LA RIVELAZIONE IN PRESENZA DI RUMORE

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1 Captolo IV LA RIVLAZIO I PRSZA DI RUOR In questo Captolo è affrontato l problea della rvelazone n presenza d ruore pervenendo alla defnzone della struttura del rcevtore otto e coè d un rcevtore che fornsce una sta del segnale trasesso che da luogo alla na probabltà d errore per sbolo. Sono noltre a- nalzzate le strutture de rcevtor ott per odulazon bnare calcolando l espressone della probabltà d errore n dpendenza della dstanza eucldea fra le segnalazon. ale anals è estesa nfne a odulazon -are per le qual è presentato un andaento della probabltà d errore per sbolo n dpendenza del rapporto segnale/ruore. Sono nfne dedott lt entro cu è contenuta la probabltà d errore per sbolo per una generca segnalazone. IV. - Il problea della decsone. Il segnale r(t ) che s presenta all ngresso del rcevtore è costtuto da una replca del segnale nuerco v(t) eventualente dstorta per effetto del canale d trasssone e corrotta da dsturb e nterferenze. Supponendo che l canale d trasssone sa deale e a banda suffcenteente larga da poters trascurare le dstorson e l nterferenza d ntersbolo, l segnale rcevuto può essere posto nella fora: (IV..) rt () = vt () + nt () dove la sola causa d dsturbo che vene presa n consderazone è costtuta da un ruore addtvo che, nel seguto, s suppone stazonaro, gaussano e banco ed ndpendente dalla sequenza de sbol eess dalla sorgente d nforazone. e sste d odulazone -ar, l nforazone trasessa è assocata ad un nsee d sbol a, appartenent ad un alfabeto d eleent. Poché per odulazon prve d eora, l segnale odulato, nel generco ntervallo d segnalazone d durata, dpende solo dal corrspondente sbolo a trasesso, rsulta: (IV..) vt () = s() t n t < ( n + ) dove s (t) denota la fora d segnalazone assocata al sbolo a, scelto fra un nsee d segnal dstnt { ()} s t. = r odulazon prve d eora, la rvelazone può essere effettuata sbolo per sbolo, coscché s può far rferento all ntervallo, [ ) corrspondente alla rvelazone del sbolo d posto nella sequenza trasessa. Da un punto d vsta concettuale è utle consderare l rt () {} ρ a = ˆ Deodulatore Rvelatore rcevtore coe coposto da Fg. Schea d prncpo d un rcevtore. due eleent n cascata (v. Fg. ): l deodulatore che fornsce n uscta un nsee nuerable d varabl aleatore { ρ k } k = a partre dalla conoscenza del segnale rt () con t [, ) ; l rvelatore che dà una sta del dato trasesso sulla base delle osservazon { } = ρ.

2 G. aola: Lezon d Councazon lettrche Co è noto, nel caso d odulazon -are segnal s (t) sono ad energa specfca fnta e appartengono ad un sottospazo lneare S ad denson, con, generato da un nsee d funzon d base u (t), defnte n [, ), che s suppongono ortonoral. Cò sgnfca che l generco segnale s (t) nell ntervallo [, ) può essere svluppato nella fora: (IV..3) s() t = su() t ( =,,, ) n cu coeffcent dello svluppo sono defnt dalle: (IV..4) s = s () t u () t dt = =,,, =,,, S not che, n generale, l vettore rappresentatvo del segnale r(t ) non appartene al sottospazo lneare S generato da vettor u. S consder pertanto la sua proezone ortogonale r che ndvdua l segnale: (IV..5) = ρ = r () t u () t essendo: (IV..6) ρ = rtu () () tdt= s +ν ( =,, ) con (IV..7) ntu () () tdt ( =,, ) ν = In tern delle coponent sopra defnte, proettando la (IV..) ortogonalente su S s ottene: (IV..8) ρ = s +ν (, =,,, ) supposto che l sbolo trasesso sa a. Introducendo la notazone vettorale, la (IV..8) s può scrvere nella fora: (IV..9) r = s + n Sulla base della (IV..9) l problea della rvelazone può essere così forulato: partendo dalle osservazon delle varabl aleatore ρ l rcevtore deve decdere sul sbolo a nvato. In altr tern sulla base della conoscenza de valor ρ l rcevtore deve sceglere fra le seguent potes H : (IV..) H : r = s + n ( =,,, ) corrspondent a sbol a trasess. Dalla (IV..) s deduce che a fn della rvelazone del sbolo a ntervene solo la coponente del ruore appartenente al sottospazo S. Poché la coponente del ruore n gacente su S e quella n ad esso ortogonale corrspondono ad una coppa d segnal che, n quanto gaussan e ortogonal, sono statstcaente ndpendent, la conoscenza d n non apporta alcun contrbuto alla rvelazone del dato a. ella trasssone nuerca l rcevtore decde a favore d quella segnalazone che conduce ad una decsone con l no della probabltà d errore. È facle renders conto che tale crtero equvale alla sta: aˆ = arg ax Pr a r( t) (IV..) { { }} a

