5. Il lavoro di un gas perfetto

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1 5. Il lavoro d un gas perfetto ome s esprme l energa nterna d un gas perfetto? Un gas perfetto è l sstema pù semplce che possamo mmagnare: le nterazon a dstanza fra le molecole sono così debol da essere neffcac, qund l energa nterna è tutta cnetca. otendo trascurare l secondo termne, l espressone d E dventa: nt E nt gas perfetto Energa cnetca Energa potenzale dovuta all'agtazone termca dovuta alle nterazon fra delle partcelle tutte le possbl coppe 3 NE c N k T dove, supposto l gas monoatomco, l energa cnetca complessva è stata ottenuta moltplcando l valore medo per molecola 3 Ec kt dell energa cnetca dovuta all agtazone termca, per l R numero N delle molecole. Rcordando che k, rsulta: N ENERGI INTERN EI GS ERFETTI 3 3 MONOTOMIO E = nrt = nt 5 5 ITOMIO E = nrt = nt 3 R 3 3 E N T nrt N nt gas perfetto OLITOMIO E n t = 3 n R T = 3 con l numero d mol N n N, ed avendo anche sfruttato anche l equazone d stato nrt. Espresson analoghe s ottengono per gas perfett batomc e polatomc. Osservamo nfne che la quanttà ha le dmenson d un energa: N 3 m Nm m Se s esprme la pressone n atmosfere ed l volume n ltr: 3 5 l atm. rsultato che useremo negl esercz e da cu s ha anche : 8.3 R.8 l atm / mol K Esste un sstema al quale sa semplce applcare l prmo prncpo? llo scopo d comprendere meccansm energetc del prmo prncpo, s concepsce un sstema termodnamco molto semplfcato, come quello costtuto da un clndro dotato d un pstone moble e rpeno d gas perfetto. Le semplfcazon rspetto ad un sstema reale sono: 3

2 ext () L FILITÀ I ONTROLLO delle varazon d volume del sstema per effetto dell apporto d calore, poché la dlatazone può avvenre uncamente n una drezone () L SSENZ I UN ONTRIUTO OTENZILE NELL ENERGI INTERN come accade per tutt gas deal, dove le nterazon fra le molecole s possono trascurare (3) LE GRNI RIZIONI I OLUME d cu le sostanze allo stato gassoso sono capac e, qund, la loro abltà nel compere del lavoro termodnamco n manera pù agevole che non quando s trovano n fase solda. s he tpo d trasformazon può subre l gas nel clndro? Qual che sano le trasformazon, anche rreversbl, l prmo prncpo ha n ogn caso pena valdtà. Tuttava l calcolo delle grandezze termodnamche convolte è molto facltato se durante le varazon d volume, temperatura o pressone l sstema segue una successone d stat d equlbro. ggungamo qund come ultma condzone che l gas subsca solamente trasformazon reversbl. ome s calcola l lavoro svolto da questo sstema? La quanttà L che fgura nell espressone del prmo prncpo ndca l lavoro che l sstema n oggetto compe sull ambente a spese sa della propra energa nterna sa del calore Q che scamba con l esterno. Se tuttava l sstema è vncolato a rmanere n condzon quasstatche, può compere o subre del lavoro solamente attraverso varazon d volume. Una varazone d volume mplca un moto ordnato delle molecole nella drezone della espansone o della contrazone, così che forze che l sstema esercta sull ambente spostano l loro punto d applcazone. er uno spostamento s del pstone così pccolo da poter consderare costante la forza che l gas esercta su d esso, vene computo dal gas un lavoro elementare L dato da: L F s Fs s F F coè l lavoro è par alla lunghezza s dello spostamento del punto d applcazone della forza, per la componente F della forza lungo la drezone dello spostamento. Il lavoro eseguto dal gas è postvo se l pstone s muove nel verso della forza eserctata dal gas, negatvo se lo spostamento è n verso opposto. s s L OSITIO s L NEGTIO ome possamo esprmere la forza che l gas esercta sul pstone? Se l gas sta seguendo una trasformazone reversble, n ogn stante s trova sempre n equlbro e qund possamo defnrne la pressone nterna. La forza F s che l gas esercta nella drezone d s è l prodotto della pressone per la msura dell area a contatto con l gas, e coè: Fs Se non s dovessero rspettare le condzon d quas statctà potremmo far compere lavoro, ad esempo ad un gas, per effetto de mot convettv al suo nterno. Tal mot sarebbero però orgnat da dfferenze d T e qund la trasformazone n oggetto non sarebbe reversble n quanto non s potrebbe defnre unvocamente T S rcord che la scrttura d prodotto scalare fra quest due vettor vale F Δs cosα e sgnfca, ndfferentemente, o Δs per la componente d F lungo Δs, oppure F per la componente d Δs lungo F. 4

