0$*1(7267$7,&$ i m D E F )LJXUD6FKHPDWL]]D]LRQLGLGLSROLDGLSRORHOHWWULFREGLSRORPDJQHWLFR³DPSHULD QR FGLSRORPDJQHWLFR³FRXORPELDQR

Transcript

1 $*(767$7,&$,'(//,'(//$$*(767$7,&$ Coe necessara preessa alla agnetostatca s rpropongono alcune evdenze sperental: a), PDJQHWLQDWXUDOL, che per l uso d laboratoro sono perlopù nella fora d barre sottl (agh agnetc), WHQGRQR DG RULHQWDUVL VHFRQGR LO PHULGLDQR WHUUHVWUH; convenzonalente s dà n noe d estretà Nord (N) a quella che punta verso l nord geografco, ud () all altra. Un ago agnetco è un dpolo agnetco naturale. b), GLROLPDJQHWLFLQDWXUDOLLQWHUDJLVFRQRWUDORURQHOYXRWRUHVHQWDQGRXQFRPRUWDPHQWRGHO WXWWRDQDORJRDLGLROLHOHWWULFL; l analoga porta a caratterzzare l dpolo naturale puntfore con un vettore applcato δ nel punto n cu è centrato l dpolo (PRPHQWRPDJQHWLFRFRXORP ELDQR GHOGLROR). Il verso d δ è quello che va dall estretà alla N (ved fgura.c). L untà d sura d δ è l weber etro (Wb ), corrspondente al (coulob etro) per l dpolo elettrco δ (ved fgura.a). Nella concezone forale del dpolo agnetco naturale coe un aggregato nscndble d carche agnetche puntfor d segno opposto dslocate agl estre d un segento, l untà d sura per la carca agnetca è l weber. c), GLROL PDJQHWLFL DPHULDQL GL PRPHQWR δp LQWHUDJLVFRQR WUD ORUR QHO YXRWR UHVHQWDQGR XQ FRPRUWDPHQWRGHOWXWWRDQDORJRDLGLROLHOHWWULFLHDLGLROLPDJQHWLFLQDWXUDOL L nterazone tra dpol aperan (ved fgura.b) è qund del tutto analoga a quella tra dpol elettrc. L untà d sura d δp è l Apère etro (A ). d) L aspetto fondaentale dell elettroagnetso n rege stazonaro è l fatto che OH D]LRQLVX FRUUHQWL HR PDJQHWL URGRWWH GD XQ GLROR DPHULDQR GL PRPHQWR δp VRQR GHO WXWWR XJXDOL D TXHOOHURGRWWHVXFRUUHQWLHRPDJQHWLGDOGLRORPDJQHWLFRQDWXUDOHFRXORPELDQRδ VH δ µ δp (.) + δ δp δ N D E F )LJXUD6FKHPDWL]]D]LRQLGLGLROLDGLRORHOHWWULFREGLRORPDJQHWLFR³DPHULD QR FGLRORPDJQHWLFR³FRXORPELDQR L ntroduzone delle grandezze essenzal per la descrzone del capo agnetco prodotto da dpol può fars n base alla stretta analoga con l caso de dpol elettrc. ndvdua subto, pertanto, l odello che aette, quale sorgente, una dstrbuzone contnua d dpol descrtta dalla funzone vettorale 3. Questa espre l oento agnetco (coulobano) specfco n odo del tutto corrspondente al vettore polarzzazone 3 che espre l oento elettrco specfco. In stretta analoga con la relazone d legae aterale tra l capo elettrco ( ed l capo d nduzone e- lettrca ' (' ε ( + 3) s può dunque scrvere: % µ (.) dove + e % sono, rspettvaente, l capo agnetco ed l capo d nduzone agnetca. L untà d sura d 3 è l weber/etro (Wb/ ), detto anche Tesla (T). Nelle regon n cu 3 rsulta Elettroagnetso (3) -

2 pertanto % µ +. e esstessero le carche agnetche lbere s avrebbe su una carca agnetca puntfore d prova q nel vuoto, la forza ) q +.Ma O HVHULHQ]D KDVLQRUDHVFOXVRO HVLVWHQ]D GLFDULFKHPDJQHWLFKHOLEHUH, cosddett onopol agnetc; va fatto pertanto rferento alle forze agent su dpol agnetc. In partcolare, la coppa e la forza agente su un dpolo (coulobano) rsultano essere (o) : δ& δ + δ) (δ ) + (.3) Graze all equvalenza (.), è possble anche ndvduare un odello che consdera, quale sorgente, una dstrbuzone contnua d dpol aperan descrtta dalla funzone vettorale. Tale PDJQHWL]]D]LRQH espre l oento agnetco (aperano) specfco e la sua relazone con 3 è: 3 µ L untà d sura d è l Apère /etro (A/). può dunque scrvere, sosttuendo nella (.): % µ + + µ (.4) Inoltre, la coppa e la forza agente su un dpolo (aperano) rsultano essere: δ& δp % δ) (δp ) % (δp %) (.5) C s può dunque chedere se un ezzo agnetzzato va consderato coe un aggregato d dpol aperan (d denstà ) o d dpol couloban (d denstà 3 ). La questone non ha rlevanza dal punto d vsta acroscopco, data l equvalenza delle due concezon. Tuttava la agnetzzazone croscopca è dovuta sa al oto degl elettron nelle orbte elettronche (scheatzzabl coe spral percorse da corrente) sa a oent agnetc ntrnsec degl elettron, per qual non è possble concepre né uno schea coulobano né uno schea aperano. La teora classca della agnetzzazone è pertanto affetta da lt ntrnsec, che sono stat superat solo nell abto delle concezon quantstche. In conclusone, nelle trattazon UHYDOHLOULIHULPHQWRDOODFRQFH]LRQHDP HULDQD. Questo è dovuto alla evdenza sperentale degl effett agnetc dovut alle corrent elettrche d qualsas natura ed all assenza d onopol agnetc. Per questo otvo per caratterzzare ateral agnetc lnear s fa spesso uso della relazone tra la agnetzzazone ed l capo agnetco +: χ + (.6) dove χ, adensonale, è detta VXVFHWWLYLWjPDJQHWLFD. Nell abto della agnetostatca, l capo agnetco ed l capo d nduzone agnetca soddsfano, sperentalente, le seguent relazon: do c (.7) % % Qd (.8) dove - è la denstà d corrente ed c la corrente concatenata alla curva chusa Γ. La relazone d legae aterale tra capo d nduzone % e capo agnetco + s scrve u- sualente trate la pereabltà agnetca µ nel seguente odo: % µ ( + χ ) + µ + (.9.a) Γ E E E () L operatore dfferenzale del pro ordne (D )E è defnto coe:( D ) E a x + a y + a z x y z Elettroagnetso (3) -

