Controllo decentralizzato

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1 Controllo decentralzzato Prof. Carlo Ross DEIS Probleatche d controllo decentralzzato La teora classca del controllo ultvarables basa su un approcco centralzzato È dsponble un odello copleto dell panto Il controllore ha accesso a tutte le sure dsponbl sull panto L algorto d controllo costtusce un corpo unco che s assue eseguto su una unca rsorsa coputazonale Sste a larga scala dffclente possono essere analzzat con un approcco centralzzato Modello coplessvo d elevate denson, dffcle da gestre Tecnche d controllo portano a controllor d denson elevate È dffcle e costoso portare tutte le sure de sensor n un unco punto d elaborazone Grand proble d affdabltà: un guasto su un sngolo eleento s rpercuote su tutto l sstea Probleatche d controllo decentralzzato Il trend è verso soluzon che cobnno: Controllor separat, possblente nteragent Archtetture d calcolo dstrbute Una strutturazone gerarchca del sstea d controllo Necesstà d struent d anals e sntes che tengano conto della natura dstrbuta del sstea Modellazone e seplfcazone Tecnche d anals Tecnche d sntes 1

2 Modellazone e seplfcazone de odell Usuale nel progetto de sste d controllo utlzzare de odell seplfcat, eno accurat a d pù facle utlzzo Rduzone dell onere coputazonale d sulazone Controllor d struttura seplfcata e d pù facle gestone Ipleentazone Calbrazone Manutenzone Tecnche per la seplfcazone d odell dnac Metod basat su aggregazone Metod basat su perturbazone d odell pù seplc Le due etodologe sono correlate Metod d aggregazone Un odello S2 è l aggregazone d un odello S1 se S1 e S2 sono due odell ateatc consstent dello stesso sstea S2 utlzza un nuero d varabl nferore a quello d S1 Le varabl d S2 sono defnte varabl aggregate S supponga S1: xt () = Axt () + But () S2: zt ( ) = Fzt () + Gut () S2 è un odello aggregato dnacaente esatto se zt () = Cxt () Verfcato se e solo se FC = CA G= CB Metod d aggregazone Lo stato z(t) è una cobnazone lneare d alcun od d x(t) Gl autovalor d F sono gl autovalor d A corrspondent a od conservat E una generalzzazone del concetto d od donant La atrce C non è lbera Interpretando z(t) coe uscta del sstea S1, s ha Zs ( ) = HsUs ( ) ( ) H() s = CsI ( A) B= ( si F) G 1 S1 e S2 corrspondono a due dverse realzzazon dello stesso sstea Dato che S1 ha un stato d densone superore, devono esstere delle cancellazon polo/zero ndotte dalla scelta della atrce C Lo stato z(t) potrebbe non corrspondere a varabl d edata nterpretazone (fsche) 2

3 Metod d aggregazone Oltre al vncolo d esattezza dnaca, s rchede noralente che lo stato z(t) appross (n anera odale) l uscta del sstea S1 zt () t () = Hxt () La qualtà della approssazone dpende dalla scelta d C Molt etod dvers Ogn odo d S1 preservato n S2 deve essere presente nella stessa proporzone n cu lo è n (t) Stessa rsposta d rege al gradno untaro per z(t) e (t) In generale, nzzare una qualche sura della dfferenza z(t) (t) Nel caso alle varabl z(t) sa dato un sgnfcato fsco, nel sstea aggregato è possble che sano present accoppaent non fsc Per evtare accoppaent non fsc, è necessaro porre a pror una struttura nel sstea aggregato Può essere n contrasto con altr crter, per esepo con lo shapng de od Metod d aggregazone Nel caso d sste su larga scala, l utlzzo d odell aggregat è utle perché Perette d effettuare pù seplceente sulazon Perette d dervare controllor pù seplc Se le varabl z(t) sono d nteresse e rappresentano grandezze fsche, possono essere calcolate esattaente con l odello S2 Nel caso la loro sura non sa accessble, possono essere der vat stator d ordne rdotto Controllor basat su retroazone d z(t) antengono le loro propretà struttural I od del sstea non antenut n S2 saranno ecctat, a non nfluenzando z(t) non possono ndurre nstabltà Metod d aggregazone Se le varabl z(t) sono una approssazone delle uscte del sstea e S2 vene utlzzato per sntetzzare un controllore n retroazone dalle uscte Mod non rappresentat n S2 a present n (t) possono nteragre con gl anell d retroazone e portare alla nstabltà Se s trascurano od con dnaca elevata s possono avere proble se l controllore ha una banda larga che coprende tal dnache Il tepo d caponaento è troppo elevato 3

