Elettromagnetismo. Prof. Francesco Ragusa Università degli Studi di Milano. Lezione n

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1 lettromagnetsmo Prof. Francesco agusa Unerstà degl Stud d Mlano ezone n arca e scarca del condensatore Generator d tensone e d corrente Generator deal e real Anno Accademco 8/9

2 arca e scarca del condensatore onsderamo un condensatore d capactà carcato ad una tensone Sulle armature c sarà una carca Q Scarchamo adesso l condensatore collegandolo ad una resstenza tramte un nterruttore che ene chuso a t Appena collegata al condensatore chudendo l'nterruttore la resstenza ha a suo cap una tensone Q/ nza a scorrere una corrente / Notamo nnanztutto che la corrente ha un alore fnto Occorre pertanto un tempo fnto per scarcare l condensatore n un tempo dt la carca sul condensatore dmnusce d dq dt a dmnuzone della carca mplca la dmnuzone della dfferenza d potenzale fra le armature del condensatore Dmnusce anche la corrente che crcola nella resstenza n un successo nterallo d tempo dt la carca dq' 'dt che ene rmossa dalle armature del condensatore è mnore d quanto fosse all'nzo a eloctà con cu s scarca l condensatore dmnusce Notamo che la tensone, la corrente e la carca Q sono dentate funzon del tempo: (t) (t) Q(t) lettromagnetsmo Prof. Francesco agusa 39

3 arca e scarca del condensatore Sottolneamo l fatto che le corrent non sono pù stazonare n lnea d prncpo l problema denta elettrodnamco Tuttaa fnché le eloctà d arazone delle corrent e delle tenson non sono grand non compaono fenomen nuo che abbano effett apprezzabl Defnremo n seguto cosa ntendamo per eloctà d arazone non grand Un'altra precsazone Quando abbamo dscusso la legge d Krchhoff per nod abbamo utlzzato l'equazone d contnutà assumendo una condzone stazonara ρ t Aeamo detto che non s accumulaa carca sul nodo e legg d Krchhoff contnuano a alere con una precsazone nod (e tutt conduttor d un crcuto) hanno capactà trascurabl Non s accumulano carche anche se non samo pù n una stuazone stazonara dq dt lettromagnetsmo Prof. Francesco agusa 39

4 arca e scarca del condensatore tornamo al condensatore che s scarca Analzzamo n modo quanttato l crcuto n ogn stante le tenson a cap del condensatore e a cap della resstenza deono essere ugual ( ) ( ) ( t ) t t Per semplctà non ndchamo pù esplctamente la dpendenza dal tempo noltre la corrente che attraersa la resstenza è legata alla dmnuzone della carca sul condensatore dq dt l segno meno ndca che la carca Q dmnusce dq dt dq Q dt Q( t) Osseramo che [] [] [A] [](oul T ) [] oul [] Pertanto [] [](oul T ) oul [] T l prodotto ha le dmenson d un tempo: τ È la costanza d tempo caratterstca della carca/scarca del condensatore dq Q dt lettromagnetsmo Prof. Francesco agusa 39

5 arca e scarca del condensatore tornamo all'equazone dq Q dt τ ndchamo con Q la carca presente sul condensatore al tempo t Abbamo Qt ( ) t Q dq Q Uguaglando l'esponenzale d entramb membr dell'equazone ( ) Q t Q dt τ Passando alle tenson (Q / ).4 t exp τ ( ) exp t Q Q t t τ τ ( ) exp t lettromagnetsmo Prof. Francesco agusa 393 ( ) ln Q t Q..8.6 t τ scarca t / τ

6 l condensatore elemento d crcuto nterpretamo le equazon ste n modo leggermente dfferente oglamo troare la legge che lega tensone e corrente nel condensatore n analoga con legge d Ohm per le resstenze Una relazone olt-ampere l condensatore ha una carca sulle armature Q(t) a sua tensone è (t) Q(t)/ Se l condensatore è collegato ad un crcuto esterno comnca a flure una corrente on la conenzone ndcata la corrente posta aumenta la carca sulle armature del condensatore a tensone aumenta d dq dt Analzzamo nuoamente l crcuto a corrente che flusce nella resstenza è uguale alla corrente del condensatore cambata d segno d dt lettromagnetsmo Prof. Francesco agusa 394 d dt d τ dt exp t τ

7 Scarca del condensatore Notamo che nzalmente nel condensatore era mmagazznata energa elettrostatca Al termne del processo l condensatore è scarco Doe è fnta l'energa? È stata dsspata per effetto Joule nella resstenza Nella resstenza ene dsspata una potenza P(t) ( ) P t 'energa totale dsspata è W ( ) P t dt W ( t) t exp dt τ t exp τ τ exp( ) x dx W W lettromagnetsmo Prof. Francesco agusa 395

