FONDAMENTI DI FISICA GENERALE

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1 FONDAMENTI DI FISICA GENERAE Ingegnera Meccanca Roma Tre AA/ APPUNTI PER I CORSO (Rpres ntegralmente e da me assemblat da test d bblografa) Roberto Renzett Bblografa: Paul J. Tpler Physcs Worth Publshers, Inc., New York, 1976 Jay Orear Fundamental Physcs John Wley & Sons Inc, 1967 F.W. Sears, M.W. Zemansky - Unversty Physcs - Addson-Wesley Publshng Company, 1964 M. Alonso, E.J. Fnn Fundamental Unversty Physcs - Addson-Wesley Publshng Company, 1969 D. Hallday, R. Resnck, J. Walker Fondament d Fsca Ambrosana 011 R. Renzett - Svarat lavor rportat su PARTE TREDICESIMA

2 EETTROMAGNETISMO 14 - INDUZIONE EETTROMAGNETICA. CORRENTI INDOTTE FATTI SPERIMENTAI

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4 15 - FORZA EETTROMOTRICE INDOTTA: EGGE DI FARADAY- NEUMANN-ENZ E - dφ(b)

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7 16 - CORRENTI DI FOUCAUT

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9 PENDOO DI WATENHOFEN

10 17 AUTOINDUZIONE E l fenomeno per cu ogn varazone d ntenstà d corrente n un crcuto genera nel crcuto stesso una f.e.m. ndotta che fa crcolare nel crcuto una corrente detta d autonduzone. a corrente d autonduzone è anche detta extracorrente. Φ (B) [ n Henry ohm.s] EXTRACORRENTE DI CHIUSURA E DI APERTURA

11 Da questo momento, salvo avvso contraro, dscuteremo d fenomen transtor che hanno luogo quando la corrente è fornta da un generatore contnuo, come una pla, un accumulatore, una battera,. Una tale corrente s chama n breve corrente contnua (cc). Gl element passv, quell coè che dsspano energa, che abbamo fno ad ora ncontrato sono la resstenza e la capactà.

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13 Occorre ora aggungere l nduttanza (o bobna o pccolo solenode) che può essere nserta opportunamente n un crcuto. Una nduttanza nduttanza, che s ndca con, ha grafcamente la seguente rappresentazone:

14 In defntva, come element passv n un crcuto elettrco dovremo consderare la resstenza R, la capactà C e l nduttanza : Quest tre element potranno trovars n un crcuto elettrco n ogn possble combnazone sere e parallelo, msta a pacere. Dco subto alcune cose elementar. Nel caso d corrente contnua (cc) n regme stazonaro, non transtoro dunque, gl element capactà ed nduttanza gocano un ruolo pratcamente nullo (sstemato un condensatore n un crcuto almentato da una pla, quando s è carcato l condensatore è tutto fnto, e la corrente smette d crcolare nel crcuto; analogamente con una nduttanza, quando s è stablzzata la corrente, l nduttanza funzona né pù né meno come fosse una resstenza). Ma no c occupamo ora d regme transtoro, quello coè che nteressa l tempo necessaro alla corrente fornta da una pla o altro almentatore n cc per stablzzars nel crcuto (n genere s tratta d temp brevssm) dopo aver chuso l nterruttore (quando

15 abbamo acceso l nterruttore) e l tempo necessaro alla corrente per rtrars dal crcuto (quando abbamo spento l nterruttore). In tal stuazon transtore (d chusura del crcuto nel prmo caso e d apertura del crcuto nel secondo caso) s generano de fenomen elettromagnetc che occorre studare. S tratta coè d studare quelle che vanno sotto l nome d extracorrent d chusura ed extracorrent d apertura n dfferent stuazon d connessone nel crcuto degl element passv d cu ho appena detto. I cas sono svaratssm, m lmto ad alcun. EXTRACORRENTE DI CHIUSURA: CIRCUITO PURAMENTE RESISTIVO Sa dato l crcuto d fgura n cu abbamo una pla, una resstenza ed un nterruttore T. Alla chusura d T (trattno rosso d fgura) nzerà a crcolare una corrente che non è mmedatamente la I d fgura ma una (t) da determnars che, crescendo, andrà al suo valore I dopo un dato tempo. Questo fenomeno derva dall autonduzone. Un crcuto elettrco s chude sempre su se stesso costtuendo nel suo nseme una spra. Quando n una spra crcola corrente, per la legge d enz, s genera una corrente contrara che tenta d mpedre l nstaurars d

16 quella provenente dalla pla. V sarà qund un certo tempo n cu la corrente d autonduzone ostacolerà la corrente I. Vedamo ne dettagl come vanno le cose. Un crcuto n cu è collegata una resstenza R ed almentato da una pla con dfferenza d potenzale V fornsce un valore massmo d corrente I dato dalla legge d Ohm: V I R Al momento della chusura del crcuto medante l tasto T s svluppa una f.e.m. d autonduzone data da: coscché l valore d sarà dato da: V ' d d V V + V ' R R d(. I) I R V d R R d I R d( I ) I R d ( I) I I R + K e R t R log( I) t + C I e R t+ C Osservato che per t 0 s ha 0, rsulta:

17 0 I + K K - I Sosttuendo s ha: R t I 1 e esponenzale deve avere come esponente un numero puro e cò vuol dre che R/ deve avere le dmenson dell nverso d un tempo, coè: R 1 τ Sosttuendo questo valore nella relazone precedente s ha: Questa relazone ha l seguente grafco: I 1 e τ t

18 EXTRACORRENTE DI APERTURA: CIRCUITO PURAMENTE RESISTIVO Dobbamo ora consderare lo stesso crcuto d fgura precedente n cu sta crcolando la corrente I. Se apramo l nterruttore, toglamo coè l contatto rosso d fgura precedente, la corrente I non andrà mmedatamente al valore zero, ma mpegherà un certo tempo. All apertura d T s avrà nfatt una forte varazone del flusso d B concatenato con l crcuto che provocherà una extracorrente, questa volta d apertura, che per la legge d enz crcolerà n verso opposto alla I mpedendo che la I vada a zero. Dal punto d vsta formale s parte da una equazone uguale alla precedente: V + V ' R V d R con la dfferenza che, questa volta, all stante dell apertura d T, la dfferenza d potenzale della pla s annulla (V 0). espressone precedente dventa allora:

19 d R d d R R K e t τ R log t + C e R t e C Osservato che per t 0 rsulta I s ha che I K e sosttuendo questo valore nella relazone precedente s trova: I e t τ che ha per grafco: EXTRACORRENTE DI CHIUSURA: CIRCUITO CON RESISTENZA ED INDUTTANZA IN SERIE (R,)

20 Rendamo pù evdente l fenomeno dell extracorrente nserendo nel crcuto una nduttanza n sere. Come gù vsto nel caso del crcuto puramente resstvo, alla chusura d T (trattno rosso d fgura) nzerà a crcolare una corrente che non è mmedatamente la I d fgura ma una (t) da determnars che, crescendo, andrà al suo valore I dopo un dato tempo. Nelle condzon dette, tra punt A e D del crcuto s avrà una f.e.m. E data da: con: E (V A V B ) + (V B V D ) V A V B R e V B V D d Rsulta allora: (1) da cu: E d R +

