con B diretto lungo l asse x e v nel piano (x,y). La forza è:

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1 Problea 8. Un protone ( =.67-7 Kg) entra n un capo agnetco d ntenstà =.6 T con veloctà v orentata con angolo d 3 rspetto al capo agnetco; l protone subsce una forza F = N. ) Indcare drezone e verso della forza ) Calcolare l odulo della veloctà 3) Calcolare l energa cnetca Assuao un rferento cartesano, F ẑ ŷ v o 3 v F qsn ˆ con dretto lungo l asse e v nel pano (,y). a forza è: F qv qvsn o zˆ o 9 C T o sn 3 s N 4 k v s Kg J 8.3 ev 5

2 Problea 8. Una partcella a (carca q=e, assa = Kg) attraversa con veloctà d odulo v = 55 /s un capo agnetco d ntenstà =.45 T; veloctà e capo agnetco forano un angolo d 5. ) Modulo, drezone e verso della forza d orentz ) Calcolare l accelerazone dovuta alla forza 3) Coe vara l odulo della veloctà nel capo agnetco? F ẑ ŷ v o 5 F ˆ 3. a 9 C F Assuao un rferento cartesano, con dretto lungo l asse e v nel pano (,y). a forza è: F qv qvsn 55.45T s 7.6 N Kg sn 9.3 5o zˆ o N Il odulo della veloctà non vara a causa della forza d orentz 8 s

3 Problea 8.3 Un elettrone attraversa un capo agnetco F ẑ F v ŷ v e 6 s ˆ 3 v 6 s yˆ ssendo date le coponent, convene calcolare la forza dalla forula generale del prodotto vettore: ˆ v yˆ v y y zˆ.3tˆ.5tyˆ ) Calcolare odulo, drezone e verso della forza d orentz ) calcolare la forza n caso d un protone s 6 v v zˆ.39 T zˆ a drezone della forza è perpendcolare alla pagna con verso entrante. Nel caso d un protone al posto dell elettrone, caba l segno della carca, per cu la forza è uguale n odulo e drezone a l verso è entrante nella pagna v v zˆ.6 C.39 Tzˆ.64 Nzˆ y ˆ y y y s

4 Problea 8.4 Un capo elettrco ed un capo agnetco agscono su un elettrone n oto; le due forze s annullano recprocaente. Calcolare la veloctà na dell elettrone copatble con la condzone d forza totale nulla. ŷ F v F ˆ kv.5 ;. 4T a forza agnetca è perpendcolare alla veloctà; la forza elettrca deve avere stessa drezone e verso opposto. a condzone d forza totale nulla è: v vsna yˆ a veloctà na che soddsfa l annullaento della forza è per sn(a)=, per cu: v.5kv.4t s

5 v a Problea 8. Un elettrone fero ( =9. -3 Kg, q = C) è accelerato da una d.d.p. V=35 V, e dopo un tratto entra n un capo agnetco unfore = T, perpendcolare al oto dell elettrone. Calcolare la veloctà dell elettrone ed l raggo della traettora crcolare nella regone del capo agnetco. q Il raggo della traettora nel capo agnetco è: V q Nel tratto l elettrone subsce un accelerazone costante, per cu veloctà e spostaento sono date da: a qv r v q D questa forula c anca la veloctà d ngresso dell elettrone nel capo agnetco. Dobbao calcolare la cneatca dell elettrone nella regone n cu è accelerato dal potenzale elettrco. guaglando le forula d Newton e d Coulob s ha: at t a v at a

6 v Problea 8. Un elettrone fero ( =9. -3 Kg, q = C) è accelerato da una d.d.p. V=35 V, e dopo un tratto entra n un capo agnetco unfore = T, perpendcolare al oto dell elettrone. Calcolare la veloctà dell elettrone ed l raggo della traettora crcolare nella regone del capo agnetco. Nel punto d ngresso al capo agnetco (=): v a qv 9.6 sc35v Kg s r v q Kg. 9 C T 7 s.3 3

7 Problea 8.6 Una partcella (un protone =.67-7 Kg o un elettrone = Kg) entra n una regone d capo agnetco dretto perpendcolarente alla pagna n verso uscente. Il tepo d transto nel capo è d 3 ns; q =.6-9 C. a) Deternare d quale partcella s tratta. b) Deternare l ntenstà del capo a) Dalla regola della ano destra rsulta che la partcella è un protone b) a partcella cope un secerch nella regone del capo, dunque l tepo d transto equvale alla età del perodo. Dal oto crcolare unfore abbao: r v q v r v T r T q T qt 7.67 Kg 9.6 C (3ns).5T