3 Tale relazone descrve ezz sotrop lnear (se µ è al pù funzone del punto e del tepo) o non lnear (se µ è anche funzone del capo agnetco). e l ezzo è ansotropo la pereabltà agnetca µ dventa un tensore (coè una atrce 3 3): % [µ] + (.9.b) Il odello dfferenzale (.7) - (.8), accoppato alla relazone d legae aterale nella fora (.9) o (.4), può essere rsolto ntroducendo l RWHQ]LDOHYHWWRUH $: % $ (.) osttuendo la (.) nella (.4) e applcando l operatore rotore ad entrab ebr s ottene: ( $) µ + + µ osttuendo la (.7) e applcando l denttà vettorale ( $) ( $) $ s ottene: ( $) $ µ - + µ Coe è noto dalla teora de cap, la (.) non è suffcente a defnre unvocaente $. pone pertanto la condzone agguntva: $ (.) Rsulta qund: $ µ - µ (.) Le sorgent d $, e dunque d %, sono dunque d due tp: la denstà d corrente d conduzone - ed l rotore della agnetzzazone. eguendo lo schea aperano, s defnsce FRUUHQWHGLPDJQH WL]]D]LRQHl vettore -. Con questa defnzone la (.) s rscrve coe: $ µ (- + - ) (.3) La (.3) s dce (TXD]LRQHGL3RLVVRQYHWWRULDOH ed aette coe unca soluzone la seguente: () $U ( ) µ - ( U ) µ -U du + 4π V U U 4π V U U du (.4) Facendo uso dell denttà vettorale ϕ (ϕ)+ ϕ, la (.4) s scrve anche coe: () $U -U ( ) µ µ du + ( U ) du + µ 4π U U 4π V V 4π V U U ( ) Q U U U d (.5) not che la (.5) è una soluzone solo se la agnetzzazone è nota. Nel caso assa coune n cu la agnetzzazone sa una funzone del capo agnetco, coè M M (H), la (.5) rappresenta soltanto una forulazone alternatva della (.3). Nel caso n cu -, coè se non v sono corrent d conduzone, convene utlzzare l RWHQ]LDOH PDJQHWLFRVFDODUH ψ. Infatt, n questo odo l ncognta del problea è una grandezza scalare nvece che vettorale, l che soltaente conduce ad espresson pù seplc. e -, l capo agnetco + è rrotazonale n tutto lo spazo e può essere dervato da un potenzale scalare: + ψ (.6) osttuendo la (.6) nella (.4) e applcando l operatore dvergenza ad entrab ebr s ottene: % µ ( ψ)+ µ Rsulta qund: ψ (.7) Elettroagnetso (3) - 3

4 La sorgente d ψ, e dunque d +, è dunque la dvergenza della agnetzzazone. eguendo lo schea coulobano, s defnsce GHQVLWjGLFDULFDPDJQHWLFDla grandezza ρ 3 µ. L untà d sura d ρ è l weber /etro 3 (Wb/ 3 ) oppure l Tesla /etro (T/). Con questa defnzone la (.7) s rscrve coe: ψ ρ /µ (.8) La (.8) s dce (TXD]LRQHGL3RLVVRQed aette coe unca soluzone la seguente: ρ( U ) ψ() U U πµ d (.9) V U U 4 Facendo uso dell denttà vettorale ϕ (ϕ) ϕ, la (.9) s scrve anche coe: ψ 4πV () U ( U ) ( ) U Q du + U U π d (.) 4 V U U 3535,(7 $*(7,&+('(,$7(5,$/, La consderazone d aggregat d dpol agnetc c ha consentto d rconoscere la stretta analoga tra sste elettrostatc ed sste agnetc stazonar. Per quest ult l coportaento della atera agnetzzata è stato caratterzzato foralente dalla funzone vettorale e dal suo legae (l cosddetto legae costtutvo) con uno de vettor agnetc; n partcolare con l capo agnetco +. Osservao subto, però, che tale analoga vale soltanto a lvello acroscopco. Infatt, se s ntende approfondre la connessone tra l coportaento acroscopco della atera e quello de suo costtuent eleentar a lvello atoco, è necessaro consderare l oento agnetco de sngol ato (s rcord la defnzone d coe lte del rapporto P/ V). Il oento agnetco del sngolo atoo è dato dalla sovrapposzone de ot orbtal degl elettron attorno al nucleo e de loro oent ntrnsec. 'LDPDJQHWLVPR consder un ezzo nel quale, n assenza d capo agnetco applcato dall esterno, s abba una perfetta copensazone tra oent agnetc degl elettron d ogn sngolo atoo (cò accade ad esepo per gas nobl). L esperenza ostra che n tal caso l applcazone d un capo agnetco esterno anche olto ntenso dà luogo ad una agnetzzazone ndotta ad esso proporzonale olto debole a carattere sagnetzzante. Il coportaento è daagnetco per cu la suscettvtà χ è negatva (s rcord che χ +). tratta d suscettvtà olto pccole ed, n generale, ndpendent dalla teperatura (dell ordne d - -5 nella aggor parte de cas, ad esepo per l rae; fa eccezone l bsuto per l quale χ ). 3DUDPDJQHWLVPR Quando gl atoo, gl on o le olecole possedono un oento agnetco propro, l azone d un capo esterno produce un allneaento parzale de oent secondo l verso del capo. Tale effetto agnetzzante è l rsultato dell equlbro statstco tra l azone ordnatrce del capo e quella dell agtazone terca. e l nterazone agnetca tra ato adacent è trascurable, non s ha agnetzzazone spontanea a lvello acroscopco: la suscettvtà agnetca χ è postva ed ha valor olto odest alla teperatura abente (dell ordne d -3 ). Essa decresce con la teperatura secondo la Legge d Cure: χ C/T. I ateral che così s coportano sono dett paraagnetc. Ess hanno dunque un coportaento lneare ed sotropo caratterzzato da una pereabltà relatva poco dscosta dall untà. Ess pertanto, coe ateral daagnetc, odfcano n odo - nessenzale cap prodott nel vuoto. Elettroagnetso (3) - 4

5 )HUURPDJQHWLVPR Quando gl ato, gl on o le olecole possedono un oento agnetco propro e sono forteente nteragent tra loro, gl aggregat rsultant sono ferroagnetc. L esperenza ostra che n tal caso con cap estern faclente realzzabl s raggunge la saturazone (coè l parallelso d tutt dpol agnetc) a teperatura abente. rscontrano noltre vstos fenoen d agnetzzazone resdua (n assenza d capo agnetco) e d steres. Per quanto rguarda la dpendenza dalla teperatura, a partre da un valore crtco T c della teperatura (WHPHUDWXUDGL&XULH) s ha un coportaento paraagnetco e qund una suscettvtà agnetca che segue la Legge d Cure - Wess: χ C/(T T c ). Questo nsee d propretà, a partcolarente quella d poter dar luogo ad ntense agnetzzazon con debol cap applcat n ateral d otto coportaento eccanco - strutturale, rende l ferroagnetso d fondaentale portanza per le applcazon elettrotecnche. Dal punto d vsta croscopco, ateral ferroagnetc sono forat dall aggregazone d nnuerevol don agnetc o don d Wess delle denson d 3 6 che sono copost da olecole o ato che possedono un oento agnetco propro e sono allneat fra loro (ved fgura ). )LJXUD'RPLQLGL:HLVVULPDHGRR O DOOLQHDPHQWRFRQLOFDPRPDJQHWLFRHVWHUQR e l aterale è allo stato natvo oent agnetc de don d Wess sono orentat casualente, producendo qund una agnetzzazone acroscopcaente nulla. In presenza d un capo agnetco esterno, tuttava, oent agnetc tendono ad allnears. Tale allneaento perane anche se l capo agnetco esterno è rosso, dando orgne ad una agnetzzazone resdua. Tale effetto agnetzzante è l rsultato dell equlbro statstco tra l azone ordnatrce del capo e quella dell agtazone terca. Auentando la teperatura l effetto dell agtazone dventa sepre pù sensble, causando la copleta sagnetzzazone quando s raggunge la teperatura d Cure. Per studare ateral ferroagnetc c s basa, n concreto, sulle FDUDWWHULVWLFKHGLPDJQHWL] ]D]LRQH, coè su dagra che fornscono l valore n odulo e verso dell'nduzone agnetca % n funzone del capo agnetco + per provn oogene. In fgura 3 è rappresentato un tpco processo d B agnetzzazone. Il aterale sa allo stato natvo P (s) A (sagnetzzato). dstnguono una curva d pra agnetzzazone, (tratto OA) e, a partre da A un processo cclco che non s rchude e- B r B µ H sattaente. e l capo agnetco vene nvertto H c rpetutaente tra valor ±H M, l'evoluzone s -H M d H M vara l'apezza de ccl. assesta su ccl setrc d LVWHUHVL. Al varare H M H )LJXUD Il raggungento della saturazone è evdenzato dal fatto che, per cap aggor d H M,l'ncreento B corrspondente ad un ncreento H è lo stesso che s avrebbe nel vuoto, coè µ H. Il cclo d steres che vene assunto coe terne d paragone è quello descrtto a partre dalla saturazone. I prncpal paraetr usualente consderat per la caratterzzazone de lega B-H sono: + Elettroagnetso (3) - 5