21 d R E R d E R E R R d E R log t + K R R d E R E R e K e R t E R + e K e R t osservando che a t 0 rsulta 0 e qund rsulta e K E R s ha: E R E e R R t E 1 e R R t () R t (3) τ I 1 e 1 e t E τ avendo chamato I E R ed avendo ndcato con τ /R la costante d tempo nduttva. Il sgnfcato fsco d questa costante d tempo segue dall'equazone (3). Se s pone n tale equazone t τ /R, essa s rduce a I 1 ( 1 e ) 0, 63 I Qund la costante d tempo τ rappresenta l tempo necessaro affnché la corrente nel crcuto raggunga un valore par al 63 % del valore fnale d equlbro I. Poché la dfferenza d potenzale

22 V A V B a cap della resstenza è proporzonale alla corrente, la dpendenza dal tempo della corrente n aumento ha la stesso andamento d V A V B. a rappresentazone grafca della (3) è: EXTRACORRENTE DI APERTURA: CIRCUITO CON RESISTENZA ED INDUTTANZA IN SERIE (R,) Dobbamo ora consderare lo stesso crcuto d fgura precedente n cu sta crcolando la corrente I. Se apramo l nterruttore, toglamo coè l contatto rosso d fgura precedente, la corrente I non andrà mmedatamente al valore zero, ma mpegherà un certo tempo. All apertura d T s avrà nfatt una forte varazone del flusso d B concatenato con l crcuto che provocherà una extracorrente, questa volta d apertura, che per la legge d enz crcolerà n verso opposto alla I mpedendo che la I vada a zero.

23 a stuazone è trattable esattamente allo stesso modo d quanto fatto con l unca consderazone che, l tasto T aperto, corrsponde a staccare la battera dal crcuto staccare ed a rendere qund la E della (1) uguale a zero. Faccamo questa operazone ed eseguamo calcol: d R d + R 0 d R R log t + K R t e K e I e t τ Avendo osservato che a t 0 rsulta e K I e avendo posto anche qu τ /R con lo stesso sgnfcato per τ.

24 EXTRACORRENTI. CONSIDERAZIONI ENERGETICHE: ENERGIA INTRINSECA Servamoc ora d quanto dscusso a proposto della extracorrente d apertura nel caso d resstenza ed nduttanza n sere, per fare delle consderazon energetche. In stuazone d regme la potenza erogata dalla pla W E. I sarà uguale a quella dsspata per effetto Joule: W regme I. R a presenza della extracorrente modfca tale espressone n quanto, nvece della tensone fornta dalla pla avremo a che fare con: d (1) E R + che possamo scrvere così con charo sgnfcato de smbol:

25 Moltplcando ambo membr per ottenamo: E E R + E ( ) E R + d W W R + W e da questa espressone s vede che la potenza erogata dalla pla è maggore d quella R che va n calore nel crcuto se dovessmo consderare solo un crcuto con resstenza R. Quanto vale e dove va a fnre questa energa n pù? Sembra evdente che essa debba essere pensata come mmagazznata dall nduttanza sotto forma d energa magnetca chamata energa ntrnseca della corrente. Vedamo quanto vale tenendo conto che, da quanto ora detto, la parte d energa E n pù d cu dscutamo deve rguardare l secondo termne della (): d d W E W de W d dove con E abbamo ndcato l energa che cerchamo. Se ora consderamo un certo ntervallo d tempo che c porta da t 1 a t con la corrente che passa da 1 ad, avremo (ponendo W n luogo d W ): W t [ t] t 1 t W E d t1 1 t1 1 1 t W d

26 E 1 W( t t1 ) ( 1 ) 1 1 E1 Wt Wt1 1 Se consderamo l ntegrazone tra t 1 0 e t t, trovamo: Ent 1 avendo ndcato con E nt l energa ntrnseca. Questo è l valore dell energa ntrnseca totale mmagazznata n una nduttanza percorsa da una corrente (rsultato del resto gà trovato per altra va, nella sezone precedente). CIRCUITO CON RESISTENZA E CAPACITA IN SERIE (R,C). CARICA DI UN CONDENSATORE Sa dato l crcuto d fgura seguente:

27 Quando T vene chuso (trattno rosso d fgura) delle carche verranno nvate dal generatore V nel crcuto. Supponamo sa q q(t) la carca che ha attraversato una sezone del conduttore all stante t. Poché è: con: E (V A V B ) + (V B V D ) V B V D 1 C q( t ) V A V B (t).r e dove dq ( t ), avremo: q dq E - R C 1 dq 1 E ( t ) R + q( t ) C E R + q C dq dq 1 ( E C q ) RC EC q RC dq 1 EC q RC 1 log( E C q ) t + K RC t RC K E C q e e (tenendo conto che a t 0 s ha q 0 e qund e K EC)

28 q t t RC E C EC e q EC 1 e RC espressone che ha per grafco: Poché rsulta dq ( t ) s avrà: E R e d EC 1 e RC t t RC t RC C E e RC che ha per grafco:

29 e cò vuol dre che, quando s è carcato l condensatore, nel crcuto non crcola pù corrente. CIRCUITO CON RESISTENZA E CAPACITA IN SERIE (R,C). SCARICA DI UN CONDENSATORE Quanto vsto è relatvo alla carca d un condensatore attraverso la resstenza R. Se nvece cortocrcutamo la pla d fgura, l condensatore C s scarcherà attraverso la resstenza R:

30 Poché V q/c, nel nostro caso avremo q/c R dove è la corrente che s orgna dalla carca q ancora presente nel condensatore C. All apertura del crcuto (pla cortocrcutata e tasto T aperto) s ha: qund: ( t ) dq dq 1 q RC q C dq R dq 1 q RC 1 log q t + RC K q t RC e K e (rcordando che vale anche qu quanto gà trovato e coè che e K EC) q E C e t RC Poché po ( t ) dq s ha: d EC e t RC EC RC e t RC E R e t RC

31 Gl andament della scarca e della corrente n funzone del tempo, ambedue esponenzal decrescent, sono rportat nella fgura seguente: MUTUA INDUZIONE Due crcut vcn ed almentat n cc, nella fase transtora, per la legge d Faraday-Neumann-enz, nducono l uno sull altro una corrente. E anche possble non consderare la fase transtora se s dspone d un varatore d tensone (una resstenza varable), ne due crcut. Il flusso d nduzone magnetca concatenato con un crcuto può essere messo n relazone con l'ntenstà della corrente che flusce n quel crcuto e con le ntenstà delle corrent che fluscono n altr crcut vcn. Consderamo la fgura seguente n cu v sono due nduttanze vcne, la prma, con un numero d spre N 1, è almentata da una tensone V 1 e percorsa da una corrente I 1, la seconda, con un numero d spre N, è almentata da una tensone V e percorsa da una corrente I.