4 Utl quando un sstea può essere approssato con un altro d struttura pù seplce Sono sostanzalente una tecnca d aggregazone approssata Mateatcaente, la dfferenza nelle rsposte tra l sstea orgnale e la sua approssazone è vsta coe una perturbazone applcata al secondo Due class separate Accoppaento debole Sstea approssato dato da sottosste non nteragent Tern d nterazone pccol Perturbazon sngolar È un etodo d approssazone che s basa essenzalente sulla separazone delle dnache d un sstea, trascurando n anera opportuna quelle veloc Accoppaento debole La struttura tpca del sstea è data da 1() t A11 ε A12 x1() t B1 0 u1() t = + () t ε A A x () t 0 B u () t Per ε = 0 s hanno due sste dsaccoppat La sulazone e l progetto del controllo sono seplfcat dal fatto che s consderano due (o pù) proble ndpendent La struttura del controllore che s ottene è decentralzzata Il problea fondaentale è quantfcare l approssazone ed l degrado delle prestazon ntrodotte dall accoppaento Perturbazon sngolar La perturbazone è presente sul terne a snstra nell equazon e dfferenzale, la sngolartà porta ad una rduzone dell ordne del sstea approssato La fora tpca è data da () t = A x () t + A x () t slow ε () t = A x () t + A x () t fast con ε paraetro postvo pccolo e A 22 stable Iponendo ε = 0s ottene ( ) () t = A A A A x() t x () t = A A x () t Se l sstea approssato è stable, allora esste un valore ε 0 tale che l sstea orgnaro è stable per ogn ε 0, ε0 [ ] 4

5 È d nuovo un etodo d aggregazone approssato Una parte degl autovalor del sstea orgnaro sono approssat da quell della atrce A11 A12 A22 A21 Gl altr autovalor sono approssat da quell della atrce A22 ε I second, veloc, sono trascurat nel etodo delle perturbazon sngolar La presenza d dverse scale teporal n un sstea, nduce una struttura gerarchca (a lvell) S consder l caso d fltraggo applcato al sstea () t = A x () t + A x () t + A x () t + ξ () t ε () t = A x () t + A x () t + A x () t + ξ () t ε () t = A x () t + A x () t + A x () t + ξ () t con uscte 2() t = C21x1() t + C2 x2() t + θ2() t 3() t = C31x1() t + C3 x3() t + θ3() t Il sstea approssato (lento) è dato da ( ) ( ) ξ ( ) ξ = A A A A A A A x + ξ A ξ A ξ = C C A A x A + θ = C C A A x A + θ Sa ˆx 1 la sta otta d x 1 per l sstea approssato. Dato che la dnaca d x 1 è lenta, nel costrure la sta d x 2 e x 3 s può pensare che x 1 sa costante ed utlzzare l valore stato ˆx 1 S ottengono le ste ˆ x2= A22A211 xˆ + ηˆ 2 εηˆ ˆ ˆ ˆ 2 = A22η2+ K 2 C2η2 + C211 x 2 ˆ x3 = A33A311 xˆ + ηˆ 3 εηˆ ˆ ˆ ˆ 3= A33η3+ K 3 C3η3+ C311 x 3 Struttura gerarchca del fltro, anche senza struttura specfca del sstea (dal punto d vsta delle nterconnesson) Le ste tendono alle ste otte quando ε tende a 0 Rdotto carco coputazonale e d progetto Il fltro 1 può essere pleentato anche con tep d caponaento pù alt Sstea 2 3 ˆx 1 Fltro2 Fltro Fltro 1 ˆx 1 5