3 er un espansone rreversble non possamo adoperare la formula sopra n quanto l valore della pressone del gas non è ndvduable. Tuttava, nella stuazone comunemente verfcata n cu l gas s espande contro una pressone costante esterna (che nclude sa pressone atmosferca sa l ext contrbuto del peso del pstone) poché la forza che l ambente esercta sul gas: F ext ha la stessa ntenstà d quella che l gas esercta sull ambente, (come prevsto dalla terza legge della dnamca), s può utlzzare questa seconda espressone per l calcolo del lavoro computo dal gas. he lavoro compe l gas sull ambente se la pressone s mantene constante? Il calcolo del lavoro termodnamco, anche nel caso semplce d un clndro con gas perfetto che compa trasformazon reversbl è un procedmento complesso perché, n generale, l valore della pressone camba durante la varazone d volume. alcolamo ora l lavoro termodnamco che l gas compe sull ambente n relazone all nnalzamento d una lunghezza s del pstone, nel caso pù semplce, quello d una trasformazone sòbara, durante la quale la pressone s mantene costante. Nel caso d una trasformazone rreversble, se costante l lavoro computo dal gas vale: ext L F s s rr s ext Essendo ora s la varazone d volume subta per lo spostamento del pstone, ottenamo, n questo semplce caso, l espressone per l lavoro termodnamco d un gas: L ( ) rr ext ext dove con abbamo ndcato l volume nzale e con quello fnale, come n fgura. Se nvece la trasformazone è reversble, s può adoperare la pressone nterna costante del gas e s ottene: L ( ) rev Il lavoro svolto ha una nterpretazone geometrca sul pano pressone-volume? Se la trasformazone è rreversble la rsposta è no, n quanto non è nemmeno possble rappresentarla. Nel caso reversble nvece, l lavoro termodnamco s presta ad una facle nterpretazone geometrca sul pano d lapeyron. S abba un gas perfetto che s espande reversblmente, a pressone costante, da un volume ad un volume. Esso compe sull ambente un lavoro L ( ). La quanttà ( ) rappresenta l area compresa fra la retta orzzontale costante, equazone dell sobara, l asse delle ascsse, e le due rette vertcal e. Se la trasformazone è percorsa dallo stato a volume verso lo stato a volume s tratta d una espansone, ed l gas compe lavoro sull ambente essendo lo spostamento del pstone equverso alla forza che l gas esercta sul pstone. In questo caso s avrà: TRSFORMZIONE ISÒR = costante v L = ( - ) v v 5