32 'nduzone magnetca n un certo punto stuato all nterno del crcuto è costtuta da una parte dovuta a I 1 e da una parte dovuta a I. Queste nduzon magnetche sono drettamente proporzonal alle ntenstà delle corrent che le producono e potrebbero, n teora, essere calcolate per mezzo della legge d Bot e Savart. Percò, s può esprmere l flusso d nduzone magnetca Φ(B) Φ concatenato con l crcuto come somma d due part; una parte è drettamente proporzonale alla corrente I 1 e l'altra alla corrente I : (1) Φ I + M 1 I 1 dove ed M 1 sono costant. a costante, chamata nduttanza o coeffcente d autonduzone del crcuto, dpende dalla confgurazone geometrca del crcuto. a costante M 1, chamata nduttanza mutua o coeffcente d mutua nduzone de due crcut, dpende dalla confgurazone geometrca d entramb crcut. In partcolare s può vedere che, se crcut sono molto dstant l'uno dall'altro, l flusso d nduzone magnetca concatenato con l crcuto e dovuto alla corrente I l sarà pccolo e l'nduttanza mutua sarà pccola. Un'equazone smle all'equazone precedente può essere scrtta per l flusso d nduzone magnetca concatenato con l crcuto 1: () Φ 1 1 I 1 + M 1 I

33 'autonduttanza 1 dpende solo dalla geometra del crcuto 1, mentre l'nduttanza mutua M 1 dpende dalla confgurazone d entramb crcut. Sebbene non sa affatto evdente, s può dmostrare che n generale queste due nduttanze mutue sono ugual: (3) M 1 M 1 e vale anche l denttà: M Φ Φ 1 I I 1 dove sono stat tralascat pedc sulla nduttanza mutua. E propro su questa denttà s basano trasformator (s devono prendere n consderazone gl ultm due termn della precedente relazone). Se due crcut sono costtut da N 1 ed N spre la precedente denttà dventa: M N I Φ 1 N1Φ 1 I Quando crcut sono fss e solo le ntenstà delle corrent varano, le loro f.e.m. ndotte sono, per la legge d Faraday- Neumann-enz: (4) dφ1 di1 di F em 1 1 M dφ di di1 F em M 'untà SI d nduttanza è l'henry (H).

34 a mutua nduzone può essere dscussa anche con crcut d fgura seguente:

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37 CORRENTE ATERNATA

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42 CIRCUITO PURAMENTE RESISTIVO - Perodo: π T con ω veloctà angolare della spra (ndotto) ω - Frequenza: ν ω π - Forza elettromotrce ndotta: dφ( B ) E dove Φ vale (ved fgura) Φ BS cos θ BS cos ωt Sosttuendo quest'ultmo valore nell'espressone che c fornsce E, abbamo: E d S avrà po: ( BS cosωt ) BS E E 0 sen ωt d (cosωt ) BSω ( senωt ) BSω senωt E BSω senωt 0 r r senωt In tal caso (crcuto puramente resstvo) tensone e corrente sono n fase:

43 nella fgura a destra, l tratto rosso è l grafco della tensone e quello verde è della corrente. CIRCUITO PURAMENTE INDUTTIVO Premesso che n un crcuto qualunque occorre sempre consderare la resstenza de conduttor che lo costtuscono, esstente anche se non presente smbolcamente, s può parlare d crcuto puramente nduttvo se gl effett dell nduttanza sopravanzano d molto quell resstv. Nel caso n dscussone, occorre consderare oltre alla f.e.m. che almenta l crcuto, E E0 sen ωt, anche la f.e.m. d autonduzone, stantaneo della corrente è dato allora da: d E' -. Il valore

44 E + E' 1 R R E 0 senωt d d + R E 0 senωt Samo arrvat ad una equazone dfferenzale che, al nostro lvello, non sappamo rsolvere. Possamo però rcorrere alla premessa, al fatto coè che la resstenza è trascurable rspetto agl effett d. Qund, ponendo R 0, la precedente relazone dventa: d E 0 senωt d senωt E 0 E 0 t 0 senωt E 0 ( cosωt ) ω π 0sen ωt E 0 Z sen ωt π avendo chamato ω Z la reattanza nduttva ed 0 E0/Z. ultma relazone scrtta c dce che la corrente è n rtardo d fase d π/ (o, che è lo stesso, d T/4) rspetto alla tensone E:

45 Calcolamoc ora le dmenson d ω. [ ] [ ] [ V.T ] 1 ω T. [ I ] [ V ] [ I ] [ R] sono, come dovevamo aspettarc, le dmenson d una resstenza. CIRCUITO PURAMENTE CAPACITIVO Anche qu valgono le consderazon sulla resstenza, fatte nel caso precedente. Consdereremo qund R 0 (rcordo che n cc l condensatore non fa passare corrente e s comporta qund come se R ) ed E E0 sen ωt.

46 In questo caso, l valore stantaneo della corrente è dato da (rcordamo la relazone che lega carca a tensone n un condensatore Q CV che nel nostro caso è Q CE CE 0 senωt): dq d ( C E 0 senωt ) CE 0 d ( senωt ) ωce 0 cosωt ωce 0 π sen ωt + E0 1 ωc π sen ωt + 0 sen ωt π + avendo chamato 1/ωC Z C la reattanza capactva ed 0 E 0 /Z C. ultma relazone scrtta c dce che la corrente è n antcpo d fase d π/ (o, che è lo stesso, d T/4) rspetto alla tensone E: Nel caso n cu s consderasse un valore d R 0, l ultma relazone dventerebbe: 0 sen t Calcolamoc ora le dmenson d 1/ωC. ( ω + ϕ)

47 1 C ω 1 [ ] [ Q ] 1 T [ V ] [ T ][ V ][ I ][ T ] [ R] anche qu sono, come dovevamo aspettarc, le dmenson d una resstenza. VAORI EFFICACI DE INTENSITA E DEA TENSIONE ATERNATA Quanto abbamo trovato fno ad ora c permette d conoscere soltanto l valore stantaneo della corrente (e della tensone) ne var cas. Se s volesse calcolare l valore medo m che l'ntenstà d corrente assume n un perodo T troveremmo naturalmente m 0 n quanto per ogn valore t n un semperodo s ha sempre un valore - t nell'altro semperodo. D'altra parte la corrente alternata produce lavoro. 'effetto Joule, ad esempo, s manfesta sa n corrente contnua sa n quella alternata. Così s è ntrodotto, per caratterzzare la corrente (e la tensone) alternata, un partcolare valore medo detto valore effcace. Il valore effcace dell'ntenstà d una corrente alternata è l'ntenstà che dovrebbe avere una corrente contnua per produrre, nelle stesse condzon d resstenza e nello stesso tempo, una uguale quanttà d calore. FACOTATIVO Il semplce valore medo d una funzone perodca, nfatt e come accennato, non c rsolve l problema. Vedamo

48 analtcamente l perché. Per trovare l valor medo f(x) med d una funzone f(x), n un ntervallo a,b, possamo usare l teorema del valor medo che, per funzon ntegrabl n tale ntervallo, c fornsce: f ( x ) med b a f ( x )dx 1 m ( b a ) dove m, valor medo della funzone nell'ntervallo, è compreso fra gl estrem superore ed nferore che la funzone assume nell ntervallo a,b. Applchamo tale defnzone ad una funzone che vara snusodalmente, come ad esempo (t) I sen ωt, ma applchamola a metà perodo, coè tra 0 e π, qund tra t 1 0 e t π/ω (d modo che b a, nel nostro caso, è π/ω 0 π/ω): π ω ω π ω ω I I I med ( t ) I senω t π 0 π ω π π ω [ cosωt] [ cosπ + cos ] Grafcamente abbamo:

