Sviluppo di un nuovo modello LBM ibrido per una miscela binaria in presenza di surfattante

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1 Unverstà degl Stud d Bar Aldo Moro DIPARTIMENTO DI FISICA MICHELANGELO MERLIN Corso d Laurea Magstrale n Fsca Tes d laurea magstrale n Fsca Teorca Svluppo d un nuovo modello LBM brdo per una mscela bnara n presenza d surfattante Relator: Ch.mo Prof. Guseppe Gonnella Ch.mo Dott. Antono Lamura Laureando: Federco Fadda Anno Accademco

2 A mamma e papà per l affetto, a nonno Ncola che m guarda da lassù, a nonna Mara per ogn momento d lucdtà. La flosofa è scrtta n questo grandssmo lbro che contnuamente c sta aperto nnanz a gl occh (o dco l unverso), ma non s può ntendere se prma non s mpara a ntender la lngua, e conoscer caratter, né qual è scrtto. Egl è scrtto n lngua matematca, e caratter son trangol, cerch, ed altre fgure geometrche, senza qual mezz è mpossble a ntenderne umanamente parola; senza quest è un aggrars vanamente per un oscuro labernto. Galleo Galle

3 Indce Introduzone 1 Dall effetto Marangon al moto delle gocce Tensone superfcale nelle mscele d flud Materal tenso-attv L equazone d Naver-Stokes L effetto Marangon Concett d base Veloctà dell nterfacca (Levch 1962) Stud recent e stato della rcerca Un recente espermento sul moto auto-propulso delle gocce Modello drodnamco per una mscela bnara n presenza d surfattante Tensore d pressone Concluson Il modello Lattce Boltzmann brdo Generaltà sul metodo LBM Metodo LBM per un sngolo fludo Coeffcent delle f 0 per un fludo a sngola fase Nuovo modello LBM per una mscela bnara con surfattante Numero d Knudsen ed espansone multscala Lmte contnuo Termne d forza del sstema studato Implementazone numerca del modello brdo Implementazone dell equazone d convezone-dffusone Metodo alle dfferenze fnte Dervata n avant,all ndetro e centrata Concluson Studo delle nterfacce pane e delle gocce all equlbro Consderazon prelmnar Interfacce pane

4 3.2.1 Evoluzone temporale delle concentrazon φ e c Tensone superfcale e larghezza dell nterfacca Gocce Evoluzone temporale delle concentrazon φ e c Sezon undmensonal Moto d una gocca per effetto d una forza motrce Studo della gocca n condzon d non equlbro Produzone e consumo d surfattante Produzone concentrca con tasso d consumo nullo Produzone concentrca con tasso d consumo non nullo Produzone asmmetrca nterna con tasso d consumo nullo Produzone asmmetrca tangente nternamente con tasso d consumo nullo Produzone asmmetrca tangente nternamente con tasso d consumo non nullo Concluson 98 A Termne d forza motrce 100 B Implementazone de termn d consumo e produzone del surfattante 102 Bblografa 104

5 Introduzone La tes n oggetto rguarda lo svluppo d un nuovo modello numerco per lo studo delle propretà d equlbro e non d un sstema fsco rappresentato da una mscela bnara, consstente n una gocca d fludo n un altro fludo, n presenza d una terza componente dluta d surfattante [1]. Le grandezze fsche oggetto d nteresse nel lavoro d tes sono state le concentrazon della mscela bnara e del surfattante, l campo d veloctà del sstema, l energa lbera e la tensone superfcale; s è studata l evoluzone sa nel caso d equlbro che d non equlbro. Le concentrazon della mscela bnara e del surfattante evolvono nel tempo secondo le equazon d convezone-dffusone; ad esse s aggungono anche l equazone d Naver-Stokes e l equazone d contnutà del fludo, volendo consderare gl effett dell drodnamca sul sstema consderato. Come s vedrà nella seguente trattazone, queste equazon drodnamche sono equazon dfferenzal alle dervate parzal che n generale non s sanno rsolvere analtcamamente ma solo per va numerca. La tecnca numerco-computazonale utlzzata n questa tes è rappresentata dal Lattce Boltzmann Method (metodo del retcolo d Boltzmann) l quale permette la rsoluzone delle equazon drodnamche medante una opportuna dscretzzazone dello spazo e del tempo attuata attraverso l utlzzo d convenent geometre. Tale metodo rsulta molto effcace n partcolare per lo studo d sstem flud con nterfacce come è stato svolto n questa tes. I prncpal rsultat raccolt negl ultm due captol della tes sono stat ottenut medante l mplementazone d un nuovo modello numerco n lnguaggo Fortran 77 e successve smulazon. La tes nel complesso è suddvsa n quattro captol d cu prm due hanno carattere teorco mentre gl ultm due raccolgono prncpal rsultat delle smulazon. Nel prmo captolo s ntroducono, per va generale, concett d tensone superfcale ed energa lbera e, n partcolare, s fa rfermento ad un fenomeno d superfce noto come effetto Marangon corredato da una breve rassegna sullo stato della rcerca. Il captolo s conclude con la presentazone del sstema fsco rappresentato dalla mscela bnara con la componente dluta d surfattante, ntroducendo un funzonale d energa lbera, n cu è contenuta tutta l nformazone termodnamca del problema e le equazon d convezone-dffusone delle concentrazon.

6 Nel secondo captolo s descrve l Lattce Boltzmann Method (metodo LBM) utlzzato per la rsoluzone numerca delle equazon drodnamche del sstema studato. La varante su cu s pone l attenzone è rappresentata dal metodo LBM brdo che consente la rsoluzone delle equazon d contnutà e d Naver-Stokes medante l metodo LBM standard e la rsoluzone delle equazon d convezone-dffusone medante un metodo alle dfferenze fnte. Il terzo captolo raccogle prncpal rsultat relatv allo studo del sstema quando raggunge lo stato d equlbro caratterzzato da un valore fnale mnmo e costante dell energa lbera. Sono stat effettuat var test numerc sa per lo studo delle nterfacce pane sa per una gocca. Le grandezze consderate sono state la tensone superfcale del sstema, le due concentrazon che rlassano all equlbro ed l campo d veloctà del fludo. Il quarto captolo, nfne, descrve l comportamento del sstema quando è portato fuor dall equlbro attraverso l nsermento d termn d produzone e d consumo d surfattante nell equazone d evoluzone d quest ultmo. In partcolare, s è cercato d capre cosa succeda al sstema se uno de due termn o entramb sano present nell equazone e come vara l evoluzone delle grandezze d nteresse rspetto al caso d equlbro. Per eventual nformazon l mo ndrzzo e-mal è : fede.fadda1110@gmal.com. v

7 Captolo 1 Dall effetto Marangon al moto delle gocce L obettvo d questo prmo Captolo della tes è quello d fornre una breve ntroduzone agl aspett legat alla tensone superfcale e all effetto Marangon. S defnrà dapprma l concetto d tensone superfcale per sstem fsc caratterzzat da nterfacce del tpo lqudo-lqudo o lqudo-gas e s vedrà come l equazone d Young-Laplace metta n relazone la tensone superfcale con la dfferenza d pressone a due lat d un nterfacca. Successvamente, s passeranno n rassegna materal tenso-attv con la descrzone per grand lnee delle loro propretà chmco-fsche e s descrverà l equazone d Naver-Stokes per l momento d un fludo o d una mscela d flud ntroducendo concett d fludo deale, vscoso ed ncomprmble. In seguto, l effetto Marangon verrà affrontato attraverso la descrzone del calcolo d Levch (1962), una rassegna dello stato attuale della rcerca e sull esposzone d un recente espermento sul moto auto-propulso delle gocce d lqudo. Il captolo, nfne, s conluderà con la presentazone del sstema fsco studato n questo lavoro d tes a partre da un funzonale d energa lbera con l calcolo delle grandezze termodnamche qual potenzal chmc e tensore d pressone. 1

8 1.1 Tensone superfcale nelle mscele d flud Come è noto n letteratura, un lqudo è un sstema fsco costtuto da molecole n moto relatvamente vcne l una all altra e tenute nseme dalle forze d natura attrattva d Van Der Waals. L nterazone d Van Der Waals s nstaura tra atom e molecole neutre e debolmente nteragent. Sa atom che molecole possedono un momento d dpolo fluttuante n modo casuale; una fluttuazone del momento d dpolo n un atomo o molecola nduce un momento d dpolo anche nell altra generando una forza attrattva. L energa potenzale d nterazone tra atom e molecole, d polarzzabltà α, separat da dstanza r va come: U V DW α2 r. (1.1) 6 Il fatto che l energa potezale d nterazone dmnusca come l nverso della sesta potenza della dstanza tra due atom o molecole, fa capre pertanto come l nterazone d Van Der Waals sa un nterazone debole a corto range. In svarate applcazon fsche un lqudo può essere descrtto come un mezzo contnuo n cu è possble defnre un elemento d lqudo pccolo su scala macroscopca ovvero rspetto al range d azone delle forze d Van Der Waals ma suffcentemente grande su scala mcroscopca da contenere un numero d atom o molecole molto elevato (dell ordne del numero d Avogadro). 1 Questa assunzone ha come conseguenza l fatto che la forza attrattva meda su ogn molecola sa la stessa n tutte le drezon. Sstem fsc del tpo lqudo-lqudo o lqudo-gas presentano nterfacce ovvero superfc che separano due lqud della mscela o l lqudo dal gas. Come ndcato n Fgura 1.1, le molecole localzzate all nterfacca sono attratte verso l nterno del lqudo ed n drezone parallela all nterfacca mentre le molecole del bulk rsentono della forza attrattva delle altre n ogn drezone. La rsultante delle forze agent su una generca molecola del bulk del sstema è nulla n quanto le forze nelle vare drezon sono equlbrate da quelle che le altre molecole eserctano su d essa mentre per una molecola localzzata sull nterfacca le unche forze che non restano equlbrate sono quelle drette verso l nterno del sstema. Cò fa sì che la superfce complessva del lqudo tenda a contrars. Le molecole d lqudo dell nterfacca, noltre, sono meno legate delle molecole del bulk e pertanto pù energetche, conseguentemente è necessaro spendere energa per spostare una molecola dal bulk all nterfacca. La termodnamca, noltre, stablsce che un qualunque sstema fsco tende sempre ad evolvere verso uno stato fnale d equlbro caratterzzato da un energa lbera mnma. L energa lbera o energa lbera d Helmholtz è così defnta: 1 S rcorda che l numero d Avogadro è N A = mol 1. F = E T S (1.2) 2