8 arca del condensatore onsderamo adesso un problema leggermente dfferente archamo un condensatore ad una tensone utlzzando un generatore d tensone a resstenza può essere ntrodotta d proposto oppure può essere la resstenza nterna del generatore n quest'ultmo caso ndesderata ma netable n un crcuto reale 'nterruttore ene chuso al tempo t È equalente ad un generatore che fornsce una tensone come nel grafco Notamo che la stessa corrente crcola sa nella resstenza sa nel condensatore 'equazone della magla è Ottenamo l'equazone dfferenzale lettromagnetsmo Prof. Francesco agusa 396 d dt d d τ dt dt gradno t / τ

9 arca del condensatore a condzone nzale è () l condensatore nzalmente è scarco S erfca mmedatamente che l'equazone è soddsfatta dalla funzone d dt onfrontamo la tensone del condensatore con la tensone applcata alla resstenza ("ngresso") Possamo dre che l condensatore non resce a raggungere con la stessa eloctà della tensone applcata per carcarlo l prodotto τ determna la eloctà con cu l sstema resstenza - condensatore raggunge la tensone d carca oluta t e τ τ carca lettromagnetsmo Prof. Francesco agusa t / τ gradno t / τ

10 arca del condensatore Osserazon a eloctà con cu s resce a carcare un condensatore dpende dalla resstenza del conduttore che trasporta la corrente per carcarlo esstenza nterna del generatore esstenza de conduttor (lunghezza) Naturalmente a partà delle altre condzon capactà pù eleate rchedono temp pù lungh per raggungere la tensone oluta Dspost elettronc molto eloc rchedono capactà parasste pccole a tensone fra le armature d un condensatore non può cambare stantaneamente d un alore fnto orrebbe una corrente nfnta tale che Q dt (, dt ) rcut possono essere usat per generare rtard Un crcuto elettronco può generare un segnale rtardato quando l suo ngresso supera un alore d rfermento..8 Δt carca 4 5 lettromagnetsmo Prof. Francesco agusa 398

11 Parttore d tensone Un crcuto molto semplce ma molto mportante è l parttore d tensone oglamo calcolare la tensone a cap della resstenza (fra punt a e b) hamamo la corrente che crcola nella magla Oamente l parttore fornsce fra punt a e b una tensone nferore a quella della forza elettromotrce l fattore d rduzone f (o d partzone) è Ad esempo se f Notamo che f a tensone appare a cap delle resstenze pù grand Tuttaa occorre tenere presente la dfferenza fra parttore e generatore d forza elettromotrce deale d alore / Dersa resstenza nterna. Approfondamo questo punto f a b o stesso crcuto a b lettromagnetsmo Prof. Francesco agusa 399

12 Generatore d tensone deale cordamo la defnzone d generatore d tensone deale Un dsposto capace d mantenere fra su due termnal una dfferenza d potenzale costante, ndpendentemente dalla corrente erogata Supponamo d effettuare una erfca spermentale olleghamo una resstenza d carco a termnal Msuramo la dfferenza d potenzale fra a e b Msuramo la corrente che attraersa : / petamo per tant alor dfferent d Aremo tante corrent dfferent portamo rsultat n un grafco a dfferenza d potenzale è costante Non dpende dalla corrente erogata: Generatore deale Un generatore reale: Generatore d an de Graff a tensone fornta è Q/ a corrente erogata fa dmnure Q: dq dt Nel tempo dt la cngha rcarca l condensatore: dq' Se dq > dq' ( "eleata") la tensone s abbassa n queste condzon non è un generatore deale a b Q lettromagnetsmo Prof. Francesco agusa 4

13 Generatore d tensone reale n un generatore reale la tensone dmnusce se la corrente erogata aumenta Un comportamento analogo al parttore d tensone Aeamo troato la tensone fra a e b r laboramo la relazone per r r r r r e la corrente n r r r r r a relazone troata è una retta nel pano a pendenza dpende da r 'ntercetta all'orgne è la forza elettromotrce deale Un generatore reale è schematzzable come un generatore deale con n sere una resstenza r : la resstenza nterna r tg α r r a b α resstenza nterna r lettromagnetsmo Prof. Francesco agusa 4

14 Generator d corrente Un altro elemento d crcuto mportante è l generatore d corrente Meno utlzzato ne crcut elementar Meno dffuso come strumento d laboratoro Molto mportante per modellare component elettronc Ad esempo transtors, relator d partcelle Un generatore d corrente deale mantene la corrente data fra suo termnal quale che sa la tensone che s stablsce fra suo termnal Sul pano la sua relazone olt-ampere è una retta parallela all'asse delle ordnate Analogamente al generatore d tensone n un generatore d corrente reale s sluppa una tensone a suo termnal che è funzone della corrente che crcola cordamo che anche per un generatore d tensone reale s aea una retta edamo pertanto che la dstnzone fra un generatore reale d corrente o d tensone è n qualche modo arbtrara Dpende dal alore della resstenza nterna paragonata alle resstenze del crcuto lettromagnetsmo Prof. Francesco agusa 4

