Urti. Abbiamo appena visto che negli urti si conserva la quantità di moto del sistema, in generale però NON si conserva l energia cinetica.

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1 Urt Abbao appena sto che negl urt s consera la quanttà d oto del sstea, n generale però NON s consera l energa cnetca. Propro n funzone del coportaento dell energa cnetca gl urt engono dfferenzat n tre categore: Ø Urt elastc ne qual s consera anche l energa cnetca del sstea ΔT0 Ø Urt anelastc ne qual NON s consera l energa cnetca del sstea ΔT 0 Ø Urt perfettaente anelastc ne qual NON s consera l energa cnetca del sstea (ΔT 0) ed corp dopo l urto rsultano unt l uno all altro e s coportano coe un sngolo corpo d assa Mentre la quanttà d oto s consera n tutt tp d urt, l energa cnetca s consera solo negl urt elastc

2 Urt elastc (non c è dsspazone d energa cnetca) Consderao due partcelle d assa ed, che s uoono lungo una retta con eloctà nzal e, urtano ed escono dall urto con eloctà fnal f e f Nell urto elastco s conserano sa la quanttà d oto totale del sstea che l energa cnetca. algono qund le relazon: Conserazone della quanttà d oto Conserazone dell energa cnetca f f f f da cu (nel caso d oto n una densone) s può rcaare che: " f % " $ # ' % & $ # ' $ f & # " & % # " $ & % (Dostrazone alla laagna) NB: le eloctà possono essere poste negate o nulle

3 Urto frontale: f f f f Sosttuendo * n s ottene: ( f ) ( f ) ( f ) f ( ) ( ) f ( f ) f f ( ) ( ) ( )( ) f f / ( )( f / ) ( f )( ) ( f ) ( f ) f f f f * Sosttuendo l espressone per f nell equazone della conserazone della quanttà d oto s ottene la eloctà fnale della pra partcella n funzone delle asse delle due partcelle, della sua eloctà nzale e della eloctà nzale della seconda partcella f f ( ) f ( ) f Con un dscorso analogo s troa la eloctà fnale della seconda partcella: f ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

4 Urt elastc- qualche caso partcolare " f % " $ # ' % $ & # ' $ f # & " & # % " $ & % Ø Se Ø Se la partcella è nzalente n quete ( ) Ø Se >> e Ø Se >> e f 0 0 f f f f 0 f In un urto frontale tra due partcelle ugual queste s scabano la eloctà 0 " f % $ # ' & $ f # " & % Se una assa olto pesante urta una assa leggera nzalente fera, la pallna olto pù pesante prosegue ndsturbata l suo oto entre la assa pù pccola rbalza con eloctà doppa rspetto a quella nzale della partcella pesante Se una assa olto leggera urta una assa olto pesante nzalente fera, la pallna leggera nerte la sua drezone antenendo costante la sua eloctà entre quella pesante rane fera

5 Urto perfettaente anelastco Consderao due partcelle d assa ed, che s uoono lungo una retta con eloctà nzal e Dopo un urto perfettaente anelastco tra le due partcelle esse rsultano fuse nsee e s uoono con una stessa eloctà fnale La quanttà totale del sstea s consera: f P costante p p p f ( ) f f Conoscendo le eloctà nzal delle due partcelle è possble calcolare la eloctà fnale coune

6 Sstea d punt In generale, per deternare copletaente l oto d un sstea costtuto da n punt ateral, s dee rsolere un sstea d 3n equazon. Abbao nfatt che: Il oto del sstea errà descrtto da n equazon ettoral (una per cascun punto): j a j F j con j,n Ed ognuna d queste equazon ettoral può essere rscrtta coe tre equazon lungo x,y,z: j a jx F jx j a jy F jy j a jz F jz j,n Defnao allora per cascun punto -so le seguent grandezze: Poszone: r eloctà Accelerazone: a F quanttà d oto Moento Angolare: L r energa cnetca p T Per l sstea coplesso d punt defnao noltre: Quanttà d oto totale del sstea P p Moento angolare totale del sstea L r Energa cnetca totale del sstea L T T