4 L ( ) Se nvece s tratta d una compressone, percorsa qund dallo stato a volume maggore verso quello a volume mnore, lo spostamento del pstone sarà n verso contraro alla forza che l gas esercta su d esso e dremo che l gas compe l lavoro negatvo (o resstente) L ( ) oppure che l sstema compe lavoro sul gas. E se l espansone non avvene n una sola drezone? La formula rcavata ha una valdtà generale, nel senso che anche per un contentore a forma rregolare che subsse una varazone d volume s potrebbe calcolare l lavoro termodnamco relatvo a tale trasformazone dvdendo la superfce che s espande n tant element regolar e calcolando l lavoro attraverso la sommatora de contrbut d cascuno d ess, come schematzzato n fgura. sono de cas n cu non questa formula non vale? haramente a formula L cessa d valere n tutt que cas n cu non c s trov n condzon d quas statctà, perché se così fosse non s potrebbe nemmeno defnre un valore unvoco per la pressone da nserre n essa. al la pena d rmarcare che n generale l lavoro termodnamco dpende dal percorso che le varabl fsche seguono, e che, ad esempo, una espansone turbolenta che raddopp l volume d un gas comporta un lavoro molto dverso da quello d una espansone reversble che conduca al medesmo stato fnale. Qual è l lavoro del gas sull ambente se l volume resta constante? Nel caso d una trasformazone socòra, durante la quale l volume non vara, l lavoro che un gas perfetto compe è, con tutta evdenza, sempre zero, dato che s ha, per defnzone, par a zero la varazone d volume. La rappresentazone d una socòra reversble sul pano d lapeyron è un tratto vertcale. s TRSFORMZIONE ISOTERM ISÒRE L = TRSFORMZIONE ISOÒR ISOÒRE ROORZIONLI / = costante he lavoro compe l gas sull ambente se la temperatura s mantene constante? 6

5 onsderamo ora l caso d un gas perfetto che esegua una trasformazone soterma fra due stat e. Sul pano d lapeyron punt seguranno l arco d perbole equlatera nrt costante. Il valore della pressone camba contnuamente durante l processo e n questo caso la formula L non può essere adoperata. Tuttava, avendo a che fare con una trasformazone quasstatca, possamo mmagnare d suddvdere la varazone d pressone complessva n tant salt elementar durante le qual l suo valore s mantene costante. Successvamente raccordamo queste trasformazon sòbare con delle socòre durante la qual s compe lavoro nullo perché. In questo modo abbamo approssmato la trasformazone con una scaletta d sobare ed socore, come llustrato n fgura. Il lavoro può essere calcolato come somma de lavor d queste trasformazon elementar e conserva la sua nterpretazone geometrca d area sottesa dalla curva che rappresenta la trasformazone: costante (area evdenzata n fgura). Indchamo con W l lavoro computo durante l -esma sobara, ed esprmamolo, tramte la formula gà trovata, come L. Il lavoro complessvo s ottene addzonando contrbut d tutte le sobare elementar costrute. Tale somma rappresenta l area sottesa dal plurrettangolo d bas ed altezze. Sfruttando l equazone d nrt stato l espressone L del lavoro durante ogn sobara dvene: L nrt Sommando s ottene l lavoro complessvo: L nrt nrt avendo raccolto nrt a fattore comune, n quanto non dpende dall ndce ma è solo un prodotto d costant che moltplca tutt termn. ome mostramo nella scheda matematca, la nuova somma ottenuta è l area sottesa dall perbole equlatera y fra l valore nzale e quello fnale, area che s ottene tramte la funzone logartmo naturale: ln. Sosttuendo: L nrt ln che è la formula che consente d calcolare l lavoro durante una trasformazone soterma. Qual è l segno del lavoro computo da una gas perfetto che segue un soterma? Se s tratta d un espansone avremo l rsultato che l sstema compe un lavoro postvo. Infatt se s espande l volume fnale è maggore d quello nzale, coè 7