8 Problea 8.6 Una partcella (un protone =.67-7 Kg o un elettrone = Kg) entra n una regone d capo agnetco dretto perpendcolarente alla pagna n verso uscente. Il tepo d transto nel capo è d 3 ns; q =.6-9 C. c) Se l energa cnetca della partcella entrante nel capo vene raddoppata, quale sarà l tepo d percorrenza? Dalla forula dell energa cnetca s vede che raddoppano l energa cnetca, l odulo della veloctà auenta d un fattore ; Ma l rapporto tra raggo e veloctà rane costante, per cu anche l raggo deve auentare della stessa quanttà: k v v' v r T Poché v q r' v' r v q Concludao che l perodo non caba col odulo della veloctà,e dunque non caba neppure l tepo d percorrenza t=3 ns

9 Problea 8. Un flo rettlneo lungo =.8 conduce una corrente = 3 A, e fora un angolo d 35 con la drezone d un capo agnetco unfore d ntenstà =.5 T. Calcolare odulo, drezone, e verso della forza agnetca agente sul flo F ŷ o 35 ẑ In alternatva, dsponendo vettor n una terna d ass cartesan, possao sepre calcolare la forza dalla forula generale del prodotto vettore. Per esepo, prendendo l capo agnetco parallelo ad s ottene: ˆ yˆ zˆ o F zˆ sn(35 ) zˆ y y ˆ Se dsponao e nel pano (,y) la forza è dretta lungo z, nel verso negatvo. In odulo: F F o sn(35 ) 3A.8.5T.57 N

10 Problea 8. Un cavo conduttore orzzontale d una lnea elettrca è percorso da una corrente = 5 A; l capo agnetco terrestre nelle vcnanze della lnea vale = 6 T, ed è nclnato d 7 verso l basso rspetto al flo. S detern drezone, verso, ed ntenstà della forza agnetca che agsce su d cavo F ẑ ŷ o 7 ˆ ˆ Orentao l cavo lungo l asse, ed l capo agnetco nel pano (,y), nclnato d 7 rspetto ad ; la forza è qund orentata verso l asse z negatvo In alternatva s calcolo l prodotto vettore: yˆ y zˆ F sn(7 5A6T N o zˆ sn(7 ) zˆ y o )

11 F F Problea 8. Il flo n fgura è percorso da una corrente d A, e gace n un capo agnetco unfore = 4 T, orentato perpendcolarente alla pagna n verso uscente. Cascuna sezone retta del flo è lunga =, e fora un angolo d 6 con l asse. Calcolare la forza agnetca agente sul flo n notazone vettorale F=(F, F y, F z ) Metodo, anals geoetrca: e forze d orentz su cascun segento d flo gaccono nel pano (,y), sono perpendcolar alla drezone del flo ed orentate coe n fgura. ssendo anche ugual n odulo, è evdente che la loro soa ha solo la coponente lungo l asse y dversa da zero: Modulo: F F Coponent lungo y: Forza totale: F F y F y cos( ) cos( ) yˆ 6N yˆ

12 Problea 8. Metodo, prodotto vettore: F F ˆ yˆ zˆ ˆ F yˆ y y ˆ yˆ zˆ ˆ F yˆ y y y y; cos( ) F cos( ) yˆ 6N yˆ

13 Problea 8.6 In fgura vedao una bobna rettangolare, ncernerata lungo l asse y, con N = spre, lat lungh c e 5 c, percorsa da corrente =. A l cu verso è ndcato n fgura; l pano della bobna fora un angolo d 3 con un capo agnetco =.5 T. Calcolare l oento torcente eserctato dal capo sulla bobna, n notazone vettorale t = (t, t y, t z ) ˆ yˆ zˆ o t yˆ NA yˆ NAcos(3 ) yˆ Dalla regola della ano destra, segue che l versore norale al pano della spra è orentato lungo l asse z negatvo, per cu l oento d dpolo della bobna è: NAnˆ z z z NA zˆ o cos 3 z NA 4 3 t y.a 5.5T J

14 nˆ t An t ˆ. A( r Problea 8.35 Una spra crcolare d raggo r=8 c è percorsa da una corrente =. A, e ersa n un capo agnetco unfore. Il versore perpendcolare al pano della spra ed l capo agnetco sono: ˆ yˆ zˆ t A n n An ˆ An yˆ An zˆ y y z z y ).8.3T y z An. A( r nˆ.6ˆ.8yˆ z Anˆ.5T ˆ.3T a) calcolare l oento torcente eserctato sulla spra, n notazone vettorale t = (t, t y, t z ) ).6.3T y z t An ẑ ŷ.a ( r ).8.5T z y J J J zˆ

15 Problea 8.35 t An t. A( r ).8.3T y z An. A( r ).6.3T y z t An.A ( r ).8.5T z y b) calcolare l energa potenzale agnetca della spra J J J ẑ U. A( r U An y y z z ).6.5T J nˆ ˆ ŷ

16 Problea 9. Un conduttore rettlneo percorso da corrente s dvde n ra secrcolar coe ostrato n fgura. Calcolare l capo agnetco nel centro del cercho. Applchao l prncpo d sovrapposzone, e calcolao separataente l capo generato da 4 eleent d crcuto: tratt rettlne, e secerch che copongono l cercho. I due tratt rettlne danno contrbuto nullo; nfatt per la legge d ot-savart: d ds r 3 4 r Ma nel punto C evdenteente è sepre: ds r