3 Cap. IV - La rvelazone n presenza d ruore Che questo crtero (noto coe crtero della assa probabltà a posteror AP) corrsponda alla scelta del sbolo che conduce al no della probabltà d errore, noto () Pr a r( t ) è la probabltà che l dato trasesso, noto rt, è facle verfcare. Infatt { } a ; qund Pr { a r( t) } rt (), sa denota la probabltà che non s sa trasesso a noto rt (). Se l rcevtore stablsce che l dato trasesso è a coette un errore con proba- Pr a r( t). La condzone (IV..) corrsponde qund alla scelta del sbolo n bltà { } corrspondenza del quale la probabltà d errore è na, o che è lo stesso, la probabltà della corretta decsone è assa. Poché la coponente r () t del segnale rcevuto ortogonale al sottospazo S non porta alcun contrbuto alla decsone, quest ulta può essere presa sulla base del vettore delle varabl d decsone r = [ ρ ρ ρ] funzone Pr { a r( t )} è equvalente alla Pr { } scrvere: (IV..) Pr { a r }. La a r. Applcando la regola d Bayes, s può ( r ) { } p Pr a a a p ( r ) = r r n cu: Pr{ a } è la probabltà assocata al sbolo a ; p r ( r ) è la denstà d probabltà assocata al vettore r ; p ( a ) a r r è la denstà d probabltà assocata al vettore r noto che l sbolo trasesso è a. Se sbol sono equprobabl, la (IV..) s rduce alla: aˆ = arg ax pr ( r a ) (IV..3) { a } a poché, essendo p r ( r ) postva ed ndpendente da a, non ntervene nella deternazone del asso. Dscende dalla (IV..3) che la decsone sul sbolo un sottonsee che: R del sottospazo a è fatta se r è contenuto n S essendo R defnto dall nsee de punt r tal (IV..4) r R se pr a ( r a) = arg ax { pr a ( r a) } a Cò equvale a defnre una partzone { R R R },,, del sottospazo S n sottonse dsgunt tal che R = S con R R = = ( ) ogn sottonsee R contene l solo eleento s della costellazone de segnal, per odo che se r è contenuto n R l rcevtore prende la decsone a favore del sbolo a Le regon così defnte costtuscono le regon d decsone. r applcare la regola d decsone forulata dalla (IV..3) o (IV..4) occorre conoscere le denstà d probabltà condzonate p r a (r a ). enendo conto della (IV..), s deduce edataente: (IV..5) p ( r a ) = p ( r s ) r a n essendo p n (r s ) la denstà d probabltà vettore n valutata n corrspondenza del valore r s.

4 G. aola: Lezon d Councazon lettrche Se l ruore n(t) è gaussano, le quanttà ν, defnte dalla (IV..7), n quanto ottenute da n(t) edante operazon lnear, presentano una dstrbuzone congunta gaussana per caratterzzare la quale occorre defnre l valore edo statstco delle varabl casual ν e gl eleent della atrce d correlazone. Se n(t) è caratterzzato da un valore edo nullo e da una denstà spettrale par a s ha: ν = n() t u () t dt = (IV..6) { } { } e n( t ) n( t ) u ( t ) u ( t ) dt dt n( t ) n( t ) u ( t ) u ( t ) dt dt (IV..7) { νν } = { } = { } che, essendo n( t) n( t) = δ( t t) (IV..8) { } dventa (IV..9) { } νν = δt t u t u t dt dt = u t u t dt = ( = ) ( ) ( ) ( ) () () ( ) dato che le funzon d base costtuscono un nsee d funzon orto-noral. Le quanttà ν e ν sono pertanto ncorrelate e, n quanto gaussane, statstcaente ndpendent. Poché la loro varanza vale s può scrvere: (IV..) p ( ) ( ) exp n n = pn ν k = νk k = k = ( ) e d conseguenza la funzone p(r a ), data dalla (IV..5), dventa: (IV..) p( r a ) exp ( s ) = ρk k k = ( ) Se dat sono equprobabl, la regone d decsone R defnta dall nsee de punt le cu coordnate ρ (,,, ) soddsfano la seguente condzone: (IV..) = che può essere rscrtta nella fora: (IV..3) Osservando che la quanttà: exp ( ρk sk) = ax exp ( ρk sk) k= ( ) k= ( ρk sk) = n ( ρk sk) k= ( ) k= (IV..4) d ( ) = ρk sk k = rappresenta l quadrato della dstanza eucldea tra l vettore rcevuto r e la segnalazone s, dalla (IV..4) s deduce che l rcevtore decde a favore del sbolo a se la dstanza d fra l segnale rcevuto r e la corrspondente segnalazone s è la na fra le dstanze d valutate sepre da r con le ranent segnalazon s corrspondent a sbol a ( ). In altr tern: (IV..5) a = arg n d

