Il Metodo degli Elementi Finiti

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1 Il Metodo degl Eleent Fnt Dalle dspense del prof. Daro Aodo e dalle lezon del prof. Govann Santucc Introduzone In alcune strutture la dvsone n porzon eleentar, faclente scheatzzabl, dscende edataente dal dsegno e dalla tecnologa utlzzata per la costruzone. Le caratterstche d rgdezza de var eleent sono faclente rcavabl da odell struttural degl eleent (barre assal, trav) Molto spesso, nvece, partcolarente ne coponent eccanc, la struttura è un contnuo trdensonale, che non presenta una preferenzale suddvsone n eleent. In quest cas s può agnare counque d dvdere la struttura n un nuero fnto d eleent, ognuno de qual sarà caratterzzato da un certo nuero d punt nodal ne qual defnre le grandezze cneatche e dnache. La rgdezza della struttura dpende dalle caratterstche elastche del aterale e dalla cneatca de sngol eleent. 1

2 Introduzone Il etodo degl eleent fnt è lo studo de crter con cu rappresentare l contnuo edante un nsee d eleent dscret localente equvalent, dal punto d vsta statco, alle corrspondent porzon del contnuo. L dea è d rcondurs al caso gà vsto del calcolo strutturale atrcale, edante le seguent potes d lavoro: - S rappresenta l contnuo trate un nuero dscreto d eleent fnt, conness tra loro n un nuero dscreto d punt nodal lungo l contorno. (approssazone: la connessone tra porzon d contnuo è nella realtà su nfnt punt e non n poch punt dscret). Gl spostaent nodal saranno ancora le ncognte del problea, e tutte le grandezze d nteresse verranno espresse n funzone d tal spostaent. Eleent dscret Nod Introduzone Il etodo degl eleent fnt è lo studo de crter con cu rappresentare l contnuo edante un nsee d eleent dscret localente equvalent, dal punto d vsta statco, alle corrspondent porzon del contnuo. - Un nsee approprato d funzon vene scelto per descrvere l capo d spostaent n seno al sngolo eleento n funzone degl spostaent nodal: funzon d fora (approssazone, legata alla scelta arbtrara delle funzon d fora. In aggunta, queste dovrebbero asscurare requst d contnutà degl spostaent (congruenza) e delle deforazon. Non sepre è possble soddsfare tal condzon). P f k f ( x, y, z) N d, d, d, d k P punto generco d coordnate x,y,z nterno all eleento. {f} spostaento del punto P 2

3 Introduzone Il etodo degl eleent fnt è lo studo de crter con cu rappresentare l contnuo edante un nsee d eleent dscret localente equvalent, dal punto d vsta statco, alle corrspondent porzon del contnuo. - Dal capo d spostaento defnto sopra, è possble rcavare l capo d deforazone corrspondente, sepre n seno all eleento. Noto l capo d deforazone, s rsale al capo d tensone, assunto l legae costtutvo del aterale e tenuto conto anche d eventual deforazon nzal e tenson resdue. Introduzone Il etodo degl eleent fnt è lo studo de crter con cu rappresentare l contnuo edante un nsee d eleent dscret localente equvalent, dal punto d vsta statco, alle corrspondent porzon del contnuo. - S deterna un sstea d forze concentrate a nod che facca equlbro alle tenson sul contorno e ad ogn carco dstrbuto nell eleento. (approssazone: concentrando le forze a nod, la condzone d equlbro statco è verfcata soltanto globalente.) p F F k k g S cerca coè ancora una relazone d equlbro d eleento del tpo: e e e e e F K d F F.. p 0 F F deternando e F, F e K, e p 0 trate opportune relazon dpendent dal tpo d eleento 3

4 Introduzone Il etodo degl eleent fnt è lo studo de crter con cu rappresentare l contnuo edante un nsee d eleent dscret localente equvalent, dal punto d vsta statco, alle corrspondent porzon del contnuo. Con queste potes, l problea è rcondotto al caso del calcolo strutturale atrcale. S può coè scrvere la condzone d equlbro per ogn eleento: e e e e e F K d F p F 0... Successvaente la condzone d equlbro vene posta a lvello d struttura (dscreta): La soluzone segue nfne l ter gà vsto per sste dscret La convergenza del etodo, approssazon legate alle potes d lavoro Cercando d rappresentare l contnuo edante un nsee d eleent dscret d denson fnte s ntroducono le seguent approssazon: - la connessone tra porzon d contnuo è nella realtà su nfnt punt e non n poch punt dscret. - concentrando le forze a nod, la condzone d equlbro statco è verfcata soltanto globalente. - la scelta arbtrara delle funzon d fora non garantsce che gl spostaent ver n seno a sngol eleent sano descrtt accurataente. In aggunta, queste dovrebbero asscurare requst d contnutà degl spostaent (congruenza) e delle deforazon. Al decrescere delle denson degl eleent dscret (con h la d. eda d ele.) tal approssazon s rducono. S può dostrare che sotto opportune potes (rguardant le funzon d fora ed altro..), l etodo degl eleent fnt converge alla soluzone esatta quando h 0. 4