17 Problea 9. Un conduttore rettlneo percorso da corrente s dvde n ra secrcolar coe ostrato n fgura. Calcolare l capo agnetco nel centro del cercho. cordao la forula del capo generato nel centro d curvatura da una arco d angolo sotteso : 4 Chaao sc e sc secerch superore ed nferore. a corrente s dvde n part ugual ne due secerch (essendo dentc), per cu se è l raggo, Il capo generato da cascun secercho è dato da (supponao che l asse z sa perpendcolare alla pagna): sc / ) zˆ; 4 sc ( sc sc ( / ) 4 zˆ

18 d P Problea 9.5 Due fl rettlne parallel dstano d = 8 c, e sono percors da una corrente d uguale ntenstà; a) calcolare ntenstà e verso della corrente necessara a generare un capo agnetco = 3 T n un punto P equdstante tra fl. Per la regola della ano destra, la corrente ne due fl deve scorrere n senso opposto, altrent cap generat da fl sarebbero ugual e dscord ed l capo totale nullo. Ipotzzao qund che le corrent scorrano coe n fgura. Il capo generato da cascun flo n P è perpendcolare alla pagna ed entrante n verso; a dstanza d/ l odulo del capo generato da fl e è dato da: d P ( d / ) d d d 3T 8 7 T A 3A

19 F d P F Problea 9.5 b) calcolare la forza che agsce tra due segent d flo lungh = e ndcare se è attrattva o repulsva T 9 A d A F.5 TA.5 N Quando le corrent sono d verso opposto la forza è repulsva; nfatt entrabe cap agnetc generat da uno de fl ne punt dove gace l altro flo sono perpendcolar ed entrant nella pagna; la forza relatva forza d orentz tende charaente ad allontanare fl. T C C J TA V N s

20 Problea 9.5 Due fl rettlne parallel dstano d = 6 c, e sono percors da corrent concord ed uscent dalla pagna =3.6 A, =3 ; Stablre n quale punto dell asse l capo agnetco totale è nullo. Chaao ed le poszon de due fl lungo ; consderao 3 regon dstnte: > : cap generat da fl sono concord n drezone e verso: y y y ˆ ˆ ) ( ˆ ) ( > : cap generat da fl sono concord n verso: < : cap generat da fl sono concord n verso: y y y ˆ ˆ ˆ

21 Problea 9.5 Due fl rettlne parallel dstano d = 6 c, e sono percors da corrent concord ed uscent dalla pagna =3.6 A, =3 ; Stablre n quale punto dell asse l capo agnetco totale è nullo. > > : cap generat da fl sono dscord: a condzone d annullaento del capo è: y y y ˆ ˆ ˆ c c d d d Possao porre =, - = d-:

22 ,4,3 Problea fl rettlne perpendcolar al pano, dstant a = c, sono percors da uguale corrente = A d verso uscente per fl e 4, entrante nella pagna per e 3. Calcolare n notazone vettorale l capo totale nel centro del quadrato. ssendo corrent e dstanze dal centro ugual per 4 fl, anche odul de cap sono tutt ugual: ; r a / r a drezone de 4 cap è sepre perpendcolare al vettore dstanza dal flo, e dunque parallela alle dagonal del quadrato; l verso è dato dalla regola della ano destra: o cos(45 ) ˆ 3 o cos(45 ) ˆ 4 cos(45 o cos(45 ) yˆ o ) yˆ

23 Problea 9.8,4,3 a coponente del capo totale lungo s annulla; dunque l capo totale è: o 4cos(45 ) yˆ tot a o 4 cos(45 ) yˆ 7 T A 5 8 y ˆ 8 T y ˆ A c

24 4 3 Problea fl rettlne perpendcolar al pano, dstant a = 8.5 c, sono percors da corrent =5 A, tutte d verso uscente. Calcolare n notazone vettorale: a) l capo totale generato da fl,3,4 nel punto del pano su cu gace l flo ; b) a forza con cu l capo generato da,3,4 agsce su un tratto lungo = del flo. d Consderao che: o cos(45 ) a d a 3 I cap generat da,3,4 nel punto sono: d yˆ; a cos(45 o 4 ) ˆ d ˆ a cos(45 o ) yˆ Il capo totale generato da,3,4: 3 ˆ yˆ ˆ 34 a a 4 a yˆ

25 34 F Problea fl rettlne perpendcolar al pano, dstant a = 8.5 c, sono percors da corrent =5 A, tutte d verso uscente. Calcolare n notazone vettorale: a) l capo totale generato da fl,3,4 nel punto del pano su cu gace l flo ; b) a forza con cu l capo generato da,3,4 agsce su un tratto lungo = del flo. F a forza è dretta lungo la dagonale del quadrato, verso l flo 3; n odulo: a 7 4 T5A F. a 8.5 A N