6 e qund, essendo l argomento del logartmo d, rsulta un numero maggore ln. Se nvece s tratta d una compressone l lavoro sarà negatvo essendo n questo caso l argomento del logartmo mnore d. Esempo ue mol d gas perfetto compono l cclo n fgura dove: 3 atm, atm, 4 l, 4 l alcolare: a) Il lavoro eseguto dal sstema durante l cclo e durante tre tratt ntermed b) Il calore scambato durante l cclo stesso c) La temperatura n = = Osservamo che l energa nterna E d un sstema è una funzone del suo nt stato, e qund n un processo cclco, dove, partendo dallo stato s rtorna n, e le varabl termodnamche rassumono loro valor nzal, E non può nt essere cambata. Qund applcando l prmo prncpo con E abbamo nt per l ntero cclo: E Q L Q L nt Il lavoro è svolto uncamente nel tratto sobaro ed n quello. S ha: L ( ) (4 4) 6 l atm 66 area L ( ) 36 l atm 3636 sottesa L Q L L cclo cclo er l calcolo della temperatura applchamo l equazone de gas perfett nello stato ( R 8.3 /mol K.8 l atm/mol K ): T 4 44 K nr.8 Esempo ue mol d gas perfetto compono l cclo reversble nel verso ndcato n fgura. Il cclo è formato dalle due soterme e e dalle due socore e. Essendo: 4. l ; 8. l ; T T ; T T ; s calcolno al termne del cclo: 8

7 a) Il lavoro totale fatto dal gas e la sua varazone d energa nterna b) Il calore scambato nel tratto c) La varazone d energa nterna nel tratto d) La pressone massma che s è avuta durante l cclo a) Il lavoro vene svolto solo ne due tratt soterm, postvo nell espansone, negatvo nella compressone. Trasformando n Kelvn le temperature date s ha: L L L nrt ln nrt ln R 373 ln 93 ln 9. l atm Nel tratto s ha charamente E Nk T essendo T. nt b) pplcando l prmo prncpo al tratto ottenamo: 8. E Q L Q L nrt ln 497 nt 4. un calore postvo, qund entrante. c) obbamo applcare la relazone: E Nk T nr T nr nt T T R 6R 33 d) La massma pressone s ha n. all equazone d stato: nrt atm 4. Esempo 3 Un gas perfetto può trplcare l propro volume da 3. m a 6. m passando per due cammn dfferent, oppure 3 =, come mostrato n fgura. Il calore ceduto al gas lungo l 5 cammno è Q 5. Sapendo noltre che 5. N/m e. N/m, calcolare: 5 a) Il lavoro computo dal gas durante l cammno b) Il calore Q che l gas ha scambato se la trasformazone è avvenuta lungo l cammno Il lavoro svolto lungo è l area del rettangolo compreso fra l segmento e l asse delle ascsse: 5 5 L ( ). (6..) 8. Il lavoro svolto lungo l camno è dato dall area sotto alla spezzata, evdenzata n gallo. Questa s ottene sottraendo l area del trangolo al lavoro L gà trovato. nche se l non è noto l volume, l area del 9

8 trangolo è comunque determnata perché sono date la sua base e la sua altezza. Rsulta: L L ( )( ) 8.. (4.) 6. er trovare Q applchamo l prmo prncpo alla trasformazone : E Q L. Essendo l energa nterna una funzone d stato, nt E nt s può calcolare anche al termne del percorso, che ha n comune con gl stat nzale e fnale. bbamo: E Q L nt da cu nfne: Q E L nt Esempo 4 Un gas perfetto monoatomco s trova ad volume nzale 4.l e ad una pressone nzale. atm. Esso segue una trasformazone che nel pano d lapeyron è rappresentata dal segmento d una retta passante per l orgne, al termne della quale ha raddoppato l suo volume.s calcolno: a) La varazone d energa nterna b) Il lavoro eseguto dal gas ed l calore scambato La conoscenza del coeffcente angolare m della retta permette d rcavare la pressone fnale: m. atm er la varazone d energa nterna s ha: E 8l atm.8 nt L area sottesa dal segmento fornsce l lavoro eseguto dal gas. Trattandola come un trapezo d bas e ed altezza s ha: L ( )( ) 3. atm 4.l 6.l atm 6. mentre dal prmo prncpo s ha l calore scambato: 3 3 Q E L nt Esempo 5 S hanno tre mol d gas perfetto che compono l cclo ndcato con E n fgura, smmetrco rspetto al punto. Sapendo che: 5. atm, 3. atm, E = l, 3 l E alcolare:. Il lavoro eseguto dal sstema durante l cclo =E E =E =