6 le pereabltà relatve dfferenzal valutate lungo la curva d pra agnetzzazone secondo la forula db µ rd (), n partcolare quella nzale (B, H ) e quella assa; µ dh dh> l valore della agnetzzazone d saturazone P (s) ; l'nduzone resdua B r che s ha quando l capo esterno vene portato a zero; l capo coerctvo H c che è necessaro applcare n verso opposto a B r per rdurre a zero l'nduzone; alcun valor d energe specfche del cclo, qual l'area W st del cclo oppure l valore del asso del prodotto BH lungo l cclo. L'area W st del cclo d steres ha un sgnfcato partcolare: coe s vedrà pù dffusaente nel seguto, la varazone d denstà d energa agnetca agazznata n seguto ad una varazone d% del capo d nduzone è + d%. Tale energa agnetca vene convertta n parte n energa conservatva ed n parte n energa dsspata (calore), secondo la relazone: ( + d % ) dτ dec + δ Ed (.3) V Integrando la (.3) su un cclo d steres, s ottene: ( + % ) V d dτ de + δ E E (.4) c d d e s consdera la denstà d energa dsspata (surata n joule /cclo 3 ), la (.4) dventa: Pd ( + d % 6. ) Wst BM La relazone d proporzonaltà dell area del cclo d steres W st con una potenza del capo d nduzone asso B M è specfcata dalle Nore. L esponente è soltaente copreso tra.6 e. Per una trattazone pù copleta delle perdte nel ferro ved captolo sulle Nore. (.5) Elettroagnetso (3) - 6

7 $7(5,$/,)(55$*(7,&,'/&, Un portante sottogruppo ne ateral ferroagnetc è dato da PDWHULDOL IHUURPDJQHWLFL GROFL che sono caratterzzat da elevat valor della pereabltà e basso valore del capo coerctvo (H c < 3 A/) cu s collega l basso valore dell'area del cclo d steres (ved fgura 4). I ateral d questo gruppo vengono pegat laddove nteressa ltare al asso le corrent necessare per produrre e controllare fluss d nduzone (nucle d elettroagnet, nucle d trasforator, rotor e stator d acchne rotant). I ateral d questo gruppo prncpalente utlzzat sono l ferro e le sue leghe con nckel, cobalto e slco, gl acca a basso tenore d carbono e le ferrt dolc. Le caratterstche prncpal d alcun ateral dolc sono presentate nella Tabella.a. Le caratterstche d agnetzzazone d alcun ateral dolc sono ostrate n fgura 5. Elettroagnetso (3) - 7 -H M B H M )LJXUD&LFORGLLVWHUHVLHUPDWHULDOL IHUURPDJQHWLFLGROFL 7DEHOODD&DUDWWHULVWLFKHULQFLDOLGLDOFXQLPDWHULDOLIHUURPDJQHWLFLGROFL Noe Coposzone µ r P (s) B r H c σ nzale ax (T) (T) (A/) (/) Cobalto Co 99.9% Nchel N 99.9% Ferro (puro) Fe 99.9% Accao (Low Carbon) Fe 99.5% Ghsa Fe, C.8 4.5% Ferro al lco (sotropo) Fe, 3% Ferro al lco (ansotropo) Fe, 3% alloy Fe, N 48% Peralloy N, Fe % Peralloy N, Fe 7%, Mo 4% uperalloy N, Fe 5%, Mo 5%, Mn.5% V - Perendur Fe, Co 49%, V% uperendur Fe, Co 49%, (elevata purezza) V% Metglas 65C Fe 8 B C Metglas 65- Fe 78 B MnZn Ferrte MnZn Ferrte NZn Ferrte H5C (codce TDK) H5E (codce TDK) K5 (codce TDK) H

8 µ M(T) uperendur Accao al slco ansotropo 475 alloy Metglas Peralloy V-Perendur Accao al slco sotropo uperalloy H(A/) )LJXUD&DUDWWHULVWLFKHGLPDJQHWL]]D]LRQHGLDOFXQLPDWHULDOLGROFL Il ferro coercalente puro (ferro dolce) vene utlzzato nelle applcazon n contnua (nucle d elettroagnet). Per applcazon n alternata, ad esepo laern per otor, vene utlzzato preferblente accao a basso tenore d carbono (Low Carbon) e accao al slco a gran non orentat (sotropo) a causa della loro nore conducbltà. Quest due ateral sono n assoluto pù usat nel ondo ( Mton/anno). L sotropa fa sì che le propretà agnetche non varno al varare della drezone del flusso agnetco e qund che non s abbano proble partcolar nelle operazon d taglo e ontaggo. Quest tp d aterale sono usat per le acchne rotant e solo eccezonalente per trasforator. Dvers sono tp d laere lanate a caldo sa per quanto rguarda lo spessore (.5 oppure.35 ) sa soprattutto per l tenore d slco che può andare dall % al 4.5%. Per nucle de trasforator (salvo quell d pccola potenza), n cu l peso e l effcenza sono portant, vene utlzzato preferblente accao al slco a gran orentat (ansotropo). Il laerno s ottene rcorrendo a lanazon effettuate a freddo, ntercalate da trattaent terc esegut a crca 8 C n atosfera d drogeno, d leghe ferro - slco ad alto tenore d slco (3%)e vene fornto n rotol. Lo spessore del laerno è soltaente.3, a per pegh partcolar può arrvare a.5. L ansotropa offerta dalle leghe Fe - a crstall orentat, a dfferenza delle altre leghe, è tale da presentare per l flusso una sola drezone ottale (quella d lanazone) per la quale le caratterstche agnetche sono olto buone e le perdte olto basse. La lavorazone eccanca perette d raggungere un allneaento edo tra oent agnetc de don d Wess d crca 7. Una successvo trattaento elettroagnetco consente d rdurre l dsallneaento fno a crca 3, con una sensble rduzone delle perdte. Ulteror gloraent s sono ottenut ntroducendo trattaent superfcal d levgatura e d rcottura ad alta teperatura ( C) per perettere una recrstallzzazone ed ottenere don d Wess d denson aggor. Le caratterstche prncpal d alcun acca a slco a gran orentat (ansotrop) per laern sono presentate nella Tabella.b. Elettroagnetso (3) - 8

9 7DEHOODE&DUDWWHULVWLFKHGLDOFXQLDFFLDLDLVLOLFLRDJUDQLRULHQWDWLDQLVRWURLHUODPLHULQL Tpo pessore P d (5Hz,.7T) P d (5Hz,.3T) () (W/kg) (W/kg) Convenzonale Alta nduzone Alta nduzone Alta nduzone Incso (Laser) Incso (Laser) e levgato.5.4. Recrstallzzato Metglas 65C Recrstallzzato.3..3 Per le applcazon elettronche (trasforator ed nduttor) a frequenza khz sono soltaente utlzzate le leghe ferro - nckel (peralloys). Queste hanno sa una elevata pereabltà nzale µ sa una duttltà suffcenteente elevata da potere forare strsce olto sottl. I ateral pù coun n questa categora sono la lega Fe - N 48% con µ e la lega N - Mo5% con µ 8. Le leghe ferro - cobalto, d solto con un % d Vanado per glorare la duttltà, sono utlzzate nelle applcazon al alta teperatura a causa della loro elevata teperatura d Cure (T c 98 C). Le leghe aorfe ferro - boro (vetr etallc) hanno una coposzone del tpo (Fe, Co, N) 8 (B, C, ) e sono ottenute per rapdo raffreddaento del aterale fuso. Questa classe d ateral, nata negl ann 7, può essere dvsa n tre sottoclass (ved Tabella.c):. Leghe d ferro. La loro nduzone d saturazone è.6.8t. Orgnaraente svluppate per sostture gl acca al slco ansotrop, hanno dostrato d possedere ad alta frequenza (fno a khz) caratterstche anche glor delle leghe ferro - nckel crstallne;. Leghe ferro - nckel. La loro nduzone d saturazone è crca.9t. Rspetto alle leghe d ferro hanno un nore coeffcente d agnetostrzone λ s (ved paragrafo 4) ed una aggore resstenza alla corrosone, a sono pù costose; 3. Leghe d cobalto. Il loro coeffcente d agnetostrzone è olto pccolo, hanno pereabltà olto aggor delle precedent e perdte olto nor, tuttava sono anche le pù costose. Esse hanno l potenzale per rpazzare ateral crstalln n olt cap: alcune presentano propretà sl a glor peralloys entre altre hanno perdte sostanzalente nferor alle leghe ferro - slco ansotrope. Le ferrt (dolc), a causa della loro conducbltà estreaente bassa, sono utlzzate per nucle d trasforator ed nduttor funzonant a frequenza oltre khz. Le ferrt sono ossd etallc snterzzat (faclente lavorabl) con la forula generale XFe O 4. Nelle ferrt anganese - znco X è una cobnazone d Mn, Zn e Fe, entre nelle ferrt nckel - znco Mn è sosttuto da N. Le ferrt MnZn hanno un capo d nduzone d saturazone puttosto elevato, a anche una alta conducbltà, per cu sono utlzzate per applcazon fno ad MHz. Oltre MHz s utlzzano soltaente le ferrt NZn che hanno una conducbltà notevolente pù bassa. Elettroagnetso (3) - 9