9 Fgura 1.1: Molecole d lqudo dell nterfacca e del bulk. con E energa nterna del sstema, T temperatura del sstema ed S la sua entropa. S ndca con σ la forza per untà d lunghezza o energa per untà d area per contrarre la superfce del lqudo: σ = F A (1.3) con F, energa lbera d Helmholtz defnta prma, ed A, l area d cu la superfce s contrae. Tale quanttà σ è nota come tensone superfcale e per lqud è una funzone monotona decrescente della temperatura: σ T < 0. (1.4) Analogamente, per un sstema magnetco d spn s può ntrodurre l concetto d tensone nterfaccale s smle a quello d tensone superfcale σ vsto per sstem lqudo-lqudo o lqudo-gas. Tale tensone nterfaccale è defnta come l energa lbera, per untà d area, delle nterfacce tra domn con spn up e domn con spn down. Se la temperatura del sstema magnetco tende al punto crtco, T c, la tensone nterfaccale tende a zero con esponente µ = 1 secondo la teora d campo medo. Per un ulterore approfondmento su questo argomento s può consultare l lbro d testo [16] della Bblografa. 3

10 A causa della tensone superfcale e della tendenza delle superfc de lqud a contrars, c sarà una dfferenza d pressone tra due lat d un nterfacca, con pressone maggore sul lato concavo. La relazone analtca che lega la dfferenza d pressone a lat d un nterfacca e la tensone superfcale è data dalla legge d Young-Laplace: ( 1 p = σ + 1 ) (1.5) R 1 R 2 con R 1 ed R 2 ragg prncpal d curvatura. Nel caso specfco d una gocca o bolla sferca d lqudo n un gas, oppure d gas n un lqudo o d lqudo n un altro lqudo, R 1 =R 2 =R e s ottene: p = p p e = 2σ R (1.6) con p pressone nterna e p e pressone esterna. Questa relazone è consstente con l fatto che all equlbro la superfce è la mnma possble a volume fssato e la sfera, nfatt, è la fgura solda che, a volume fssato, presenta superfce mnma. 4

11 1.2 Materal tenso-attv V sono partcolar materal dett tenso-attv o surfattant qual hanno la capactà d essere assorbt lungo un nterfacca formando uno strato monomolecolare (monostrato) e d rdurre la tensone superfcale della stessa fno a cnque ordn d grandezza. Il grado d rduzone della tensone superfcale dpende certamente da var fattor qual grado assorbmento del surfattante alla superfce e grado d mescolamento con la fase acquosa. I surfattant rentrano nella classe pù ampa de materal anfflc caratterzzat da grupp chmc con dfferent affntà con l acqua. Un tpco materale anfflco è rappresentato dal sapone consstente n un gruppo droflco, generalmente onco, legato a una sezone drofobca, tpcamente una catena d drocarbur. Quando queste molecole sono dscolte n soluzone acquosa s comportano per lo pù n modo solato l una dall altra; se, però, s raggunge un valore d sogla della concentrazone, detto concentrazone mcellare crtca (o CMC), le molecole da solate tendono ad aggregars e ad orgnare strutture organzzate note come mcelle dalle geometre pù dsparate come è mostrato n Fgura 1.2. Fgura 1.2: Mcelle sferche, clndrche e lamelle bstrato. 5

12 Se ad esempo l aggregazone favorta è d tpo mcellare sferca, allora le molecole del materale anfflco s rarrangeranno come è mostrato nella Fgura 1.3 Fgura 1.3: Rarrangamento delle molecole d surfattante n soluzone acquosa. con grupp testa, droflc, che sporgono verso l esterno della superfce sferca a contatto con l acqua ed grupp coda, drofobc, rntanat, nvece, nell ntreno dell aggregato. La Fgura 1.4 rportata nel seguto mostra, nvece, l comportamento d fase che s può rntraccare n soluzon anfflche. Come s può notare, l grafco dell mmagne è suddvso n dverse regon cascuna relatva ad una specfca struttura mcellare che rsulta pù favorta d altre per un determnato valore della concentrazone e della temperatura del materale dscolto n soluzone. L esempo specfco rguarda un pccolo blocco del copolmero ossdo d etlene (EO) ed ossdo d proplene (PO); s tratta d membr della classe d materal not commeralmente come polglcol pluronc utlzzat nelle applcazon cosmetche e farmaceutche. In generale s può affermare come v sa una grande varetà d strutture chmche con caratterstche dfferent; n alcun cas la testa droflca può non essere elettrcamente carca ed avere pur sempre affntà con l acqua come uno zucchero o un corto segmento d poletere. Generalmente, però, l gruppo droflco è elettrcamente carco. Ne sapon e detergent sntetc l gruppo testa è un anone; grupp testa catonc, nvece, producono molecole con propretà antbatterche che trovano utlzzo come antsettc e dsnfettant. La coda drofobca delle molecole è quas unversalmente costtuta da catene alpatche che possono essere saturate o parzalmente saturate. I sapon e detergent sntetc possedono una sngola catena d drocarbur mentre fosfolpd, prncpal costtuent delle membrane bologche, possedono ben due code legate alla testa droflca. 6

13 Fgura 1.4: Dagramma d fase. Per un eventuale approfondmento dell argomento, qu trattato n lnee molto general, s può consultare l lbro d testo [15] da cu sono state estrapolte alcune mmagn mostrate prma. 7

14 1.3 L equazone d Naver-Stokes L equazone d Naver-Stokes rappresenta un equazone per l mpulso d un fludo. E comodo partre dal caso pù semplce d fludo deale ovvero d un fludo non vscoso e pertanto non soggetto ad effett dsspatv. L equazone del moto n tal caso è: u t + (u )u = 1 p (1.7) n detta equazone d Eulero dove u rappresenta la veloctà del fludo 2, n la denstà e p la pressone. Essa s rcava consderando un elemento d fludo d un certo volume ed effettuando un blanco delle forze su d esso eserctate dal fludo crcostante. Una forma pù generale dell equazone del moto consdera l tensore d stress T αβ d Cauchy: dove T αβ è un tensore d secondo rango dall espressone: t (nu α ) = β T αβ (1.8) T αβ = pδ αβ + nu α u β (1.9) e rappresenta l flusso della componente β dell mpulso attraverso un elemento d superfce lungo la drezone α normale ad essa. Per tale motvo esso è anche detto tensore denstà d flusso e, nell potes d fludo deale, descrve l trasfermento reversble dell mpulso tra vare zone d fludo. Per flud real, però, non è possble trascurare la vscostà e gl effett dsspatv da essa ndott qual l trasfermneto rreversble d mpulso tra le vare zone del fludo. In questo caso s parla d fludo vscoso e la (1.8) va modfcata ntroducendo termn agguntv che rappresentno l contrbuto della vscostà. Cò mplca la defnzone del tensore d stress vscoso dall espressone seguente: ( S αβ = η α u β + β u α 2δ ) αβ d γu γ + ζδ αβ γ u γ (1.10) dove d rappresenta la dmensonaltà del sstema, η la vscostà d shear e ζ la vscostà d bulk, detta anche seconda vscostà. 3 S αβ, come s può constatare, è un tensore smmetrco al par d T αβ. Posto qund T αβ = T αβ S αβ (1.11) la (1.8) s modfca n t (nu α ) = β T αβ. (1.12) 2 S precsa subto che le eventual grandezze vettoral che d volta n saranno ctate nella tes, come per esempo la veloctà del fludo, saranno rportate n grassetto. 3 Sa η che ζ s assumono postve. 8

15 Svluppando gradent, conservando termn d vscostà dentro gradent n quanto possono non essere costant (possono eventualmente dpendere dalla temperatura e dalla pressone), dopo alcun passagg algebrc s ottene l equazone d Naver-Stokes per un fludo semplce: ( t (nu α ) + α (nu α u β ) = α p + α [η α u β + β u α 2δ αβ d γu γ ) + ζδ αβ γ u γ ]. (1.13) Se però l fludo non è omogeneo, come nel caso delle mscele multfase, bsogna tener conto de gradent d concentrazone. In questo caso la pressone non sarà pù unforme nelle vare zone d fludo e v potrà essere una dpendenza della pressone, dalla concentrazone e da gradent d quest ultma. D conseguenza l termne pδ αβ lo s sosttusce con l tensore d pressone P αβ. L equazone d Naver-Stokes dventa qund: ( t (nu α ) + α (nu α u β ) = α P αβ + α [η α u β + β u α 2δ αβ d γu γ ) + ζδ αβ γ u γ ]. (1.14) Se nel fludo la denstà s mantene costante n ogn porzone d volume (anche durante l moto), esso non è soggetto a compresson o espanson apprezzabl. In queste condzon s parla d fludo ncomprmble e vale la relazone: In tal caso l equazone d Naver-Stokes s semplfca n: con ν = η/n vscostà cnematca. u = 0. (1.15) t u α + u β β u α = 1 n αp αβ + ν 2 u α (1.16) 9

16 1.4 L effetto Marangon Concett d base Una varazone spazale della tensone superfcale lungo un nterfacca lqudo-lqudo o lqudo-gas mplca la nascta d una forza tangenzale all nterfacca stessa e qund un moto. La nascta d un moto ndotto da un gradente tangenzale d tensone superfcale è noto n letteratura come effetto Marangon, n nome dello scenzato talano Carlo Marangon che per prmo studò tale fenomeno. Questo gradente d tensone superfcale può, a sua volta, essere ndotto da eventual dsomogenetà o ansotrope nste nel sstema stesso. La nascta d questo gradente d tensone superfcale è ndotta da gradent d temperatura, d concentrazone d sostanze chmche o d carca elettrca. A seconda del fattore che nnesca la formazone del gradente d tensone superfcale, l moto rsultante può assumere var nom: rspettvamente flusso termocapllare, flusso dffuso-capllare e flusso elettro-capllare. La forza tangenzale per untà d area n funzone della tensone superfcale nel caso d dsomogenetà d quest ultma (determnata, come detto prma, da dsomogentà della temperatura, della concentrazone chmca, ecc.) sarà data dalla relazone: f = σ. (1.17) Il fatto che al secondo membro dell equazone l gradente entr con l segno postvo, sta ad ndcare che la forza e qund l moto è dretta dal verso dove v è mnor tensone superfcale nel verso d maggor tensone superfcale. Come s è detto n precedenza, materal tenso-attv hanno la propretà d rdurre la tensone superfcale d un nterfacca; se s vensse a creare una dsomogenetà della concentrazone del materale e qund della tensone superfcale, la forza rsultante per effetto Marangon sarebbe dretta nel verso che va dalla regone con maggor concentrazone del materale, pertanto con mnor tensone superfcale, verso la regone con mnor concentrazone d surfattante e maggor tensone superfcale n accordo con quanto detto prma Veloctà dell nterfacca (Levch 1962) Adesso verrà presentato un esempo d moto per effetto Marangon. Per l calcolo svolto nel seguto e per la Fgura 1.5 rappresentatva del sstema fsco s è attnto dal lbro d testo [12] della Bblografa. Il sstema fsco consste n un recpente, con all nterno un lqudo, le cu paret sono poste a contatto con due sorgent d calore a temperature dfferent e costant; s potzza T 1 > T 2. Questo determna un gradente d temperatura e l obettvo del 10

