d un sle evento nell anno precedente o n ann recent. Rscho drologco ntrnseco Per calcolare la probabltà che un evento T-ennale (con tepo d rtorno T) s verfch o venga superato aleno una volta n un perodo d N ann s utlzzano gl asso del calcolo delle probabltà: Probabltà d superaento n cascun anno P s T P ns T Probabltà d non superaento n cascun anno ( ) N Probabltà d non superaento n N ann P [ ( )] N ns T N Probabltà d superaento n N ann P [ ( T )] N L espressone vene utlzzata nel calcolo della fallanza d un opera o d un ntervento (rscho drologco ntrnseco). Quando s deve valutare l rscho ntrnseco assocato ad un certo evento, s calcola la probabltà che l evento teble (evento che eguagla o supera un assegnata sogla progettuale) s verfch aleno una volta (ovvero una o pù volte) durante la vta presunta dell opera. S consder un opera o un ntervento densonato con rferento all evento (T) d T ann d tepo d rtorno: l rscho R N [(T)], ovvero la probabltà che, durante N ann d funzonaento, l opera rsult nsuffcente una o pù volte, è esprble coe: R N [ ( T )] T Nel caso n cu NT, R T [(T)] tende rapdaente al valore asntotco 0.63 al crescere d T. Questo ndca che la probabltà che un opera dvent nsuffcente n un arco d tepo d durata par al tepo d rtorno d progetto è par, per valor non troppo pccol d quest ulto, al 63% crca. Il rscho drologco ntrnseco è ndcato nella ternologa adottata per l rscho totale con l noe d percolostà o hazard. N s

8 Dstrbuzon d Probabltà Coe s è detto per estrapolare dat nel futuro è necessaro rcorrere ad una funzone ateatca. La statstca offre nueros tp d funzon d dstrbuzone e alcune d esse s rvelano donee a descrvere la probabltà relatva ad event drologc e eteorologc estre. I dat sperental vengono nterpolat da una funzone contnua che s può estendere fno ad una probabltà d non superaento olto prossa ad uno. Tenendo conto che l tepo d rtorno è legato al recproco d tale probabltà dalla: P ns ( T ) T P ns è possble rappresentare lo stesso grafco con una dversa scala delle ascsse:

9 La zona della curva pù prossa alla probabltà uno (a destra nel grafco) s espande (grafcaente) n odo consstente dato che sono, a ttolo d esepo: P0.500 T00 P0.900 T00 P0.950 T00 P0.980 T050 P0.990 T00 P0.995 T00 La funzone d dstrbuzone llustrata è quella d GUMBEL (o del valore estreo d I tpo), tra le pù utlzzate n abto drologco. GUMBEL Denstà d probabltà Probabltà (cuulata) u u f ( ) ep ep α α α u F( ) ep ep α La funzone ha due paraetr che possono essere stat con l etodo de oent: α 6s π In cu [s] è la varanza statstca del capone u 0.577α In cu è la eda del capone La legge probablstca può opportunaente essere rscrtta ntroducendo la cosddetta varable rdotta (w)

10 u w α [ ( w) ] F( ) ep ep w ln ln F( ) Not paraetr della dstrbuzone è possble deternare l valore d T caratterzzato da un dato tepo d rtorno T. Assegnato l tepo d rtorno T e rcordando: T P s P ns F( T ) rsulta defnta la probabltà cuulata d non superaento: T F( T ) T la corrspondente varable rdotta: w T ln ln F ( T ) e nfne l valore d pogga corrspondente al tepo d rtorno T: T wα + u Analogaente è possble deternare l tepo d rtorno T da assegnare all evento d agntudo S calcola la varable rdotta n funzone d w u α e l relatvo valore d probabltà [ ( w) ] F( ) ep ep da cu l tepo d rtorno T F( T )

11 Cartogra probablstc Una valutazone della bontà dell adattaento della dstrbuzone al capone dsponble può essere conseguta trate un esae grafco basato su dagra probablstc traccat su carte specal (cartogra probablstc). Tal carte sono costrute n odo che le curve d probabltà d un certo tpo v vengano rappresentate coe rette. In tal dagra, su d un asse (d solto quello delle ascsse) vengono rportat, n scala lneare o logartca, valor della varable e sull altro le probabltà o le frequenze cuulate d non superaento (o l tepo d rtorno), adottando una partcolare graduazone che dpende dal tpo d dstrbuzone. Nella carta probablstca d Gubel (ved fgura) sono rportate n ascssa sa la frequenza (n basso) che l relatvo tepo d rtorno (n alto). È noltre rportato l valore della varable rdotta (y nel dagraa) corrspondente a cascuna frequenza. (ascssa pù n basso). I valor del capone vengono poszonat rportando n ascssa la plottng poston. La scala delle ordnate è lneare e su d essa s rportano valor congruent con quell del fenoeno osservato, nel nostro caso valor d pogga assa d assegnata durata regstrat n cascun anno. Se l tpo d dstrbuzone corrspondente alla carta probablstca è adatto ad nterpretare le osservazon, queste devono addensars pù o eno ntorno ad una retta. Questa rappresentazone grafca è qund utle per verfcare l esattezza dell assunzone fatta crca la dstrbuzone d probabltà prescelta. La bontà de rsultat può ovvaente essere valutata rcorrendo ad opportun test statstc; tra test pù utlzzat s rcordano l test d Kologorov-Srnov e quello del χ (ch quadro). Una volta selezonato l tpo d dstrbuzone d probabltà, la rappresentazone del capone sul cartograa probablstco prescelto s presta anche per la deternazone de paraetr della dstrbuzone. E questa la base del etodo de n quadrat che prevede la sta de paraetr della dstrbuzone edante nterpolazone (con una retta) de punt sperental collocat sul cartograa. Generalente la qualtà de rsultat che s ottengono trate tale procedura è nferore rspetto a quella conseguble trate l etodo de oent.