9 . Il calore scambato durante l cclo stesso 3. La temperatura degl stat e Il lavoro eseguto durante l ntero cclo è nullo per la smmetra del percorso. urante le due socore E e non vene computo lavoro, mentre l lavoro postvo svolto nel tratto d espansone, è uguale e contraro al lavoro subto, negatvo, nella contrazone E. Rsulta qund: E nt( cclo) Q cclo L Q cclo cclo Essendo n qualunque cclo E ne segue anche Q. nt( ) cclo cclo er l calcolo d T usamo l equazone d stato de gas perfett: 5.3 T 69K nr 3.8 Il punto ha volume e pressone ntermed: 3 E l 4.atm er cu dall equazone d stato: 4.5 T 46 K nr 3.8 Esempo 6 ue mol d gas perfetto s trovano a T 3 K sono post n un clndro dotato d pstone moble. Il sstema vene rscaldato fnché la lunghezza della parte d clndro occupata dal gas non raddoppa, po vene bloccato l pstone ed l gas è raffreddato fnché la pressone non è rdotta alla metà d quella nzale. S calcol la varazone d energa nterna del gas ed l calore complessvamente scambato con l ambente. Raddoppo della lunghezza del clndro sgnfca raddoppo del volume occupato, vsto che la superfce d base non camba. Osservamo che, se ndchamo lo stato nzale con, e T, quello fnale sarà, e T. f alla formula per l energa nterna d un gas perfetto mono-atomco s vede che l contenuto energetco non è cambato: 3 3 Ed l rsultato è analogo se s tratta d gas b-atomco o pol-atomco. all equazone d stato s rcava noltre che la temperatura fnale è uguale a quella nzale: T T T f nr nr al prmo prncpo ottenamo che l calore scambato è par al lavoro computo E Q L Q L ( ) nt Q nrt calore postvo qund assorbto dal gas.

10 Esempo 7 7. mol d gas perfetto sono contenute n un clndro dotato d pstone scorrevole sul quale è posta una massa m, e tutto l sstema s trova n equlbro alla temperatura d 7. Un certo quanttatvo d calore Q vene fornto al gas fnché questo non raddoppa l propro volume. Relatvamente a questa trasformazone s trovno l calore rcevuto dal gas, l lavoro che l gas ha svolto e la sua varazone d energa nterna. s ex m m In mancanza d altre specfcazon dobbamo rtenere che s tratt d una trasformazone rreversble, qund non rappresentable sul pano - se non per gl stat nzale e fnale. Il lavoro sarà calcolable graze alla pressone dall esterno. Rsulta qund: L e urante la trasformazone, date le turbolenze, non esste un valore d pressone nterna, tuttava negl stat d equlbro nzale e fnale la pressone nterna s sarà stablzzata attorno al valore esterno qund possamo applcare l equazone de gas perfett: nrt nrt e e f e f Sottraendo membro a membro: nr T T nr T e e e f E rcordando che è pure nrt s trova: e nrt nrt T T 3 K T T T 6 K Il lavoro computo sarà: f L nrt e e f e la varazone d energa nterna: 5 E nrt nt da cu s rcava subto l calore scambato dal gas: E Q L Q E L nt nt postvo n quanto rcevuto dal gas. Esempo 8 8. mol d gas perfetto sono contenute n un clndro n equlbro alla temperatura dell ambente T 3 K. Sul pstone gravano sa la pressone atmosferca che l propro peso. Un flo tra lentamente l pstone verso l alto, n modo che la trasformazone sa soterma reversble, fno a che l volume del gas non è raddoppato. S calcol l lavoro svolto dalla tensone del flo. h Il sstema segue una trasformazone reversble, qund è sempre n equlbro durante l processo, che consste d una espansone soterma. Il pstone non vara la propra energa cnetca essendo fermo n equlbro sa all nzo che alla fne, qund deve essere nullo l lavoro complessvamente svolto su d esso. Esplctando segn negatv de lavor resstent, quell coè n cu le forze