5 La convergenza del etodo, l portanza della scelta delle funzon d fora La precsone del etodo dpende forteente da coe le funzon d fora rescono a descrvere l capo d spostaent reale. Esse sono scelte n anera arbtrara e ntroducono una approssazone qualora l capo vero d spostaent non sa descrvble edante la forulazone analtca adottata. L errore s rduce al decrescere della densone dell eleento Per asscurare la convergenza del etodo al rsultato corretto, s dostra che le funzon d fora devono essere scelte n base a seguent crter: 1) devono essere n grado d rappresentare correttaente ot rgd: n tal cas non devono generare deforazon nell eleento; 2) devono essere n grado d rprodurre la condzone d capo unfore d deforazone all nterno dell eleento; 3) le deforazon n corrspondenza della separazone tra gl eleent possono presentare una dscontnutà a questa deve essere fnta (cò corrsponde alla condzone che gl spostaent sano contnu tra eleent contgu, ovvero che le funzon d spostaento sano C 0 n corrspondenza della separazone. C sono noltre class d eleent che rchedono che gl spostaent sano C 1 ). Proble pan: L eleento trangolare a 3 nod Dalle dspense del prof. Daro Aodo e dalle lezon del prof. Govann Santucc 5

6 Eleent bdensonal: stato d tensone pana In olt cas, pur essendo l oggetto da studare un soldo contnuo, la scheatzzazone del coportaento strutturale può essere fatta con un odello contnuo bdensonale, con un suffcente grado d approssazone. Cò è possble ognqualvolta la generca sezone trasversale sa rappresentatva del coportaento dell ntero soldo Modello soldo 2D Stato pano d tensone Stato pano d deforazone s H L Stato pano d tensone: s << L, H Tensone norale al pano trascurable Spessore untaro o spessore effettvo Eleent bdensonal: stato d deforazone pana In olt cas, pur essendo l oggetto da studare un soldo contnuo, la scheatzzazone del coportaento strutturale può essere fatta con un odello contnuo bdensonale, con un suffcente grado d approssazone. Cò è possble ognqualvolta la generca sezone trasversale sa rappresentatva del coportaento dell ntero soldo Stato pano d tensone Modello soldo 2D Stato pano d deforazone s Spessore untaro H L Stato pano d deforazone: s >> L, H Deforazone norale al pano trascurable 6

7 Eleento pano trangolare a 3 nod S consder un soldo (oogeneo ed sotropo) e s potzz che carch e vncol, ad esso applcat, sano tal da generare un capo pano d spostaent e che tale pano sa norale allo spessore. In tal caso è spesso possble rcondurs a cas vst pra d stato d tensone pana o deforazone pana y s s y In queste condzon è possble rappresentare l coportaento strutturale del soldo con un odello pano. S dvda l soldo n una sere d eleent trangolar, d denson fnte. S agn ora d estrarre uno d tal trangol dal contnuo e d studare l suo coportaento rferendolo ad un sstea d coordnate cartesano. x Per le potes e le assunzon fatte l eleento può solo spostars, deforandos, sul pano x y. Ogn suo punto ha qund due coponent d spostaento, che ndchereo coe u e v. x Eleento pano trangolare a 3 nod Consderao qund l eleento e, dotato d spessore s, nel pano x y. L eleento è un trangolo d vertc,, y Eleento ndeforato Eleento deforato v d v u d u f v u v u d x Prendao anche n consderazone cò che accade ad un generco punto nterno dell eleento: Quando la struttura vene posta sotto carco s defora. L eleento subsce un capo d spostaent, copletaente defnble dagl spostaent de tre nod d vertce, ed Le coponent d spostaento del generco punto nterno dell eleento possono essere espress coe funzon degl spostaent nodal. 7

8 Eleento pano trangolare a 3 nod: atrce delle funzon d fora y Consderao qund l eleento e, dotato d spessore s, nel pano x y. L eleento è un trangolo d vertc,, Eleento ndeforato d u Eleento deforato v d v u v f u v u d Indchao con {f} l vettore degl spostaent d un generco punto nterno. Le coponent del vettore {f} sono u e v: x {f} dpende dal vettore degl spostaent nodal d eleento {d} e trate una atrce [N] che contene le funzon d spostaento: Eleento pano trangolare a 3 nod: atrce delle funzon d fora y v u Nel caso d eleento pano a tre nod l= 2 = 3 v v u v u u x [N], [N] ed [N] sono quadrate d denson 2 x 2 8

9 Eleento pano trangolare a 3 nod: atrce delle funzon d fora Le funzon N, N ed N dpenderanno dalle coordnate nodal dell eleento y Eleento e - nod,, nodo coordnate y y Le coordnate nodal devono essere note per poter calcolare l vettore degl spostaent. y x x x x Eleento pano trangolare a 3 nod: atrce delle funzon d fora Le pù seplc funzon d spostaento che possono essere pensate sono d tpo lneare: Essendo q se costant dpendent dalle coordnate nodal dell eleento u y u La superfce rappresenta la funzone lneare d x e y x P y P u, u e u rappresentano tre possbl spostaent nodal u x u xy P(x,y) N.B. Funzon d fora lnear garantscono autoatcaente la contnutà degl spostaent tra eleent ltrof! u 9

