Dalla dinamica alla normativa sismica

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1 Dalla dnaca alla noratva ssca Sste a pù grad d lbertà: anals statca e anals odale Catana, 1 aprle 2004 Bruno Bond Aurelo Ghers

2 Possbl approcc per valutare la rsposta elastca Anals dnaca, con valutazone della stora della rsposta (stante per stante) Anals odale, per valutare la assa rsposta Anals statca, per valutare n anera approssata la assa rsposta Ordnanza 3274, punto 4.5

3 Anals dnaca equazone del oto L equazone del oto, n tern atrcal, è analoga a quella dell oscllatore seplce u1 () t Mu&& () t + Cu& () t + Ku() t = p() t u() t = M un () t

4 Anals dnaca - oto lbero S consdera un sstea non sorzato e non forzato Mu&& () t + Ku() t = 0 S suppone che la rsposta sa data da una deforata seplce per una funzone del tepo φ n qt () u = φ && = ω () t q() t ; q() t 2q() t φ qt () φ 1 qt () T 2π = ω perodo d oscllazone

5 Anals dnaca fore odal Sosttuendo la rsposta nell equazone del oto c s accorge che la rsposta è data dalla sovrapposzone d pù deforate (fore odal) che oscllano con perod dfferent n u() t = φ q() t = Φ q() t = 1 T 1 T 2 T 3

6 Anals dnaca - fore odal Assegnando una deforata nzale generca Assegnando una partcolare deforata nzale 3 t = t 3 t = 0 t = t 3 t = 0 2 t = t 2 t = t 2 t = t 1 t = t 1 1 la fora vara an ano la fora resta la stessa odo d oscllazone lbera del sstea

7 Mod d oscllazone lbera Telao pano (con travers nestensbl): nuero d od d oscllazone lbera = nuero d pan T 1 T 2 T 3 Pro odo Secondo odo Terzo odo

8 Mod d oscllazone lbera Telao spazale (con palcat ndeforabl nel pano): nuero d od d oscllazone lbera = 3 x nuero d pan Se la panta ha due ass d setra, od d oscllazone lbera sono dsaccoppat: - n od d traslazone n una drezone

9 Mod d oscllazone lbera Telao spazale (con palcat ndeforabl nel pano): nuero d od d oscllazone lbera = 3 x nuero d pan Se la panta ha due ass d setra, od d oscllazone lbera sono dsaccoppat: - n od d traslazone n una drezone - n od d traslazone nell altra drezone

10 Mod d oscllazone lbera Telao spazale (con palcat ndeforabl nel pano): nuero d od d oscllazone lbera = 3 x nuero d pan Se la panta ha due ass d setra, od d oscllazone lbera sono dsaccoppat: - n od d traslazone n una drezone - n od d traslazone nell altra drezone -n od d rotazone

11 Mod d oscllazone lbera Telao spazale (con palcat ndeforabl nel pano): nuero d od d oscllazone lbera = 3 x nuero d pan Se la panta non ha ass d setra, od d oscllazone lbera sono accoppat

12 Mod d oscllazone lbera Telao spazale senza palcat ndeforabl nel pano Il nuero d od d oscllazone lbera concde con l nuero d grad d lbertà del sstea ed è olto aggore

13 Deternazone delle fore odal Le fore odal s deternano coe soluzone d un problea agl autovettor 2 K ω M φ = 0 det 2 K ω M = 0 Da questa s rcavano anche le frequenze ω e qund perod T (autovalor) Le fore odal godono delle seguent propretà 0 T j T 0 φ Mφj = Φ MΦ= I T j T 2 n φ Kφj = Φ KΦ= Ω 1 = j 2 ω = j

14 Equazone del oto lbero Con questa poszone, l equazone del oto dventa Mu&& () t + Ku() t = 0 u() t = Φ q() t qt && + Ω qt =0 2 () () 2 Nella atrce Ω solo tern della dagonale prncpale sono dvers da zero

15 Equazone del oto lbero Il sstea d equazon è qund costtuto da equazon dsaccoppate, cascuna contenente una sola ncognta qt && + ω qt= = K () 2 () 0 1,2,, S può valutare l contrbuto alla rsposta d cascun odo separataente, coe se fosse un oscllatore seplce Può essere utlzzato un nuero d fore odal nferore al nuero n d grad d lbertà del sstea