7 Centro d assa d un sstea Descrere l oto d un corpo esteso o d un sstea d punt può rsultare olto coplcato dato che ogn punto del corpo s uoe n anera dfferente dagl altr seguendo traettore dfferent Consderao per esepo una azza da baseball che ene lancata roteando n ara. Benché l oto sa coplcato e dfferente per cascuna parte della azza, esste un punto della azza che s uoe coe se n esso fosse contenuta tutta la assa della azza e coe se tutte le forze esterne agssero su d lu > oto parabolco Centro d Massa: d un corpo o d un sstea d corp è l punto che s uoe coe se tutta la assa fosse contenuta n esso e coe se tutte le forze esterne agssero su d esso Perette qund d descrere l oto coplesso del sstea Dal punto d sta ateatco, s defnsce centro d assa d un sstea d punt ateral l punto geoetrco la cu poszone è ndduata dal raggo ettore: r Poszone eda, r r 3r3 4r4 R c n n r n pesata n funzone delle asse

8 Centro d Massa n n n... r... r r r r r c R Esepo: Centro d assa d due partcelle d assa ed Poste entrabe sull asse x x x x c x Se >, x c s troerà pù cno alla poszone x k z j y x r ˆ ˆ ˆ doe k z j y x R c c c c ˆ ˆ ˆ c R

9 Centro d assa Esepo: Centro d assa d tre partcelle d assa ed ed 3 coe ostrate n fgura r r r r c R x c x x 3 x 3 3 d (d b) 4(d b) 4 7d 5b 7 d 5 7 b y c y y 3 y h h y d x r 0 y b d x r 0 h y b d x r bj b d j y x R c c c ˆ 7 4 ˆ 7 5 ˆ ˆ

10 Moto d un sstea d partcelle Consderao un sstea costtuto da n punt ateral. Assuendo che la assa totale M del sstea ranga costante possao deternare la eloctà del centro d assa derando rspetto al tepo l ettore poszone del CM: c d R c d r M Rcordando la defnzone d quanttà d oto totale del sstea: possao screre: c M La quanttà d oto totale del sstea è par al prodotto della assa totale del sstea per la eloctà del suo centro d assa> coè è uguale alla quanttà d oto d una partcella d assa M che s uoe con eloctà P P M c Veloctà del centro d assa Quanttà d oto totale del sstea P p c

11 Moto d un sstea d partcelle () Analogaente a quanto fatto per la eloctà s può rcaare l accelerazone del centro d assa: a c d c Se l sstea d rferento è nerzale: Rcordando che la rsultante delle forze nterne è nulla: a c M a a nt F j j M d k F est F k ext M R est M a F nt F ext R est Ma Teorea del centro d assa: Ø l centro d assa s uoe coe un punto aterale n cu sa concentrata tutta la assa del sstea ed a cu sa applcata la rsultante delle forze esterne, oppure, c Ø la rsultante delle forze esterne agent sul sstea d partcelle è uguale alla assa totale del sstea oltplcata per l accelerazone del centro d assa

12 Moto d un sstea d partcelle (3) Il centro d assa rappresenta l oto globale dell nsee d punt ateral. R c c a c sono dat dalle ede pesate sulle asse de ettor poszone eloctà ed accelerazone de sngol punt e fornscono nforazon sulle propretà ede del oto. Rcordando le defnzon d eloctà del centro d assa e d quanttà d oto totale del sstea: R ext M a c M d c dm c P M c s ottene che: R ext M a c d P la rsultante delle forze esterne è par alla derata della quanttà d oto totale del sstea Ø Il centro d assa è qund una quanttà ateatca, che gode d noteol propretà: ) Il oto del centro d assa è deternato dalle sole forze esterne R est M a c ) La sua eloctà è par alla quanttà d oto totale dsa la assa totale del sstea c P M 3) La sua accelerazone è par al rapporto tra la rsultante delle forze esterne e la assa totale del sstea. a c R ext M