10 7DEHOODF&DUDWWHULVWLFKHULQFLDOLGLDOFXQLPDWHULDOLPDJQHWLFLDPRUIL /HJKHGLIHUUR B ax (T) H c (A/) λ s ( 6 ) σ (M/) T c ( C) P d (6Hz,.4T) (W/kg) P d (khz,.t) (kw/ 3 ) Metglas 65C Fe 8 B C Metglas 65- Fe 78 B Metglas 65CO Fe 67 Co 8 B Metglas 65-3 Fe 79 B /HJKHIHUURQLFNHO Metglas 86MB Fe 67 N 38 Mo 4 B /HJKHGLFREDOWR Metglas 75M Co 67 N 3 Fe 4 Mo B $7(5,$/,)(55$*(7,&,'85, Un altro portante sottogruppo ne ateral ferroagnetc è dato da PDWHULDOLIHUURPDJQHWLFLGXUL che sono caratterzzat da elevat valor della nduzone resdua e del capo coerctvo (H c > 4 A/) cu s collega l'elevato valore del prodotto BH ottenuto nel quadrante, coe s osserva n fgura 6. I ateral d questo gruppo vengono pegat laddove nteressa realzzare fluss agnetc costant nel tepo e pertanto convene rcorrere al agnetso peranente nvece che a crcut percors da corrente. Alcun ateral d questo gruppo sono presentat nella Tabella. Tra quest sono partcolarente rlevant le leghe ed snterzzat coprendent terre rare per l loro elevato valore d H c. B -H M H H M )LJXUD&LFORGLLVWHUHVLHU PDWHULDOLIHUURPDJQHWLFLGXUL I ateral agnetc dur coercalente pù portant sono le ferrt (dure), le leghe ed snterzzat coprendent terre rare e gl Alnco. Il ercato ondale de ateral agnetc dur nel 99 è stato.5 9 U$. Le quote d ercato sono state: 65% ferrt, % terre rare (8% copost d cobalto, 4% Nd - Fe - B), % Alnco, % altr. Elettroagnetso (3) -

11 7DEHOOD&DUDWWHULVWLFKHULQFLDOLGLDOFXQLPDWHULDOLIHUURPDJQHWLFLGXUL Materale B r H c BH ax Elettroagnetso (3) - (T) (ka/) (kj/ 3 ) Accao al tungsteno Fe, W 5%, C.7% Accao al cobalto Fe, Co 8.5%, Cr 3.75%, W 5%, C.75% Alnco Fe, Al %, N 9%, Co 3%, Cu 3% Alnco 5 Fe, Al 8%, N 4%, Co 4%, Cu 3% Alnco 9 Fe, Al 7%, N 5%, Co 35%, Cu 4%, T 5%.5 7 Ferrte d Baro BaO. 6Fe O Ferrte d tronzo ro. 6Fe O aaro - Cobalto Co aaro - Cobalto (Co.68 Cu. Fe. Zr. ) Neodo - Ferro - Boro Nd Fe 4 B Lodex 3 Pb, Fe 9.%, Co.8%, b 7.6% Cunfe Cu, N %, Fe % Vcalloy Co, Fe 38%, V % Chrondur II Fe, Cr 8%, Co.5% Fe - Co - Cr Fe, Cr 3%, Co 5%, V 3%, T % Platno - Cobalto Pt, Co 3% Manganese - Alluno Mn, Al 9.5%, C.5% $OQLFR. Gl Alnco (Fe - Al - N - Co - Cu) sono dvs n due sottogrupp: gl alnco sotrop (-4) che contengono fno al % d cobalto e gl alnco ansotrop (5-9) che contengono dal % al 4% d cobalto. L ansotropa vene ottenuta per raffreddaento controllato del aterale fuso n presenza d un capo agnetco esterno. I provn sono successvaente rcott a 6 per alcune ore per auentare le denson de don d Wess. Quest ateral hanno un elevato prodotto B H ax (4 7 kj/ 3 ), una elevata nduzone resdua (.7.35 T) e odesto capo coerctvo (4 6 ka/). Gl Alnco sono fragl e qund sono soltaente prodott per fusone o snterzzazone. L Alnco 5 è l aterale pù dffuso d questa fagla. )HUULWL Le ferrt (dure) sono ossd etallc snterzzat (faclente lavorabl) con la forula generale XFe O 9 dove X è soltaente Ba o r. A dfferenza degl Alnco, le ferrt hanno elevato capo coerctvo ( 3 ka/) a bassa nduzone resdua (.4.5 T). Le ferrt d stronzo sono eno dffuse delle ferrt d baro a causa del loro costo pù elevato, anche se l loro capo coerctvo è crca doppo. Le ferrt sono prodotte spesso n fora legata elastca o rgda (l legante è soltaente plastca o goa). Le ferrt legate ostrano una notevole unfortà nelle propretà agnetche (portante per la produzone d sere) ed hanno l notevole vantaggo d non essere fra-

12 gl. Lo svantaggo fondaentale è che le propretà agnetche peggorano notevolente rspetto alle ferrt non legate (l prodotto BH ax s rduce del 5%). 7HUUHUDUH I agnet peranent contenent saaro sono dventat coercalente dsponbl negl ann 7. I agnet Co 5 (a fase sngola) hanno ottenuto n laboratoro otte prestazon (B r T, H c 3 ka/, B H ax kj/ 3 ), a le prestazon coercal sono leggerente pù basse ( B H ax 3 6 kj/ 3 ). I agnet (Co, Fe, Cu, Zr) 7 (ultfase) hanno prestazon coercal anche glor (B r.t, H c 5 ka/, B H ax 4 kj/ 3 ). In laboratoro, auentando l tenore d zrcono, s è ottenuto anche H c ka/, B H ax 64 kj/ 3. Quest agnet sono prodott con la tecnologa ceraca per snterzzazone, a anche n fora crstallna e escolat a legant plastc per glorare le caratterstche eccanche. I agnet peranent contenent neodo sono dventat coercalente dsponbl nel 983. I agnet Nd Fe 4 B (a fase sngola) hanno ottenuto n laboratoro valor record del prodotto B H ax 45 kj/ 3, a le prestazon coercal sono leggerente pù basse ( B H ax 6 3 kj/ 3 ). Eccetto che per la teperatura d Cure relatvaente bassa (3 C), agnet Nd - Fe - B sono decsaente superor a tutt gl altr ateral agnetc dur dsponbl attualente. Esstono altr ateral agnetc, per pegh partcolar. Ad esepo gl acca agnetc (pesse propretà agnetche, otte propretà eccanche), le leghe Fe - Cr - Co (sl agl Alnco, a pù duttl per l rdotto contenuto d cobalto), le leghe Cu - N - Fe (odeste propretà agnetche, a otta lavorabltà eccanca a freddo), le leghe V - Co - Fe (odeste propretà agnetche, a lanabl fno a spessor d.5). I agnet peranent sono prncpalente utlzzat per otor ed altoparlant. La fgura 7 ostra l progresso avvenuto n questo secolo nel capo de ateral agnetc. Per defnre le propretà de agnet s utlzza soltaente l prodotto B H ax. In partcolare è evdente la crescta spettacolare avvenuta negl ann 7 nel capo de snterzzat coprendent terre rare. La fgura 8 ostra le curve d deagnetzzazone per alcun ateral ferroagnetc dur BH Max (kj/ 3 ) Terre Rare Alnco Ferrt Acca Anno )LJXUD a b H (ka/) B(T) )LJXUD&XUYHGLGHPDJQHWL]]D]LRQHHUPD WHULDOL IHUURPDJQHWLFLGXULDG )H %E 6P&R&X)HU F6P&R G6P&R OHJD WR H$OQLFRIQ$O&J$OQLFRK&U &R )HLIHUULWHMIHUULWHOHJDWD d c h f g e j Elettroagnetso (3) -

