1.1 L operazione di filtraggio

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1 Nella presente tes vene utlzzato un approcco d tpo large-eddy per sulare nuercaente la turbolenza. Questo tpo d approcco rsolve drettaente le grand scale della turbolenza e odellzza le scale pù pccole d una certa densone utlzzando var odell d subgrd. Le grand scale vengono separate dalle pccole trate un operazone d fltraggo. Nel nostro caso l fltro è applcato n anera plcta trate la dscretzzazone dello spazo fsco su d una grgla d calcolo.. L operazone d fltraggo Le equazon d Naver-Stokes vengono fltrate ne sottodon C dello spazo coputazonale tal che N C Ω dove Ω è l ntero dono d calcolo. Il fltraggo d una funzone f ( X, t X X ( x, y, z voluzone f ( X, t dato da f ( X, t f ( X,' t G( X ' X d X ' C dove G( X ' X è la funzone fltro noralzzata per cu s ha G( X corrsponde all ntegrale d d X. C In questa studo s è adottato un fltro noralzzato top-hat applcato plctaente alle equazon dervate dalla dscretzzazone a volu fnt nello spazo fsco, coè per una f X, t s ha generca funzone ( f ( X, t f ( X,' t d X ' C (. 8

2 n cu le grandezze,, costtuso le lunghezze de lat della cella C sderata.. Equazon del oto per fludo ncoprble In questo paragrafo vengono rportate le equazon che descrvono l oto d un fludo ncoprble (s utlzza la notazone d soatora sugl ndc rpetut: o Equazone d tnutà n assa 0 (. o Equazone d blanco della quanttà d oto t ( u u p ρ S ν (. S (.4 n cu u è la -esa coponente della veloctà, ρ la denstà, p la pressone ed S l tensore d veloctà d deforazone.. Equazon del oto fltrate per fludo ncoprble Sfruttando le seguent propretà de fltr f g f g (.5 f f (.6 le equazon del oto possono essere rscrtte nella anera seguente: o Equazone d tnutà n assa 0 (.7 9

3 o Equazone d blanco della quanttà d oto t ( u u p ρ S ν (.8 S (.9 Introducendo l tensore degl sforz d subgrd defnto coe u u u u (.0 l equazone d blanco della quanttà d oto dventa t ( u u p ρ S ν (. Coe s vede l equazone. è foralente dentca all equazone d blanco della quanttà d oto non fltrata ad eccezone del solo terne che descrve gl effett delle pccole scale, coè le scale non rsolte drettaente perché pù pccole delle denson del fltro usato, sulle grand scale. Per chudere l problea è necessaro ntrodurre un odello per..4 I odell d subgrd I odell utlzzat nelle sulazon LES ed analzzat n questa tes sono l odello d Sagornsky, l odello dnaco (S ed l odello dnaco sto a due paraetr (T..4. Il odello d Sagornsky Questo odello prende l noe dal su nventore che nel 96 lo ntrodusse (rf. [7]. Il tensore degl sforz d subgrd vene odellzzato nella anera seguente: C (. n cu è la densone del fltro, defnta coe, S è la nora del tensore veloctà d deforazone fltrato, coè S, e C è una costante assegnata a pror, d solto copresa fra 0. e 0.7, a seda del partcolare problea fsco n esae. 0