5 Cap. IV - La rvelazone n presenza d ruore IV.. - Struttura del rcevtore otto. La regola d decsone otta, forulata nel precedente paragrafo, suggersce una struttura del rcevtore otto coe è quella rportata n Fg. IV. nel caso d sbol e- quprobabl. S nota dalla Fg. IV. che tale struttura è basata sulla operazone d correlazone fra l segnale n ngresso r(t ) e le funzon d base u (t). Poché queste ulte sono dpendent dalle fore d segnalazone s (t), le funzon u (t) sono note al rcevtore se è possble rcostrure esattaente segnal s (t). Un tale tpo d rcevtore è chaato rcevtore coerente. u () t rt () u () t ρ ρ Calcola d Scegl l no st ˆ( ) = s() t u ( t ) ρ Fg. IV. Struttura I del rcevtore otto. Utlzzo delle funzon d base. Svluppando la (IV..4) s deduce: (IV..) = ρk ρ k k + k k= k= k= d s s S not che la quanttà kρ k s k rappresenta l prodotto scalare fra l segnale r e la segnalazone s. Dal oento che r è la proezone ortogonale d r nel sottospazo S, tale prodotto scalare concde con (r, s ) e coè: (IV..) ρ = k = ksk rts () () tdt ssendo noltre: (IV..3) sk = s () t dt = k = la regola d decsone (IV..5) dventa: (IV..4) aˆ = a rts () () ax () () tdt = rts tdt Dalla (IV..4) s deduce la struttura del rcevtore otto rportata n Fg. IV.3, dove le correlazon sono stavolta effettuate tra l segnale rcevuto e le fore d onda d segnalazone. Dal confronto fra le Fg. IV. e IV.3 s evnce che la struttura rportata n Fg. IV. rsulta pù seplce d quella d Fg. IV.3 dato che è. el caso n cu è =, le due strutture sono equvalent perché contengono lo stesso nuero d correlator.

6 - 5 - G. aola: Lezon d Councazon lettrche s () t s () t rt () Scegl l no st ˆ( ) = s() t s () t Fg. IV.3 Struttura II del rcevtore otto. Utlzzo delle fore d segnalazone Il segnale n uscta dal generco ntegratore vale: (IV..5) zk = r() t sk() t dt che ponendo (IV..6) h () t = s ( t) dventa: (IV..7) k z = r() t h ( t) dt k che può essere nterpretata coe l valore del segnale n uscta dal fltro d rsposta pulsva (IV..6) quando la suo ngresso è applcato l segnale rt (), all stante. Lo schea d Fg. IV. può pertanto essere realzzato coe ostrato n Fg. IV.4 e coè sulla base s () t de fltr adattat alle fore d segnalazone { } k k =. h () t Cap. () rt h () t Cap. Calcola d Scegl l asso st ˆ( ) = s () t h ( t ) Cap. Fg. IV.4 Struttura III del rcevtore otto. Utlzzo de fltr adattat. IV.3 - Segnalazone bnara. el caso d segnalazone bnara sano s (t) e s (t) le fore d segnalazone assocate a sbol d = e d = rspettvaente suppost equprobabl. al fore d segnalazone possono essere rappresentate n un sottospazo a due denson S ndvduato da una base ortonorale (u, u ) coe è ostrato n Fg. IV.5.

7 Cap. IV - La rvelazone n presenza d ruore r valutare la probabltà d errore s prenda n esae la trasssone del sbolo d =. S coette errore quando la dstanza tra r e s è nore d quella tra r e s. S può qund scrvere: (IV.3.) P Poché rsulta: (IV.3.) { r s r s d } { s n s s n s } { n n s s } { n n s s } = Pr > = = Pr ( + ) > ( + ) = e = Pr > ( ) = Pr ( ) > [ ] [ ] n n ( s s ) = n n n ( s s ) n ( s s ) = = nn nn n ( s s) ( s s) n + ( s s) ( s s) = = n ( s s ) + ( s s ) n ( s s ) ( s s ) = = ( s s ) n s s r u la (IV.3.) s può scrvere: (IV.3.3) P { Pr ( ) } e = s s n > s s d s d u s Fg. IV.5 Segnalazone bnara (IV.3.5) D altra parte è facle rconoscere che la quanttà x = ( s s ) n, n quanto cobnazone lneare d varabl aleatore gaussane, è anch essa una varable aleatora gaussana d valore edo: x = ( s s ) n = (IV.3.4) { } { } e varanza: { } { } { } x = ( s s ) n n ( s s ) = ( s s ) n n ( s s ) = ( s s ) I ( s s ) = s s D = = dove s è ndcato con (IV.3.6) D = s s la dstanza eucldea fra le due segnalazon. Rsulta allora: (IV.3.7) La probabltà d errore P e vale dunque: (IV.3.8) che s può porre nella fora: (IV.3.9) e px ( x) = e D x D x P p D ( x ) dx e = = dx D x D D P e D = Q Pochè rsulta, per setra, P e = P e, è: D (IV.3.) = Q ella segnalazone bnara la probabltà d errore dpende dalla dstanza eucldea fra le due segnalazon.