17 Fgura 1.5: Moto termocapllare n un recpente. calcolo, svolto da Levch (1962), sarà quello d determnare la relazone analtca tra la veloctà del nascente flusso termo-capllare ed l gradente d tensone superfcale. S dentfca l asse orzzontale con l asse delle ascsse x mentre la coordnata vertcale è ndcata come z. S potzza, dapprma, che l recpente sa molto pù profondo dell altezza del lqudo ndcata con h; noltre s potzza che lo stesso sa pù lungo che largo con lunghezza l tale che l/h >> 1. La conseguenza d queste assunzon è che l flusso s può rtenere bdmensonale, laterale dretto nel verso postvo dell asse delle ascsse con altezza d fludo varable lungo la drezone orzzontale. La componente vertcale del vettore veloctà la s può dunque supporre trascurable rspetto alla componente orzzontale così come qualunque effetto d curvatura sulla superfce lbera. S suppone, nfne, che anche lo strato d fludo sa suffcentemente sottle da trascurare ogn effetto nerzale e che l numero d Reynolds sa suffcentemente pccolo: Re = u maxh 1 << 1 (1.18) ν con u max veloctà massma del fludo, h 1 altezza del fludo per x=0 e ν vscostà cnematca. Per un flusso stazonaro ncomprmble quas-bdmensonale, con vscostà costante, termn nerzal trascurabl e con gradent lateral d veloctà pccol rspetto 11

18 a gradent vertcal, l equazone d Naver-Stokes (1.13) assume la forma: p x = η 2 u (1.19) z 2 con p pressone del fludo, u(z) veloctà ed η vscostà del fludo. Se s trascurano gl effett d curvatura ma s consdera la forza gravtazonale, l equazone della componente z del momento assume la forma drostatca: p z = ng. (1.20) Ad essa s aggunge anche l equazone d contnutà posta n forma ntegrale: h(x) 0 u(z)dz = 0. (1.21) Quest ultma espressone è rcavata partendo dal presupposto che l fludo sa ncomprmble, qund vale la (1.15). Integrando la (1.15) su un volume V, s ha: ( u)dv = x u x dxdydz = 0 (1.22) V V ma per l teorema della dvergenza o d Gauss, l ntegrale della dvergenza d una grandezza su un volume è uguale all ntegrale d flusso della grandezza stessa attraverso la superfce che racchude l volume: h(x) l h(x) x u x dxdydz dz u(x, z)dx = 0 = u(z)dz = 0 (1.23) V 0 0 da cu la (1.21). Il passo successvo consste nel fssare le condzon al contorno. dapprma la condzone d non slttamento sul fondo del recpente: 0 S assume u = 0, z = 0. (1.24) All nterfacca, supponendo trascurable la curvatura, mponendo la condzone d contnutà della forza tangenzale s ha: η u z = dσ, z = h(x) (1.25) dx con η vscostà del fludo e σ tensone superfcale. Tale relazone è stata ottenuta dall espressone del tensore d stress vscoso (1.10) nell potes d fludo ncomprmble. L ultma condzone al contorno rguarda la pressone all nterfacca: p = p a (1.26) 12

19 con p a pressone atmosferca. Integrando due volte la (1.19) s ottene prma η u z = p x z + c 1 (1.27) e po ηu = 1 p 2 x z2 + c 1 z + c 2 (1.28) con c 1 e c 2 due costant d ntegrazone da rcavare mponendo le condzon al contorno precedent. Dalla (1.24) s ha: c 2 = 0 (1.29) mentre dalla (1.25) e dalla (1.27) s ha: c 1 = σ x p h. (1.30) x S ottene qund l proflo d veloctà: ( dσ ηu = dx h p ) z + 1 p x 2 x z2. (1.31) La relazone della pressone n funzone della quota è data dalla legge d Stevno ottenuta ntegrando la (1.20): p = p a + ng(h z) (1.32) con g accelerazone d gravtà, che dervata rspetto ad x dventa: p x = ng dh dx. (1.33) Usando la (1.21) secondo l espressone (1.31) per u(z) s ha h [( dσ dx h p ) z + 1 ] ( p dσ x 2 x z2 dz = 0 dx h p ) h 2 x p 2 x 0 h 3 3 = 0. (1.34) Dopo opportune semplfcazon, usando la (1.33), s ottene l espressone del gradente d tensone superfcale n funzone della varazone dell altezza della superfce lbera del fludo n funzone d x: dσ dx = 2 3 nghdh dx. (1.35) Combnando l equazone (1.31) con (1.33) e (1.35) s ottene la relazone fnale che lega la veloctà del fludo con l gradente d tensone superfcale: u = z ( ) 3 z dσ 2η 2 h 1 dx. (1.36) 13

20 Tale espressone della veloctà presenta un massmo valore per z = h par a: u max = h 4η dσ dx. (1.37) Questo esempo, che s basava sull esstenza d un gradente d temperatura, sarebbe applcable anche al caso d un gradente d tensone superfcale ndotto da un gradente d concentrazone chmca o d carca elettrca. 14

21 1.5 Stud recent e stato della rcerca Nel paragrafo precedente s è ntrodotto l effetto Marangon secondo l quale è possble la nascta d un moto ndotto da un gradente d tensone superfcale. Il moto per effetto Marangon, come s è detto nel paragrafo precedente, è reso possble da dsomogenetà nste nel sstema ma non è certo l unco esempo possble. Infatt se s va a consderare l moto spontaneo d gocce questo può essere suddvso n due categore: nella prma è rchesto un substrato con delle caratterstche chmcofsche opportune mentre nella seconda è possble un moto auto-propulso anche n assenza d esso. Nella prma catecora è rchesto un substrato pretrattato che provvede ad un gradente d energa superfcale. In un sstema sffatto l droflctà camba gradualmente sul substrato e la gocca s muove d moto auto-propulso; è però pur sempre rchesta la presenza d un gradente d una qualche varable termodnamca. Nella seconda categora, nvece, non è affatto rchesto l pretrattamento del substrato o, n alcun cas, non è nemmeno necessaro lo stesso. È n questa categora che s nsersce l gà ctato effetto Marangon. Stud recent sul moto auto-propulso d oggett collodal come gocce, vesccole, gel e pccole partcelle sono contenut negl artcol [3], [4], [5], [6] e [7] della Bblografa. Oggett sffatt che esbscono un moto autonomo, rcordano a tutt gl effett la matera attva perchè s tratta d sstem che rspondono attvamente a cambament dell ambente crcostante qual varazone della concentrazone d una certa sostanza chmca, cambamento della temperatura, presenza o meno d reazon chmche ecc. Lo studo del moto d gocce, vesccole, ecc. e delle condzon che lo rendono possble costtusce un ambto d frontera della rcerca n quanto confluscono scenze qual fsca, chmca, bologa e scenza de materal. La prma d esse, nfatt, mette a dsposzone l lnguaggo matematco e le equazon necessare per modellzzare e descrvere l comportamento de sstem chmc, bologc, ecc. Ad esempo nel gà ctato lavoro [6] della Bblografa gl autor hanno studato l moto collettvo d una colona d batter modellzzandol come tante gocce auto-propulse d acqua n moto n una fase oleosa d background. 15

22 1.6 Un recente espermento sul moto auto-propulso delle gocce In questo paragrafo verrà presentato uno tra recent esperment relatv al moto auto-propulso d gocce. L esperemento n questone, d cu se presenterà una sntes, è descrtto nel dettaglo nel lavoro [5] della Bblografa. Dalla pubblcazone sono state attnte le relatve mmagn che verranno rportate nel seguto. Il sstema spermentale consste n gocce d olo che esbscono un moto auto-propulso consumando del surfattante drolzzable come carburante fornto dal bulk d una dspersone acquosa. Lo schema della reazone droltca è l seguente. Fgura 1.6: Il surfattante carburante 1 produce anlna lpoflca 2 e benzalede 3 n presenza d catalzzatore 4. Immedatamente dopo aver mescolato la dspersone acquosa d surfattante 1 (N-(4-[3-[trmetlammono]etossle]benzldene)-4-octanlna bromuro), sntetzzato dalla 4-octalnla 2 e 2-(4-formfenoxy)trmetlammono etlco bromuro) 3, con emulsone d 4-octanlna 2 contenente catalzzatore fluorescente, la maggor parte dele gocce, da dametr tra µm entrano n movmento. L aspetto pù nteressante dell espermento consste nel fatto che le gocce, nel moto, esbscono delle goccolne d dametr d crca 1 3µm sulla parte posterore come rportato. Queste goccolne d scarco crescono o s fondono alla superfce della gocca fno ad un certo dametro lmte (crca 3µm), per essere, nfne, espulse dalle gocce e dssolte nel bulk della soluzone acquosa. 16