16 Equazone del oto lbero con sorzaento Con la stessa poszone, l equazone del oto n presenza d sorzaento dventa Mu&& () t + Cu& () t + Ku() t = 0 2 qt &&() + Ξqt &() + Ω qt () =0 In olt cas anche la atrce Ξ è dagonale e le equazon sono dsaccoppate (sste classcaente sorzat) Talvolta, ad esepo quando asse e rgdezze delle dverse part sono olto varabl, cò non avvene (sste non classcaente sorzat)

17 Equazone del oto (rsposta ad un accelerograa) L equazone del oto dventa Mu&& () t + Cu& () t + Ku() t = Mτu&& () t qt && + qt & + qt = M u&& t 2 T () Ξ () Ω () Φ τ g () g Anche n questo caso se la struttura è classcaente sorzata l sstea s scopone n tante equazon separate 2 q&& () t + 2 ξω q& () t + ω q() t = Γ u&& () t g Γ j = n = 1 n = 1 φ φ, j 2, j S not che l accelerazone del terreno è oltplcata per Γ j Coeffcente d partecpazone odale: ndca se l contrbuto del odo al oto totale del sstea è pù, o eno, rlevante

18 Anals odale trate spettro Consste nel valutare separataente la rsposta della struttura vncolata a deforars secondo cascuno de suo od d oscllazone... T S e T Forze sollectazon spostaent

19 Anals odale trate spettro Consste nel valutare separataente la rsposta della struttura vncolata a deforars secondo cascuno de suo od d oscllazone... q&& () t + 2 q& () t + q() t = u&& () t = 1,2, K, 2 ξω ω Γ g Mass spostaent odal e nodal Γ ax ( ) Γ q = q t = S T, = q = S T, ( ξ ) u φ φ e( ξ ),ax 2 e,ax,ax 2 ω ω

20 Anals odale trate spettro Consste nel valutare separataente la rsposta della struttura vncolata a deforars secondo cascuno de suo od d oscllazone e po cobnare ass spostaent (o sollectazon) trovat per sngol od u ax = 1 u,ax I contrbut delle sngole fore odal non possono essere soat perché valor ass non sono conteporane

21 Sta della assa rsposta del sstea I contrbut delle sngole fore odal sono cobnat secondo legg probablstche - Metodo SRSS (radce quadrata della soa de quadrat) u ax = u = 1 2,ax - Metodo CQC (cobnazone quadratca copleta) 2 ax = +,ax j,ax j,ax 1 ρ = = 1j= 1 u u u u

22 Contrbuto de sngol od Il taglo alla base corrspondente al odo j è ) ( *, j e j j b T S V = M dove S e (T j ) è l ordnata spettrale corrspondente al perodo T j M j * è detta assa partecpante = = = φ φ = Γ φ = n j n j j n j j M 1 2, 2 1, 1, * Consderando tutt od, la assa partecpante totale concde con l ntera assa presente nella struttura

23 Contrbuto de sngol od Il pro odo è nettaente predonante per enttà d assa partecpante. Le forze sono tutte dello stesso verso Gl altr od hanno asse partecpant va va nor. Ess danno forze dscord, che producono un effetto nore rspetto alla base In generale, è opportuno consderare tant od da: - raggungere una assa partecpante dell 85% - non trascurare od con assa partecpante superore al 5%

24 Consderazon Negl sche spazal è pù dffcle valutare l portanza de od: - se l coportaento è dsaccoppato, sono ecctat solo que od che danno spostaento nella drezone d azone del ssa - n caso contraro tutt od possono dare contrbuto - se non v è un palcato ndeforable nel suo pano l nuero d od cresce enoreente ed è pù dffcle coglere la rsposta totale della struttura

25 Consderazon Negl sche spazal è pù probable avere od con perod olto vcn tra loro: - n questo caso è opportuno usare la sovrapposzone quadratca copleta (CQC) Una buona postazone progettuale deve rare ad avere una struttura con palcato rgdo e con coportaento dsaccoppato (coè ne rotazon planetrche)

26 Anals statca Consste nel consderare un unco nsee d forze, che rappresentano (n odo seplfcato) l effetto del pro odo F k = k z k = 1 n = 1 n z S e ( T 1 ) F k z Il perodo propro può essere valutato con forule seplfcate T 1 = C1 H 3/ 4 Le forze possono essere rdotte con λ=0.85 se l edfco ha aleno 3 pan e perodo non troppo alto