15 Parttore d corrente Un crcuto molto semplce, analogo al parttore d tensone è l parttore d corrente a legge d Krchhoff per nod dce che noltre le tenson a cap d e deono essere ugual ntroducendo nella prma equazone per fnre Osseramo che da cu oamente a corrente preferenzalmente scegle ram con resstenza pù bassa lettromagnetsmo Prof. Francesco agusa 43

16 Generatore d corrente reale Analzzamo ancora l rsultato appena troato hamamo la resstenza e r la resstenza a corrente che crcola n r r r r r a corrente erogata è nferore Parte della corrente fnsce nella resstenza nterna Pertanto Un generatore d corrente reale fornsce una corrente nferore l alore esatto dpende da alor relat d e r Per quanto rguarda la relazone olt-ampere A termnal d un generatore reale s sluppa una tensone che determna quanta corrente flusce nel crcuto esterno r r r r l alore d non dpende solo dalla resstenza d carco ma anche da r r r r tg α / r α lettromagnetsmo Prof. Francesco agusa 44

17 Generator real: replogo Un generatore d tensone reale è caratterzzato da una forza elettromotrce e da una resstenza nterna r l generatore deale ha r Generator da laboratoro hanno r. Ω s può determnare msurando la tensone fra morsett a e b senza carco ( ): a resstenza nterna r s può determnate stmando la corrente d corto crcuto ( ): r ( r ) / / / r r a b Un generatore d corrente reale è caratterzzato da una sorgente d corrente deale e da una resstenza nterna r l generatore deale ha r Generator da laboratoro hanno crca r > MΩ s può determnare stmando la corrente d corto crcuto fra morsett a e b ( ): a resstenza nterna r s può determnate msurando la tensone n assenza d carco ( ): r r a b r / / r lettromagnetsmo Prof. Francesco agusa 45

18 Teorem d Theenn e d Norton Nella teora de crcut lnear rsultano molto utl due teorem l teorema d Theenn e l teorema d Norton Ne damo gl enuncat senza dmostrarl Teorema d Theenn Un qualsas crcuto lneare sto da due termnal AB è equalente ad un generatore d tensone deale eq e una resstenza r eq n sere A r eq A eq B B l alore della forza elettromotrce eq s determna come l alore della tensone msurata fra A e B quando (tensone a crcuto aperto) l alore della resstenza r eq s calcola determnando prma la corrente che crcola n quando la resstenza tende a zero: (corrente d corto crcuto) eq a resstenza r eq è r eq lettromagnetsmo Prof. Francesco agusa 46

19 Teorem d Theenn e d Norton Teorema d Norton Un qualsas crcuto lneare sto da due termnal AB è equalente ad un generatore d corrente deale eq e una resstenza r eq n parallelo A A eq req B B l alore della corrente eq s determna come la corrente che crcola n quando la resstenza tende a zero: (corrente d corto crcuto) l alore della resstenza r eq s calcola determnando prma l alore della tensone A msurata fra A e B quando (tensone a crcuto aperto) a resstenza r eq è A r eq lettromagnetsmo Prof. Francesco agusa 47 eq

20 Teorem d Theenn e d Norton Abbamo sto che le relazon de generator d tensone e d corrente real sono rette a dstnzone fra due è n qualche modo arbtrara Dpende da crcut ne qual sono mpegat Sono generator d tensone se r Sono generator d corrente se r nterpretamo l'arbtraretà con teorem d Theenn e d Norton n partcolare un generatore d corrente reale può essere rappresentato come un generatore d tensone reale con opportune forza elettromotrce eq r e resstenza nterna r r a tensone d crcuto aperto ( ): eq r a corrente d corto crcuto ( ): a resstenza equalente a b r eq eq r lettromagnetsmo Prof. Francesco agusa 48 r eq r r a b

21 Teorem d Theenn e d Norton erfchamo che l crcuto troato utlzzando l teorema d Theenn è equalente a quello orgnale on questo ntendamo che facendo msure a morsett a e b non edamo dfferenze Nella daposta abbamo calcolato la relazone per l generatore d corrente reale a tensone a cap d è a corrente che scorre n è Una retta nel pano r r r lettromagnetsmo Prof. Francesco agusa 49 r a b

22 Teorema d Theenn erfchamo che l crcuto equalente secondo l teorema d Theenn conduce alla stessa relazone a corrente è oamente r r noltre la tensone a cap d laboramo la relazone per r r r r r a b r r r r r r r r r lettromagnetsmo Prof. Francesco agusa 4 r elazone dentca a quella troata per l generatore d corrente r r a b