49 e rsulta che l ntenstà meda I med è crca /3 volte (poché /π ~ /3) l ntenstà massma I e corrsponde all area del rettangolo d fgura. Se c calcolamo I med per un perodo completo, da 0 a π/ω, trovamo: I med π ω ω ( t ) 0 π π ω 0 ω I I senω t π ω I π I π π ω [ cosωt] [ cosπ + cos0] [ come c s doveva aspettare perché l area postva del quadrato cu abbamo fatto rfermento è esattamente uguale all area negatva del medesmo quadrato, area stuata nel secondo semperodo. Poché, come gà detto, una corrente alternata produce lavoro, occorrerà trovare l suo valore che possa essere consderato alla stregua d un valore d cc, tale valore s chama valore effcace. Il valore effcace che una funzone perodca assume n un perodo completo T è dato da: f ( x ) eff 1 T T 0 f ( x ) dx

50 coè, l valore effcace d f (x) è la radce quadrata del valor medo che f (x) assume durante un perodo. Ma no non utlzzeremo qu la relazone precedente, preferendo arrvare al valore effcace attraverso consderazon fsche. Defnamo valore effcace d una corrente alternata eff un valore dell ntenstà d tale corrente che produca la stessa quanttà d calore d una corrente contnua nella stessa resstenza e nello stesso tempo. Infatt, n una resstenza R percorsa per un certo ntervallo d tempo da una corrente alternata, s ha lo svluppo d una certa quanttà calore Q e qund s fa un lavoro. Per avere lo svluppo della stessa quanttà d calore con una corrente contnua che attraversa la stessa resstenza n un ntervallo d tempo uguale, l'ntenstà della corrente contnua deve avere un valore ben defnto, detto valore effcace della corrente alternata e ndcato con eff. Possamo percò affermare che la quanttà d calore che s svluppa n una resstenza R percorsa durante un perodo T da una corrente alternata è: (1) eff RT 'energa elettrca dsspata per effetto Joule n una resstenza R percorsa da una corrente alternata (t) 0.senωt, n un ntervallo nfntesmo d tempo, può essere espressa dalla relazone: () d R. (t)

51 valda per una corrente contnua n quanto l ntenstà d una corrente alternata può rteners costante n un ntervallo nfntesmo d tempo. Per ottenere l'energa, dsspata n un perodo T, è necessaro sostture nella () l valore d (t). S ha percò: t sen R d ω 0 n un perodo T T t sen R 0 0 ω T t cos R ω T t sen t R ω ω ω π ω ω ω T R T T sen T R T sen T R fnalmente () RT 0 1 Per defnzone la () deve essere uguale alla (1): RT RT eff eff 0,707 0 Analogamente s trova:

52 E 0 E eff 0,707 E 0 a rete d dstrbuzone talana fornsce generalmente agl utent tenson effcac d 0 V per gl us domestc e d 380 V per la forza motrce. Un voltmetro per c.a. nserto a crcuto aperto ne due cap d una presa d corrente fornsce, a seconda de cas, quest due valor. Avvertamo però che per queste tenson non può parlars d f.e.m. effcac (che come sappamo s msura a crcuto aperto) almeno nel sgnfcato gà esposto per le corrent contnue). Infatt non è assolutamente possble, per le ret d dstrbuzone, valutare la resstenza nterna del generatore d f.e.m. e percò la legge d Poullet non è applcable. S potrà ntrodurre la f.e.m. alternata stantanea o quella effcace solo per generator autonom a qual s applca drettamente un carco. Se, dopo aver nserto un carco d qualsas tpo alla presa d corrente della rete, s torna a msurare la tensone effcace V eff a cap della presa, s noterà che l valore letto sul voltmetro s dscosta solo levemente da quello precedente letto a crcuto aperto. EGGE DI OHM e relazon fra valor d ed E d una corrente alternata s semplfcano notevolmente quando s ntroducono valor effcac

53 che sono quell dat dagl strument d msura e che da sol bastano a caratterzzare un crcuto. S ha così: eff E 0 0 E eff R R eff Eeff R eff E 0 0 E Z eff ω eff Eeff ω eff 0 E Z E 0 1 ωc eff C eff Eeff 1 ωc Nel caso s avesse un crcuto R,, C n sere s ha a che fare con una mpedenza Z che vale (e sulla quale torneremo): Z 1 R + ω ωc e la legge d Ohm dventa: eff E Z eff

54 POTENZA DI UNA CORRENTE ATERNATA Anche la potenza W d una corrente alternata non s può calcolare con l'espressone W E., valda per la corrente contnua. Nelle corrent alternate la tensone E a cap del crcuto, vara stante per stante così come l'ntenstà ; noltre ed E, salvo cas partcolar, non hanno ma la stessa fase. Per calcolare la potenza d una corrente alternata s deve nvece rcorrere alla seguente espressone dmostrata da GAIEO FERRARIS: (1) W E eff eff cosϕ con 0 φ π/. E mportantssmo capre che ruolo goca lo sfasamento φ nfatt, ne suo lmt d valà, può rendere la potenza nulla (φ π/) o massma (φ 0). Quel φ non è regolable ma vara a seconda d cosa nella rete vene nserto e, alla centrale, deve essere prevsta una macchna chamata rfasatrce. Quando lo sfasamento dovesse crescere avvcnandos a π/, occorre ntervenre per abbassarlo. Quando φ arrvasse a π/ saremmo n una stuazone n cu la centrale sta consumando combustble (ad esempo, olo combustble) e non è n grado d fornre energa alla rete (la corrente n tal caso s dce swattata e non è n grado d generare lavoro). Nella (1) l prodotto E eff eff s chama potenza apparente mentre cos φ s chama fattore d potenza.

55 TRASFORMATORE DI TENSIONE (STATICO MONOFASE) Il trasformatore elettrco serve a trasformare una corrente elettrca n un'altra d caratterstche dverse. Il trasformatore d tensone serve a trasformare una corrente fornta ad una data tensone n un'altra corrente sotto tensone dversa. C proponamo d studare l solo trasformatore statco monofase che non comporta alcuna parte moble e vene utlzzato esclusvamente per corrent alternate. Esso è formato da un nucleo composto da lamern d ferro-slco sovrappost per evtare al massmo possble pere dovute alle corrent d Foucault; noltre l nucleo è chuso per evtare la dspersone del flusso Φ d nduzone. A due lat del nucleo sono avvolt due solenod completamente ndpendent uno dall'altro. Nella fgura, a snstra v è l avvolgmento prmaro P al quale vene fornta l energa n ngresso mentre a destra s trova l'avvolgmento secondaro S che può fornre energa elettrca e costtusce percò un generatore d corrente. S supponga per l

56 momento che l crcuto del secondaro sa aperto. Applcando a cap del prmaro P una tensone alternata E p, esso sarà attraversato da una corrente p che genera nel nucleo una nduzone magnetca B contnuamente varable con legge snusodale e con ugual frequenza ν della corrente. Poché l nucleo è chuso, le lnee d nduzone pratcamente non venngono dsperse: s dce che l nucleo forma un crcuto magnetco chuso. Tutte le spre del secondaro S verranno allora attraversate dallo stesso flusso d'nduzone alternato Φ che sappamo essere proporzonale, stante per stante, all'nduzone B. a varazone d flusso nel secondaro, per la legge d Neumann, creerà una forza elettromotrce ndotta E s pure alternata, avente ugual frequenza ν della tensone applcata al prmaro. Chudendo l crcuto del secondaro sopra un carco d utlzzazone, la f.e.m. E s farà crcolare n esso una corrente s, pure alternata e della stessa frequenza. S dce che l trasformatore funzona a vuoto quando l secondaro è aperto. In questo caso (l unco che studamo) l rapporto fra le tenson effcac a cap del secondaro e del prmaro è uguale al rapporto fra l numero delle spre degl avvolgment corrspondent. V è una semplce catena d proporzonaltà che può portarc a quanto s trova spermentalmente: ed n defntva: E è proporzonale a Φ Φ è proporzonale a B B è proporzonale a N E è proporzonale a N