10 Eleento pano trangolare a 3 nod: atrce delle funzon d fora Adottando una funzone d grado superore s avrebbe una superfce pù coplessa e la sue defnzone rchederebbe un aggor nuero d punt nodal u y u y P u xy l u l k u k x P u, u u u k u l u q rappresentano 6 possbl spostaent nodal u x q u q u Eleento pano trangolare a 3 nod: atrce delle funzon d fora Le costant possono essere calcolate ponendo che le funzon d spostaento assuano ne nod esattaente l valore dello spostaento nodale. Ne dervano 2 sste, d 3 equazon n 3 ncognte, che consentono d calcolare valor delle q. 10

11 Eleento pano trangolare a 3 nod: atrce delle funzon d fora Le relazon precedent possono scrvers n fora atrcale coe segue: ed n odo pù copatto: S rcorda che le funzon d spostaento d pendono dalle coordnate del punto nterno all eleento e dalle coordnate de nod edante le costant a k, b k, c k e : per k=,, Eleento pano trangolare a 3 nod: atrce d deforazone Sa nell potes d stato d tensone pana che d deforazone pana vettor delle deforazon e delle tenson possono scrvers N.b. Nello stato d tensone pana la z non è nulla, a non contrbusce all energa elastca d deforazone essendo z =0 per potes. Verrà per ora trascurata nella trattazone. S può counque calcolare a posteror trate. Stesso ragonaento può rpeters per la z nel caso d stato d deforazone pana 11

12 Eleento pano trangolare a 3 nod: atrce d deforazone Legae tra le coponent della deforazone e spostaent nodal, n fora atrcale: La atrce d deforazone [B] ha denson lx (lx), nel caso n esae 3x6, e può essere dvsa n tre sottoatrc 3x2 del tpo: per k=,, N.B. Nel caso dell eleento pano a 3 nod tern della atrce [B] sono costant, nfatt non contengono le varabl x,y. La deforazone è descrtta coe costante n tutto l eleento. Cò ntroduce una approssazone portante nel rappresentare elevat gradent d deforazone. Eleento pano trangolare a 3 nod: atrce d deforazone La deforazone appena calcolata, n funzone degl spostaent nodal è quella totale. Per calcolare correttaente lo stato d tensone, è necessaro sottrarre alla deforazone totale eventual deforazon nzal, qual ad esepo, le dlatazon terche: valda nel caso d stato pano d tensone oppure: valda nel caso d stato pano d deforazone 12

13 Eleento pano trangolare a 3 nod: atrce d elastctà Matrce d elastctà [D] per lo stato pano d tensone Stato pano d tensone Stato pano d deforazone Le atrc [D] per lo stato pano d tensone e per lo stato d deforazone pana s ottengono nvertendo le relatve relazon d Hooke, ovvero rcavando le n funzone delle Relazone d equlbro d eleento La relazone che espre la condzone d equlbro dell eleento nel contnuo s può rcavare chaando n causa l prncpo de lavor vrtual {F} e vettore delle forze esterne agent sull eleento, applcate drettaente a nod: N.B. In questo caso {F} e rappresenta le forze nodal che sono statcaente equvalent alle tenson { } realente agent sul contorno dell eleento. {p} vettore de carch dstrbut per untà d volue, ad esepo dovuto ad azon nerzal: La condzone d equlbro tra le forze esterne e le reazon nterne, dovute allo stato tensonale, s rcava trate l prncpo de lavor vrtual Supponendo l eleento n equlbro, ponendo un capo d arbtrar spostaent vrtual l lavoro coputo dalle forze esterne deve eguaglare quello coputo dalle forze nterne 13

14 Relazone d equlbro d eleento capo d spostaent vrtual. Lo spostaento nterno vrtuale e la deforazone conseguente al capo d spostaent vrtual sono date da vettor: Il lavoro vrtuale coputo dalle forze esterne vale: Il lavoro vrtuale coputo dalle tenson nterne vale: Uguaglando lavor s ottene: Relazone d equlbro d eleento elnando lo spostaento vrtuale d eleento s ottene: Rcordando le relazon: 14

15 Relazone d equlbro d eleento Questa relazone è del tpo: In conclusone s può scrvere: Matrce d rgdezza d eleento Forze nodal equvalent alla deforazone nzale (dlatazone terca) Forze nodal equvalent alla tensone nzale (tenson resdue) Forze equvalent a carch unforeente dstrbut (presson, forze d assa) Eleento pano trangolare a 3 nod: atrce d rgdezza, stato pano d tensone La atrce d rgdezza d eleento copleta 15

16 Eleento pano trangolare a 3 nod: forze nodal equvalent Forze nodal equvalent alle deforazon nzal Le forze nodal equlbrant carch unforeente dstrbut sull eleento possono essere espresse coe segue: 16