26 Problea fl rettlne perpendcolar al pano, dstant a = 4 c, sono percors da corrent = 7 A, d cu e 4 d verso uscente, e 3 d verso entrante nella pagna. Calcolare n notazone vettorale: a) Calcolare n coordnate cartesane l capo totale generato da fl,,3 nel punto del pano su cu gace l flo 4 ˆ ˆ 3 y a a cos(45 d o ) ˆ cos(45 d o ) yˆ 3 d a Il capo totale generato da fl,,3 è: ˆ ˆ a a 3 ˆ yˆ 4 a 4 a 3 y

27 Problea 9.7 3, T 7A 4 a A 4c T F 4 3 3, y 3 T 7A 4 a A 4c T b) Calcolare le coponent cartesane della forza d orentz eserctata dal capo generato da fl,,3 su un tratto lungo = del flo 4. ˆ yˆ zˆ ˆ y F yˆ 4 3 3, 3, 3, 3, y 5 5 F4 7A.5 T.5 N 5 5 F4 y 7A.5 T 3.5 N

28 serczo Consderao un flo rettlneo n cu scorre corrente = 3 A e una spra rettangolare percorsa da una corrente = A; sa a = c, b = 8 c, = 3 c. ) Dsegnare con frecce n fgura le forze agent su 4 lat della spra Il capo generato dal flo su un punto qualunque della spra è perpendcolare ed entrante nella pagna; n un qualsas punto dstante r dal flo l suo odulo è dato da: r e forze su lat della spra sono drette coe n fgura: su lat vertcal sono ugual n odulo ed opposte n verso, per cu la loro rsultante sulla spra è nulla; le forze su lat orzzontal sono opposte n verso a dverse n odulo, poché lat hanno dstanze dverse dal flo. C sarà qund una forza rsultante n drezone delle y postve

29 F F serczo ) Calcolare n coponent cartesane la rsultante delle forze che agsce sulla spra. Sano e lat orzzontal della spra; le forze agent su due lat sono: ˆ F ˆ y y a ˆ F ˆ y y ( a b) Dunque, la forza rsultante è: F a a yˆ a b 7 T 3c 6 A 8 4 yˆ 3 N yˆ c A 9

30 serczo b a b X X ŷ 3 ŷ 3 X 4 a ˆ ˆ Consderao tre fl conduttor perpendcolar alla pagna con corrent = 3 A, = A, 3 = 5 A, l cu verso è ndcato n fgura; sa a = 3 c, b = c. a) Calcolare le coponent del capo agnetco generato da 3 fl nell orgne del rferento. b) Consderao un quarto flo, percorso da corrente 4 = 3 A, posto nell orgne. Calcolare le coponent della forza che agsce su una sezone = d questo flo c) Della stessa forza, calcolare l angolo che la forza fora con l asse. a a

31 b a 4 X X ŷ 3 F a a 4 ˆ serczo yˆ; a yˆ; a 3 ˆ b a 3 y ˆ 3 b ˆ 7 ( T/ A) 5A.5 T 4 c 7 ( T/ A) 5A T 4 y 3c ˆ yˆ zˆ F y 4 3 F4 3A T 6 N 4 3 F4 y 3A.5 T 9 N y ˆ yˆ 4 a arctan F F 4 y o

32 Problea 9. In fgura è ostrata la sezone d un lungo conduttore clndrco d raggo a = c, n cu scorre una corrente unfore =7 A. Calcolare l odulo del capo agnetco generato dal clndro ne punt: r=, r= c, r= c, r=4 c. Dalla legge d Apére applcata ad una crconferenza d raggo r nterna al clndro s ha: ds (r ) nt ( r) a r r Ove nt è la corrente nterna al clndro d raggo r; poché la corrente è unfore n tutto l clndro, la denstà d corrente J è costante: J a nt J r a r Per un raggo r esterno al clndro: ds nt ( r ) ( r) r

33 Problea 9. In fgura è ostrata la sezone d un lungo conduttore clndrco d raggo a = c, n cu scorre una corrente unfore =7 A. Calcolare l odulo del capo agnetco generato dal clndro ne punt: r=, r= c, r= c, r=4 c. r r a ( r) a r r a ( r) r r c 7 ( T/ A) 7A T 4 4 r c 7 4 T r 4c 7 ( T/ A) 7A T 4

34 Problea 3. Consderao una spra ersa n un capo agnetco unfore, perpendcolare ed uscente dal foglo. Il flusso agnetco vara nel tepo secondo la legge F = (6t +7t) Wb; a) Calcolare l ntenstà della f.e.. nella spra all stante t= s. b) Deternare l verso della corrente che scorre attraverso df dt Wb s 3 (t 7) 3 V Il capo agnetco è uscente dalla pagna, e la sua varazone nel tepo è postva: dunque d è uscente dalla pagna; dalla legge d enz segue che la rsposta della corrente ndotta deve essere generare un capo ndotto perpendcolare entrante nella pagna, dunque la corrente ndotta percorre la spra n senso oraro.