4 Questo odello parte dal presupposto che le pccole scale sano puraente dsspatve. La dsspazone che fornso caba al varare d C, per cu l tensore d subgrd rsulta approssato da un espressone foralente sle al terne vscoso; ponendo nfatt ν C l equazone d blanco della quanttà d oto fltrata dventa s t ( u u p ρ ( ν ν s S (. che rsulta perfettaente dentca alla rspettva equazone non fltrata ad eccezone del terne vscoso n cu alla vscostà fsca ν è aggunta la vscostà d subgrd scale ν s. I lt d questo odello sono olt; l pù evdente sste nel fatto che la costante C è nvarante n ogn punto del dono e ad ogn stante, l che non ha rstr dal punto d vsta fsco, ed è dffcle da settare. Essendo C sepre postva nfatt, tern d pccola scala non possono che essere dsspatv, coè l energa d deforazone ε è sepre negatva, per cu non c può essere backscatter, ossa passaggo d energa dalle pccole alle grand scale. Coe s può vedere dalla. gl ass prncpal del tensore degl sforz d subgrd e del tensore veloctà d deforazone rsultano parallel, a nella aggor parte de cas cò non s verfca. Inoltre è nullo solo se sono nulle tutte le sue coponent, caso questo assa raro, l che descrve un coportaento non corretto del flusso soprattutto n presenza d paret solde o d flusso lanare..4. Il odello dnaco (S Un notevole gloraento rspetto al odello d Sagornsky è scaturto dall ntroduzone del odello dnaco (rf. [6]. Tale cabaento rguarda la costante C ; l suo valore non deve pù essere fssato a pror a vene calcolato dnacaente sfruttando un denttà algebrca dostrata da Gerano (ntrodotta pù avant. Il tensore d subgrd vene odellzzato nello stesso odo proposto da Sagornsky: C (.4 Per procedere al calcolo d C s applca alle equazon d blanco della quanttà d oto un sedo fltro (ndcato l segno ^, detto fltro d test, d denson aggor rspetto al fltro gà utlzzato. In questo odo nelle equazon copare un nuovo terne detto tensore degl sforz d subtest dato da T u u u u (.5 che vene odellzzato analogaente al tensore degl sforz d subgrd, coè T T C (.6

5 supponendo che C sa la stessa per entrab tensor. Il terne ndca la densone del fltro test, Ŝ l tensore veloctà d deforazone fltrato due volte ed Ŝ la sua nora. Sa che Ŝ sono calcolato n odo analogo al precedente In base alla gà ctata denttà d Gerano, ossa u u u u T (.7 s resce a deternare localente e ad ogn passo teporale l valore della costante C. Infatt, sosttuendo valor d e T nell denttà s ottene C (.8 S (.9 n cu ed sono not. al oento che tensor n goco sono tutt setrc, l equazone corrsponde a 6 equazon scalar nell unca ncognta C, che vene calcolata, coe proposto da Llly (rf. [0], nzzando l quadrato dell errore defnto da Q C (.0 Vene qund posta la dzone Q C 0 (. da cu C (. Graze al odello dnaco s è ovvato al dfetto d fssare C a pror, otvo per cu adesso la costante non è pù nvarante a dpende sa dalla poszone che dall stante t n cu vene calcolata, coè C C( X, t. A dfferenza del odello d Sagornsky qund, la costante può assuere anche valor negatv o null, per cu è reso possble l passaggo d energa dalla

6 pccole alle grand scale ed noltre l coportaento asntotco è sulato n anera corretta sa n presenza d paret solde che d flusso d tpo lanare. Tuttava restano alcun dfett che l odello antene nevtablente per l fatto che l tensore d subgrd è stato odellzzato nella stessa anera proposta da Sagornsky, pro fra tutt l parallelso fra degl ass prncpal de tensor d subgrd e veloctà d deforazone. Oltre a questo dfetto coune al precedente odello, l odello dnaco presenta alcun proble pecular dovut alla procedura d calcolo d C. Tal dfett sstono n fort oscllazon del valore della costante che non hanno rstro dal punto d vsta fsco e che possono talvolta portare all nstabltà nuerca del problea. La vscostà globale nfatt può dventare negatva n presenza d elevat pcch negatv d C superor n valore assoluto alla vscostà del fludo, per cu è necessara un operazone d clppaggo..4. Il odello dnaco sto a due paraetr (T Coe detto nel precedente paragrafo l problea del odello dnaco classco (S era essenzalente legato al fatto che l tensore degl sforz d subgrd aveva la stessa fora d quello ntrodotto da Sagornsky. Nel 99 Zang et al. (rf. [9] hanno ntrodotto un nuovo odello, detto odello dnaco sto (, n cu l tensore è stato odellzzato aggungendo a.4 un ulterore terne, sulla base d quello proposto da Bardna nel 984 (rf. []: C L (. dove, per seplctà, è stato ntrodotto l astersco ad abbrevare la notazone copleta, coè, ndcando A una generca grandezza tensorale s ha A utlzzerà questa venzone. Nella. l terne A A (d ora n po s L u u u u (.4 è l tensore d Leonard odfcato, noto n funzone delle scale rsolte. Utlzzando la stessa procedura dnaca descrtta n precedenza s calcola l paraetro C : s applca l fltro test e s odellzza l tensore d subtest analogaente a quello d subgrd, coè: C T L t (.5 dove L t u u u u (.6 è un tensore analogo al tensore d Leonard odfcato e C è la stessa d..