27 Confronto anals statca odale Edfco con trav eergent = 60 t trave eergente plastr Zona 3 a g = 0.15 g Suolo B Classe d duttltà B

28 Perod, accelerazon spettral, asse partecpant Edfco con trav eergent Modo 1 Modo 2 Modo 3 T s s s S e g g g M*/M 70.1 % 13.7 % 5.1 %

29 Forze statche odal [kn] Edfco con trav eergent odale anals pano odo 1 odo 2 odo 3 statca

30 Tagl statc odal [kn] Edfco con trav eergent pano anals anals dfferenza odale statca %

31 Confronto anals statca - odale Edfco con trav a spessore = 60 t trave a spessore plastr

32 Perod, accelerazon spettral, asse partecpant Edfco con trav a spessore Modo 1 Modo 2 Modo 3 T s s s S e g g g M*/M 70.9 % 11.8 % 5.4 %

33 Forze statche odal [kn] Edfco con trav a spessore odale anals pano odo 1 odo 2 odo 3 statca

34 Tagl statc odal [kn] Edfco con trav a spessore pano anals anals dfferenza odale statca %

35 Anals statca o anals odale? L anals statca fornsce rsultat attendbl purché: - la struttura abba coportaento pano (basse rotazon planetrche) Anals statca Per edfc con fort rotazon, non va bene odo 1 Anals odale odo 2 nvluppo

36 Anals statca o anals odale? L anals statca è cautelatva purché: - la struttura abba coportaento pano (basse rotazon planetrche) - la struttura abba perodo non eccessvaente alto S e2 accelerazone olto bassa, non cautelatva S e1 T 2 T 1

37 Anals statca o anals odale? L anals statca è cautelatva purché: - la struttura abba coportaento pano (basse rotazon planetrche) - la struttura abba perodo non eccessvaente alto - la sta del perodo propro sa affdable L uso del coeffcente rduttvo λ rende rsultat dell anals statca non partcolarente gravos rspetto a quell dell anals odale

38 Anals statca o anals odale? La nora veta l uso dell anals statca se: - l perodo propro supera 2.5 T C - la struttura è rregolare n altezza Coento: nella pra versone la nora parlava d rregolare n panta ; la odfca è stata ntrodotta dall Errata Corrge M sebra olto pù coerente con gl stud teorc l rferento alla rregolartà n panta, presente nella versone orgnale

39 Anals statca o anals odale? Ogg l anals odale è scuraente l etodo prncpale d rferento per l anals strutturale, perché è affdable e ora alla portata d tutt (graze a progra per coputer) L anals statca è però uno struento fondaentale per capre l coportaento fsco della struttura e per valutarne a pror la rsposta (e qund anche per controllare a posteror rsultat dell anals odale)

40 Integrazone dretta delle equazon del oto Deve essere deternata la stora nel tepo degl spostaent del sstea Mu&& () t + Cu& () t + Ku() t = Mτu&& () t g Possono essere utlzzat accelerogra natural o generat artfcalente Gl accelerogra devono essere copatbl con lo spettro d noratva (spettro-copatbl)

41 Rpartzone delle forze ssche fra gl eleent struttural Le forze ssche sono applcate nel barcentro delle asse del pano y x M x y M, M, = ; ym = y M G M x F x M

42 Rpartzone delle forze ssche fra gl eleent struttural Il sstea reagsce con forze applcate nel barcentro delle rgdezze del pano y F r x R kx ky R, R, = ; yr = k k y M G R G M eccentrctà x e = x x ; e = y y x R M y R M F x M

43 Rpartzone delle forze ssche fra gl eleent struttural Le eccentrctà fra barcentr d assa e rgdezza rappresentano una sura della regolartà n panta In assenza d eccentrctà le forze s rpartscono proporzonalente alle rgdezze de sngol tela L eccentrctà genera su sngol tela forze ortogonal a quella d ngresso del ssa Per concentrazon s forze su poch tela è necessaro rrgdre tela eno sollectat per eglo rpartre le forze ssche

44 FINE Iagn tratte dal lbro: A. Ghers, P. Lenza Edfc antssc n c.a. (n preparazone) Per questa presentazone: coordnaento A. Ghers realzzazone A. Ghers ulto aggornaento 6/03/2004