35 Problea 3.3 Una spra crcolare d raggo r = c è ersa n un capo agnetco unfore perpendcolare ed uscente dalla pagna; l capo vara nel tepo coe ostrato n fgura; s calcol la f.e.. ed l verso della corrente ndotta nella spra ne 4 ntervall: a) t < s b) s < t < 4 s c) 4 s < t < 6 s d) t > 6 s a) lneare crescente nel tepo: a corrente ndotta scorre n verso oraro b) e d) costante nel tepo: df d.5t (.) T A r. 3V dt dt s 4s df T c) lneare decrescente nel tepo: d.5 A r. 3V dt dt s a corrente ndotta scorre n verso antoraro

36 ( t) ct c ; t t t n ˆ F.6V 5.3 n 3 A Problea 3.5 d A; A 8.4c 4 Una bobna d raggo r=.8 c è forata da N= avvolgent, con resstenza coplessva =5.3 ; la bobna crconda un solenode coassale avente n= spre/c, percorso da corrente =.5 A, d daetro d=3. c; la corrente nel solenode vene dnuta con progressone costante fno a dventare nulla dopo un tepo t=5 s. Calcolare odulo e verso della corrente ndotta nella bobna. è dverso da zero solo all nterno del solenode, per cu A è l area della sezone del solenode. 7 ( T/ A) A. V df 4 N Nn A 6 3 dt t 5 s a corrente nel solenode decresce col tepo, per cu la corrente ndotta nella bobna ha lo stesso verso, n odo da copensarne la rduzone.

37 Problea 3. Una pccola spra d area A= è nserta all nterno d un solenode, con l asse concdente con quello del solenode; l solenode ha n= spre/c, e corrente = sn(t), con rad/s, ed = A; l verso d è ndcato n fgura; calcolare l apezza assa della f.e.. ndotta nella spra. ˆ n ˆ n sn( F A da t) ˆ A df n A cos( t) cos( t) dt ( T / A) A n A 5. s 6 V

38 Problea 3.7 Consderao una spra quadrata d lato a = parzalente ersa n un capo agnetco unfore, perpendcolare uscente dalla pagna. a spra contene una battera con f.e.. uguale a V. Il capo agnetco vara nel tepo secondo la legge = (.4.87t)T. a) Calcolare la f.e.. totale del crcuto b) Calcolare la drezone della corrente totale a df a d 4 T F ;.87.74V dt dt s Poché decresce nel tepo, la f.e.. ndotta genera una corrente che copensa questa rduzone, dunque d verso antoraro; la f.e.. è anch essa antorara. tot bat. 74 V

39 l verso d è ndcato n fgura Problea 5 Una spra (n rosso) con resstenza = 5 e raggo r=4 c s trova all nterno d un solenode deale (n gallo); spra e solenode sono coassal (sa l asse coune a due conduttor); l solenode ha n=5 spre/c e raggo r =6 c; nel solenode scorre una corrente s alternata snusodale s = cos(t), con rad/s, ed = A. ) Calcolare l capo agnetco generato dal solenode agl stant t=s; t= 6s, t= s ) Calcolare l ntenstà della corrente ndotta n nella spra agl stant t=s; t= 6s, t= s; ndcare per cascun stante se vers d n ed s sono concord o dscord. t s : t 6 s : a) t s : t s : t 6 s : b) t s : n n n concorde con s dscorde con s

40 n s t s : 4 cos(4) T 6.6T t 6 s : 4 cos() T.4T Problea 5 t s : 4 cos() T 4.6T n n cos t n 4 ( T / A) A 4 T df r n sn t n sn t dt r 7 64 c ( T / A) 5 4Asn( t) 5 c s n 3.53 sn( ) t A t s : 3 3 n.53 sn(4) A.5 A t 6 s : 3 3 n.53 sn() A.9 A t s : 3 3 n.53 sn() A.35 A T A s

41 Problea 5 t s ds s sn(4) dt t 6s ds s sn() dt t s ds s sn() dt n concorde con s n dscorde con s t=s: è dretto verso le negatve e s n senso opposto ad ; la dervata postva d s sgnfca che sta DIMINUNDO n valore assoluto; nella spra s genera una corrente che copensa questa dnuzone, dretta nel verso d s e opposto ad t=6s: è dretto verso le postve e s n senso concorde ad ; la dervata postva d s sgnfca che sta AUMNTANDO n valore assoluto; nella spra s genera una corrente che copensa questo auento, dretta n verso opposto ad s e t=s: è dretto verso le negatve e s n senso opposto ad ; la dervata negatva d s sgnfca che sta AUMNTANDO n valore assoluto; nella spra s genera una corrente dretta n verso opposto ad s e concorde con

42 Problea 3.3 Un generatore d corrente alternata è coposto da una bobna rettangolare con N= spre, d lat a = 5 c e b = 3 c, ersa n un capo agnetco unfore d ntenstà =3.5 T, perpendcolare uscente dalla pagna; nzalente l sstea è n equlbro, col capo agnetco parallelo alla norale del pano della spra. a spra vene po essa n rotazone attorno all asse orzzontale con frequenza n = gr al nuto. Calcolare la assa f.e.. ndotta nella bobna. Durante la rotazone, l flusso agnetco attraverso l area della bobna è dato da: F A da Una rotazone con veloctà angolare costante plca che: Acos() t n t F Acos( t)