8 - 5 - G. aola: Lezon d Councazon lettrche IV.4 - Sste d odulazone bnar. Le consderazon svolte al paragrafo precedente sono qu applcate a sste d odulazone bnar presentat al Cap. III. In quel che segue s suppone che sbol sano e- quprobabl. IV.4. - odulazon ASK e PSK. el caso d odulazone ASK o PSK le fore d segnalazone, corrspondent a sbol d = e d =, sono date dalla: (IV.4.) V V s s u Fg. IV 6 Costellazone de segnal e regon d decsone per segnalazone ASK o PSK bnara. t ( ) t ( ) s( t) = Vrect cos( ft+ϕ) s( t) = Vrect cos( ft+ϕ) che, co è noto, possono essere rappresentate nel sottospazo S ad una densone, generato dalla funzone d base: t (IV.4.) ut ( ) (IV.4.4) ( ) = rect cos( ft+ϕ ) da vettor: (IV.4.3) s = V s = V u e la costellazone de segnal s presenta coe è ostrato n Fg. IV.6. La regola d decsone è: dˆ = ρ= r( t) u( t) dt> dˆ = ρ= r( t) u( t) dt< che, rcordando la (IV.4.) dvene: dˆ = r( t)cos( f t+ϕ ) dt > (IV.4.5) dˆ = r( t)cos( f t+ϕ ) dt< che dà luogo allo schea del rcevtore ostrato n Fg. IV.7. ssendo (IV.4.6) D = V la dstanza fra le due segnalazon, la probabltà d errore, data dalla (IV.3.), vale: V (IV.4.7) = Q Introducendo l energa eda per sbolo cos( ft+ϕ) () () V (IV.4.8) = s t dt+ s t dt = la P e può essere rscrtta nella fora: (IV.4.9) = Q r(t) ( )dt ρ u Decsone ρ> d = d = ρ< Fg. IV.7 Struttura del rcevtore otto per segnalazon ASK o PSK bnare.

9 Cap. IV - La rvelazone n presenza d ruore IV.5. - odulazone FSK. Le fore d onda d segnalazone, corrspondent a sbol d = e d =, sono: t s( t) = V rect ( ) cos[ ( f Δ f) t +ϕ] (IV.4.) t s( t) = V rect ( ) cos[ ( f +Δ f) t +ϕ] che appartengono ad un sottospazo S a due denson che può essere ndvduato dalle funzon d base (IV.4.) cos[ ( f Δ f) t+ϕ] t ( ) t ( ) u( t) = rect cos[ ( f Δ f) t +ϕ] u( t) = rect cos[ ( f +Δ f) t +ϕ] che, coe è stato precsato n precedenza, costtuscono un rferento ortonorale se rsulta Δf = k. In tal condzon, la rappresentazone vettorale de segnal s (t) e s (t) è data dalla (ved Fg. IV.8): s = V (IV.4.) s = V u u el caso d sbol equprobabl, la decsone è presa se l punto r appartene ad uno de due sepan R e R separat dalla pra bsettrce. In partcolare: dˆ = ρ >ρ (IV.4.3) dˆ = ρ <ρ u V R d V R Fg. IV.8 Costellazone de segnal e regon d decsone per segnalazone FSK bnara. d r u dove ρ = rtu () () tdt e ρ = rtu () () tdt denotano le coponent del segnale rcevuto lungo le drezon ndvduate da vettor d base u e u rspettvaente. ( )dt r(t) + ( )dt ρ ρ Decsone ρ >ρ d = d ρ <ρ = cos[ ( f +Δ f) t+ϕ] Fg. IV.9 Struttura del rcevtore otto per segnalazone FSK bnara. Rcordando le (IV.4.) le precedent s possono scrvere: (IV.4.4) od anche dˆ = r( t)cos[ ( f +Δ f) t+ϕ ] dt> r( t)cos[ ( f Δ f) t+ϕ] dt dˆ = r( t)cos[ ( f +Δ f) t+ϕ ] dt< r( t)cos[ ( f Δ f) t+ϕ] dt

