Dalla dinamica alla normativa sismica

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Bernadetta Ferretti
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1 Dalla dinaica alla norativa sisica Sistei a più gradi di libertà: analisi statica e analisi odale Catania, 4 arzo 004 Aurelio Ghersi Possibili approcci per valutare la risposta elastica Analisi dinaica, con valutazione della storia della risposta (istante per istante) Analisi odale, per valutare la assia risposta Analisi statica, per valutare in aniera approssiata la assia risposta Ordinanza 374, punto 4.5

2 Analisi dinaica - oto libero Assegnando una deforata iniziale generica Assegnando una particolare deforata iniziale 3 t = t 3 t = 0 t = t 3 t = 0 t = t t = t t = t t = t la fora varia an ano la fora resta la stessa odo di oscillazione libera del sistea Modi di oscillazione libera Telaio piano (con traversi inestensibili): nuero di odi di oscillazione libera = nuero di piani 3 T T T 3 Prio odo Secondo odo Terzo odo

3 Modi di oscillazione libera Telaio spaziale (con ipalcati indeforabili nel piano): nuero di odi di oscillazione libera = 3 x nuero di piani Se la pianta ha due assi di sietria, i odi di oscillazione libera sono disaccoppiati: - n odi di traslazione in una direzione Modi di oscillazione libera Telaio spaziale (con ipalcati indeforabili nel piano): nuero di odi di oscillazione libera = 3 x nuero di piani Se la pianta ha due assi di sietria, i odi di oscillazione libera sono disaccoppiati: - n odi di traslazione in una direzione - n odi di traslazione nell altra direzione 3

4 Modi di oscillazione libera Telaio spaziale (con ipalcati indeforabili nel piano): nuero di odi di oscillazione libera = 3 x nuero di piani Se la pianta ha due assi di sietria, i odi di oscillazione libera sono disaccoppiati: - n odi di traslazione in una direzione - n odi di traslazione nell altra direzione - n odi di rotazione Modi di oscillazione libera Telaio spaziale (con ipalcati indeforabili nel piano): nuero di odi di oscillazione libera = 3 x nuero di piani Se la pianta non ha assi di sietria, i odi di oscillazione libera sono accoppiati 4

5 Modi di oscillazione libera Telaio spaziale senza ipalcati indeforabili nel piano Il nuero di odi di oscillazione libera è olto aggiore Moto libero L equazione del oto, in terini atriciali, è analoga a quella dell oscillatore seplice u& + k u = 0 La soluzione, in caso di oto libero con deforata odale, è una funzione aronica u ( t) = φ, cos( ω t) i i a condizione che sia det( k ω ) = 0 Da questa si ricavano le frequenze angolari ω e quindi i periodi T (autovalori) e le deforate φ (autovettori) 5

6 Equazione del oto Una qualsiasi deforata può essere espressa coe cobinazione delle deforate odali φ φ φ 3 = + + Deforata assegnata q q q 3 Prio odo Secondo odo Terzo odo u = φ q Equazione del oto libero Con questa posizione, l equazione del oto diventa u& + k u = 0 u = φ q M q& + K q = 0 Nelle atrici M e K solo i terini della diagonale principale sono diversi da zero Il sistea di equazioni è quindi costituito da equazioni disaccoppiate, ciascuna contenente una sola incognita Si può valutare il contributo di ciascun odo separataente, coe se fosse un oscillatore seplice 6

7 Equazione del oto libero con sorzaento Con la stessa posizione, l equazione del oto in presenza di sorzaento diventa u&& + c u& + k u = 0 u = φ q M q&& + C q& + K q = 0 In olti casi anche la atrice C è diagonale e le equazioni sono disaccoppiate (sistei classicaente sorzati) Talvolta, ad esepio quando asse e rigidezze delle diverse parti sono olto variabili, ciò non avviene (sistei non classicaente sorzati) Equazione del oto (risposta ad un accelerograa) L equazione del oto diventa u& + c u& + k u = I M q& + C q& + K q T = φ I u& & g u& & g Anche in questo caso se la struttura è classicaente sorzata il sistea si scopone in tante equazioni separate q & + ξ ω q& + ω q = Γ u& g Γ = n i= n i= i i φ φ i, i, Si noti che l accelerazione del terreno è oltiplicata per Γ Coefficiente di partecipazione odale: indica se il contributo del odo al oto totale del sistea è più, o eno, rilevante 7

8 Analisi odale Consiste nel valutare separataente la risposta della struttura vincolata a deforarsi secondo ciascuno dei suoi odi di oscillazione... T S e T Forze sollecitazioni spostaenti Analisi odale Consiste nel valutare separataente la risposta della struttura vincolata a deforarsi secondo ciascuno dei suoi odi di oscillazione e poi cobinare le assie sollecitazioni (o spostaenti) trovati per i singoli odi La cobinazione dei risultati può essere fatta coe radice quadrata della soa dei quadrati (SRSS) o coe cobinazione quadratica copleta (CQC) 8