43 Problea 3.3 Calcolao la f.e.. ndotta nella bobna a causa della varazone del flusso concatenato: df N Nab sn( t) sn( t) dt Dunque l apezza assa della f.e.. ndotta è: Nab.5 3.5T 5.5kV 6 s Notao che la f.e.. assa s ha per sn()=, ovvero quando = /, ovvero quando la norale al pano della spra ed l capo agnetco sono perpendcolar

44 Problea 3.5 Consderao spre parallele coassal, d cu una olto pù pccola dell altra, coscché l capo generato dalla spra grande possa essere consderato unfore n tutt punt dell area della pccola; le due spre sono a dstanza >> ; supponao d allontanare le due spre con veloctà v costante, n odo che var lnearente nel tepo ( = vt). a) Deternare l flusso attraverso la spra pccola n funzone d b) Calcolare la f.e.. ed l verso della corrente ndotta nella spra pccola df dt c v 3 d dt Nelle potes date possao approssare l capo generato dalla spra grande coe l capo d un dpolo agnetco lungo l asse: ( ) ; A ˆ 3 t 3 3c t 3 v v t r 3 Poché le spre s allontanano, l flusso agnetco dnusce, per cu la corrente ndotta nella spra pccola ha lo stesso verso della corrente nella grande F A da r c 4 r v

45 Problea 3. Consderao una spra rettangolare d lat a =. c e b =.8 c e resstenza =.4, posta vcno ad un lungo flo conduttore n cu scorre una corrente = 4.7 A; r =.5b; a) Calcolare l ntenstà del flusso agnetco attraverso la spra b) Calcolare la corrente ndotta nella spra quando questa s allontana dal flo con veloctà v= 3. /s ŷ Per un area rettangolare: da ˆ l capo generato dal flo è perpendcolare entrante nella pagna; poché l flo gace lungo l asse y=, l odulo del capo è: d dy ( y) y Il flusso d attraverso la spra è: F da y da

46 Problea 3. ŷ / a rb r b/ F d dy a ln rb/ y r b / ˆ Per r =.5b: F ln ( / ) a 7 T A A 8 Wb Per r che auenta con veloctà v costante: d F d cvb c dt dt r b/ r b/ r ( b / ) lnr b/ lnr b/ cv a corrente ndotta nella spra è qund: Per r =.5b: 5 n A n vab ( r b / )

47 Problea 3. Calcolare la potenza terca dsspata n 5 c d flo d rae, d daetro d =, ersa n un capo agnetco unfore che auenta nel tepo d T/s. a resstvtà del rae è.69-8 / l r 5c A d 4.78 df dt r d dt l T 4 s T 6 s 4 V Calcolao la resstenza dalla resstvtà del rae: l A.69 4 V P A A 4 V W

48 Problea 3. In fgura vedao una spra d raggo a = 6 c, concentrca e coassale con un solenode d raggo b = c con n = 8 spre/; a corrente nel solenode vara nel tepo coe rportato nel grafco; l energa terca dsspata nella spra vara nel tepo coe ostrato nel grafco. Calcolare la resstenza della spra. Possao calcolare la f.e.. ndotta nella spra, e dalla dervata dell energa terca, la potenza dsspata nella spra; da queste po s rcava faclente la resstenza n F A; A 4 c a corrente cresce lnearente nel tepo, con una dervata uguale a.5 A/s d dt A.5 s A s dth 8nJ P 4nW dt s

49 Problea 3. In fgura vedao una spra d raggo a = 6 c, concentrca e coassale con un solenode d raggo b = c con n = 8 spre/; a corrente nel solenode vara nel tepo coe rportato nel grafco; l energa terca dsspata nella spra vara nel tepo coe ostrato nel grafco. Calcolare la resstenza della spra. df dt ( T/ A) 8.5A 5.63 V d 4 ) n A dt s ( P.63 4nW V 3

50 Problea 3.3 S consder una bobna d raggo r = 3 c, con N= 3 spre; perpendcolarente al pano della bobna v è un capo agnetco esterno unfore =.6 T; a) Calcolare l flusso concatenato con la bobna. b) Se faccao crcolare una corrente uguale ad = 3.8 A, ottenao che l flusso agnetco totale attraverso la bobna s annulla; calcolare l nduttanza della bobna Il flusso concatenato dovuto al capo esterno è: r. Wb NF N 45 nduttanza è l rapporto tra flusso agnetco generato dall nduttore e corrente nell nduttore; se per la corrente data l flusso s annulla, sgnfca che l flusso generato dalla bobna è uguale e contraro a quello esterno; dunque deve essere: NF.45Wb. 64H 3.8A