13 &,5&8,7,$*(7,&, /DGHWHUPLQD]LRQHGLXQFDPRPDJQHWLFRULFKLHGHLQJHQHUDOHODVROX]LRQHGHOOHHTXD]LR QLGLD[ZHOOLQVLHPHDOOHUHOD]LRQLGLOHJDPHPDWHULDOHHULPDWHULDOLUHVHQWL Il problea qund convolge vettor (, ', + e % e gl operator che copaono sono spazal e teporal. Dato che nella pratca la soluzone esatta spesso non è ottenble, s sono studate alcune seplfcazon al fne d ottenere soluzon approssate a utl dal punto d vsta ngegnerstco. Pertanto ODQDOL VL GHOFDPRWULGLPHQVLRQDOHqULGRWWDDOODQDOLVLGLXQFLUFXLWRHTXLYDOHQWH, che fornsce una soluzone accettable nella aggor parte de cas. L potes seplfcatva ntrodotta è la conoscenza, a pror, della geoetra del FLUFXLWRPDJQHWLFR, coè del tubo d flusso del capo d nduzone B. Infatt, XQFLUFXLWRPDJQHWLFR, q XQDVWUXWWXUDFRPRVWDHUODPDJJLRUDUWHGDPDWHULDOHDG HOHYDWDHUPHDELOLWjPDJQHWLFD che s suppone, per l oento, lneare La presenza d aterale ad elevata pereabltà agnetca confna l flusso agnetco all'nterno della struttura nello stesso odo n cu ateral ad elevata conducbltà elettrca confnano la denstà d corrente ne crcut elettrc. consder l crcuto agnetco seplce rappresentato nella fgura 9. supponga che l aterale che copone l crcuto abba pereabltà φ olto aggore d quella dell'ara crco- stante (µ>>µ ). La sezone del aterale sa N unfore. L'ecctazone sa fornta da un avvolgento forato da N spre percorse dalla corrente. A causa della pereabltà elevata è possble supporre che l capo d nduzone agnetca sa confnato quas nteraente nel aterale. )LJXUD Il IOXVVR PDJQHWLFR φ attraverso una superfce è defnto da: φ % Qd Graze alla solenodaltà d % e alla supposzone fatta sopra, l flusso agnetco φ sarà costante attraverso una qualsas sezone norale del aterale. Dato che la sezone è costante (escludendo vertc) sarà lecto assuere che % sa unfore sulla sezone. Questo porta ad una seplce relazone tra flusso agnetco φ e odulo dell'nduzone agnetca B: φ B defnsce ora la IRU]DPDJQHWRPRWULFH (f...) relatva ad una qualsas lnea chusa C concatenata con le N spre d ecctazone che pass all'nterno del aterale agnetco coe la corrente totale che s concatena con tale lnea: ) N. ha qund per la legge d Apere: ) + do È possble collegare la f... al flusso agnetco. Dalla defnzone: C ) % dl dl dl + do do µ µ µ 5 C C C C C µ ( B) φ φ φ (3.) La relazone lneare tra f... e flusso agnetco appena ottenuta () 5 φ) è detta /HJJHGL+R NLQVRQ e rappresenta l'analogo della legge d Oh (V RI) per crcut agnetc. La supposzone che l capo d nduzone agnetca sa confnato quas nteraente nel aterale perette d Elettroagnetso (3) - 3

14 effettuare tutt passagg eccetto l pro per cu s è consderata l'equazone d legae aterale lneare % µ+. La grandezza 5 che copare è detta ULOXWWDQ]D del crcuto ed è defnta da: 5 dl C µ (3.) Nel caso d fgura, n cu la sezone è unfore e la pereabltà µ è costante, la rluttanza s può scrvere: 5 O µ dove O rappresenta la lunghezza della lnea d flusso eda nel aterale agnetco. consder ora l crcuto agnetco rappresentato nella fgura n cu è stato ntrodotto un traferro. 6H OD GLPHQVLRQH G GHO WUDIHUUR q LFFROD ULVHWWR DOOH GLPHQVLRQL GHOOD VH]LRQH QRUPDOH q RVVLELOH WUDVFXUDUH JOL HIIHWWL GL ERUGR In questo odo s trascura l'allargaento delle lnee d capo ed è possble consderare l flusso φ contnuo anche attraverso l traferro. N φ δ 6ROLWDPHQWHJOLHIIHWWLGLERUGRYHQJRQRWUDVFX UDWL Qualora però se ne vogla tenere conto, è possble ntrodurre una sezone trasversale del traferro, auentata rspetto ad. Un seplce odo per ottenere è aggungere ad un orlo d spessore par al traferro. Coe s può notare dalla fgura, oltre questa dstanza le lnee d capo sono olto deforate. Il capo d nduzone nel traferro non è certaente unfore, tuttava s farà rferento al valore edo B del capo n ara coe se l capo d nduzone fosse unfore sulla sezone. )LJXUD )LJXUD δ δ ntende ora calcolare la rluttanza assocata al crcuto rappresentato nella fgura. Dalla eq.(3.): dl dl dl 5 δ C µ µ O I I µ µ µ aterale agnetco traferro La legge d Hopknson fornsce qund: ) (5 I + 5 ) φ Rsolvendo questa equazone per l flusso s ottene qund: ) φ 5 I +5 Elettroagnetso (3) - 4

15 $$/*,$75$&,5&8,7,$*(7,&,(&,5&8,7,(/(775,&, consderno sste rsolutv per l elettrodnaca stazonara (a snstra) e per la agnetostatca (a destra). ( + - % - σ ( % µ + Poché proble sono postat n anera ateatcaente equvalente, s possono defnre le seguent equvalenze: ( + - % σ µ Le varabl a snstra sono rferte a crcut elettrc, quelle a destra a crcut agnetc. Questa equvalenza è partcolarente utle per defnre ed analzzare crcut agnetc. È defnble un potenzale elettrco scalare v, da cu calcolare l capo (: È defnble un potenzale agnetco scalare ψ, da cu calcolare l capo +: ( v + ψ È possble ntrodurre una forza elettrootrce esterna V (IHP) utlzzando una battera o un generatore d tensone. - è solenodale. I tub d flusso d - defnscono l crcuto elettrco. La corrente I n ogn tubo d flusso è defnta da: I - Q d Per cascun nodo del crcuto elettrco s ha (Legge d Krchhoff delle Corrent): I k k La resstenza d un tratto d tubo d flusso d lunghezza O n cu la sezone è unfore e la conducbltà σ è costante è defnta da: È possble ntrodurre una forza agnetootrce esterna ) (IPP) utlzzando un agnete peranente o un elettroagnete. % è solenodale. I tub d flusso d % defnscono l crcuto agnetco. Il flusso φ n ogn tubo d flusso è defnto da: φ % Qd Per cascun nodo del crcuto agnetco s ha: φ k k La rluttanza d un tratto d tubo d flusso d lunghezza O n cu la sezone è unfore e la pereabltà µ è costante è defnta da: R O σ Per resstenze n sere ed n parallelo s possono defnre le resstenze equvalent: R R + R + + R Esepo: eq R R R R eq n n 5 O µ Per rluttanze n sere ed n parallelo s possono defnre le rluttanze equvalent: Esepo: 5 eq 5n eq n Elettroagnetso (3) - 5