9 Contributo dei singoli odi Il taglio alla base corrispondente al odo è dove * b, Se V = M ( T ) S e (T ) è l ordinata spettrale corrispondente al periodo T M * è detta assa partecipante M n * i= = i φi, Γ = n i= Considerando tutti i odi, la assa partecipante totale coincide con l intera assa presente nella struttura n i= i i φ i, φ i, Contributo dei singoli odi Il prio odo è nettaente predoinante per entità di assa partecipante. Le forze sono tutte dello stesso verso Gli altri odi hanno asse partecipanti via via inori. Essi danno forze discordi, che producono un effetto inore rispetto alla base In generale, è opportuno considerare tanti odi da: - raggiungere una assa partecipante dell 85% - non trascurare odi con assa partecipante superiore al 5% 9

10 Considerazioni Negli schei spaziali è più difficile valutare l iportanza dei odi: - se il coportaento è disaccoppiato, sono eccitati solo quei odi che danno spostaento nella direzione di azione del sisa - in caso contrario tutti i odi possono dare contributo - se non vi è un ipalcato indeforabile nel suo piano il nuero di odi cresce enoreente ed è più difficile cogliere la risposta totale della struttura Considerazioni Negli schei spaziali è più probabile avere odi con periodi olto vicini tra loro: - in questo caso è opportuno usare la sovrapposizione quadratica copleta (CQC) Una buona ipostazione progettuale deve irare ad avere una struttura con ipalcato rigido e con coportaento disaccoppiato (cioè inie rotazioni planietriche) 0

11 Analisi statica Consiste nel considerare un unico insiee di forze, che rappresentano (in odo seplificato) l effetto del prio odo F k = k z k n i= n i= i i z i S ( T ) e F k i z i Il periodo proprio può essere valutato con forule seplificate 3/ 4 H T = C Le forze possono essere ridotte con λ=0.85 se l edificio ha aleno 3 piani e periodo non troppo alto Confronto analisi statica odale Edificio con travi eergenti = 60 t trave eergente pilastri Zona 3 a g = 0.5 g Suolo B Classe di duttilità B

12 Periodi, accelerazioni spettrali, asse partecipanti Edificio con travi eergenti Modo Modo Modo 3 T.83 s 0.46 s 0.59 s S e g 0.45 g 0.45 g M*/M 70. % 3.7 % 5. % Forze statiche odali [kn] Edificio con travi eergenti odale analisi piano odo odo odo 3 statica

13 Tagli statici odali [kn] Edificio con travi eergenti piano analisi odale analisi statica differenza % Confronto analisi statica - odale Edificio con travi a spessore = 60 t trave a spessore 80 4 pilastri

14 Periodi, accelerazioni spettrali, asse partecipanti Edificio con travi eergenti Modo Modo Modo 3 T.738 s s s S e g g g M*/M 70.9 %.8 % 5.4 % Forze statiche odali [kn] Edificio con travi a spessore odale analisi piano odo odo odo 3 statica

15 Tagli statici odali [kn] Edificio con travi a spessore piano analisi odale analisi statica differenza % Analisi statica o analisi odale? L analisi statica fornisce risultati attendibili purché: - la struttura abbia coportaento piano (basse rotazioni planietriche) Analisi statica Per edifici con forti rotazioni, non va bene odo Analisi odale odo inviluppo 5

16 Analisi statica o analisi odale? L analisi statica è cautelativa purché: - la struttura abbia coportaento piano (basse rotazioni planietriche) - la struttura abbia periodo non eccessivaente alto S e accelerazione olto bassa, non cautelativa S e T T Analisi statica o analisi odale? L analisi statica è cautelativa purché: - la struttura abbia coportaento piano (basse rotazioni planietriche) - la struttura abbia periodo non eccessivaente alto - la stia del periodo proprio sia affidabile L uso del coefficiente riduttivo λ rende i risultati dell analisi statica non particolarente gravosi rispetto a quelli dell analisi odale 6

17 Analisi statica o analisi odale? La nora vieta l uso dell analisi statica se: - il periodo proprio supera.5 T C - la struttura è irregolare in altezza Coento: nella pria versione la nora parlava di irregolare in pianta ; la odifica è stata introdotta dall Errata Corrige Mi sebra olto più coerente con gli studi teorici il riferiento alla irregolarità in pianta, presente nella versione originale Analisi statica o analisi odale? Oggi l analisi odale è sicuraente il etodo principale di riferiento per l analisi strutturale, perché è affidabile e orai alla portata di tutti (grazie ai prograi per coputer) L analisi statica è però uno struento fondaentale per capire il coportaento fisico della struttura e per valutarne a priori la risposta (e quindi anche per controllare a posteriori i risultati dell analisi odale) 7

18 FINE Iagini tratte dal libro: A. Ghersi, P. Lenza Edifici antisisici in c.a. (in preparazione) Per questa presentazione: coordinaento A. Ghersi realizzazione A. Ghersi ultio aggiornaento 6/03/004 8

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