23 Fgura 1.7: In (a) è rportata una rappresentazone d una gocca d olo auto-propulsa che consuma surfattante carburante e produce goccolne d olo d scarco nel retro. Le frecce rappresentano la drezone del movmento de lpofl sulla superfce della gocca orgnara. In (b) sono, nvece, mostrate fotografe sequenzal del rlasco d goccolne d rfuto dal retro della gocca. La frecca n nero ndca la drezone del moto della gocca auto-propulsa. I pass fondamental che portano al moto auto-propulso delle gocce sono così rassumbl: dapprma s nnesca l drols del surfattante carburante sulla superfce della gocca contenente l catalzzatore. Una fluttuazone del tasso d drols conduce ad una rottura della smmetra della gocca d olo rspetto a tutt st potenzalmente reattv della superfce con accumulo de prodott dell drols ne st pù reattv. La rottura della smmetra della gocca d olo provoca una varazone della tensone nterfaccale tra st dove v è accumulo de prodott ed st dove v è meno surfattante drolzzato. Scatursce qund un moto laterale sulla superfce della gocca per effetto Marangon. Dal momento che la sngola gocca d olo è nteramente coperta d surfattante, prodott lpoflc, generat dall drols del carburante, non s dssolvono nella stessa ma s aggregano per formare pccole goccolne d rfuto. L energa nterfaccale del lato tranante della gocca 17

24 dventa mnore del lato posterore dove v è accumulo d gocce d rfuto. Tutto cò s traduce, qund, nel moto delle gocce d olo. Il lato tranante delle gocce auto-propulse prende ulterore surfattante l quale è convertto, per drols, n prodotto lpoflco e spnto, durante l moto, verso l lato posterore dove s accumula per essere succesvamente rlascato. Tale meccansmo d trasfermento d massa, dall assorbmento del surfattante carburante all accumulo e rlasco de prodott d rfuto, resce ad autosostenere l moto delle gocce fno a che sa presente l surfattante ed l catalzzatore per nnescare l processo d drols. 18

25 1.7 Modello drodnamco per una mscela bnara n presenza d surfattante Il sstema fsco oggetto d studo n questo lavoro d tes rguarda una mscela bnara, rappresentata da una gocca d lqudo n un altro, n presenza d una terza componente dluta d surfattante. Tutta l nformazone sulla termodnamca d tale sstema è contenuta nel seguente funzonale d energa lbera: [ ] B(c) F(φ, c) = d r 2 ( φ)2 + f GL (φ) + f 0 (c) (1.38) n cu φ rappresenta la concentrazone locale della mscela bnara assunta a parametro d ordne del sstema fsco mentre c denota la concentrazone della terza componente dluta d surfattante. Il coeffcente B(c) > 0 s assume dpendere lnearmente da c come: con B 0 e B 1 costant, l termne logartmco B(c) = B 0 + B 1 c (1.39) f 0 (c) = c ln c (1.40) scatursce dell entropa traslazonale della componente dluta mentre f GL (φ) è funzone solo d φ. In generale termn del funzonale d energa lbera possono essere suddvs n due grupp: termn polnomal che descrvono le propretà d bulk del sstema ed l termne d gradente legato alle propretà dell nterfacca. Al d sotto d una certa temperatura crtca, l sstema s trova n una fase ordnata caratterzzata dal parametro d ordne, φ, dverso da zero con separazone delle vare component della mscela. Se s suppone che l sstema s trov n prossmtà del punto crtco allora f GL (φ) assume la tpca forma d Gnzburg-Landau seguente: f GL (φ) a 2 φ2 + b 4 φ4 (1.41) dove a e b sono funzon della temperatura con b postvo mentre a può essere postvo, negatvo o nullo. Se a(t ) > 0 allora l sstema fsco s trova n una fase dsordnata al d sopra della temperatura crtca caratterzzata da un mescolamento delle vare component della mscela e un parametro d ordne < φ >= < φ > ndca l valor medo della grandezza φ. 19

26 Se, nvece, a(t ) < 0 allora l sstema fsco s trova nella fase ordnata al d sotto del punto crtco con fas separate e < φ > 0. Infne, se a(t ) = 0 allora l sstema è al punto crtco. In tale lavoro d tes s è potzzato che all stante nzale l sstema fsco sa gà al d sotto della temperatura crtca con coeffcente a < 0 e che la temperatura sa costante. Le equazon d evoluzone temporale della concentrazone della mscela bnara e del surfattante sono: φ δf + (uφ) = 2 (1.42) t δφ e c t + (uc) = [ L(c) δf δc ] (1.43) con u veloctà locale del fludo, L(c) = Dc e D coeffcente d dffusone del surfattante. Dal funzonale d energa lbera è possble rcavare, attraverso la dervata funzonale, le funzon termodnamche del sstema. Ad esempo l potenzale chmco della mscela bnara è matematcamente defnto come dervata funzonale dell energa lbera rspetto alla concentrazone φ: 5 µ(x) = δf δφ(x) = aφ + bφ3 B(c) 2 φ B 1 c φ. (1.44) Analogamente l potenzale chmco del surfattante è defnto come: 1.8 Tensore d pressone µ (x) = δf δc(x) = ln c B 1 2 ( φ)2. (1.45) Un altra mportante grandezza termodnamca rcavable dal funzonale d energa lbera è la pressone. Per un sstema omogeneo la pressone d bulk è defnta come dervata funzonale dell energa lbera rspetto al volume ed all equlbro termodnamco è costante n ogn zona del fludo. Se l sstema però non è omogeneo, è costtuto da flud dfferent e presenta nterfacce che separano le vare fas, la pressone vara da punto a punto, vene a dpendere anche da gradent della concentrazon delle vare component della mscela ed assume qund una forma tensorale. Pertanto, quando s studano 5 S rcorda che assegnato un funzonale F [φ] con φ = φ(x), la dervata funzonale d F rspetto a φ è defnta come: δf δφ(x) = lm ε 0 F [φ+εδ(x x )] F [φ] ε. 20

27 flud a pù component,è pù rgoroso ntrodurre l pù generale concetto d tensore d pressone la cu forma, specfca del sstema studato, è data dalla relazone seguente: [ P αβ = φ δf ] δφ + cδf f(φ, c) δ αβ + D αβ (φ, c) (1.46) δc con f(φ, c) denstà d energa lbera corrspondente alla funzone ntegranda della (1.38) e D αβ (φ, c) un tensore smmetrco aggunto n modo tale da garantre la pù generale condzone d equlbro meccanco del sstema corrspondente al requsto: Dopo alcun passagg algebrc s ha: α P αβ = 0. (1.47) φ δf δφ = φµ = aφ2 + bφ 4 B(c)φ 2 φ B 1 φ c φ (1.48) c δf δc = cµ = c ln c + c + B 1 2 c( φ)2 (1.49) f(φ, c) = B(c) 2 ( φ)2 + a 2 φ2 + b 4 φ4 + c ln c. (1.50) Mettendo nseme var termn ed mponendo la condzone (1.47) per rcavare l tensore smmetrco,la forma fnale che assume l tensore d pressone è la seguente: P αβ = p 0 δ αβ + D αβ (φ, c) (1.51) con p 0 parte dagonale del tensore d pressone nella forma: p 0 = a 2 φ φ4 B(c)φ 2 αφ B 1 φ α c α φ + c B 0 2 ( αφ) 2 (1.52) mentre l tensore smmetrco D αβ (φ, c) assume la forma: D αβ (φ, c) = B(c) α φ β φ. (1.53) Il calcolo precedente permette d calcolare l tensore d pressone a partre dalla relazone (1.46). Verrà ora presentato un modo alternatvo e pù generale con cu è possble calcolare l tensore d pressone. Il lettore nteressato ad approfondre l argomento può consultare l lavoro [2] della Bblografa. La relazone d partenza è la seguente: σ(r) = [(µ U (r))n (r) f(r)] + A j (n(r)) n (r) n j (r). (1.54) In questa relazone s è ndcato con σ l tensore d pressone, n è la concentrazone della spece -esma del sstema fsco n esame mentre µ corrspondono a potenzal 21

28 chmc della spece -esma. Nel caso oggetto d studo µ 1 = µ è l potenzale chmco della mscela bnara mentre µ 2 = µ è l potenzale chmco del surfattante. A j è la matrce d correlazone che msura la correlazone tra la spece -esma con la spece j-esma; per l sstema trattato s dmostra che l unca componente non banale della matrca rsulta essere A 11 = B 0 + B 1 c. Infne U (r) è un potenzale esterno relatvo alla spece -esma; nel sstema specfco s ha U (r) = 0. Tenendo conto delle nformazon precedent e dopo alcun passagg algebrc, la forma fnale del tensore d pressone è del tutto analoga a quella del calcolo precedente con: P αβ = p 0 δ αβ + D αβ (φ, c). (1.55) 1.9 Concluson In questo captolo s è prma data una panoramca de concett fsc qual la tensone superfcale, l energa lbera per po passare alla trattazone dell effetto Marangon come mportante fenomeno d superfce. Il captolo s è concluso con l ntroduzone del sstema fsco oggetto d studo n questo lavoro d tes a partre dal funzonale d energa lbera con la scrttura delle equazon d evoluzone delle component della mscela. Nel Captolo 2 sarà nvece descrtto l metodo LBM brdo consstente n una tecnca numerco-computazonale per la rsoluzone numerca delle equazon drodnamche del sstema altrment rrsolvbl analtcamente. 22

29 Captolo 2 Il modello Lattce Boltzmann brdo In questo captolo sarà presentato l modello Lattce Boltzmann Method (o semplcemente metodo LBM) ntrodotto per lo studo d mscele bnare d flud con surfattante. D tale metodo esstono svarat algortm ma quello che verrà descrtto n questa tes è quello brdo. Esso utlzza un approcco msto (da cu l nome) per la rsoluzone delle equazon drodnamche del sstema fsco presentato nel Captolo 1: le equazon d contnutà e d Naver-Stokes sono rsolte con l metodo LBM standard mentre le equazon d convezone-dffusone per la concentrazone della mscela bnara e della terza componente agguntva d surfattante sono rsolte con un metodo alle dfferenze fnte. L organzzazone del captolo segurà quest punt:sarà dapprma descrtto l metodo LBM standard evdenzandone caratterstche e preg per po applcarlo allo studo d un sngolo fludo e come estenderlo ad una mscela bnara con surfattante, s mostrerà come nel lmte contnuo sa possble ottenere le equazon d contnutà e d Naver-Stokes, s descrverà l mplementazone numerca del modello brdo e s concluderà con la descrzone del metodo alle dfferenze fnte che permette la dscretzzazone degl operator dfferenzal che compaono nelle equazon. 23