51 Problea 3.3 Consderao una bobna con N= 4 spre, e nduttanza = 8 H; calcolare l flusso agnetco attraverso la bobna quando nella bobna scorre una corrente d 5 A. NF 8 7 F N H 5A 4 Wb

52 Problea 3.34 Consderao un nduttanza n cu f.e.. e corrente sono orentate coe n fgura. a) a corrente sta auentando o dnuendo? b) a f.e.. è d 7 V e la corrente vara d 5 ka/s; calcolare l nduttanza a f.e.. è orentata n odo tale da generare una corrente concorde con, copensando così l decreento d ; dunque decresce. d 7Vs. 68H dt ( d / dt) 5kA

53 Problea 3.36 a corrente che scorre n un nduttanza d = 4.6 H vara nel tepo coe ostrato n fgura. nduttanza ha una resstenza =. Calcolare la f.e.. ndotta negl ntervall: a) < t < s b) s < t < 5 s c) 5 s < t < 6 s < t < s d 7A dt s A s d dt 3 A 4.6H s 4 V s < t < 5 s d A.66 3 dt 3s A s 3 A 4.6H s 3 V 5 s < t < 6 s d 5A 5 3 dt s A s 3 A 4.6H 5.3 s 4 V

54 Problea 6 Consderao l crcuto n fgura con battere, resstenze e un nduttanza: c V 5V 4H a) Calcolare, nell stante nzale d chusura del crcuto, la corrente che attraversa la resstenze, la corrente 3 che attraversa la resstenza 3, la corrente che attraversa la battera. b) Nello stesso stante calcolare V (d.d.p. a cap della resstenza ), V 3 (d.d.p. a cap della resstenza 3 ), V (d.d.p. a cap dell nduttanza). Nello stesso stante calcolare l energa agnetca U agazznata nell nduttore. c) calcolare le corrent 3 nel lte d tepo lungo. d) Indcare con frecce n fgura l verso delle corrent 3 calcolate nel lte d tepo lungo e) calcolare potenzal e l energa dell nduttore nel lte d tepo lungo f) Nel lte d tepo lungo, calcolare la potenza P, P erogata dalle battere,. g) Nel lte d tepo lungo, calcolare P, P 3 dsspata sulle resstenze, 3

55 3 3 c Problea 6: soluzone V 5V 4H 5 3 Ipotzzao un verso per le corrent, e applchao la legge d Krchoff alle agle superore e nferore: V; V A 5 V d dt a).5a 3. 5A ) V V3 5V V 5V U b Nel rege stazonaro V =, per cu: All stante nzale V copensa la tensone della battera, coscché è nulla: Inoltre 3 e V 3 restano nvarate poché la tensone tra a e c è fssata dalla battera c A.5A. 5A ) 3 e V 5V V 5V V U J ) 3

56 Problea 6: soluzone V 5V 4H 5 3 Potenza erogata dalle battere a rege: f ) P W; P.5W N: l verso d è opposto alla polartà della battera, dunque la battera sta assorbendo energa (ovvero s rcarca) g P V 5W; P V. 5W ) Notao che la potenza totale dsspata a rege sulle resstenze ed 3 è P = 5 W+.5 W=7.5 W; per la conservazone dell energa questa deve essere uguale alla potenza erogata dalle battere, ed nfatt.5 = 7.5 W

57 Problea 3.37 Due nduttanze e sono collegate n sere. Dostrare che l nduttanza equvalente è la soa delle sngole nduttanze. a d.d.p. a cap della sere è ovvaente la soa elle due d.d.p. a cap delle sngole nduttanze; dunque: d d d V V eq dt dt dt V

58 Problea 3.38 Due nduttanze e sono collegate n parallelo. Calcolare l nduttanza equvalente. a d.d.p. a cap d cascuna nduttanza è ovvaente la stessa, entre la corrente è dversa, per cu: d d V dt dt d dt V ; d dt V d dt d d d dt dt V dt eq

59 Problea 3.39 Sa = 3 H, = 5 H, 3 = H, 4 = 5 H; calcolare l nduttanza equvalente del crcuto eq 3 4

60 quazon general delle 3 agle: 3 / 3 ( t) 3, e t t ; 3, ; t,3 Problea 3.4 Consderao l crcuto n fgura, con: 3 V 3 H Calcolare: a) e subto dopo la chusura del crcuto b) e nel rege stazonaro c) e subto dopo la rapertura del crcuto d) e olto dopo la rapertura del crcuto d3 d3 3; ; 33 ; 33 dt dt Dopo vare sosttuzon s rcava una sngola equazon per la corrente 3 : ~ d 3 3,3 ; ; dt ~ ~,3,3 V t 3 e 3 ~ t /t

61 3 Problea 3.4 Consderao l crcuto n fgura, con: 3 V 3 H Calcolare: a) e subto dopo la chusura del crcuto b) e nel rege stazonaro Subto dopo la chusura, è un crcuto aperto: V ; A

62 Problea 3.4 Consderao l crcuto n fgura, con: 3 V 3 H Calcolare: a) e subto dopo la chusura del crcuto b) e nel rege stazonaro Nel rege stazonaro è un crcuto chuso: 3 3 ; 3 5 V A A. 7A. 8A 3