13 Accenno a corp rgd ed al oto rotazonale Quando s consderano de corp estes ( una ruota, un dsco, un pattnatore )che ruotano ntorno ad un asse non è possble asslarl ad un punto aterale poché ogn loro punto ruoterà con eloctà e drezon derse Modello d corpo rgdo: S consdera l corpo esteso asslable ad un nsee d partcelle la cu utua dstanza rane costante nel tepo ( l corpo non s defora ) > è solo un approssazone n quanto nella realtà la aggor parte de corp sono deforabl. Con l odello d corpo rgdo la trattazone delle rotazon è olto seplfcata Forte analoga tra le grandezze che descrono ot traslazonal e quelle che descrono ot rotazonal: ot traslazonal ot rotazonal Poszone (coord. Cartesane x,y) Veloctà lneare Accelerazone lneare a Poszone (coord. Polar r,θ) Veloctà angolare Accelerazone angolare α

14 Coordnate Polar- eloctà angolare accelerazone angolare Consderao un dsco che ruota ntorno ad un asse fsso passante per l punto O e perpendcolare alla fgura. Il punto P, rappresentato dalle sue coordnate polar (r,θ) Durante la rotazone l punto P s sposta d un arco srθ Da cu s ottene la poszone angolare θ: θ s r Rapporto tra lunghezze > angol adensonal L angolo sta a ot rotazonal coe la poszone x sta al oto traslazonale In analoga con quanto sto per lo spostaento lneare Δx, s può defnre lo spostaento angolare Δθ: quando l punto P s sposta da una poszone A ad una B con una rotazone lo spostaento angolare è dato da: La eloctà angolare eda con cu aene questo spostaento è data da: ω eda Δθ Δt Δθ θ B θ A θ f θ E la eloctà angolare stantanea s ottene facendo l lte per Δtè0 Δθ ω l Δt 0 Δt dθ [ω] [rad][t ] doe l radante è adensonale NB : ω> 0 quando P ruota n senso antoraro (θ crescente)

15 Coordnate Polar- eloctà angolare accelerazone angolare () Se la eloctà angolare ara da un alore ω ad un alore ω f nell nterallo Δt l corpo è soggetto ad un accelerazone angolare. L accelerazone angolare eda e l accelerazone stantanea sono date rspettaente da: Δω ed α l Δt 0 Δt dω [α] [rad][t ] NB : α> 0 quando P ruota n senso antoraro con ω crescente o quando P ruota n senso oraro con ω decrescente α eda Δω Δt tutt punt d un corpo rgdo ruotando ntorno ad un asse, n un dato nterallo d tepo, spazzeranno lo stesso angolo θ, con la stessa eloctà angolare ω, e la stessa accelerazone angolare α. I ot rotator d un corpo rgdo ntorno ad un asse possono essere copletaente caratterzzat edante le tre grandezze θ,ω,α In realtà w ed a sono de ettor n quanto deono portare l nforazone rguardo la drezone dell asse d rotazone ed l erso d rotazone. S defnsce ettore eloctà angolare ω l ettore aente coe odulo ω, coe drezone la drezone dell asse d rotazone e erso defnto dalla regola della ano destra S defnsce ettore accelerazone angolare l ettore aente coe odulo α, coe drezone la drezone dell asse d rotazone e erso concorde con ω se ω è crescente o dscorde se ω è decrescente α

16 Moento Angolare() Ø Consderao una partcella d assa posta nella poszone con una quanttà d oto (che fora con un angolo φ) e che s uoe Ø S defnsce ettore oento angolare l prodotto ettorale tra e : L r p r p r L rpsnϕ L r p r L al pano defnto da r e p Ø Il oento angolare è la grandezza fsca assocata alle rotazon analoga alla quanttà d oto per le traslazon Ø Il oento angolare s sura n kg s -. r p p NB: l prodotto r snθ è la coponente d nella drezone perpendcolare a, coè r snφ r. Analogaente l prodotto p snθ è la coponente d nella drezone ortogonale ad r : p sn φ p. L L pr rp r contrbusce al oento angolare solo la coponente della eloctà perpendcolare al raggo ettore.