30 2.1 Generaltà sul metodo LBM S parte consderando le equazon d evoluzone delle concentrazon del sstema fsco rappresentato da una mscela bnara n presenza d una terza componente dluta d surfattante, note come equazon d convezone-dffusone: t φ + α (φu α ) = 2 αµ (2.1) t c + α (cu α ) = α [L(c) α µ ]. (2.2) S tratta delle stesse equazon scrtte nel Captolo 1 scrtte ora n termn delle component cartesane. S rcorda che φ e c rappresentano le due concentrazon, u α sono le component del vettore veloctà, µ e µ sono potenzal chmc rspettvamente d φ e d c mentre D (L(c) = Dc) è l coeffcente d dffusone d quest ultmo. Per completare l set d equazon s aggungono l equazone d contnutà t n + α (nu α ) = 0 (2.3) che esprme l vncolo della conservazone della massa d fludo e l equazone d Naver- Stokes ( t (nu α ) + α (nu α u β ) = α P αβ + α [η α u β + β u α 2δ αβ d γu γ ) + ζδ αβ γ u γ ] (2.4) gà ntrodotta nel Captolo 1, che rappresenta l equazone per l mpulso del fludo. Se d=2 ovvero se s consdera un sstema bdmensonale, allora tal relazon costtuscono un set d cnque equazon nelle cnque ncognte: n, u, φ e c. Esse sono equazon dfferenzal alle dervate parzal che n generale non s sanno rsolvere analtcamente salvo cas semplc n cu è possble semplfcarle notevolmente; per questo motvo nello studo de sstem fludodnamc s utlzzano metod computazonal numerc, uno de qual è rappresentato dal Lattce Boltzmann Method o noto anche semplcemente come metodo LBM. Il Lattce Boltzmann Method (tradotto letteralmente Metodo Retcolare d Boltzmann) è uno de prncpal algortm computazonal utlzzat n ambto scentfco per la smulazone delle equazon della fludodnamca per una vasta classe d flud. S premette, nnanztutto, che l metodo è basato su un approcco mesoscopco secondo l quale s consdera un elemento d fludo pccolo da un punto d vsta macroscopco ma pur sempre grande da un punto d vsta mcroscopco tale da contenere un elevato numero d atom o molecole dell ordne del numero d Avogadro. Dal momento che lo studo della meccanca delle sngole molecole del fludo può rsultare alquanto complcato, la fsca de flud è descrtta da poche e semplc varabl termodnamche qual 24

31 campo d denstà, campo d veloctà e campo d concentrazone che evolvono secondo le equazon presentate prma. 1 L dea generale alla base del metodo prevede l ntroduzone d una convenente geometra retcolare con la quale s dscretzzano spazo e tempo secondo un passo opportuno. In seguto su var st del retcolo s defnscono delle opportune funzon che evolvono nel tempo e sono legate alle grandezze fsche n esame, come s mostrerà ne prossm paragraf. Secondo questa procedura, l metodo LBM rsulta d grande auslo per lo studo de flud compless e per modellzzare fluss n mezz poros. Tale algortmo s presta molto bene alla studo delle geometre pù complesse (ad esempo paret che fungono da ostacol, tub capllar, dramazon, etc.) per va del modo con cu vengono defnte, ossa, come s è detto, attraverso retcol. L algortmo può essere utlzzato per studare fenomen d nterfacca, moto d gocce d lqudo n un altro lqudo, crescta ed evoluzone de domn e de pattern a lunghezze e temp caratterstc dfferent, come ad esempo la separazone d fase che s verfca durante la transzone d fase n un sstema ad una componente (ad esempo sstem lqudo-gas) e a due o pù component. Sebbene l algortmo goda d una vasta applcabltà sa n ambto scentfco che ndustrale, presenta alcun problem d carattere numerco che danno luogo a fenomen spur qual l esstenza d camp d veloctà non nulla localzzat lungo le nterfacce del sstema fsco che a lvello teorco non c s aspetterebbe. La mnmzzazone, se non la totale elmnazone d tal fenomen spur, è ogggorno un mportante argomento d rcerca asseme al contnuo svluppo e mgloramento del metodo. Il lettore nteressato ad eventual applcazon sul metodo LBM può consultare lavor [8], [9], [10], [11] e [13] della Bblografa. Nella descrzone del metodo LBM, che segurà, s consdererà dapprma un fludo ad una componente o a sngola fase per po passare all esempo pù complesso d una mscela bnara o fludo a due component n presenza d una eventuale terza componente d surfattante. 1 Un altra grandezza termodnamca caratterstca è la temperatura ma non è ma ctata n tes perchè s è consderato una mscela soterma d flud. 25

32 2.2 Metodo LBM per un sngolo fludo Dscretzzazone dello spazo S defnsce una geometra retcolare con un passo spazale x e uno temporale t n cu ad ogn sto del retcolo è assocato un set d funzon d dstrbuzone f (x, t); a loro volta ad ogn f è assocato un vettore retcolare e. Il numero d vettor retcolar dpende dalla geometra scelta: una delle pù convenent ed utlzzate (utlzzata anche nelle smulazon d questo lavoro d tes) è rappresentata dal retcolo bdmensonale quadrato D 2 Q 9 con nove veloctà con nterazone tra prm e second vcn rportato n Fgura (2.1). Sullo stesso sono defnte nove veloctà retcolar (e ) =0,...,8 che puntano su st vcn del retcolo eccetto la veloctà e 0 che rappresenta la veloctà nulla. Fgura 2.1: Cella del retcolo D2Q9. Se x è la dstanza d due st prm vcn e t l passo temporale, allora s defnsce c = x (2.5) t e le veloctà retcolar sono scrtte come segue e 0 (0, 0) (2.6) e 1 (c, 0), e 2 (0, c), e 3 ( c, 0), e 4 (0, c) (2.7) e 5 (c, c), e 6 ( c, c), e 7 ( c, c), e 8 (c, c) (2.8) con modul 26

33 0 se = 0 e = c se = 1, 2, 3, 4(prm vcn) c 2 se = 5, 6, 7, 8(second vcn) I vettor retcolar, noltre, soddsfano delle relazon tensoral che saranno utl n seguto: e α = 0 (2.9) dove e α e β = 2c 2 δ αβ + 4c 2 δ αβ (2.10) e α e β e γ = 0 (2.11) e α e β e γ e δ = 2c 4 δ αβγδ + (4c 4 αβγδ 8c 4 δ αβγδ ) (2.12) αβγδ = δ αβ δ γδ + δ αγ δ βδ + δ αδ δ βγ, (2.13) dove sono stat dstnt contrbut tra prm e second vcn. S osserva che la sommatora de prodott dspar s annulla; questo dpende dall nvazanza del sstema per nverson spazal: e e (2.14) per va della quale s verfcano la prma e la terza delle (2.9) - (2.12). 27

34 Varabl dnamche e conservazone locale Le funzon d dstrbuzone, f, defnte su var st del retcolo, sono legate alle varabl fsche denstà n ed mpulso nu attraverso moment d ordne zero e d ordne uno: n = f, nu α = f e α. (2.15) S assume la conservazone locale delle f n ogn collsone ovvero l momento n cu le funzon d dstrbuzone gungono contemporaneamente su uno stesso sto: (f f 0 ) = 0, (f f 0 )e α = 0. (2.16) Cò garantsce la conservazone locale della massa e dell mpulso f 0 = n, f 0 e α = nu α (2.17) dove f 0 ndca la funzone d dstrbuzone all equlbro. S ntroduce un ulterore vncolo, rappresentato dal momento d secondo ordne delle f 0, necessaro affnchè esso sa uguale al momento d secondo ordne della dstrbuzone d Maxwell-Boltzmann e affnchè nel lmte contnuo sano rprodotte fedelmente le equazon dell drodnamca: f 0 e α e β = c2 3 nδ αβ + nu α u β. (2.18) 28

35 Evoluzone delle f Le f evolvono nel tempo secondo l equazone d Boltzmann: f (x + e t, t + t) f (x, t) = 1 τ (f f 0 ) (2.19) dove τ rappresenta l tempo d rlassamento ovvero l tempo necessaro per le f per evolvere verso le f 0. Il secondo membro dell equazone d Boltzmann rappresenta l operatore d collsone nell approssmazone BGK (sgla che sta per Bhatnagar, Gross, Krook). L evoluzone s compe n due fas: la prma è la fase d collsone, n cu, come s è detto prma, le funzon d dstrbuzone gungono su uno stesso sto ed evolvono secondo la seguente equazone: f coll (x, t) = f f (x, t) f 0 (x, t) τ (2.20) la seconda è la fase d propagazone delle f che hanno collso. Esse s propagano secondo l equazone seguente: f (x + e t, t + t) = f coll (x, t). (2.21) Il passo successvo consste nel trovare un espressone per la funzone d dstrbuzone all equlbro Coeffcent delle f 0 per un fludo a sngola fase Dal momento che l equazone d Naver-Stokes è non lneare al secondo ordne, è suffcente consderare un espansone d f 0 al secondo ordne nelle veloctà: f 0 = A σ + B σ e α u α + C σ u 2 + D σ (e α u α ) 2. (2.22) Nell espansone l ndce σ denota coeffcent corrspondent alle veloctà d modulo 0, c, c 2; n partcolare 0 se = 0 σ = 1 se = 1, 2, 3, 4(prm vcn) 2 se = 5, 6, 7, 8(second vcn) 29

36 Coeffcent d f 0 Il calcolo de coeffcent nella (2.22) vene effettuato mponendo le (2.17) e (2.18) e sfruttando le propretà tensoral delle veloctà retcolar. S parte mponendo l prmo vncolo nella (2.22): f 0 = n [A σ + B σ e α u α + C σ u 2 + D σ (e α u α ) 2 ] = n. (2.23) Svluppando la sommatora sull ndce ed esplctando coeffcent per σ = 0, s ottene n = (A 0 + A 1 + A 2 ) + (B 0 e α + B 1 e α + B 2 e α )u α + (C 0 + C 1 + C 2 )u 2 + [(D 0 + D 1 + D 2 )(e α u α ) 2 ] = n. (2.24) Tenendo conto delle propretà tensoral (2.9) - (2.12), ne segue che coeffcent B 0,B 1 e B 2 s annullano; dalla (2.9) s ha nfatt ne segue qund che B 0 e 0 + B 1 4 e α + B 2 =1 8 e α = 0 (2.25) n = A 0 + 4A 1 + 4A 2 + (C 0 + 4C 1 + 4C 2 )u 2 + 2c 2 (D 1 + 2D 2 )u 2. (2.26) Imponendo la seconda delle (2.17): =5 f 0 e α = nu α [A σ e α + B σ e α u α e β + C σ u 2 e α + D σ (e α u α ) 2 e γ ] = nu α (2.27) da cu tenendo conto delle (2.9) - (2.12), s ottene nu α = 2c 2 (B 1 + 2B 2 )u α (2.28) dove coeffcent A σ, B σ e D σ s annullano per va della prma e della terza delle (2.9)- (2.12). Imponendo nfne la (2.18) f 0 e α e β = c2 3 nδ αβ + nu α u β [A σ e α e β + B σ e α u α e β e γ + C σ u 2 e α e β + D σ (e α u α ) 2 e γ e δ ] = c2 3 nδ αβ + nu α u β 30 (2.29)