10 G. aola: Lezon d Councazon lettrche (IV.4.5) dˆ = r( t)cos[ ( f +Δ f) t+ϕ] dt r( t)cos[ ( f Δ f) t+ϕ ] dt > dˆ = r( t)cos[ ( f +Δ f) t+ϕ] dt r( t)cos[ ( f Δ f) t+ϕ ] dt < che danno luogo allo schea del rcevtore ostrato n Fg. IV.9. Poché la dstanza eucldea fra le due segnalazon vale D = V la probabltà d errore dventa: V (IV.4.6) = Q P e ASKo PSK FSK [ db ] Fg. IV. - Probabltà d errore n funzone del rapporto segnale ruore / per sste d odulazone bnar ASK (PSK) e FSK. L energa eda per sbolo vale: (IV.4.7) e qund la probabltà d errore è: (IV.4.8) V = = Q In Fg. IV. sono rportat gl andaent della probabltà d errore n funzone del rapporto segnale ruore / per sste d odulazone bnar fn qu analzzat. IV.5 - Sste d odulazone -ar. IV.5. - Sste d odulazone ASK -ar. egl sche d odulazone ASK -ar le fore d segnalazone sono t (IV.5.) s ( t) = V a rect cos( f t+ϕ ) ( =,, ) con (IV.5.) a = ( + ) ( =,, ) sse appartengono ad un sottospazo onodensonale S perché possono essere rappresentate dall unca funzone d base:

11 t (IV.5.3) ut ( ) Cap. IV - La rvelazone n presenza d ruore ( ) = rect cos( ft+ϕ ) La rappresentazone vettorale è data da vettor: (IV.5.4) s = Va u e la costellazone de segnal Va Va Va è rappresentata n Fg. IV.. R R R u Usando la stessa procedura Fg. IV. Costellazone de segnal e regon d decsone per segnalazone ASK -ara. d quella adoperata per la valutazone della probabltà d errore nella segnalazone ASK -ara n banda base, è facle verfcare che la probabltà d errore per sbolo può essere espressa dalla: (IV.5.5) V = Q L energa eda assocata alle fore d segnalazone è: V V (IV.5.6) = { a} = 3 per cu la (IV.5.5) dvene: 6 (IV.5.7) = Q ( ) P e = [ db ] Fg. IV. Probabltà d errore per sbolo per segnalazon ASK -are n funzone del rapporto segnale ruore /. In Fg.IV. sono rappresentat gl andaent del rapporto segnale ruore / per dvers valor del paraetro. Se l sstea d odulazone è adoperato per la trasssone d nforazone bnara, allora, ad ogn gruppo d sbol bnar s può assocare uno fra = lvell dstnt. Inoltre se s suppone che l rapporto / sa abbastanza elevato è lecto consderare trascurable la probabltà che ogn errore coesso dal rcevtore corrsponde alla rve-

12 G. aola: Lezon d Councazon lettrche lazone d un sbolo non adacente a quello trasesso. In queste crcostanze, se s adotta la codfca d Gray, la probabltà d errore per bt è data dalla 6 (IV.5.8) Pb = = Q log ( ) IV.5. - Sste d odulazone PSK -ar. egl sche d odulazone PSK -ar, le fore d segnalazone sono: t ( ) rect cos s t = V f t+ +ϕ (IV.5.9) ( ) ( ) con =,,, che sono rappresentate nel sottospazo bdensonale ndvduato dalle due funzon d base (IV.5.) t ( ) t ( ) u ( t) = rect cos( f t+ϕ) u ( t) = rect sn( f t+ϕ) Con rferento alla Fg. IV.3 è evdente che sotto l potes che sbol vengano eess con eguale probabltà, l rcevtore decde a favore d quel sbolo a cu corrsponde la fase ϑ = che è la pù vcna all angolo forato dal vettore rcevuto r. Dett pertanto ρ e ρ le coponent del vettore r lungo versor u e u rspettvaente, la sta ϑ ˆ della fase ϑ può essere effettuata valutando la quanttà: (IV.5.) ϑ = arg( r ) e attrbuendo a ϑ ˆ quel valore, fra le fas possbl, che s trova pù vcno a ϑ. Cò dà luogo allo schea del rcevtore ostrato n Fg. IV.4. u() t ρ ρ Calcola ϑ u ϑ + ϑ r ϑ Fg. IV.3 Regola d decsone per odulazon PSK -are. ( ) { } ϑ= n ϑ ϑ ut () Fg. IV.4 - Rcevtore otto per odulazon PSK -are. ϑ ˆ ϑ=ϑ u r deternare la probabltà d errore basta far rferento alla probabltà d corretta decsone. Se l sbolo nvato è ϑ la rvelazone è corretta se ϑ è contenuto nell ntervallo ( ϑ,ϑ + ) per cu è ϑ + (IV.5.) Pc = p( ) d ϑ ϑ ϑ ϑ = dove con p( ϑϑ ) s è denotata la denstà d probabltà d ϑ noto che sa l sbolo ϑ trasesso. enendo nfne conto che, per la setra del sstea, la p( ϑϑ ) non dpende dal partcolare sbolo trasesso, la precedente può scrvers coe segue: (IV.5.3) P = p( ϑ ϑ ) d ϑ c