57 In smbol, ndcando con E eff,s la tensone letta al secondaro e con E eff,p quella del prmaro, s ha: (1) E E eff,s eff,p Nella relazone scrtta, l segno meno dscende dalla egge d enz ed l rapporto tra l numero delle spre del secondaro rspetto al prmaro è chamato rapporto d trasformazone. Il segno d uguaglanza vale solo per trasformator a vuoto. Se s nsersce un carco al secondaro allora quell uguale va sosttuto con un crca uguale (~). Nel caso s pass da basse tenson ad alte tenson l trasformatore è detto elevatore, nel caso contraro è detto rduttore. Una osservazone mportante è la seguente: se la tensone a cap del prmaro è prelevata dalla rete d dstrbuzone e se nel luogo ove s espermenta l carco è rappresentato solo dall'avvolgmento del prmaro, l dsco del contatore non ruota o ruota debolmente. Non s consuma, o quas, energa. Infatt l crcuto è pratcamente solo nduttvo e pertanto corrente e tensone sono sfasate d un angolo φ π/ ed n tal caso la potenza è sensblmente nulla. Un trasformatore a vuoto non consuma energa elettrca. a (1) s dmostra n modo semplce. Se nella bobna del prmaro s genera un campo d nduzone B esso rsulterà concatenato con ambedue le bobne. Il flusso Φ(B) sarà lo stesso sa nel prmaro che nel secondaro rsultando N p.φ(b) nel prmaro ed N s.φ(b) nel secondaro. Se l almentatore del prmaro fornsce una E P (t), per esso varrà la legge d Ohm, dove nell almentazone ocorre aggungere a E P (t) la f.m. che derva dall autonduzone: N N s P () E p( t ) N p dφ( B ) 1 R 1

58 dove 1 ed R 1 sono rspettvamente la corrente che crcola nel prmaro e la resstenza d esso. Agl estrem della bobna del secondaro s avrà una f.e.m. ndotta data da: (3) E s( t ) Ns dφ( B ) Sosttuendo nella (3) l valore dφ( B ) rcavato dalla () s trova: p [ R E ( t )] N s Es( t ) 1 1 p N e poché s lavora sempre nelle condzon d relazone cercata: R 1 E p <<, s avrà la 1 E E s p ( t ) ( t ) N N s P OSCIAZIONI DI CARICA EETTRICA IN UN CIRCUITO C, Abbamo vsto che un condensatore carco s scarca se collegato ad una resstenza (fgura a) con andament come quell d fgura (b).

59 (a) (b) energa del campo elettrco mmagazznata nel condensatore va n calore per effetto Joule. Un fenomeno analogo avvene per una nduttanza, nella quale crcola una corrente costante, se staccata dal crcuto che la almenta (s vedano le due fgure seguent: n a l nduttanza è collegata alla pla, n b è staccata da essa e s fa scarcare sulla resstenza):

60 (b) (a) Per un tale crcuto n cu l energa magnetca dell nduttanza s trasforma n calore nella resstenza, scrvamo la legge d Ohm (crcuto,r senza almentazone ordnara): da cu s trova: d R e t τ d R che vuol dre che la corrente decresce n modo esponenzale. Il problema che voglamo ora affrontare è del cosa accade quando un condensatore C s scarca attraverso una nduttanza

61 (un crcuto del genere è noto come crcuto oscllante). Sa dato l crcuto d fgura seguente. Quando l tasto T (n questo caso funzonante come un devatore) è nella poszone 1, l condensatore C va carcando le sue armature A e B; quando spostamo l devatore T nella poszone, toglamo l almentazone ed l condensatore nza a scarcars sull nduttanza. Supponamo allora d aver carcato l condensatore con una carca q 0. Nel condensatore rsulta mmagazznata una energa elettrostatca par a: 1 q0 E elett C Quando l condensatore s scarca trasforma la sua energa n energa magnetca dell nduttanza. Completato questo processo q è dventata zero ed ha acqustato l suo valore massmo 0 (condensatore scarco ed nduttanza percorsa da 0 ). A questo

62 punto 0 va a carcare d nuovo l condensatore ed l tutto s rpete con andamento perodco. Cò vuol dre che la carca q sul condensatore, la dfferenza d potenzale V tra le armature e la corrente varano tutte snusodalmente. Abbamo coè un oscllazone d carca elettrca che sarà smorzata, dpendendo cò soprattutto dal valore complessvo della resstenza ohmca del crcuto. Scoperto questo fenomeno è utle capre come esaltarlo e come sa possble passare da oscllazon smorzate ad oscllazon persstent. Ma

63 vedamo prma l comportamento d un crcuto fondamentale per l seguto del dscorso. CIRCUITO R,, C IN SERIE Nel crcuto R,, C n sere d fgura rsulterà: t sen ω 0 t Rsen R R ω 0 E + 0 π ω ω t sen d E 0 0 π ω ω π ω t sen C t sen C E E C R E E E E + +

64 π ω ω π ω ω ω t sen C t sen t Rsen E Questa espressone, rsolta, c fornsce un rsultato come l seguente: ) t ( sen ϕ ω + 0 E E con: Z C R ω ω E (dove φ è lo sfasamento e Z è l mpedenza del crcuto) R C tg ω ω ϕ 1 E possble utlzzare una descrzone smbolca per le grandezze n goco:

65 Come s può osservare l trangolo rettangolo dsegnato racchude n sé tutte le grandezze ntrodotte n precedenza aggungendo la relazone che a volte può rsultare utle, R Z.cosφ. Nel caso s debba trattare un crcuto R,, C n sere la legge d Ohm è: eff E eff 1 R + ω ωc CONDIZIONI DI RISONANZA Sr c soffermamo un stante a consderare l espressone sotto radce quadrata, c accorgamo che s può ottenere l caso energetcamente pù favorevole se sotto radce abbamo solo R, d modo che l crcuto, pur essendo R,, C, è come se fosse puramente resstvo. Ebbene perché cò avvenga s deve rendere nullo l termne tra parentes tonda, cosa che s ottene rendendo: 1 ω ω (1) C Questa condzone, che s può ottenere varando opportunamente e C nel crcuto, è chamata condzone d rsonanza. Dalla (1) s trova subto:

66 π ω πν ) T 1 ω C 1 ω (rcordando che C ν 1 π C e T π C Quando samo n condzon d rsonanza s ha: Eeff eff qund la corrente è la massma possble R poché l mpedenza Z s rduce ad R. fase. tg ϕ 0 l che vuol dre che tensone e corrente sono n In defntva la condzone d rsonanza è una condzone favorevole per ogn applcazone. OSCIAZIONI EETTRICHE Tornamo ora a studare le oscllazon elettrche prendendo n consderazone due crcut R,, C con caratterstche dfferent:

67 (b) R < C (a) R > C Il prmo d ess ha valor d R,, C tal da ubbdre alla relazone: R > C Il secondo ha valor d R,, C tal da ubbdre alla relazone: R < C Se carchamo opportunamente l condensatore C attraverso punt A e B:

68 esso, scarcandos, orgnerà una scarca elettrca (una scntlla) tra punt P e Q. Questa scarca può essere contnua (undrezonale) o oscllatora. Se samo nelle condzon d fgura (a), R C >, allora la scarca sarà contnua con la f.e.m. V e la corrente rappresentat nel grafco seguente:

69 Se samo nvece nelle condzon d fgura (b), R C <, la scarca sarà oscllatora. Seguamo questo processo. Supponamo d aver fornto all armatura A del condensatore la carca postva d modo che V A > V B. Quando l condensatore nza a scarcars, la corrente crcola nel senso ARB. Dopo qualche stante rsulterà V A V B (condensatore scarco: V V A V B 0), ma, per effetto dell autonduzone n, la corrente raggunge gradatamente l massmo d ntenstà non rsultando nulla a V A V B 0. Così essa crcola ancora nello stesso senso portando carche postve all armatura B che prma era negatva. Ora, essendo V B > V A, s rpete l fenomeno n senso nverso. Naturalmente, dopo un certo tempo, queste scarche oscllatore s smorzano per effetto Joule nel modo rappresentato nella fgura seguente: Se s resce, con opportuno meccansmo, a mantenere l oscllazone persstente, s avrebbe l grafco seguente:

70 Un possble modo per realzzare oscllazon elettrche persstent è l seguente: Quando l devatore P è nella poszone 1 stamo carcando l condensatore; quando passamo nella poszone scarchamo l condensatore attraverso la resstenza e l nduttanza (tra M ed N v è una resstenza varable per poter regolare opportunamente l crcuto). Rpetendo vare volte l operazone abbamo oscllazon elettrche (quas) persstent. Altro modo per ottenere oscllazon elettrche persstent è l dsporre de due avvolgment d un trasformatore: la varazone d

71 flusso orgnata dal Prmaro la rtrovamo sul Secondaro e così va. R Se samo nelle condzon d scarca oscllatora, coè C <, le oscllazon avranno un perodo dato dalla formula d Thomson (che ora dmostreremo): (1) T π C ν 1 π C e le frequenze che s ottengono avranno valor molto elevat, dell ordne d 10 8 Hz. a formula d Thomson (1) c permette tra l altro d calcolare l perodo propro o oscllazone d un crcuto oscllante n funzone d e C. Il crcuto oscllante è un rsuonatore che entra n rsonanza quando la frequenza della f.e.m. ecctatrce è uguale alla frequenza propra del crcuto. Per realzzare un crcuto oscllante occorre lavorare con e C molto pccole e s deve tener conto che, n alta frequenza (ν > 10 6 Hz) un mpedenza arresta pratcamente le oscllazon elettrche. Dmostramo ora la (1), rferendoc alla fgura precedente e rcordando che V q/c. In un tempo l condensatore n scarca eroga una carca dq -. (la carca q è negatva). Conseguentemente s avrà una corrente data da: dq () D altra parte la f.e.m. autondotta generata dall nduttanza sarà:

72 (3) d E Sosttuendo la () nella (3) ottenamo: d q (4) E + Consderamo l crcuto con l devatore P n poszone. Applcando la legge d Ohm al tratto d crcuto che va dall armatura A alla B, attraverso l nduttanza, ndcando con V la f.e.m. propra del generatore G e consderando R trascurable, s ha: da cu: V + E 0 coè + 0 q C d q d q 1 (5) q C Abbamo coè un equazone dfferenzale del secondo ordne che ha per soluzone: q Q 0 sen( ω t + ϕ ) con Q 0 ampezza massma dell oscllazone. dq Poché po vale la, anche la corrente sarà una funzone snusodale del tempo. Da notare che la (5) è la stessa equazone che caratterzza un MAS che era:

73 (6) d s ω s laddove ω 1 C Svluppando trovamo: T π C π T 1 C che è la formula d Thomson cercata. VERSO E EQUAZIONI DI MAXWE FUSSO DI UN VETTORE ATTRAVERSO UNA SUPERFICIE Il flusso d un vettore v attraverso una superfce pana S è defnto come: Φ ( v ) v ns

74 Nel caso pù generale, quando la superfce S non è pana, bsognerà consderare su d essa svarate pccole superfc (con buona approssmazone pane) d area ds e per cascuna d esse calcolars l flusso elementare dφ S (v) tenendo conto delle loro dverse nclnazon rspetto al verso del vettore v. In questo caso, rferendos alla fgura, l flusso totale sarà la somma d tutt fluss elementar: Φ ( v ) S S v nds Rscrvamoc ora, utlzzando questo formalsmo, teorem d Gauss per l elettrostatca e per la magnetostatca: sono sorgent) ( E ) E n ds Q Φ S ε Campo non solenodale (v S 0

75 sorgent e pozz) ( B ) B n ds 0 Φ S Campo solenodale (v sono S CIRCUITAZIONE DI UN VETTORE UNGO UNA INEA CHIUSA Partamo da un esempo noto, quello del lavoro. Esso era defnto come: F Se c spostamo lungo una lnea qualunque r, come n fgura seguente, l lavoro sarà dato da: s Se la lnea r rsulta chusa s avrà: F r F d s d s ed è la crcutazone d F lungo la lnea chusa consderata.

76 Pù n generale s può defnre la crcutazone d un qualunque vettore v allo stesso modo: C ( v ) v d s a crcutazone serve a studare le propretà d alcun camp. Ad esempo, nel caso gravtazonale sappamo che: C ( F ) F d s 0 e cò sgnfca che l campo gravtazonale è conservatvo. Nel caso elettrostatco, l vettore da consderare è E e sappamo che: C ( anche l campo elettrostatco è conservatvo. E ) E d s 0 Nel caso n cu l campo E sa varable nel tempo s trova: dφ( B ) C( E ) E d s ed n questo caso alla crcutazone d E s dà l nome d forza elettromotrce. Nel caso magnetostatco, se seguamo un percorso chuso su una lnea d forza che crconda un flo percorso da corrente costante (s pens alla legge d Bot e Savart), s avrà: C( B ) B d s B πr (dove πr s ha perché la lnea chusa è una crconferenza) e µ qund, sosttuendo a B l suo valore ( B ), s ha: π r

77 µ C ( B ) B d s πr µ π r coè: C ( B ) B d s µ e cò vuol dre che l campo magnetostatco non è conservatvo. e lnee d forza d B sono sempre chuse; esse non possono uscre da un punto né convergere verso un punto perché l campo magnetco, contraramente a quello elettrco, non ammette né sorgent né pozz, propro perché non esste l monopolo magnetco. Cò rende E e B profondamente dvers. RICAPITOANDO PER CAMPI COSTANTI E CORRENTI COSTANTI In defntva, per camp e corrent costant s ha: - E è conservatvo. Spostandos lungo una lnea chusa n un campo E statco s avrà: C ( E ) E d s 0 - Inoltre, l flusso d E uscente da una superfce chusa è dverso da zero:

78 Q Φ S ( E ) E n ds S ε 0 e cò vuol dre che l campo non è solenodale (v sono sorgent e pozz). - B non è conservatvo. Spostandos n un campo B lungo una lnea chusa s avrà: C ( B ) B d s µ - Inoltre, l flusso d B uscente da una superfce chusa è nullo: Φ S( B ) B n ds 0 S e cò vuol dre che l campo è solenodale (non v sono sorgent e pozz). CAMPO MAGNETICO VARIABIE NE TEMPO ED INSERIMENTO DI UN CONDENSATORE Nel caso d un campo magnetco varable nel tempo, quando coè l crcuto è percorso da una corrente varable nel tempo, la crcutazone d I è sempre µ, con la sola dfferenza che al cambare verso d, camba l verso d B. Qualcosa d dverso avvene quando nel crcuto, almentato con tensone varable, è posto un condensatore.