37 e consderando ancora le (2.9)- (2.12) ne consegue ovvero (2A 1 + 4A 2 )δ αβ c 2 + (2C 1 + 4C 2 )δ αβ c 2 u c 4 D 1 u γ u δ δ αβγδ + D 2 (4c 4 u 2 δ αβ + 8c 4 u α u β 8c 4 u γ u δ δ αβγδ ) = c 2 3 nδ αβ + nu α u β (2.30) [(2A 1 + 4A 2 )δ αβ c 2 + (2C 1 + 4C 2 )c 2 u 2 + 4c 4 D 2 u 2 ]δ αβ + 8c 4 D 2 u α u β + [(2D 1 8D 2 )u γ u δ ]c 4 δ αβγδ = c2 3 nδ αβ + nu α u β. (2.31) S osserva che coeffcent B 0, D 0 non compaono; questo per va dell sotropa del fludo d cu s è tenuto conto nell esapnsone d f 0 :solo coeffcent dell espansone n cu non compaono come fattor le veloctà retcolar hanno componente σ = 0 non nulla per va dell nvaranza e e dscussa ad nzo sezone. Dalle (2.26) e (2.28), per confronto, s ottengono tre equazon A 0 + 4A 1 + 4A 2 = n (2.32) C 0 + 4C 1 + 4C 2 + 2c 2 (D 1 + 2D 2 ) = 0 (2.33) 2c 2 (B 1 + 2B 2 ) = n. (2.34) Dalla (2.31), per confronto e consderando le possbl component cartesane d u 2, s ottengono le equazon 2c 2 (A 1 + 2A 2 ) = c2 3 nδ αβ, (2.35) [2c 2 (C 1 + 2C 2 ) + 2c 4 (D 1 + 2D 2 )]u 2 x = nu 2 x (2.36) [2c 2 (C 1 + 2C 2 ) + 2c 4 D 2 ]u 2 y = 0 (2.37) 8c 4 D 2 u x u y = nu x u y. (2.38) In totale s hanno a dsposzone sette equazon n dec ncognte: A 0, A 1, A 2, B 1, B 2, C 0, C 1, C 2, D 1, D 2. (2.39) 31

38 Tuttava è possble rdurre l numero delle ncognte: dalla (2.38) s nota che mentre dalle (2.36) e (2.37) s ottene D 2 = n 8c 4 (2.40) D 1 = 4D 2. (2.41) S è qund ottenuto un sstema d equazon che però ancora non è rsolvble senza porre ulteror condzon n quanto l numero delle ncognte è maggore del numero d equazon; posto qund A 1 = 4A 2, B 1 = 4B 2, C 1 = 4C 2. (2.42) Sosttuendo la prma d (2.42) nella (2.32) e nella (2.35) s ottene A A 2 = n (2.43) dalle qual 12c 2 A 2 = c2 3 nδ αβ (2.44) A 0 = n 20A 2 (2.45) Sosttuendo la seconda d (2.42) nella (2.34) s ottene A 2 = n 36. (2.46) B 2 = n 12c 2 (2.47) Infne sosttuendo (2.40), (2.41) e la terza d (2.42) nella (2.36) s ottene C 2 = n 24c 2 (2.48) e sosttuendo quest ultma nseme alle (2.40), (2.41) e la terza d (2.42) nella (2.33) s ha: C 0 = 2n 3c 2. (2.49) S rporta ora la lsta completa de coeffecent dell espressone delle f 0 : A 0 = n 20A 2, A 1 = 4A 2, A 2 = n 36 (2.50) B 0 = 0, B 1 = 4B 2, B 2 = 32 n 12c 2 (2.51)

39 Lmte d contnutà C 0 = 2n 3c 2, C1 = 4C 2, C 2 = n 24c 2 (2.52) D 0 = 0, D 1 = 4D 2, D 2 = n 8c 4. (2.53) Effettuando una espansone n sere d Taylor al secondo ordne nelle dervate del prmo membro dell equazone (2.19) vengono rprodotte nel contnuo le equazon dell drodnamca. 33

40 2.3 Nuovo modello LBM per una mscela bnara con surfattante Ora s prenderà n consderazone una mscela bnara d flud n prsenza d una terza componente d surfattante. La geometra utlzzata è sempre d tpo retcolare D2Q9, descrtta prma, n cu le funzon d dstrbuzone evolvono secondo l equazone d Boltzmann modfcata: f (x + e t, t + t) f (x, t) = tf t f f 0 (2.54) τ τ è l tempo d rlassamento che, come s mostrerà nel seguto, è legato alla vscostà del sstema mentre F è un termne d forza che può essere espresso n sere d potenze al secondo ordne nelle veloctà retcolar: [ F = ω A + B αe α + C ] αβ(e α e β c 2 sδ αβ ) (2.55) c 2 s 2c 4 s dove c s = c/ 3 è la veloctà del suono nel modello, gl ω sono de coeffcent mentre A, B α e C αβ sono delle funzon. Il sgnfcato de var termn sarà pù charo quando s affronterà l dscorso del lmte contnuo dove saranno tutt calcolat esplctamente e s dmostrerà che le tre funzon sono ugual a: A = 0, B = ( 1 t 2τ Le varabl drodnamche sono: n=denstà totale del sstema, u =veloctà meda del fludo ) F, C = ( 1 t 2τ legate alle funzon d dstrbuzone tramte vncol seguent ) (u F + Fu ). (2.56) n = f, nu = f e + mf t (2.57) con F termne d denstà d forza agente sul fludo ed m una costante che sarà meglo esplctata nella trattazone del lmte contnuo (s dmostrerà che m = 1/2). Le funzon d dstrbuzone d equlbro sono le stesse rcavate n precedenza per un fludo semplce ma espresse n termn delle veloctà u. 34

41 2.3.1 Numero d Knudsen ed espansone multscala S defnsce numero d Knudsen ε l rapporto tra l lbero cammno medo λ e la lunghezza caratterstca L del sstema: ε = λ L. (2.58) Il suo valore è utle per determnare quale delle formulazon matematche utlzzare tra l approcco mcroscopco e la teora de flud nel contnuo. Valor molto bass d ε rspetto all untà stanno ad ndcare la prevalenza della scala caratterstca L del sstema e qund suggerscono l utlzzo d una formulazone contnua per la fludodnamca. Tuttava n questo caso è anche possble utlzzare l approcco mcroscopco se s consderano scale mesoscopche. Tale coeffcente stablsce qund un lmte d valdtà per l equazone d Naver- Stokes:affnchè l equazone d Naver-Stokes sa valda deve verfcars la seguente condzone:ε < 0.1, ovvero ε << 1. Il numero d Knudsen rappresenta qund un punto d rfermento per lo studo de fenomen drodnamc n cu sono present anche fenomen dffusv:s ha nfatt che dsomogenetà spazal dell ordne ε 1 rlassano su scale temporal dell ordne ε 2. Questa stuazone permette qund d studare l lmte contnuo tramte uno svluppo d Chapman-Enskog al fne d rsolvere l equazone d evoluzone per approssmazon successve. Lo svluppo multscala n ε che sarà presentato nel paragrafo successvo rguarda le dervate temporal, spazal e la funzone d dstrbuzone: t = ε t1 + ε 2 t2, (2.59) β = ε β1, (2.60) v = ε v1, (2.61) f = f (0) + εf (1) + ε 2 f (2). (2.62) In questo modo l contrbuto d f (1) ed f (2) dmnusce all aumentare d ε e la funzone d dstrbuzone s approssma sempre meglo ad una maxwellana. 35

42 2.3.2 Lmte contnuo Verrà ora dmostrato come nel lmte contnuo sa possble rcostrure l equazone d contnutà e d Naver-Stokes. Nel modello D2Q9 una scelta convenente per coeffcent ω è quella d porre: ω 0 = 4/9, ω 1 4 = 1/9, ω 5 8 = 1/36. (2.63) Le funzon A, B α, C αβ sono funzon d F α e sono determnate n modo tale da garantre la consstenza con le equazon dell drodnamca de moment d F. S ha: 8 F = A, =0 8 e α F = B α, =0 8 e α e β F = c 2 saδ αβ [C αβ + C βα ]. (2.64) =0 Accanto ad esse s consdera anche l espressone del momento d ordne uno gà vsta ne paragraf precedent: nu α = f e α + m tf α nu α = nu α + m tf α (2.65) con m costante da determnare. Questa varazone da nu α = f e α è dovuta alla presenza del termne d forza che produce una varazone d mpulso per ogn step temporale e d conseguenza nella f 0 appare la nuova veloctà d equlbro u α: f 0 = A σ + B σ e α u α + C σ u 2 + D σ (e α u α) 2. (2.66) Anche la scelta della forma d A,B α,c αβ vene fatta n modo tale da asscurare nel lmte contnuo, la rproduzone delle equazon d contnutà e d Naver-Stokes. Le equazon dell drodnamca possono essere rcavate nel lmte contnuo tramte un espansone multscala del numero d Knudsen ε vsta nel paragrafo precedente n pù: F α = εf α1 ; A = εa α1 ; B α = εb α1 ; C αβ = εc αβ1. (2.67) Svluppando n sere d Taylor l prmo membro della (2.54) al secondo ordne n t s ottene: ossa t(e β β + t )f + t2 2 (e β β + t ) 2 f = tf t f f 0 τ f (2.68) t(e β β + t )f + ( t)2 (e β e γ β γ + t 2 + e β β t )f = tf t f f 0. (2.69) 2 τ f 36