13 Cap. IV - La rvelazone n presenza d ruore r valutare la p( ϑ ϑ ) basta osservare che, essendo ϑ =, le coponent ρ e ρ del vettore r valgono: V (IV.5.4) ρ = +ν ρ =ν Se n(t) è un ruore gaussano e banco e (u,u ) costtusce un rferento ortonorale, le quanttà ν e ν sono varabl aleatore gaussane ed ndpendent caratterzzate da un valore edo nullo e da varanze egual e par a /. Rsulta: Introducendo la seguente trasforazone d varabl: ρ =ρcos ϑ (IV.5.6) ρ =ρ sn ϑ la precedente può essere rscrtta n tern d ρ e ϑ coe segue: (IV.5.5) ( ) p( ρ, ρ ϑ ) = exp ρ V +ρ ρ (IV.5.7) p( ρϑ, ϑ ) = exp ( ρ + V ρv cosϑ ) D altra parte s ha: (IV.5.8) V ( ) ( ) V ( V cos ) sn V V cos V cos cos ρ + ρ ϑ= ρ ϑ + ϑ = = ρ ϑ + ϑ coscché la (IV.5.7) assue la fora: ρ sn ϑ ρ (IV.5.9) p( ρϑ, ϑ ) = e exp cosϑ V essendo = l energa eda d segnalazone. Dalla (IV.5.9) è possble rcavare la denstà d probabltà della fase ϑ ntegrando rspetto a ρ : sn ϑ x (IV.5.) p( ϑ ϑ ) = e xexp cosϑ dx che, con alcun passagg, può essere posta nella fora: e (IV.5.) ( ) cos cos ϑ erf p ϑ ϑ = + ϑ e cos + ϑ p( ϑϑ ) l cu andaento n funzone del paraetro è db = Fg. IV.5 - p( ϑ ϑ ) n funzone d ϑ e per dvers valor d /. ϑ ostrato n Fg. IV.5). La probabltà d corretta decsone vale: (IV.5.) P = p( ϑ ϑ ) d ϑ c e la corrspondente probabltà d errore per sbolo: (IV.5.3) P = p( ϑ ϑ ) d ϑ e È da osservare che la (IV.5.3) non può essere rsolta n fora chusa, tranne quando

14 G. aola: Lezon d Councazon lettrche non sa = e = 4. Gl andaent della P e n funzone del rapporto segnale ruore ottenut per ntegrazone nuerca della (IV.5.), sono rportat n Fg. IV.6 per alcun valor del nuero de lvell. Dalla fgura s rleva che, per un assegnato valore della probabltà d errore, l rapporto segnale ruore auenta al crescere del nuero de lvell o, che è lo stesso, auentando, occorre 3 4 = pegnare una pù elevata potenza per ottenere le stesse prestazon n tern d -4-4 [ db ] 5 8 probabltà d errore. -PSK n funzone d / per alcun valor d. el caso che tale segnalazone è pegata per la trasssone d nforazone bnara, s può deternare la probabltà d errore per bt, nell potes che, n presenza d codfca d Gray, l rapporto segnale ruore sa suffcenteente elevato. S ottene: (IV.5.4) b = log IV Sste d odulazone FSK -ar. el caso d odulazone FSK -ara le fore d segnalazone sono: t (IV.5.5) s( t) = Vcos[ ( f +Δ f) t+ϕ ]rect ( ) n cu le quanttà: (IV.5.6) Δ f = [ ( + ) ] Δ f ( =,,, ) ( =,,, ) rappresentano valor della devazone d frequenza assocat a segnal s (t). Se s rferscono le fore d segnalazone, defnte dalle (IV.5.5), al sstea d funzon ortonoral (se è Δf = k ) t (IV.5.7) ( ) u ( t ) = rect cos[ ( f +Δ f ) t +ϕ ] ( =,,, ) rsulta: (IV.5.8) s = V u Se sbol sono equprobabl, è presa una decsone a favore della segnalazone s se, detto r l vettore rcevuto, rsulta: d( r, s ) = n d( r, s ) (IV.5.9) { } P e Fg. IV.6 - Probabltà d errore per segnalazon Poché è: (IV.5.3) con (IV.5.3) d ( r, s ) = r ( r, s ) + s = V s ndpendente da, la condzone (IV.5.9) s traduce nella:

15 Cap. IV - La rvelazone n presenza d ruore (IV.5.3) ( r, s ) = ax {( r, s )} la quale, rcordando che è: (IV.5.33) z ( r, s ) = r( t) s ( t) dt r( t) conduce allo schea del rvelatore rportato n Fg. IV.7. r valutare la probabltà d corretta decsone s consder l caso n cu sa s la segnalazone trasessa. Il vettore rcevuto vale qund: (IV.5.34) r = s+ n = V u+ n Il rcevtore effettua la decsone sulla base delle varabl z defnte dalle (IV.5.33), o equvalenteente sulle base delle varabl w, ad esse proporzonal, defnte dalle: (IV.5.35) = () () = +ν w r t u t dt V w = r() t u () t dt =ν = (,3,, ) dove le coponent del ruore ν = ( n, u ) sono varabl aleatore gaussane, ndpendent a eda nulla e varanza. D conseguenza le denstà d probabltà del pro or- dne assocate alle w valgono: (IV.5.36) s ( t) s () t s () t ( ) pw ( w ) = exp w V p ( w ) = exp w ( =,, ) w Poché la condzone (IV.5.3) è espressa dalla: (IV.5.37) w < w, w3 < w,, w < w la probabltà d corretta decsone vale: P = Pr w < w, w < w,, w < w (IV.5.38) { } ca 3 che s può porre nella fora: P = Pr w < w, w < w,, w < w w p ( w ) dw (IV.5.39) ca { } 3 w dove s è ntrodotta la probabltà dell evento condzonato { w w, w3 w,, w w w} Poché gl event { w w w} Fg. IV.7 - Schea del rcevtore otto per segnalazon - FSK. < < <. < sono ndpendent, la probabltà dell evento condzonato, che copare nell ntegrando della (IV.5.39), è data dal prodotto delle probabltà argnal: (IV.5.4) Pr { } Scegl l asso w w w < w w = e dw Ponendo nella precedente: (IV.5.4) x = w y = z z z aˆ = a w ( =,3,, )

16 - 6 - G. aola: Lezon d Councazon lettrche s ottene: w y y (IV.5.4) Pr { w < w w} = e dy = e dy = Q( x) x La probabltà d corretta decsone, essendo sbol equprobabl, vale: V (IV.5.43) Pc = Q( x) exp x dx e qund la probabltà d errore: V (IV.5.44) = Q( x) exp x dx Poché n tale tpo d odulazone gl puls d segnalazone presentano la stessa e- V nerga che vale =, la probabltà d errore può essere rscrtta nella fora: { } (IV.5.45) e = ( ) exp ( ) P Q x x dx l cu andaento è rportato nel dagraa d Fg. IV.8 per alcun valor del nuero de lvell. Se la segnalazone FSK -ara è adoperata per la trasssone d un P e flusso dat bnaro, ad ogn sbolo = -aro corrsponde una sequenza d = log sbol bnar. Poché nella [ db ] Fg. IV.8 probabltà d errore per segnalazon -FSK n funzone d / odulazone FSK -ara sbol -ar sono rappresentat da punt poszonat alla stessa dstanza eucldea, se sbol -ar sono equprobabl, coettere un errore sul sbolo trasesso equvale a rvelare un qualsas altro sbolo adacente; la probabltà che un sbolo, dverso da quello trasesso, sa rvelato, vale P /( ). e S supponga adesso che, per un dato errore sul sbolo trasesso, c sano k sbol bnar errat; poché c sono n k od dstnt con cu cò s verfca, l nuero edo d sbol bnar errat per ogn sbolo -aro errato è ( ): ( ) Dalla forula d ewton df ( x) ( + x) = x che cal- dx colata n x = fornsce k = k k k = f ( x) ( + x) = x dscende k = k k k k k =

17 Cap. IV - La rvelazone n presenza d ruore (IV.5.46) k = k = k coscché, essendo sbol -ar equprobabl, la probabltà d errore per bt s ottene dvdendo per la precedente. S ha così: (IV.5.47) Pb = ( ) IV.6 - Sste d odulazone QA. La struttura del rcevtore s presenta coe è ostrato n Fg. IV.9. All uscta degl ntegrator s ottengono le coponent ρ e ρ secondo le drezon ndvduate da vettor u e u rspettvaente e, se sbol sono equprobabl, è presa una decsone sul sbolo trasesso secondo la regola (IV.6.) d( r, s ) = n { d( r, s )} dove r() t p f e u () t ut () ρ ρ Calcola l no d (, ) d r s Fg. IV.9 Struttura del rcevtore QA ( ) ŝ P e 3 Poché le coponent n fase e n quadratura del segnale QA rcevuto sono ndpendent, è edato renders conto che la probabltà d corretta decsone per sbolo può essere espressa dalla: (IV.6.) P = ( p )( p ) c f q p q rappresentano le probabltà d errore de segnal che costtuscono le coponent n fase e n quadratura. Ltandoc a consderare solo segnalazon QA la cu costellazone è costtuta da un gratcco quadrato, s ha tenendo conto della (IV.5.8): V V (IV.6.3) pf = Q pq = Q per cu la probabltà d errore è: P = P = p + p p p = e c f q f q (IV.6.4) V V = 4 Q 4 Q V che per elevat valor del rapporto può = 8 6 essere approssata dalla: V (IV.6.5) = 4 Q Se sbol sono equprobabl, l energa eda assocata alle fore d segnalazone è: V (IV.6.6) = n a + b = V n 3 = = [ db ] Fg. IV. Probabltà d errore per sbolo n funzone d / per odulazone QA. 8 3