12 Lnea Segnalatrce d Probabltà Pluvoetrca (LSPP) Noralente per una stazone s dspone d un capone d valor estre d precptazone costtuto da ass regstrat n cascun anno per vare durate. Le durate standard sono, 3, 6,, 4 ore, d recente spesso accopagnate dagl scrosc d 5, 30 e 45 nut. Negl stud su coprensor d panura, relatv alle opere d bonfca, s utlzzano le durate d,, 3, 4, 5 gorn, con la edesa procedura. Cascuna sere (cascuna durata) vene regolarzzata n odo ndpendente. Da tale operazone s rcavano valor d pogga d durata, 3, 6,, 4 ore per qualsas tepo d rtorno. Noralente s adottano tep d rtorno standard d, 5, 0, 0, 50, 00 e 00 ann. Operando secondo le odaltà gà llustrate s rcavano le pogge per cascuna durata e tepo d rtorno. Nella pratca progettuale è tuttava quas sepre necessaro conoscere, scelto l tepo d rtorno, l valore della precptazone relatva ad una durata dversa dalle cnque calcolate, specfcataente una durata caratterstca del sstea drologco/draulco oggetto d studo. La lnea segnalatrce d probabltà pluvoetrca (LSPP) fornsce una relazone fra altezza [h] e durata [t] della pogga per un assegnato tepo d rtorno. La fora noralente utlzzata n Itala è: h n at n cu [a] ed [n] varano con l tepo d rtorno e vengono calcolat nterpolando valor ottenut dalle (cnque) funzon d dstrbuzone d probabltà. S ottene, ovvaente, una curva per ogn tepo d rtorno. Il etodo pù veloce per deternare paraetr [a] ed [n] d cascuna lnea segnalatrce consste nell nterpolarl lnearente n un pano n scala blogartca (ovvero: n un pano n cu n ascsse v sa [log t] ed n ordnata [log h]). Infatt passando a logart s ottene una retta (per ogn TR): h at n log h loga + nlogt L nterpolazone può essere effettuata grafcaente, con rsultat approssat, o analtcaente edante una seplce procedura d regressone lneare tra punt dat (che noralente sono 5 relatv alle cnque durate orare). Le procedure d regressone lneare sono noralente gà pleentate ne software d calcolo e persno n olte calcolatrc tascabl. Ugualente s raenta che l etodo de n quadrat consste nell ndvduare l set d paraetr, che per la retta n dscussone sono pendenza [n] ed ntercetta [log(a)], che rendono na la soatora de quadrat degl scart, ovvero delle dstanze tra (5) valor osservat ed corrspondent valor sulla retta nterpolante. log(t) y log(h) b log(a) nuero punt (5) y y y n b Dopo aver ottenuto valor de paraetr n scala logartca è necessaro rtornare alle denson lnear. log h log a + nlogt h cò s ottene seplceente con l uguaglanza tautologca: a log 0 L andaento qualtatvo della lnea segnalatrce è ostrato n fgura: a n at y

13 La lnea segnalatrce s può esprere n tern d ntenstà h t da cu: h at ( n ) poché sperentalente n < l andaento dell ntenstà nel tepo rsulta decrescente coe rappresentato n fgura:

14 Regonalzzazone delle LSPP A volte s rtene convenente studare la dstrbuzone degl event estre a scala pù apa. S procede soltaente regolarzzando le sere d tutte le stazon (a volte con procedure leggerente odfcate) e qund successvaente s confrontano e/o s nterpolano valor de paraetr con procedure statstche (splne, krgng,..). Le fgure ostrano una rappresentazone per solnee della varabltà spazale de paraetr a ed n relatvaente alla provnca d Trento.

15 Regolarzzazone de ass annual d precptazone per la Stazone d Rva d Tures. I dat d, 3, 6, e 4 ore (P0, P03, P06, P, P4) costtuscono altrettant capon su qual deternare paraetr della legga probablstca teorca, n questo caso la legge d GUMBEL ANNO P0 P03 P06 P P

16 Gl statstc del capone: eda e varanza sono calcolat per cascuna durata MEDIA VAR DEV.ST Dagl statstc del capone sono desubl n base al etodo de oent paraetr della legge teorca ALFA U La legge d GUMBEL può qund essere rscrtta per la specfca popolazone analzzata, ad esepo per la popolazone de ass annual d durata 4 ore: F ( ) ep ep è qund possble estrapolare dat per qualsas tepo d rtorno secondo le odaltà gà llustrate. Esepo: T 00 ann 00 F ( 00 ) w ln ln 0.995) o assegnare l corrspondente tepo d rtorno ad un evento d data agntudo. Esepo X w [ ep( 4.3) ] F ( ) ep T 6. 5ann I dat possono opportunaente essere collocat sul cartograa probablstco. I punt rappresentano valor del capone collocat n base alla plottng poston, la lnea contnua espre la legge teorca d probabltà adattata al capone n base a paraetr stat con l etodo de oent.

17 L elaborazone estesa a tutte le durate d precptazone porta al calcolo de quantl regolarzzat per dvers tep d rtorno T W P0 P03 P06 P P Da dat regolarzzat s rcavano le lnee segnalatrc d probabltà pluvoetrca desubl dalle coppe altezza-durata per dvers tep d rtorno. Utlzzando la sbologa adottata per tepo d rtorno d 00 ann: log(t) y log(h) b log(a) nuero punt (5) t h logt ylogh ^ y SOMMA

18 y y n y y b S ottene: n b.5 da cu a3.43 qund la lnea segnalatrce per tepo d rtorno 00 ann t h