43 Semplfcando t e utlzzando lo svluppo d Chapman-Enskog tramte le (2.59)- (2.62) e (2.67) l espressone dventa: (εe β β1 + ε t1 + ε 2 t2 )(f (0) + εf (1) + ε 2 f (2) )+ + t 2 [e βe γ ε 2 β1 γ1 + (ε t1 + ε 2 t2 ) 2 + εe β β1 (ε t1 + ε 2 t2 )] (f (0) + εf (1) + ε 2 f (2) ) = εf 1 f (0) + εf (1) + ε 2 f 2 f 0. τ f (2.70) Svluppando prodott, trascurando termn d ordne superore ad O(ε 2 ), raccoglendo termn dello stesso ordne n ε ed eguaglando membro a membro s ottene, per var ordn: O(ε 0 ) : f (0) = f 0 (2.71) O(ε) : (e β t1 + t1 )f (0) = 1 τ f f (1) + F 1 (2.72) O(ε 2 ) : t2 f (0) +(e β β1 + t1 )f (1) + t 2 ( 2 t1f (0) +e β e γ β1 γ1 f (0) +2e β β1 t1 f (0) ) = f (2) τ (2.73) nelle qual s sono fattorzzat termn comun. Per va della (2.71) s può sostture nelle (2.72) e (2.73) f (0) con f 0. S ha noltre che: f = f 0 = n (f (0) + εf (1) + ε 2 f (2) ) = n (2.74) da cu Inoltre f 0 e α = nu α = da cu f (1) = f e α +m tf α = f 0 e α = f (2) = 0. (2.75) f (0) e α +ε f (1) e α +ε 2 f (2) +εm tf 1α (2.76) f (0) e α (2.77) f (1) e α = m tf 1α (2.78) f (2) e α = 0. (2.79) 37

44 Equazone d contnutà Svluppando ora prodott nella (2.72) ed applcando t1, s ottene: applcando e γ t1 alla (2.72) s ha: 2 t1f 0 + e β β1 t1 f 0 = 1 τ t1f (1) + t1 F 1 (2.80) e γ γ1 t1 f 0 + e β e γ β1 γ1 f 0 = 1 τ e γ γ1 f (1) + e γ γ1 F 1. (2.81) Sottraendo la (2.81) dalla (2.80) s ottene: 2 t1f 0 = e β e γ β1 γ1 f 0 1 τ t1f (1) + 1 τ e γ γ1 f (1) + t1 F 1 e γ γ1 F 1 (2.82) che, sosttuta n (2.73) porta alla seguente Dalla (2.72) segue t2 f 0 + t1 f 1 + t 2 e βe γ β1 γ1 f 0 t 2τ t1f (1) + t 2τ e γ γ1 f (1) + t 2 ( t1f 1 e γ γ1 F 1 ) + e β β1 f (1) + t 2 e βe γ β1 γ1 f 0 + da cu, moltplcando per te β e γ, s ottene te β β1 t1 f 0 te β β1 t1 f 0 = f (2) τ. (2.83) t1 f 0 = e β β1 f 0 1 τ f (1) + F 1 (2.84) = te β e γ β1 γ1 f 0 t τ e β β1 f (1) + te β β1 F 1 (2.85) che sosttuta n (2.83) porta alla seguente t2 f 0 + t1 f (1) + t 2 e βe γ β1 γ1 f 0 t 2τ t1f (1) + t 2τ e β γ1 f (1) + t 2 ( t1f 1 e γ γ1 F 1 ) + e β β1 f (1) + t 2 e βe γ β1 γ1 f 0 te β e γ β1 γ1 f 0 t τ e β β1 f 1 + te β β1 F 1 = 1 τ f (2) e dopo alcune semplfcazon dventa t2 f 0 + t1 f (1) t 2τ t1f (1) + t 2τ e γ γ1 f (1) + e β β1 f (1) t τ e β β1 f (1) = 1 τ f (2) t 2 ( t1f 1 e γ γ1 F 1 ). 38 (2.86) (2.87)

45 Se ora s somma sull ndce la (2.72), tramte le (2.65) e (2.77) e rcordando che f 0 = n, s ottene t1 n + β1 (nu β) = A 1 (2.88) che è l equazone d contnutà al prmo ordne per A 1 = 0 e qund A = 0. Se ora s moltplca la (2.72) per e α e sommando sull ndce, assumendo B 1α = λf 1α s ottene ( ) c t1 (nu α) + β1 (nu αu 2 β) + β1 3 nδ αβ = m τ F 1α t + λf 1α (2.89) dove l terzo termne del prmo membro è stato ottenuto esplctando nella somma la (2.66) con coeffcent dat dalle (2.50) - (2.53), e utlzzando la seconda propretà tensorale (2.10), la (2.89) è l equazone del momento al prmo ordne con la condzone λ + m t = 1. (2.90) τ Sommando sull ndce la (2.87) s ha t2 n t 2τ γ1( mf 1γ t) + γ1 ( mf 1γ t) = t 2 [ t1a 1 + γ1 (λf 1γ )] (2.91) che, con le condzon (2.90) e A 1 = 0, dventa ovvero t2 n + t 2τ γ1(mf 1γ t) γ1 (mf 1γ t) = t 2 ( 1 m t ) γ1 F 1γ (2.92) 2 ( t2 n = t m 1 ) γ1 F γ. (2.93) 2 Sommando quest ultma con la (2.88) (con la condzone A = 0) e raggruppando gl ordn, s ottene ( t n + β (nu β) = t m 1 ) γ F γ (2.94) 2 che dventa l equazone d contnutà ponendo m = 1 2. (2.95) 39

46 Equazone d Naver-Stokes Moltplcando ora la (2.87) per e α e sommando sull ndce, dopo alcun passagg algebrc s arrva alla seguente ( t2 (nu α) + 1 t ) β1 e α e β f (1) = t 2τ 4 γ1(c 1αγ + C 1γα ). (2.96) Bsogna trovare ora l espressone esplcta del secondo momento d f (1) : e α e β f (1) = e α e β [ τ t1 f 0 τe γ γ1 f 0 + τf 1 ] = τ t e α e β f 0 τ γ1 e α e β e γ f 0 + τ (2.97) e α e β F 1 esplctando la forma d f 0 tramte le (2.66), (2.50) - (2.53) e utlzzando le propretà tensoral (2.9) - (2.12) la precedente dventa [ ] e α e β f (1) c 2 = τ t1 3 nδ αβ + nu αu β [ ] c 2 τ γ1 3 n(u γδ αβ + u αδ βγ + u βδ αγ + τ (2.98) e α e β F 1. Dalle equazon al prmo membro noltre s ha t1 n = β1 (nu β) (2.99) ( ) c t1 (nu 2 α) = γ1 3 nδ αγ + nu αu γ + F 1α (2.100) che sosttute nella (2.98) portano alla seguente [ c 2 e α e β f (1) = τ 3 β1(nu α) + c2 3 α1(nu β) + nu α t1 u β u β γ1 ( ) c 2 3 nδ αβ + nu αu β + u βf 1α S osserva che dallo svluppo della dervata t1 (nu α) s può rcavare l espressone e α e β F 1 ]. (2.101) n t1 u β = t1 (nu α) + u β γ1 (nu γ) ( ) c 2 = γ1 3 nδ βγ + nu βu γ + F 1β + u β γ1 (nu γ) (2.102) 40

47 che moltplcata a snstra per u α dventa ( ) c nu α t1 u β = u 2 α γ1 3 nδ βγ + nu βu γ + u αf 1β + u αu β γ1 (nu γ). (2.103) Sosttuendo nella (2.101), dopo alcun passagg algebrc s ottene e α e β f (1) [ c 2 = τ 3 n( β1u α + α1 u β) γ1 (nu αu β) + u βf 1α + u αf 1β e α e β F 1 ] (2.104) nella quale l secondo termne nelle parentes quadre può essere trascurato n quanto del terzo ordne nelle veloctà u. Sosttuendo questo rsultato nella (2.96) s ottene ( t2 (nu α) + 1 t ) { [ c 2 β1 τ 2τ 3 n( β1u α + α1 u β) + u βf 1α + u αf 1β }] e α e β F 1 = t 4 γ1(c 1αγ + C 1γα ). (2.105) Effettuando n quest ultma alcune operazon algebrche e sceglendo per C 1αβ la forma ( C 1αβ = 1 t ) (u 2τ αf 1β + u βf 1α ) (2.106) la (2.105) dventa t2 (nu α) = c2 3 ( τ t ) β1 [n( β1 u α + α1 u 2 β1)] (2.107) ovvero l equazone del momento al secondo ordne che, sommata a quella al prmo ordne (2.89) porta alla seguente ( ) c t (nu α) + β (nu αu 2 β) = β 3 nδ αβ + F α + ν β [n( β u α + α u β)]) (2.108) = β (c 2 P αβ ) + ν[n( β u α + α u β)] che non è altro che l equazone d Naver-Stokes con coeffcente d vscostà ( ν = c2 τ t ) 3 2 (2.109) 41

48 e tensore d pressone defnto dalla relazone β (c 2 P αβ ) = β (pδ αβ ) + F α. (2.110) Sosttuendo le espresson de coeffcent A, B α, C αβ, l espressone del termne d forza dventa ( F = 1 t ) [ eα u α ω + (e ] αu α)e α F 2τ c 2 s c 4 α. (2.111) s t τ Dmostrazone del contrbuto al prmo ordne d F Assumendo che F α sa d ordne O(ε 0 ), s avrebbe dall espansone multscala che f 0 ] + tf = 0 e qund: [f (0) f (0) e α = Ma valgono anche le seguent relazon: f (0) f (0) = f 0 + τf (2.112) f 0 e α + τ che nseme alle precedent portano a concludere F e α. (2.113) f (0) = nu α + τλf α (2.114) = f e α ε f (1) e α ε 2 f (2) e α (2.115) f e α = nu α m tf α (2.116) ε f (1) e α + ε 2 f (2) e α = nu α m tf α nu α τλf α (2.117) dove λ = 1 t 2τ e m = 1.Qund s arrva alla seguente conclusone: 2 ε f (1) e α + ε 2 f (2) e α = τf α (2.118) da cu F α d ordne O(ε) f (1) d ordne O(ε 1 ). La seconda porta ad un assurdo n quanto f 1 è del prmo ordne n ε, per cu s conclude che F α è d ordne O(ε). La scelta d un termne d forza al prmo ordne nel numero d Knudsen non nfluenza qund la dstrbuzone d popolazone all equlbro, ovvero l termne f (0). 42