16 I φ ) 5 9 R R I )LJXUDD Assuendo che la conducbltà delle connesson nel crcuto sa nfnta, la sola resstenza al passaggo della corrente la oppone R. Vale la Legge d Oh: V R I Per cascuna agla del crcuto elettrco s ha (Legge d Krchhoff delle Tenson): k V k k R I k k 5 I )LJXUDE Assuendo che la pereabltà del ferro nel crcuto sa nfnta, la sola resstenza al passaggo del flusso agnetco la oppone 5. Vale la Legge d Hopknson: ) 5 φ Per cascuna agla del crcuto agnetco s ha: j ) j 5 φ j j j Questa analoga tra le soluzon d crcut elettrc e agnetc può essere portata avant per ottenere soluzon seplc per fluss agnetc n confgurazon anche olto coplesse, purché sa sepre possble ndvduare a pror tub d flusso d %. 9DOJRQRLQIDWWLHULFLUFXLWLPDJQHWLFL OHJJLDQDORJKHDOOHOHJJLGL.LUFKKRIIXUFKpVLDRVVLELOHLQGLYLGXDUHVHQ]DDPELJXLWjQRGL UDPLHPDJOLH. In generale qund, defnte la geoetra e le caratterstche del crcuto agnetco, s ntroduce l crcuto elettrco equvalente dalla cu rsoluzone s deducono, graze all'analoga, le grandezze d nteresse per l crcuto agnetco. /DVROX]LRQHFRVuRWWHQXWDULVHQWHGHOOHGXHLR WHVL IDWWHWUDVFXUDUHLIOXVVLGLVHUVL FRQVLGHUDUHWXWWLLPDWHULDOLOLQHDUL Mentre l'potes () non coporta gross error, l'potes () è da rteners valda solo coe pra approssazone. In realtà l'pego ne crcut agnetc de ateral ferroagnetc coporta d dovere tenere n conto n odo adeguato delle loro coplesse caratterstche. Elettroagnetso (3) - 6

17 &,5&8,7,$*(7,&,/,($5, È possble estendere al caso non lneare la teora de crcut agnetc: coe s è vsto la curva d pra agnetzzazone non è reversble, tuttava generalente quando s ha a che fare con ateral agnetcaente dolc, s può fare rferento ad essa nel ruolo d curva su cu s appattsce l cclo d steres e dotata de caratter d unvoctà e reversbltà rchest da proble n esae. Questo è possble poché ateral ferroagnetc dolc sono caratterzzat da ccl d steres olto strett ed allungat. pesso n luogo della curva d pra agnetzzazone s fa rferento alla curva d agnetzzazone norale defnta coe luogo de vertc de ccl d steres setrc. Tale curva s dscosta poco dalla caratterstca d pra agnetzzazone e può essere utlzzata n sosttuzone d questa. consder nuovaente l crcuto agnetco d fgura, n cu s vogla tenere conto della non lneartà del aterale. a assegnata dunque la caratterstca B-H del aterale nella fora H+(B). antenga nvece l'potes d assenza d fluss dspers che consente d defnre a pror l tubo d flusso d %. È necessaro dunque ndvduare la funzone (che s chaerà caratterstca del crcuto agnetco) che lega l flusso φ che attraversa una qualsas sezone trasversale del tubo alla forza agnetootrce ) NI generata dall'avvolgento d ecctazone. La deternazone della caratterstca del crcuto agnetco è assa seplce nel caso n cu l nucleo sa oogeneo, la sezone costante e l traferro d pccolo spessore. ottene nfatt dalla eq.(3.): N ) + do + do + do+ H I l I + Hδ C H B aterale agnetco B φ φ ( ) l + δ H l + δ ψ () φ + 5 φ I I µ traferro Questa relazone lega le Aperspre d ecctazone con una funzone non lneare del flusso φ. La tensone agnetca nel aterale ψ(φ) è faclente ottenble dalla caratterstca +(B) che vene assegnata soltaente trate un grafco sperentale. In generale, per un crcuto agnetco coposto da pù tratt n sere senza dspersone la fora generale della caratterstca è: ) ψ ( φ ) n cu ogn terne della soa è dato dalla tensone agnetca ψ desunta dalla caratterstca agnetca relatva al tratto consderato. È evdente dunque che c sono due class fondaental d proble relatv a crcut agnetc:. Assegnato l flusso φ, deternare la forza agnetootrce );. Assegnata la forza agnetootrce ), deternare l flusso φ. Mentre la pra classe d proble è olto seplce da rsolvere, una volta scrtta la caratterstca del crcuto, la seconda classe d proble rchede un approcco grafco e teratvo. Volendo defnre un crcuto elettrco equvalente anche n questo caso s ottengono dunque resstor non lnear. È possble anche tenere conto de IOXVVL GLVHUVL. L'errore che s coette trascurando la dspersone agnetca ne crcut agnetc d fora e denson usual non è n generale tale da porre vstose correzon, a quando queste sono necessare l loro calcolo è coplcato e laboroso. Del resto la odesta degl error da correggere è tale da rendere valdo l rcorso a drastche seplfcazon, per non dovere rsolvere l problea del calcolo del capo trate soluzone nuerca (soltaente coplcato dalla presenza de ateral non lnear). I µ I Elettroagnetso (3) - 7

18 consder l consueto crcuto seplce, ostrato n fgura 3, con un avvolgento d ecctazone e un traferro. a assegnata la caratterstca d agnetzzazone. Il nucleo convogla la aggor parte del flusso n un traferro, e sull area dell una e dell altra delle due superfc del traferro s suppone debba stablrs l flusso φ. è gà vsto che a causa della dspersone l nucleo non costtusce un tubo d flusso per %. Il flusso d % vara nfatt con contnutà da sezone a sezone, varando a causa del flusso che attraversa la superfce laterale. Rsulta n questo caso opportuna la suddvsone del crcuto agnetco n tratt nteressat dallo stesso flusso. La caratterstca del crcuto sarà data qund da: ) ψ φ ( ) φ 3 N φ φ 4 )LJXUD6XGGLYLVLRQHGHOFLUFXLWRPDJQH WLFR LQWUDWWLLQWHUHVVDWLGDOORVWHVVRIOXVVR dove φ è l valore del flusso nel tratto consderato. Posto genercaente φ σ φ s ha: ) ψ σ φ ( ) L'unca dfferenza forale tra questa espressone e quella ottenuta trascurando fluss dspers rguarda la presenza de coeffcent σ, n generale aggor d uno e dvers da tratto a tratto. La dffcoltà nel calcolo de coeffcent σ rsede nella coplessa geoetra del capo agnetco esterno al nucleo. è vsto dunque coe, fssata la geoetra ed ateral, sa possble trovare una relazone tra la f... ) ed l flusso φ. Da questa è sepre possble ottenere una relazone tra la corrente L ed l flusso concatenato con l crcuto d ecctazone ϕ : L L(ϕ) Tale relazone è n generale non - lneare e non - bunvoca. Inoltre, se la geoetra del sstea può essere varata, questa relazone dpende anche da grad d lbertà del sstea ([): L L(ϕ, [) φ φ φ 5 δ &,5&8,7,$*(7,&,&$*(7,3(5$(7, Esste una classe d crcut agnetc n cu la f... è nulla. In tal caso l flusso d nduzone è prodotto da un agnete peranente (coè un ferroagnete duro ). consder ad esepo la seplce struttura d fgura 4. Il agnete propraente detto (ndcato con M) è d fora paralleleppeda con area d base e lunghezza l ; l restante nucleo agnetco ha sezone p e lunghezza l p ; due traferr sono d sezone e spessore coplessvo δ. Il nucleo sa costtuto d aterale agnetco dolce. Per la legge della crcutazone, n assenza d corrent, s ha: H O + H O + H δ pp Per la solenodaltà d %, trascurando le dsperson, s può scrvere: φ B µ H µ H p p p dove φ è l flusso del crcuto agnetco e µ p la pereabltà agnetca delle espanson polar. Poché s ha µ p >> µ, la caduta d tensone agnetca nel aterale agnetco delle espanson polar rsulta trascurable. Elettroagnetso (3) - 8