11 contrastano lo spostamento del punto d applcazone dovuto al movmento del pstone: L L L L L L L L gas flo peso atm flo peso atm gas er l lavoro del gas s può far uso della formula per l soterma reversble: f L nrt ln ln 384 gas Indcando con m la massa del pstone, con la sua superfce e con h lo spostamento vertcale, l lavoro della forza peso e quello della forza dovuta alla pressone atmosferca s scrvono complessvamente: L L mgh h mg h peso atm atm atm Tenendo conto che l pstone è nzalmente n equlbro, la forza rsultante eserctata su d esso deve essere nulla: mg mg gas atm gas atm da cu, essendo poché l volume raddoppa: n L L h nrt peso atm gas gas gas n Facendo la dfferenza s ottene l lavoro della tensone del flo: L L L L flo peso atm gas Esempo 9 lcune mol d gas perfetto sono contenute n un clndro dotato d pstone scorrevole sul quale è posta una coppa d masse ugual m 5 Kg. l d sopra delle masse c è l vuoto, e tutto l sstema s trova n equlbro alla temperatura dell ambente, essendo h.4 m l altezza del uoto uoto m clndro occupata. Levando una delle masse l gas s espande a temperatura costante. Relatvamente a questa trasformazone s trovno l calore scambato dal gas, l lavoro che l gas ha svolto e la sua varazone d energa nterna. h m m In assenza d ndcazon, dobbamo rtenere che s tratt d una trasformazone rreversble, qund non rappresentable sul pano -. Non è qund lecto usare l equazone dell soterma reversble, ma l lavoro sarà calcolable graze alla conoscenza della pressone dall esterno, che, detta la superfce del pstone, è sempre uguale a mg Rsulta qund: mg L e f durante la trasformazone. er trovare osservamo che sebbene durante la trasformazone, date le f turbolenze, non essta un valore d pressone nterna, negl stat d equlbro nzale e fnale la pressone nterna s sarà stablzzata attorno al valore esterno qund possamo applcare l equazone de gas perfett: nrt nrt f f f Rguardo alle presson nzale e fnale, s ha: 3

12 mg mg f da cu s rcava. Il lavoro computo vale dunque: f f mg mg L e f h mgh 5 Kg 9.8 m/s.4 m 98 llo stesso rsultato s pervene applcando l teorema dell energa cnetca ed osservando che l lavoro sul pstone deve essere uguale e contraro a quello mgh svolto dalla gravtà, vsto che l corpo non vara la sua energa cnetca nel processo, essendo fermo all nzo ed alla fne. Esempo lcune mol d gas perfetto batomco seguono le trasformazone reversbl n fgura. rma lungo dmezzano l propro volume a pressone costante, po lungo, trplcano l volume a temperatura costante, ed nfne lungo raddoppano la pressone a volume costante. Sapendo che m 3 e 5.5 a s dca quanto valgono l lavoro complessvamente svolto, l calore complessvamente scambato e la varazone totale d energa nterna. 3 3 Il lavoro vene svolto soltanto lungo l sobara e l soterma, mentre durante l socòra s ha L. er l sobara abbamo: 5 6 L ( ) 3 ( ) lavoro negatvo, subto dal gas, che nfatt s contrae dmezzando l propro volume. Lungo l soterma nvece s ha nvece: L nrt ln occorre qund calcolare la temperatura T utlzzando l equazone d stato n : 3 T nr nr Sosttuendo: 3 3 L nr ln 3 ln nr Il lavoro complessvol vale allora: L L L La varazone d energa nterna che compete a tutta la trasformazone è: E nt 3 3 ed applcando l prmo prncpo, l caloreq complessvamente scambato rsulta: E Q L Q L 8 nt 5 4