79 In questo caso la crcutazone lungo una qualsas lnea d forza B che crconda l flo conduttore avrà sempre l valore µ (dove è l ordnara corrente d conduzone). In questo caso però occorre anche consderare la crcutazone lungo una lnea d forza d B che crconda l delettrco (anche se esso fosse l vuoto) tra le armature del condensatore. In questo delettrco non v è una ordnara corrente d conduzone ma una corrente d spostamento dovuta a polarzzazon del delettrco (alternatvamente n vers oppost). Calcolamoc questa corrente s d spostamento: ma: s dq C ε S d qund: dq C.dE e

80 s dq CdE S ε d ( d de ) εsde d( SE ) ε Rcordando la defnzone d flusso Φ ( E ) E S, s ha: s dφ( E ) ε In defntva, n caso d camp varabl, occorre consderare, a lato della ordnara corrente d conduzone, anche la corrente d spostamento nel delettrco s e coè: C( B ) µ ( + s ) C( B ) B d s dφ( E ) µ + µε E EQUAZIONI DI MAXWE In defntva le 4 equazon d Maxwell sono: Φ S ( E ) E n ds per l elettrostatca) S Q ε 0 (Teorema d Gauss

81 Φ S( B ) B n ds 0 S per la magnetostatca) (Teorema d Gauss dφ( B ) C( E ) E d s (egge d Faraday- Neumann-enz) dφ( E ) C( B ) B d s µ + µε (egge d Ampère- Maxwell) A tal equazon occorre aggungere quella che c fornsce la forza d orentz. PRODUZIONE DI ONDE EETTROMAGNETICHE CON CIRCUITI OSCIANTI APERTI Secondo tutte le teore fsche precedent, la presenza d un condensatore n un crcuto sgnfcava semplcemente l blocco del passaggo della corrente (l condensatore nel crcuto equvaleva ad un taglo del cavo conduttore): le armature del condensatore s carcavano d segno opposto e tra d esse s creava un campo elettrco con drezone e verso determnat dalle polartà delle armature. Maxwell, sulle orme d svarate rcerche spermental n proposto portate a termne da Faraday, non

82 ruscva a pensare un condensatore come un taglo fatto nel crcuto d conduzone e concentrò n modo specale la sua attenzone sul materale solante che separa le armature del condensatore. Secondo la sua teora quest'solante doveva dventare sede d corrent stantanee d spostamento. In defntva s tratta d consderare tutte le corrent come chuse, e cò anche quando l crcuto è aperto (caso del condensatore). Ma cos'è una corrente d spostamento? e sue caratterstche sono pecular; è una sorta d stress, d stato d sforzo cu vene stantaneamente sottoposta la «matera» solante che separa le armature del condensatore quando quest'ultmo è carcato. e «molecole» costtuent l materale solante sono formate da carche postve e negatve; l'applcazone d un campo elettrco esterno sposta le carche postve d queste molecole verso l'armatura carcata negatvamente e, vceversa, sposta le carche negatve delle stesse molecole verso l'armatura carcata postvamente. o spostamento delle carche dalle loro poszon d equlbro è pccolo e, appena avvenuto, nasce n ogn molecola una forza elastca d rchamo che tende a rportare la stuazone nello stato d non stress. Ma, quando questo spostamento stantaneo d matera s è prodotto, se l'almentazone del crcuto seguta ad essere n corrente contnua, tutto s stablzza n una stuazone d solante polarzzato e non v è pù nessuna corrente d spostamento (come una membrana che, trata da una parte, resta n questa poszone fnché non cessa la sollectazone). Ma se almentamo l crcuto con una corrente che camba contnuamente verso (ad esempo, una corrente alternata) allora le armature del condensatore cambano contnuamente d polartà, con una frequenza che è la stessa della corrente che almenta l crcuto. Cò comporta che l campo elettrco che s genera tra le armature del condensatore camba contnuamente verso e, conseguentemente, nel condensatore (o meglo, nel mezzo solante che separa le sue armature) s generano corrent d spostamento alternatvamente drette n un senso ed n senso opposto (come una membrana che sa sollectata alternatvamente

83 n un senso ed n senso opposto). a fgura 1 llustra la stuazone ora descrtta. Poché un campo elettrco varable produce una corrente d spostamento e poché ad ogn corrente è assocato un campo magnetco (Oersted, 180), Maxwell ne conclude che un campo elettrco varable produce un campo magnetco (e, vceversa, che un campo magnetco varable produce un campo elettrco). In defntva non v è pù luogo a consderare separatamente camp elettrc o magnetc ma camp elettromagnetc. a stuazone completa del nostro condensatore (fg. ) sarà qund descrtta da quest camp elettrc varabl nel tempo, crcondat da camp magnetc (anch'ess varabl nel tempo) le cu lnee d forza rsulteranno perpendcolar a quelle de camp elettrc. In defntva s avrà un concatenars perpendcolare d camp elettrc e magnetc (campo elettromagnetco) che cambano contnuamente verso con la frequenza della fonte d almentazone alternata.

84 a teora (teora, s bad bene) prevede qund la possbltà d generazone d perturbazon, vbrazon, onde elettromagnetche nello spazo. Per altr vers un lavoro d W. Thomson (ord Kelvn) del 1853 permette d calcolare la frequenza d queste onde elettromagnetche. Indcando con R la resstenza del crcuto n oggetto, con C la capactà del condensatore e con l'nduttanza, se samo nella condzone d R mnore del doppo della radce quadrata del rapporto /C, coè d oscllazone persstente (non smorzata), allora la frequenza f d queste oscllazon è [1] uguale all'nverso del prodotto d p per la radce d C. Questa relazone fa subto vedere che per ntervenre sulla frequenza delle onde elettromagnetche potzzate occorre modfcare valor dell'nduttanza e della capactà del crcuto: per avere una frequenza elevata occorre rendere pccolo l prodotto C (e vceversa). Ma tornamo a Maxwell. Abbamo gà detto che la sua era una teora, elegantssma, ma teora. Rferendoc alla fgura, tutto l fenomeno elettromagnetco (le onde) potzzato da Maxwell era confnato all'nterno delle armature del condensatore. Come trarlo fuor? E come evdenzarlo? Nel 1887 H. Hertz fornsce la verfca spermentale della teora d Maxwell. Il fenomeno elettromagnetco, le onde elettromagnetche, esste davvero all'nterno del condensatore! Per trarlo fuor - sembra ncredble basta «aprre» l condensatore come mostrato n fgura 3 (nella quale le lnee tratteggate