6 Archtetture d controllo dstrbuto Controllo centralzzato Soluzone otta per prestazon Poco flessble, dffcoltà essa a punto, dffcle gestone delle saturazon e delle non-lneartà, non pleentable per sste d grand denson * 1 u 1 1 * C u P Archtetture d controllo dstrbuto Controllo decentralzzato Seplce, sfrutta la struttura del plant; ogn controllore lavora n anera ndpendente: aggore robustezza a guast; facltà d essa n opera, essa a punto, anutenzone; affdabltà, robustezza, scalabltà, costo Può non arrvare alle prestazon otte; non va bene per tutt plant: bsogna esplorare la struttura e sfruttarla a peno * 1 C 1 u 1 1 * C u P Archtetture d controllo dstrbuto Controllo decentralzzato con councazone tra controllor Unsce vantagg del controllo centralzzato e decentralzzato Va strutturato per non rchedere prestazon eccessve al sstea d councazone 1 u 1 C 1 2 C 2 u2 C u 6

7 Controllo decentralzzato Due proble dstnt nel progetto Scelta della struttura e accoppaento ngresso uscta: parng Progetto de sngol controllor Problea del parng Da un punto d vsta forale può essere olto coplesso Il nuero de possbl parng è dato da! Un approcco a forza bruta non è perseguble Esstono etod per verfcare che un approcco decentralzzato sa perseguble Esstono condzon per stablre se un sstea è controllable con un parng assegnato: od fss decentralzzat Mod fss decentralzzat Sstea descrtto da Retroazone statca dall uscta decentralzzata S defnsce = 1 = Ax+ Bu = Cx F = 1 Zer d α ( λ) sono od fss decentralzzat, non possono essere odfcat dalla retroazone Sstea controllable se non ha od fss decentralzzat, e stablzzable se od fss decentralzzat sono stabl A A BFC F1, F = + α( λ ) = cd λi A F Calcolo de od fss decentralzzat Devono essere un sottonsee de od (autovalor) d A Scelta casuale delle atrc F : con probabltà 1, gl autovalor d A F sono od fss Rpetere per vare scelte casual d F Attenzone: se anche l sstea rsulta controllable, l parng potrebbe portare a prestazon olto povere La condzone d controllabltà non dscrna tra controllabltà buona o debole Pù effcace sceglere l parng n base ad altre consderazon e verfcare che per quel parng l sstea sa controllable Rferent bblografc Surve of decentralzed control ethods for large scale sstes, IEEE Transacton on autoatc control, Aprle 1978 On the stablzaton of decentralzed control sstes, IEEE Transacton on autoatc control, Ottobre 1973 Control of lnear sste through specfed nput channels, SIAM Journal of Control, Gennao

8 Parng basato su accoppaento debole Una delle possbltà eurstche per la scelta del parng è quella d valutare l enttà degl accoppaent Sstea n fora d atrce d trasferento 1 u1 g11() s g () s 1 = Gs () Gs () = u g 1( s) g () s Sstea dagonalzzato g () 11 s 0 Gs ( ) = 0 g () s Sstea errore Ls () = Gs ( ) G( s) G ( s) ( ) 1 Enttà dell accoppaento dalla nora della atrce L(s) Sste stabl: controllo ntegrale Nella stragrande aggoranza de cas s ha a che fare con sste stabl n anello aperto regolazone con errore nullo su tutte le uscte: terne ntegrale 1 Ks () = Cs () Cs () = dagc ( ( s)) s C(s) stable e C(0) non sngolare tunng del sstea [ ] stabltà non condzonata quando l controllore (globale) vene oltplcato per un guadagno scalare: ε 0,1 { } controllabltà con ntegrtà quando sngol controllor possono venre attvat separataente: fattore scalare per ogn controllore ε 0,1 stabltà non condzonata decentralzzata quando s può ntrodurre un fattore d tunng separato per ogn controllore ε 0,1 [ ] Controllo ntegrale decentralzzato Rsultat nteressant ndpendent dal parng Il sstea è stablzzable anche con stabltà non condzonata con controllore K(s) se e solo se la atrce G(0) è non sngolare: l sstea non deve avere zer d trasssone nell orgne Condzone necessara per ottenere stabltà non condzonata decentralzzata è l esstenza d una atrce F dagonale postva tale che + + T G (0) F + FG (0) > 0 + G (0) = G(0) SG SG = dag( sgng ( 11),, sgng ( )) problea pù coplesso d quello che può apparre 8