7 Sepre utlzzando l denttà d Gerano.7, n cu s ntroduo e T odellzzat coe descrtto n. e.6 e nzzando del quadrato dell errore s ottene ( ( H C (.7 H t ( L ( L (.8 Con l ntroduzone del tensore d Leonard odfcato proble d nstabltà nuerca sono eno rlevant n quanto le oscllazon ed valor negatv della costante C rsultano eno arcat poché l tensore d Leonard sula naturalente l passaggo d energa dalle pccole alle grand scale. a notare è anche l fatto che l parallelso fra gl ass prncpal del tensore degl sforz d subgrd e l tensore veloctà d deforazone non è pù presente. Pur essendo glore del odello precedente (S, l odello dnaco sto antene, seppur n odo eno evdente, una certa nstabltà nuerca. Ulteror gloraent nella odellzzazone d sono stat ntrodott da Salvett e Baneree (rf. [5]. La forulazone del loro odello s basa sulle seguent osservazon: la veloctà può essere scoposta n questo odo: u u u (.9 n cu u è la veloctà fltrata, ossa quella drettaente sulata, e u è la coponente fluttuante dovuta alle scale pù pccole del fltro utlzzato; sosttuendo tale scrttura nel tensore degl sforz d subgrd defnto dalla.0 s ottene L C R (.0 dove l tensore d Leonard gà ctato s può trovare drettaente n quanto funzone d grandezze rsolte, C è un terne sto che ha la fora seguente C u u u u u u u u (. ed R è l terne n cu copaono esclusvaente gl effett delle scale non rsolte, ossa R u u u u (. I tensor L e C rsultano dvers da zero, n quanto l fltro, agendo nello spazo fsco, perette la sovrapposzone delle scale d turbolenza non rsolte a quelle rsolte. Supponendo qund d poter approssare R l odello d Sagornsky s ntusce che l odello dnaco, essendo basato sullo stesso odello (Sagornsky appunto, tratta tutt tensor allo stesso odo, entre l odello dnaco sto (ved. suppone C nullo. I odell 4

8 descrtt precedenteente sebrano trattare n anera non corretta l terne sto. Salvett e Baneree hanno focalzzato l attenzone su questo aspetto ed hanno ntrodotto l odello dnaco sto a due paraetr. Esso s basa sulle seguent potes: o C è proporzonale L o R è descrtto dal odello d Sagornsky La.0 qund dventa C K L (. n cu copaono due paraetr che vengono calcolat n anera dnaca seguendo una procedura sle a quella utlzzata nel S e nel. In questo caso l tensore d subtest dventa: T C K L t (.4 e l denttà d Gerano assue la seguente espressone: dato dalla.9 ed C K H (.5 H L t L (.6 Il passo successvo sste nello scrvere l espressone del quadrato dell errore Q ( C K H (.7 Allo stesso odo s procede alla nzzazone rcavando così le due costant cercate C e K, coè s pongono le dzon Q C Q K 0 0 (.7 ottenendo due paraetr K ( ( H ( H ( ( H ( H ( (.8 5

9 H C K H (.4 S osserva che ponendo K 0 s ottene nuovaente la. (S, entre per K s ha la.7 (. Il T serva tutt preg de odell dnac gà vst; n pù esso presenta nor oscllazon del paraetro C e qund una glore stabltà nuerca e descrve n odo pù accurato l tensore degl sforz d subgrd nelle zone del capo n cu n tern ness l tensore d Leonard sono portant. 6