1. Trave soggetta solo a flessione

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Concetta Pellegrini
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1 . Trave soggetta soo a fessione Coordinate e funzione di fora vogiao descrivere a trave ostrata nea figura utiizzando soaente gi spostaenti trasversai e e rotazioni dee estreità, trascurando invece quasiasi deforazione assiae In atre paroe vogiao approssiare a trave continua con un sistea a 4 gradi di ibertà corrispondenti a > qe := [wl,phi_l,wr,phi_r]; PDEtoos[decare](qe(,prie=t,quie: ξ=x/ P(ξ) L z w u ϕ R x qe := [ wl, phi_l, wr, phi_r ] E' quindi necessario interpoare a inea eastica dea trave ne'intervao <x<l in funzione dee coordinate appena definite. Bisogna dunque usare una curva con 4 paraetri, ad esepio i seguente poinoio di 3 grado > xi = x/l; variabie (adiensionae) che descrive a posizione di ciascun punto dea trave funzione di fora > su(a[k]*xi^k,k=..3): F := unappy(%,xi); derivata pria > F := unappy( diff(f(xi),xi), xi): x ξ = L F := ξ wl + phi_l ξ + ( phi_l 3 wl + 3 wr phi_r ) ξ + ( wl + phi_l wr + phi_r ) ξ 3 In questo oento i coefficienti de poinoio non sono noti e devono essere cacoati in funzione dee coordinate di eeento. A questo scopo è sufficiente iporre e condizioni a contorno > BC := [F()=wL, F()=wR, F()=phi_L, F()=phi_R] : Vector(BC); a = wl a + a + a + a = wr 3 a = phi_l a + a + 3 a = phi_r 3 e cacoare quindi i coefficienti de poinoio > sove(bc,[a[],a[],a[],a[3]])[]: Vector(%); assign(%%); a = wl a = phi_l a = phi_l 3 wl + 3 wr phi_r a = wl + phi_l wr + phi_r 3 a funzione di fora diventa > coect(f(xi),qe): subs(wl=wl(,phi_l=phi_l(, wr=wr(,phi_r=phi_r(, %): > w := unappy( %, (x,); w := ( x, t ) ( 3 ξ + + ξ 3 ) wl( t ) + ( ξ 3 + ξ ξ ) phi_l( t ) + ( ξ ξ ) wr( t ) + ( ξ 3 ξ ) phi_r(

2 energia potenziae e atrice di rigidezza per definizione > V := /*EJ/^3*Int(diff('w(xi,',xi$)^,xi=..); V := Introducendo a funzione di fora si ottiene > V := sipify(convert(v,in); EJ 3 d ξ w ( ξ, ξ V := ( 3 wl wl wr + 3 wl phi_l + 3 wl phi_r 3 phi_l wr + phi_r + 3 wr + phi_l phi_r + phi_l 3 wr phi_r ) EJ 3 atrice di rigidezza > K := quadratic_for(v,qe(); EJ 3 3 K := EJ EJ 3 3 EJ 3 EJ 3 3 EJ 3 3 energia cinetica e atrice di assa 3 EJ EJ 3 per definizione > T := /*u**int(diff('w(xi,',^,xi=..); T := μ w ( ξ, d ξ t introducendo a funzione di fora si ottiene > T := sipify(convert(t,in); T := μ ( 78 wl' + wl' phi_l' + phi_l' + 3 phi_l' wr' 3 phi_l' phi_r' + 54 wl' wr' 3 wl' phi_r' + 78 wr' wr' phi_r' + phi_r' ) / 4 atrice di assa > M := quadratic_for(t,diff(qe(,); 3 μ μ 9 μ 3 μ μ μ 3 μ μ M := 9 μ 3 μ 3 μ μ μ μ μ μ 4 4 5

3 Vibrazioni di una trave ibera e prie d > oega := ^; > oega := ^; ω :=.37 ω :=.7 converto i probea in fora nuerica > K := subs(ej=,=,k): M :=subs(u=,=,m): 'K'=K, 'M'=convert(M,foa; K =, M = autovaori e autovettori > ev,u := Eigenvectors(K,M); ev, U :=, - 84 frequenze naturai: e due nue corispondono ai oti rigidi > oega:= evaf(ap(sqrt,ev));.83. ω :=. 9.5 odo > for ix fro to 4 do 'oega'[ix]=oega[ix]; > W := subs(wl(=u[,ix],phi_l(=u[,ix], wr(=u[3,ix],phi_r(=u[4,ix], w(x,); > pot(w,xi=..,thickness=); end do; ω =.83 W := ξ + ξ ω =. W :=

4 ω =. 3 W := + ξ ω = W := + + ξ 5 3 ξ3 ξ

5 Trave soggetta sia fessione che a trazione Coordinate e funzione di fora Ciascun eeento ha gradi di ibertà, corrispondenti rispettivaente ao spostaento assiae, ao spostaento trasversae e aa rotazione di ciascun eeento > qe := [ul,wl,phi_l,ur,wr,phi_r]; ξ=x/ P(ξ) L z w u ϕ R x qe := [ ul, wl, phi_l, ur, wr, phi_r ] funzione di fora assiae > u := (x, -> (-xi)*ul( + xi*ur(; u := ( xt, ) ( ξ ) ul( + ξ ur( energia potenziae e atrice di rigidezza 'energia potenziae coprende sia i terine di fessione che queo assiae > V := /*EJ/^3*Int(diff('w(xi,',xi$)^,xi=..) + /*EA/* Int(diff('u(xi,',xi)^, xi=..); EJ V := + 3 d ξ w ( ξ, EA ξ d ξ u ( ξ, ξ introducendo e funzioni di fora e espriendo i risutato in fora atriciae > V := sipify(convert(v,in): > 'K' = quadratic_for(v,qe(); > > EA EA EJ EJ EJ EJ K = EA EA EJ EJ EJ 4 EJ

6 energia cinetica e atrice di assa definizione > K := /**Int(diff('w(xi,',^+diff('u(xi,',^,xi=..); > K := sipify(convert(k,in): > K := w ( ξ, + u ( ξ, d ξ t t atrice di assa > M = quadratic_for(k,diff(qe(,); M =

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