17 r Moento angolare() Se φ 0, π, coè se e sono parallel l oento angolare Questo corrsponde al caso n cu l oto è traslatoro lneare, passante per l orgne r p L rpsnφ rsnφ p 0 Se φ π/, coè se e sono perpendcolar l oento angolare L è asso ed L r Nel caso d oto crcolare, con centro nell orgne s ha: ωr L L E qund: L r ω Inoltre l ettore L è dretto coe l asse d rotazone. S può ntrodurre la notazone ettorale: L r ω NB: poché la eloctà angolare è assocata ad una rotazone ntorno ad un asse fsso, essa ene defnta coe un ettore che ha per odulo l alore ω, per drezone la drezone dell asse d rotazone e per erso quello della regola della ano destra

18 Moento d una forza Abbao sto che, per l oto traslatoro, la forza rsultante agente su un corpo è par alla derata teporale della quanttà d oto : F d p Vedao ora coe la legge d Newton preede un enuncato analogo nel caso n cu l oto sa una rotazone: Defnao oento d una forza, l ettore ottenuto dal prodotto ettorale tra l ettore poszone (defnto dal punto n cu è applcata la forza rspetto alla stessa orgne, detto polo) e la forza stessa. : M r F NB: Il oento d una forza è l analogo rotazonale della forza. Consderao la arazone nel tepo del oento angolare: d L d r p ( ) M d r p r d p "#$ r F F 0 M M d L Il oento rsultante delle forze agent su una partcella è par alla derata teporale del oento angolare della partcella. Questa relazone è l analogo rotazonale della seconda legge d Newton.

19 Moento d una forza() Sa dato un corpo rgdo pernato su un asse. Quando su questo corpo s applca una forza F e la retta d azone della forza non passa per l perno l corpo tende a ruotare ntorno all asse. Il oento della forza M descre la tendenza della forza a far ruotare l corpo ntorno all asse che fa da perno Il oento M della forza F A è defnto coe l prodotto ettorale tra l ettore poszone (defnto dal punto n cu è applcata la M F φ forza rspetto alla stessa orgne, detto polo) e la forza stessa. r φ P O M r F M r è perpendcolare al pano deternato da (punto d applcazone rspetto ad O) ed. doe F M rf snφ Fb b r snφ bracco della forza b r snφ è l bracco della forza, e corrsponde alla dstanza dell asse d rotazone dalla retta su cu gace F. Il oento della forza sarà nullo se la forza ene applcata lungo la drezone del ettore poszone, coè della retta congungente l punto d azone della forza all asse d rotazone NB: Il oento d una forza descre la capactà della forza stessa d ettere un corpo n rotazone rspetto ad un punto.

20 Esepo porta ncardnata Se pensao a quest'ulta e al gesto che copao pù olte al gorno per aprrla, possao assuere l luogo doe sono poszonat cardn coe nostro asse d rotazone (A); la dstanza tra questo e la angla coe bracco (b)( se spngao o trao ortogonalente alla porta); la stessa angla coe punto d'applcazone (P) e lo sforzo che eseguao per trare (o spngere) la porta erso d no coe forza (F). P F b A Dato che, a partà d oento della forza, la forza ed l bracco corrspondente sono grandezze nersaente proporzonal, all'auentare dell'una dnurà l'altra: Tanto pù cno sarà la angla all'asse d rotazone, tanto aggore sarà la forza da applcare alla angla e ceersa. Se olete bloccare una porta, doe ettete l peso? Lontano o cno a cardn?

21 Forze central Ø S defnsce forza centrale una forza agente n ogn punto dello spazo la cu drezone passa sepre attraerso un punto fsso, detto centro della forza. Ø Se l centro concde con l orgne d un sstea d rferento la forza centrale è dretta parallelaente al raggo ettore. Ø Esep d forze central sono la forza gratazonale e la forza d Coulob, drette sepre coe la congungente l corpo d proa con la sorgente del capo. r F Ø poché nel caso d forze central è parallelo ad, s ha che l oento della forza è nullo: M r Fc Ø Il oento angolare dee qund essere costante: Coè: per un corpo sottoposto all azone d una forza centrale l oento angolare è una quanttà conserata. NB:Poché L s consera ( e qund non ara la sua drezone) la traettora d una partcella sottoposta alle sole forze central gace su un pano ( che dee ranere narato n quanto perpendcolare al oento angolare) 0 M dl 0 L costate