18 - 6 - G. aola: Lezon d Councazon lettrche che sosttuta nella (IV.6.5) fornsce: 3 (IV.6.7) = 4 erfc per cu la probabltà d errore n funzone dell energa eda per sbolo (v. Fg. IV.). IV.7 - Lt della probabltà d errore per sbolo. on sepre è possble ottenere espresson n fora chusa della probabltà d errore per sbolo P e ; n quest cas può essere olto utle dedurre de lt superore ed nferore. IV.7. Lte superore Un lte superore può essere dedotto osservando che se s trasette l segnale s s verfca un errore tutte le volte che esste una segnalazone s con tale che l segnale rcevuto r dsta da s eno d quanto esso dst da s. Se pertanto denota l evento: = r : d( r, s ) < d( r, s ) s (IV.7.) { } la probabltà d errore è espressa dalla: (IV.7.) ( s ) = Pr = ( ) Osservando che la probabltà dell unone d event è superorente ltata dalla soa delle probabltà assocate a sngol event, dalla (IV.7.) s deduce: (IV.7.3) ( s ) Pr{ } s s 3 u s s 3 u s a) u u = ( ) La probabltà d errore ncondzonata è allora ltata dalla: (IV.7.4) P Pr{ } = = ( ) essendo P la probabltà assocata alla segnalazone s. Se sbol sono equprobabl la precedente s rduce alla: s s b) s c) u u s 3 Fg. IV.- Lte superore per la probabltà d errore per sbolo. (IV.7.5) Pr{ } = = ( ) La (IV.7.3) è llustrata n Fg. IV. nel caso d segnalazone ternara. Supponendo d nvare la segnalazone s la probabltà d errore ( s ) è uguale alla probabltà che l vettore rcevuto r appartenga alla regone obreggata d Fg. IV. a), entre le probabltà assocate agl event e sono date dalle probabltà che r sa

19 Cap. IV - La rvelazone n presenza d ruore contenuto nelle regon obreggate d Fg. IV. b) e c) rspettvaente. D altra parte è facle renders conto che la probabltà Pr{ } che copare nella (IV.7.5) rappresenta la probabltà d errore d un sstea d trasssone che usa le segnalazon s e s per trasettere due essagg equprobabl. ssa vale: (IV.7.6) Pr{ } = = ( ) D = Q essendo D la dstanza eucldea fra s e s. Sosttuendo tale espressone nella (IV.7.5) s ha: D (IV.7.7) Q Un ulterore seplfcazone della (IV.7.7) può essere ottenuta se s consdera che la funzone copleentare d errore dnusce al crescere del suo argoento. Questo coporta che, se s denota con D l no fra le D : per cu s ottene facl- (IV.7.8) la quanttà ente: (IV.7.9) Q D D = n D ( ) può rteners trascurable rspetto a Q = Q D D dove con s è denotato l nuero d segnalazon che dstano D da s. IV.7. Lte nferore. r dedurre un lte nferore alla probabltà d errore per sbolo basta osservare che se s trasette l sbolo s s coette errore quando l segnale rcevuto r è pù vcno a s (con ) che da s. rtanto se s denota con quello fra gl event che corrsponde a uno de punt della costellazone pù vcn a s, dscende: (IV.7.) e consegue: = ( ) (IV.7.) ( s) Pr{ } e qund la probabltà ncondzonata dventa: (IV.7.) Pr{ } = Anche n questo caso è facle renders conto che la probabltà Pr{ } che copare nella (IV.7.) rappresenta la probabltà che l segnale rcevuto quando è trasesso l sbolo s s trova pù vcno a quel sbolo che presenta da s la na dstanza. ssa, rcordando la defnzone (IV.7.8) è data dalla: D (IV.7.3) Pr{ } = Q

20 G. aola: Lezon d Councazon lettrche S ha allora: (IV.7.4) = Q D IV odulazone PSK -ara. el caso d odulazone PSK -ara, dalla (IV.7.9), tenendo presente che è (IV. Fg. IV.) (IV.7.5) D = V sn( ) e (IV.7.6) = Rsulta: (IV.7.7) V Q sn Fg. IV. - odulazone PSK D altra parte per (IV.7.4) s ha: (IV.7.8) V Q sn e d conseguenza: (IV.7.9) V V Q sn Q sn V Poché = è l energa eda delle fore d segnalazone, la precedente dvene: (IV.7.) Q sn Q sn IV.7. - odulazone FSK -ara. el caso d odulazone FSK -ara, con segnalazon ortogonal le dstanze D sono tutte egual e par a V = ndpendente da, per cu la (IV.8.9) dvene: (IV.7.) V ( ) Q D altra parte dalla (IV.7.4) dscende: (IV.7.) V Q e qund vale la seguente ltazone: (IV.7.3) V V Q ( ) Q V Poché = è l energa eda delle fore d segnalazone, la precedente dvene: (IV.7.4) Q ( ) Q