63 3 Problea 3.4 Consderao l crcuto n fgura, con: 3 V 3 H Calcolare: a) e subto dopo la chusura del crcuto b) e nel rege stazonaro c) e subto dopo la rapertura del crcuto d) e olto dopo la rapertura del crcuto Subto dopo l apertura = ed s estnguerebbe edataente sulla resstenza se non fosse che 3 attraversando l nduttore, rceve un contrbuto copensatvo tale da generare un decadento esponenzale. In partcolare all stante nzale 3 è esattaente uguale al suo valore stazonaro; per la legge d contnutà della corrente nella agla deve qund esserc la stessa corrente attraverso ; dunque: ; ().8A;. 8A 3 3 3

64 3 Problea 3.4 Consderao l crcuto n fgura, con: 3 V 3 H Calcolare: a) e subto dopo la chusura del crcuto b) e nel rege stazonaro c) e subto dopo la rapertura del crcuto d) e olto dopo la rapertura del crcuto In seguto, corrente e potenzale a cap dell nduttanza proseguranno verso l estnzone con andaento esponenzale: 3 ( t) 3() e t /t v ( t) 3 ()( 3 ) e t /t Per tep lungh rspetto alla costante d tepo caratterstca: ; 3 ;

65 Problea 3.44 Consderao l crcuto n fgura, con una battera che fornsce una f.e.. varable nel tepo che genera una corrente nel crcuto varable nel tepo d fora nota. Calcolare la f.e.. della battera n funzone del tepo ( 35t) A; 4 6H Applcando Krchoff: d dt Poché la corrente cresce, l potenzale dell nduttanza deve oppors al verso della battera. A ( 3 5t) A4 6H 5 ( t) V 3V (4 s t) V

66 Problea 3.48 Consderao l crcuto n fgura, con V; H a) Calcolare l energa fornta dalla battera durante pr s b) Deternare quanta d questa energa è agazznata nell nduttanza e quanta dsspata nella resstenza. Per questo crcuto seplce la corrente a rege è l rapporto tra f.e.. della battera e resstenza: d dt t /t ( t) e t. 8s a potenza stantanea erogata dalla battera è: t /t P( t) ( t) e Poché questa per defnzone è la dervata dell energa erogata rspetto al tepo, per passare dalla potenza all energa è necessaro ntegrare: ( t) t ' t '/ t t / t e dt t t e

67 Problea 3.48 Dopo un tepo t= s l energa erogata è qund: Consderao l crcuto n fgura, con V; H a) Calcolare l energa fornta dalla battera durante pr s b) Deternare quanta d questa energa è agazznata nell nduttanza e quanta dsspata nella resstenza. V t / t /.8 t t e s.8s e 8. J energa agazznata nell nduttanza è: t / t e 5. J U( t) ( t) a dfferenza delle due dà l energa dsspata sulla resstenza: U( t) g ( t) ( t) 3. 57J

68 a Problea 3.65 Consderao l crcuto n fgura, con V; 5 ; 5H b Dunque, nel pro rao scorre una corrente costante: a) Nel caso d crcuto appena chuso, calcolare,, S (corrente attraverso l nterruttore), V, V, d /dt. b) calcolare le stesse quanttà nel tepo lungo a battera applca una tensone parallela tra punt a e b a due ra resstv del crcuto; le equazon de due ra sono: d ; dt Il secondo rao è una sngola agla con nduttanza, la cu soluzone è nota: / ( t), e t t, ; t d dt t e ; V ( t ) e /t t / t

69 a Problea 3.65 V; 5 ; 5H a) Nel caso d crcuto appena chuso, calcolare,, S (corrente attraverso l nterruttore), V, V, d /dt. b) calcolare le stesse quanttà nel tepo lungo b sultat: a) A; ; S A V V V d dt V 5H A s b) A; A; S 3A d V V V dt

70 In chusura d crcuto (forule general) s ( t) s, e t /t a rege è un cortocrcuto, per cu Problea 3.9 Consderao l crcuto n fgura, con 4V; k k; 5H a) Deternare la corrente S che scorre attraverso l nterruttore e la dervata d s /dt edataente dopo la chusura del crcuto. b) Deternare S e d s /dt all stante t = 3 μs. c) Deternare S e d s /dt olto tepo dopo la chusura del crcuto d dt s( t) s, t / t t s, V V () e A t= l nduttanza deve fornre una d.d.p. che s, V () t copensa esattaente la d.d.p. della battera: t s ( t) e e t /t d dt s( t) t / t e t / t t s, e t / t

71 Problea 3.9 t sultat: : ( t) s ; dt 4V; k k; 5H s ( t) 4V 5H e t /t d s 3.8 A s ds dt e t / t 5H k; t 5s k t 3s : s 8 3/5 e. A d s 3 dt 3 A 3/5.8 e.44 s A s t : s 4V k 4 3 A d dt s