85 rappresentano l campo elettrco esstente tra le armature del condensatore, campo che camba verso con la frequenza del crcuto d almentazone). Completando po l'ultmo dsegno d fgura 3 con l campo magnetco perpendcolare al campo elettrco, s ottene l campo elettromagnetco rsultante dal fenomeno (fg. 4), campo che s propaga dal punto n cu è generato nello spazo crcostante. In questo modo dsponamo d un sstema che permette la propagazone nello spazo d onde elettromagnetche. Ma, come possamo evdenzare queste onde? Renderc conto che, partte dal generatore, arrvno n un altro luogo? e svarate e belle esperenze d Hertz rsposero abbondantemente a tutte le queston. a rsposta che egl trovò all'ultma domanda fatta è ogg banale: serve una partcolare antenna. Hertz ruscì anche a realzzare questa antenna (rsuonatore d Hertz) e ad evdenzare le onde elettromagnetche medante mnuscole scntlle che s producevano alle estremtà PP' del rsuonatore (fgura 5: questa antenna rcevente non era altro che un anello d flo conduttore

86 aperto n un tratto; n corrspondenza d questa apertura v era una vte mcrometrca che permetteva la regolazone della sua ampezza). 'apparato spermentale d cu Hertz s servì è llustrato n fgura 6. Un accumulatore A almenta un rocchetto d Ruhmkorff R; quest'ultmo produce delle scntlle tra S ed S'; queste scntlle costtuscono l campo elettrco varable che almenta l condensatore, le cu armature sono C e C' (s confront con la fgura 4); nel rsuonatore r, n determnate poszon (n corrspondenza, essenzalmente, de nod delle onde elettromagnetche così prodotte), s producono delle mnuscole scntlle che fanno sentre a dstanza la presenza delle onde elettromagnetche potzzate da Maxwell. Naturalmente Hertz dovette esegure dverse prove prma d gungere all'arrangamento spermentale d fgura 6. a stuazone, rguardo al lavoro d Thomson ctato, era comunque tale che la resstenza R del crcuto era molto pccola (la resstenza da consderars è quella esstente tra S ed S': essa ha un pccolo valore a seguto della forte onzzazone dell'ara che producono le scntlle stesse; questo pccolo valore d R fa sì che samo nelle condzon d oscllazon persstent o debolmente smorzate). Anche l'nduttanza e la capactà C (tra le armature C e C' del condensatore) erano molto pccole, d modo che la

87 frequenza f delle onde prodotte (onde hertzane) era molto grande o, che è lo stesso, la loro lunghezza d'onda era molto pccola (crca 3 metr). Con tale frequenza l'apparato d Hertz era n grado solo d trasmettere onde elettromagnetche alla dstanza d poche decne d metr (va comunque rcordato che questo problema non era n alcun modo al centro degl nteress d Hertz). Un rocchetto d Ruhmkorf serve, tra l'altro, per la produzone d oscllazon elettrche persstent. o strumento, rportato n fgura I (nella fgura II v è una sua sezone; nella fgura III v è un partcolare della fgura precedente), funzona nel modo seguente. Rcordando la legge d Faraday-Neumann-enz, la forza elettromotrce ndotta E è data dalla veloctà d varazone del flusso dell'nduzone magnetca (preceduta da un segno meno). Quando crcola corrente nel prmaro (PP' d fgura II) s crea un grande campo elettromagnetco che va ad ndurre una f.e.m. molto elevata nel secondaro (SS d fgura II).

88 Questa f.e.m. ndotta sarebbe solo stantanea se non v fosse una varazone del campo nducente; a quest'ultma cosa provvede un nterruttore V che, con estrema rapà, porta a zero e qund d nuovo al massmo l campo nducente.

89 e onde emesse dal trasmetttore d Hertz sono onde elettromagnetche trasversal consstent n camp elettrc E perpendcolar a camp magnetc B. Se l almentazone è varable snusodalmente altrettanto lo saranno E

90 Fg. 5 - S deve tener conto che, n fgura, E e B non sono n scala. Infatt B è volte meno ntenso d E. Possamo qund attenderc che un crcuto R,, C aperto come n fgura sa n grado d emettere onde elettromagnetche (o.e.m.) della stessa frequenza dell alternatore E n esso nserto.

91 Ma nella realtà un alternatore può produrre solo corrent alternate d frequenza così bassa da non dar luogo ad una produzone apprezzable d o.e.m. Fg. 6 S rcorre allora ad un crcuto oscllante, costtuto (come gà vsto) essenzalmente da un condensatore C, una nduttanza e da una resstenza R che dovrà essere trascurable

92 A 1 e A sono le due astcelle che costtuscono l dpolo e tale dpolo è equvalente ad un crcuto oscllante RC. Tra le estremtà delle astcelle affaccate scocca la scntlla. Esse sono collegate tramte una lnea bflare al trasformatore T (mentre V è una resstenza varable). Tra le astcelle e l secondaro del trasformatore sono present due nduttanze 1 e dette d zavorra costtute da otto avvolgment d crca 1.5 cm d dametro d flo d rame smaltato d 1mm d dametro (ved fgura 3). a loro reattanza X ω è tale da lascar passare corrent a bassa frequenza (50 Hz), e bloccare corrent ad alta frequenza. Quando scocca la scntlla la corrente oscllante sul dpolo è d frequenza tanto alta da non ruscre ad attraversare le nduttanze e tornare

93 ndetro lungo la lnea bflare danneggando l trasformatore. Il segnale a bassa frequenza provenente dal trasformatore che almenta l dpolo contnua nvece a flure dal trasformatore al dpolo. Da notare che l antenna è un dpolo su cu corrono le carche rsultando accelerate. Con questo semplce sstema possamo almentare le armature del condensatore d fgura seguente:

94 Fg. 7

95 Supponamo l condensatore nzalmente carco (fg. 7-1) Quando s chude l'nterruttore comnca a scarcars l condensatore producendo una corrente che assumerà l suo massmo a condensatore completamente scarco. In questo stante. rappresentato dalla fgura 7- l campo magnetco sull'nduttanza è massmo. a corrente contnua sullo stesso verso ma decrescendo fno ad annullars (fgura 7-3), producendo la carca del condensatore con polartà opposta a quella nzale e annullano l campo magnetco. a scarca s rpete n senso nverso (fgura 7-4) rtornando alla stuazone nzale (fgura 7-5) da cu rcomnca l cclo. Se samo n stuazone d pccola resstenza R (ved la 1 del captolo Oscllazon elettrche ), nelle condzon coè d scarca oscllatora, R C <, le oscllazon saranno persstent (non smorzate) e la loro frequenza sarà data dalla condzone d rsonanza d Thomson d rsonanza ), da cu: ω 1 ωc (ved la 1 del captolo Condzon (1) T C π ν 1 π C e tale frequenza è detta frequenza propra del crcuto emttente (E). Questa relazone fa subto vedere che per ntervenre sulla frequenza delle o.e.m occorre modfcare l valore d e d C e per avere frequenza elevate occorre rendere pccolo l prodotto C (e vceversa). Nella pratca convene avere sa che C molto pccol (se s tene ad esempo conto che ad alta frequenza, quando coè ν