19 ha dunque: H B δ O µ H H B H O µ δ O M δ/ (3.6) )LJXUD ul pano (B, H) la relazone (3.6) ndvdua una retta per l orgne. Il segno eno ndca che a valor postv d B corrspondono valor negatv d H. Qund all nterno del agnete + e % hanno vers oppost. L ntersezone tra la retta d carco e la caratterstca del agnete ndvdua l punto d lavoro del agnete. Punto d lavoro B r B consder ora LO UREOHPD GHO URJHWWR GHO PDJQHWH, coè del suo densonaento allo scopo d ottenere n un dato traferro d sezone e spessore δ un valore assegnato dell'nduzone agnetca B. Dalle equazon (3.6) s rcava: B H V B H V (3.7) Retta d carco H c H )LJXUD&DUDWWHULVWLFDPDJQHWLFDH UHWWDGLFDULFR dove con V ev s ndcano volu, rspettvaente, del agnete e del traferro. vede allora che, essendo assegnata la quanttà a secondo ebro, l volue del agnete rsulta no quando l punto d lavoro del agnete concde con quello che sulla caratterstca d agnetzzazone offre l asso valore del prodotto B H ; s realzza così la assa econoa d aterale nella costruzone del agnete. Nel caso n cu non sa dsponble la caratterstca agnetca del aterale, è possble utlzzare la seguente propretà. Per ateral ferroagnetc "dur" lo stato (H *,B * ) nel quale è asso l prodotto B H è anche caratterzzato dalla seguente relazone: B H * * Br (3.8) H c È possble qund rcavare le forule d densonaento del agnete dalla (3.6) e dalla (3.7): O che rsolte fornscono: O H δ / δ / H c Br µ H Br B H c ax,, O µ H δ B H ax r ax (3.9) Hc µ H (3.) B B H Da esse rsulta che fattor nuerc deternant per stablre l'atttudne d un aterale a fungere da agnete peranente sono B H ax e B r /H c. Elettroagnetso (3) - 9

20 &()),&,(7,',$87(878$,'8,( In assenza d altre sorgent, s può agnare l capo d nduzone % dovuto a una corrente I, che s suppone, per seplctà, crcolante n un conduttore flfore. In un ezzo lneare, oogeneo e sotropo (quale ad esepo l vuoto), l capo d nduzone è, noltre, proporzonale alla corrente. a l capo d corrente nel conduttore che quello d nduzone agnetca sono solenodal: le rspettve lnee d flusso dovranno, pertanto, essere chuse e FRQFDWHQDWH le une con le altre. In partcolare, esste una relazone d proporzonaltà fra la corrente I ed l flusso d nduzone concatenato con la lnea che rappresenta l crcuto entro l quale crcola la corrente (ved fgura): Φ L I [4.] Il coeffcente d proporzonaltà L è noto coe FRHIILFLHQWHGLDXWRLQGX]LRQH o, pù seplceente, % Q % DXWRLQGXWWDQ]D del crcuto. Per le convenzon assunte, l autonduttanza L ha: - segno ntrnsecaente postvo e - valore che dpende dalla geoetra del crcuto e dalle propretà del ezzo; le sue denson sono d flusso dvso una corrente : nel I è e- spresso da Wb/A Henry [H]. I Nel caso n cu la corrente I crcol n un conduttore asscco la defnzone stessa dell autonduttanza rsulta decsaente pù coplessa. a dato ora un sstea costtuto da due crcut quas flfor ndcat rspettvaente con C e C. upponao che nel pro crcol una corrente I (valutata n base a un verso d rferento arbtraraente prefssato) e che nel secondo nvece non crcol corrente. Fssao arbtraraente un verso postvo su, asse d C, e detta una qualunque superfce aperta che abba tale lnea coe orlo, orentaone la norale Q edante la regola della ano destra. Voglao deternare l flusso del capo agnetco prodotto da I FRQFDWHQDWRFRQ. Ragonando coe per l coeffcente d autonduzone, rsulta Φ M I [4.] GRYH UDUHVHQWDLOIOXVVRFRQFDWHQDWRFRQ, prodotto da I, e M un fattore d proporzonaltà avente le denson d un nduttanza (e surable qund coe L, n Henry), denonato FRHIILFLHQWHGLPXWXDLQGX]LRQH del pro crcuto sul secondo. & &, u Q u Q J J Elettroagnetso (3) -

21 M può essere aggore o nore d zero a seconda dell orentaento de crcut. Nella fgura, ad esepo, l andaento delle lnee vettoral d % prodotte da una corrente, postva, è tale che ne punt della superfce, % e Q hanno verso contraro, per cu <. In questo caso l coeffcente d utua nduzone M è negatvo. e, fera restando l orentazone del pro crcuto, s nvertsse quella del secondo, e d conseguenza l verso postvo della norale a, LOIOXVVR, prodotto dalla stessa corrente,, rsulterebbe postvo e tale sarebbe anche l coeffcente M. Consderao ora una stuazone setrca rspetto alla precedente, n cu coè crcol corrente solo nel crcuto &. Ragonando coe sopra s ottene Φ M I [4.3] GRYH rappresenta l flusso concatenato con C prodotto da I, e M è l coeffcente d utua nduzone del secondo crcuto sul pro. verfca che M M [4.4] Coscché è lecto parlare d un unco coeffcente d utua nduzone M tra due crcut. Calcolao nfatt l valore d M e M, supponendo nota la dstrbuzone d potenzale vettore prodotta nel pro caso da I, e, nel secondo, da I. Nel pro caso s ha: $ µ 4π τ - µ, Gτ U 4π γ W GO U dove è la lnea che costtusce l asse longtudnale del pro crcuto e W l versore della tangente a tale curva. Per defnzone s ha Φ $ W GO γ GRYH è l asse del secondo crcuto. Dalle precedent s ha dunque Φ µ W π GO, 4 U γ γ Con un procedento analogo s deduce Φ, µ 4π γ γ W GO W GO WGO U µ 4π γ γ µ 4π W γ γ W U W U GO GO per cu M M M. L eguaglanza è stata dostrata supponendo che fluss sano proporzonal alle corrent: ove tale proporzonaltà non sa verfcata (coe nel caso de ateral ferroagnetc), l rsultato non è pù valdo. Ne cas lnear nvece la [4.5] (detta anche LQWHJUDOH GL HXPDQQ), costtusce un utle va per l calcolo de coeffcent d utua nduzone. In generale l calcolo de coeffcent d auto e utua nduzone può effettuars anche utlzzando le espresson dell energa agnetca. dce che due crcut orentat sono utuaente accoppat se per una corrente crcolante nel pro s concatena con l secondo un flusso d nduzone relatvo al capo d nduzone agnetca generato dalla corrente. Il flusso utuaente concatenato è legato alla corrente che ha generato l capo d nduzone attraverso l coeffcente d utua nduzone M, detto anche utua nduttanza, defnto dalle relazon seguent, cascuna valevole a seconda che s consder l azone sul crcuto della corrente o vceversa: Φ M Φ M W GO GO [4.5] Elettroagnetso (3) -