9 Controllo ntegrale decentralzzato Rsultat nteressant dpendent dal parng Condzone suffcente per ottenere stabltà non condzonata decentralzzata è che rsult ρ ( L(0) ) < 1 dove l raggo spettrale d una atrce è par al asso odulo degl autovalor della atrce stessa Rferent bblografc Achevable closed- loop propertes of sstes under decentralzed control: condtons nvolvng the stead -state gan, IEEE Transacton on autoatc control, Maggo 1994 Controllo parzalente decentralzzato Nel controllo parzalente decentralzzato, è possble scabare nforazone tra controllor attraverso una rete d councazone In lnea d prncpo, l controllo può essere progettato ndpendenteente dall archtettura de sngol nod Nella pleentazone, ogn nodo può avere accesso a tutte le nforazon necessare alla deternazone della legge d controllo Stato del sstea nel caso d legge d retroazone dallo stato Uscte del sstea e stato de controllor nel caso d retroazone dnaca dall uscta In questo caso però non s ottengono vantagg apprezzabl rspetto ad una archtettura centralzzata della legge d controllo Attenzone, cò non sgnfca che non convenga adottare una rete d councazone per portare le nforazon da sensor al controllore e dal controllore agl attuator Soluzone pù nteressante quando sngol controllor hanno dpendenza bassa dagl altr e localzzazone elevata Mnor nuero d nforazon scabate Retroazone dallo stato Nod assocat alle varabl d controllo Legge d controllo r ( j) d xref u = K( xref x) Kj ( j) j = 1 dt r ( j ) T T d xref u = k ( xref x) k j ( j ) j= 1 dt Ogn controllore necessta Dell ntero stato x Dell ntera traettora d rferento Possble seplfcazone dervante da struttura delle atrc d controllo Dpende dalla legge d controllo scelta, vara al varare della legge Scarsa odulartà e scalabltà ( xref,,, ( ) ref xref ) 9

10 Retroazone con osservazone dello stato Retroazone dnaca dall uscta xˆ = Axˆ + Bu + L( ˆ) u = K( x ˆx) ref xˆ = A ˆx+ B u+ L ˆ I nod assocat all osservazone necesstano Dell ntero vettore d stato Dell ntero vettore delle uscte D tutte le varabl d controllo che agscono sulla coponentedello stato osservata nel nodo Possble seplfcazone dalla struttura delle atrc d stato e d dstrbuzone degl ngress,*,*,*( ) Dpende dalla struttura dell panto, aggore odulartà I nod assocat al controllo necesstano Dell ntero vettore d sta dello stato Della traettora copleta d rferento (delle uscte) Osservazone dello stato, nfluenza della struttura Aggregazone de nod eleentar secondo nuero d nterazon In sste con nuero elevato d varabl d stato, esstono grupp d varabl strettaente legate tra d loro, che nteragscono con l resto dello stato attraverso un nuero ltato d coponent Assocando un gruppo d varabl d stato ad un nodo, s defnscono le varabl rlevant per l nodo (stessa varable può coparre n pù nod) x = Tx Ogn nodo vede una evoluzone deternata dalle varabl d ngresso e uscta local e dalle varabl d stato rlevant Le varabl d stato rlevant sono = Ax + Bu A = TAT = H = C x C = HCT Quelle drettaente assocate al nodo: varabl d nteresse Quelle la cu conoscenza è necessara per rcostrure le varab l d stato d nteresse e le varabl d uscta local: varabl d accop paento (d sovrapposzone) Osservazone dello stato, nfluenza della struttura Rferent bblografc A dstrbuted state estaton and control algorth for plantwde Processes, IEEE Transacton on Control Sstes Technolog, Gennao