22 e vene fatta varare la corrente che crcola n uno de due crcut, la conseguente varazone del flusso d nduzone utuaente concatenato produrrà nell altro crcuto una f.e.. ndotta: e d dt () t M e () t d M dt Contraraente al coeffcente d autonduzone L, l nduttanza utua ha un segno che dpende dalla recproca orentazone de due crcut accoppat: LO VHJQRGLqRVLWLYRVHHURJQXQRGHL GXHFLUFXLWLLOIOXVVRDXWRLQGRWWRKDORVWHVVRVHJQRGLTXHOORPXWXDPHQWHLQGRWWR La rappresentazone del utuo accoppaento attraverso noral sbol grafc (due nduttanze affancate) costrnge ad adottare rferent suppleentar che dano un senso precso ad un assegnato segno del coeffcente d utua nduttanza M. coe eseplfcato n fgura, crcolett ner esprono una orentazone suppleentare delle due coppe d orsett che tene conto del senso d avvolgento de due crcut, n gusa che LOVHJQRGHOODPXWXDLQGXWWDQ]DqTXHOORLQGLFDWR TXDQGR OH OH FRUUHQWL VRQR RVLWLYH ULVHWWR DOOH RULHQWD]LRQL DVVXQWH. Pertanto, l segno d M va nvertto quando s nverte uno de crcolett o l orentazone d una delle corrent. + v L M> L + v upponendo M > e due crcut entrab alentat, cascuno dalla propra corrente, e, l flusso totale concatenato con ognuno d ess vale: Φ c, L +M Φ c, M +L [4.6] e le tenson a orsett sono date da: dφ c, d d dφ c, d d v L + M v M + L [4.7] dt dt dt dt dt dt Ad una varazone d ed delle due corrent corrsponde pertanto una varazone dell energa agnetca assocata a due crcut: dw dφ + dφ L d + M d + M d + L c, L energa agnetca totale assocata a due crcut sarà, pertanto: c, W L L ++ M [4.8] ottene, nfne, la condzone fra condzone fra coeffcent d auto e utua nduzone: W M L L M Il rapporto K L L, detto IDWWRUHR FRHIILFLHQWH GL DFFRLDPHQWR de due crcut, defnsce qund l grado d accoppaento d due nduttor. In ogn caso è K. Il coeffcente d ac- coppaento è nullo se M. Cò accade se e solo se la pereanza (l nverso della rluttanza) del crcuto del flusso prncpale è nulla, ossa se due nduttor sono post a grande dstanza l uno dall altro, ovvero se loro ass sono dspost lungo drezon perpendcolar: n entrab cas, nfatt, è nullo l flusso che concatena entrab gl nduttor. Il coeffcente d accoppaento è uguale a uno se e solo se le nduttanze d dspersone d entrab gl avvolgent sono nulle, ossa se tutto l flusso che concatena uno de due crcut flfor concatena anche l altro; n tal caso s dce che l accoppaento tra due crcut è perfetto. In tal caso l calcolo de coeffcent d auto e utua nduzone s può effettuare con rferento al cr- d Elettroagnetso (3) -

23 cuto agnetco ndvduato dal flusso φ che concatena entrab gl avvolgent. Infatt, dat due crcut orentat, d N en spre, rspettvaente, perfettaente accoppat, supponendo M > e due crcut entrab alentat, cascuno dalla propra corrente, e, l flusso totale concatenato con ognuno d ess vale: Φ c, L +M Φ c, M +L e pertanto: L c, Nφ M c, Nφ L c, Nφ Dalla legge d Hopknson applcata al crcuto agnetco s ottene peraltro: e dunque rsulta: N +N 5 φ [4.9] N L 5 N N M 5 not che n tal caso le tenson a orsett sono date da: N L 5 N d d v N + N 5 dt dt N d d v N + N 5 dt dt e dunque l loro rapporto dpende esclusvaente dal rapporto tra nuer d spre: v v N N Inoltre, se l crcuto agnetco ndvduato dal flusso φ che concatena entrab gl avvolgent s svluppa attraverso un aterale ferroagnetco dolce (a causa della pereabltà olto elevata è possble supporre che la rluttanza sa nulla) la [4.9] s seplfca: N +N e dunque anche l rapporto fra le corrent dpende esclusvaente dal rapporto tra nuer d spre: N N &6,'(5$,,*((5$/,68// ((5*,$$*(7,&$ L HQHUJLDPDJQHWLFDo HQHUJLDPDJQHWRVWDWLFD(ndcata con sbolo W ) espre l atttudne d un sstea d corrent elettrche stazonare utuaente nteragent a produrre, n opportune condzon, lavoro elettrco e/o eccanco. La trasforazone dell energa agnetca n lavoro elettrco avvene con process che vedono assocate alle corrent anche dfferenze d potenzale elettrco. La trasforazone n lavoro eccanco rchede nvece che eleent sede d corrente s spostno relatvaente ad altr. La produzone d lavoro coporta una dnuzone dell energa del sstea che qund passa da uno stato energetco pù alto ad uno pù basso, cascuno de qual è caratterzzato da cap vettoral della denstà d corrente -, del potenzale vettore agnetco $ e de cap + e % ed anche delle pereabltà agnetche de ezz n cu cap s svluppano. Elettroagnetso (3) - 3

24 attrbusce energa agnetca nulla allo stato d QHXWUDOLWj PDJQHWLFD FRPOHWD, ne qual cap sopra enzonat sono null n ogn punto. Pertanto s può defnre l energa agnetca d un sstea d corrent coe la sua atttudne a produrre lavoro, degradando conteporaneaente verso uno stato d neutraltà copleta. Vceversa, ogn sstea agnetostatco, costtuto da una dstrbuzone d corrent utuaente nteragent, può essere consderato coe l rsultato ( stato fnale ) d un processo d costruzone nzato partendo da uno stato nzale d neutraltà agnetca copleta. La costruzone del sstea rchede che venga fornto lavoro da forze d qualche natura, le qual agscono contro altre forze contrastant; tra queste ulte sono certaente present forze elettrche ndotte (assocate alle f.e.. ndotte), che nsorgono fntanto che le corrent varano nel tepo. Per ezz non lnear, dsoogene, ansotrop, n assenza d agnet peranent o d altr ateral con steres agnetca Per ezz lnear W d$ dτ $ - τ W - $ dτ τ Per un sstea d crcut flfor n ezz lnear W k ϕ c, k k Essendo - $ + $ dv (+ $) + + $ dv (+ $) + + % con alcun passagg s ottene, per ezz lnear: B dv µ H dv V V V µ W %+ Per ezz non lnear (essendo τ la regone n cu + e % non sono null) dv N W d% dτ Tale defnzone (valda per ogn rege elettrodnaco) suggersce che l energa sa dstrbuta nell ntero spazo, ove sono present cap + e %. not tuttava che l capo d nduzone, rspetto alle sue sorgent, ha un andaento al pù proporzonale ad /R. La denstà d energa agnetca B /µ decresce qund al pù proporzonalente ad /R 4. Pertanto, fornscono un contrbuto sgnfcatvo all ntegrazone da cu s rcava l energa agnetca solo le zone d spazo n cu l capo è elevato (coè soltaente quelle vcne alla sorgente). % + τ Ad esepo, s vogla calcolare l energa agnetca agazznata n un solenode d lunghezza l e sezone nelle potes: ) solenode lungo (l >> ), ) conduttore flfore, 3) spre unforeente e strettaente serrate. In queste potes l capo agnetco nel solenode è crca unfore e vale H NI/L dove N è l nuero d spre ed I la corrente che le percorre. Il capo agnetco all esterno del solenode è crca nullo (o eglo, è olto nore del valore che assue all nterno). È possble qund calcolare l energa agnetca agazznata nel solenode coe W (H /µ )V N I /lµ Dove s è ndcato con V l l volue del solenode. Rcordando che è possble scrvere l autonduttanza del solenode coe L µ N I/l N /5 dove 5 è la rluttanza n ara (5 l/µ ), l energa agnetca agazznata assue dunque la fora W LI / Elettroagnetso (3) - 4