49 2.4 Termne d forza del sstema studato Questo paragrafo s rallacca drettamente al Captolo 1 per quanto rguarda la determnazone dell espressone analtca del termne d forza del metodo LBM brdo. Come s è dmostrato nel lmte contnuo l termne d forza deve essere: F β = α P αβ (2.119) per consstenza con la rcostruzone delle equazon drodnamche d contnutà e d Naver-Stokes. S rcorda l espressone del tensore d pressone del sstema studato: P αβ = p 0 δ αβ + D αβ (φ, c) (2.120) con p 0 parte dagonale del tensore d pressone nella forma: p 0 = a 2 φ φ4 B(c)φ 2 αφ B 1 φ α c α φ + c B 0 2 ( αφ) 2 (2.121) mentre l tensore smmetrco D αβ (φ, c) assume la forma: D αβ (φ, c) = B(c) α φ β φ. (2.122) Usando la (2.119), dopo var passagg algebrc l espressone fnale del termne d forza dventa: F = φ µ c µ (2.123) All equlbro termodnamco potenzal chmc sono costant ovvero µ = µ = 0, qund F = 0 pertanto cò è n accordo con l requsto (1.47). 43

50 2.5 Implementazone numerca del modello brdo S descrverà ora l mplementazone numerca del modello, rmandando al paragrafo successvo dettagl relatv all mplementazone degl operator dfferenzal con l metodo alle dfferenze fnte (FD). S descrverà n partcolare l mplementazone delle equazon d convezonedffusone Implementazone dell equazone d convezone-dffusone Le equazon d convezone-dffusone per la mscela bnara e per l surfattante t φ + α (φu α ) = 2 αµ (2.124) t c + α (cu α ) = α [L(c) α µ ] (2.125) sono rsolte drettamente utlzzando l metodo alle dfferenze fnte che sarà descrtto nel paragrafo successvo. L aspetto mportante da puntualzzare è che l t usato nello schema F D può essere dverso da quello usato nel metodo LBM. Se s ndca con t F D l ntervallo temporale nello schema F D e t LB l passo temporale del metodo LBM, la relazone che lega le due scale temporal è: t F D = t LB M (2.126) dove M ndca l numero d suddvson dell ntervallo temporale [t, t + t LB ]. La scelta del valore d M è dettata da ragon d stabltà numerca dell algortmo che rsolve l equazone d convezone-dffusone. Il prmo passo per l mplementazone dell equazone d convezone-dffusone consste nel defnre la veloctà del fludo u(x, t). Su ogn sto del retcolo s consdera la veloctà al tempo t d collsone e la veloctà al tempo t + t LB d propagazone S effettua un nterpolazone lneare della veloctà defnendo po du α (x, t) = uprop α u coll α (x, t) (2.127) u prop α (x, t + t). (2.128) (x, t + t LB ) u coll α (x, t) M (2.129) u α (x, t + (χ 1) t LB ) = u coll α (x, t + t LB ) + (χ 1)du α (x, t) (2.130) 44

51 facendo varare χ da 1 ad M. Questo è un modo per nterpolare al meglo la varazone d veloctà, come mostrato n fgura, fssando l valore d M n modo tale da ottenere una buona nterpolazone ed una buona effcenza temporale delle smulazon. Successvamente s consdera l equazone d convezone-dffusone con l termne con- Fgura 2.2: Interpolazone della veloctà. vettvo svluppato (per semplctà s rporta solo l caso dell equazone per la mscela bnara ma l dscorso è valdo anche se s consdera l equazone per l surfattante). t φ = φ α u α ( α φ)u α + 2 αµ (2.131) che vene ntegrata n due passagg all nterno d un cclo che tera l evoluzone M volte: su ogn sto del retcolo è calcolata l equazone con l termne convettvo φ (x, t) = φ(x, t) + t F D [ φ α u α ( α φ)u α ] (2.132) successvamente la concentrazone vene aggornata, sempre su ogn sto, aggungendo l termne dffusvo φ(x, t + t F D ) = φ (x, t) + t F D αµ. 2 (2.133) S osserva l mportanza della scelta numerca del valore d M a fn della stabltà numerca del codce:un valore troppo grande mplca maggor precsone ma temp d smulazone molto lungh. La scelta del valore deve qund conugare la stabltà numerca e la rapdtà de temp d calcolo. 45

52 2.6 Metodo alle dfferenze fnte Il Metodo alle Dfferenze Fnte è un metodo matematco che permette d approssmare nel dscreto le dervate e gl operator dfferenzal present nelle equazon dfferenzal ed è partcolarmente utle nello studo numerco delle equazon dfferenzal alle dervate parzal. Tale metodo permette d dscretzzare le dervate d una funzone su svarate grgle retcolar e non, costtuent lo spazo dscretzzato. Nel caso trattato, la dscretzzazone vene effettuata sullo stesso retcolo del metodo LBM. Per tale approssmazone s può defnre un accuratezza, ossa l errore dovuto alla dscretzzazone delle dervate Dervata n avant,all ndetro e centrata S ntroducono le defnzon pù semplc: s consdera lo spazo lmtato e dscretzzato da un retcolo con nove nod, ossa una geometra D2Q9, ed v defnta una funzone φ preferblmente lsca; n questa geometra spazale vale x = y h. (2.134) Osservando la Fgura (2.3) s nota come s abbano vare possbltà d dervazone sceglendo le dverse drezon. 46

53 Fgura 2.3: Retcolo e coordnate de nod. S defnsce dervata n avant (o forward) della funzone φ(x, y) rspetto ad x la dervata approssmata come segue x(+) φ(x, y) = φ(x + h, y) φ(x, y) h (2.135) x e la barra sopra l smbolo d dervata sta ad ndcare che s tratta d una x dervata approssmata con uno schema alle dfferenze fnte; l smbolo (+) ndca che la dervata è approssmata con uno schema forward. Allo stesso modo s defnsce dervata all ndetro (o backward) d φ(x, y) rspetto ad x, la dervata approssmata con lo schema seguente x( ) φ(x, y) = φ(x, y) φ(x h, y). (2.136) h Da queste due defnzon s può defnre la dervata centrata come meda artmetca delle precedent φ(x + h, y) φ(x h, y) x φ(x, y) = (2.137) 2h nfatt x(+) φ(x, y) + x( ) φ(x, y) 2 = φ(x + h, y) φ(x, y) + φ(x, y) φ(x h, y) 2h (2.138) 47

54 da cu la (2.137). Allo stesso modo s possono defnre le dervate forward, backward e centrata rspetto ad y φ(x, y + h) φ(x, y) y(+) φ(x, y) = (2.139) h φ(x, y) φ(x, y h) y( ) φ(x, y) = (2.140) h φ(x, y + h) φ(x, y h) y φ(x, y) =. (2.141) 2h Dalle (2.137) e (2.141) s può ottenere l gradente con un schema centrato ( φ(x + h, y) φ(x h, y), 2h φ(x, y) = ( x φ(x, y), y φ(x, y) = ). φ(x, y + h) φ(x, y h) 2h (2.142) Le dervate (2.135) - (2.141) possono essere espresse n modo pù semplce utlzzando una rappresentazone grafca tramte stencl; esse nfatt schematzzano l retcolo adottato come geometra spazale. Ad esempo la (2.137) può essere rapresentata dal seguente stencl x φ(x, y) = 1 2h φ(x,y) (2.143) mentre la (2.141) può essere rappresentata dalla seguente y φ(x, y) = (2.144) 2h φ(x,y) Il pedce delle stencls ndca la funzone alla quale s applca la dervata. S consderano ora le dervate centrate; effettuando un espansone n sere d Taylor d φ(x, y) al secondo ordne h h s ha φ(x + h, y) φ(x, y) + hφ x + h2 2 φ xx + h3 6 φ xxx + h4 24 φ xxxx (2.145) φ(x h, y) φ(x, y) hφ x + h2 2 φ xx h3 6 φ xxx + h4 24 φ xxxx (2.146) φ(x, y + h) φ(x, y) + hφ y + h2 2 φ yy + h3 6 φ yyy + h4 24 φ yyyy (2.147) φ(x, y h) φ(x, y) hφ y + h2 2 φ yy h3 6 φ yyy + h4 24 φ yyyy (2.148) 48

55 dove pedc ndcano l smbolo della dervata. Sosttuendo la (2.145) e (2.146) nella (2.137), dopo aver moltplcato per 2h s ottene 2h x φ(x, y) = 2hφ x + 2h3 6 φ xxx (2.149) ovvero x φ(x, y) φ x + h2 6 φ xxx. (2.150) S osserva qund come approssmare una dervata con lo schema centrato ha un accuratezza dell ordne O(h 2 ) ovvero s commette un errore al secondo ordne n h nell effettuare questa approssmazone. Conseguentemente quanto pù h è pccolo, mnore è l errore. Allo stesso modo s ha Qund y φ(x, y) φ y + h2 6 φ yyy. (2.151) x φ(x, y) = h y φ(x, y) = h φ(x,y) φ(x,y) φ x + h2 6 φ xxx (2.152) φ y + h2 6 φ yyy. (2.153) Con l auslo delle (2.137) e (2.141) s possono ottenere le dervate seconde centrate 2 xφ(x, y) = φ(x + h, y) + φ(x h, y) 2φ(x, y) h 2 (2.154) φ(x, y + h) + φ(x, y h) 2φ(x, y) 2 yφ(x, y) = (2.155) h 2 che sommate danno l laplacano 2 φ(x, y) = 2 xφ(x, y) + 2 yφ(x, y) = ( ) φ(x + h, y) + φ(x h, y) + φ(x, y + h) + φ(x, y h) 4φ(x, y) rappresentato dal seguente stencl 2 φ(x, y) = h h 2 φ(x,y) (2.156) (2.157) anche detto laplacano a cnque punt. 49

56 2.7 Concluson In questo captolo s è presentato l metodo LBM brdo mostrandone vantagg nello studo della fludodnamca e le caratterstche salent. Sono stat descrtt passagg chave del metodo, n partcolare s è mostrato come nel lmte contnuo sa possble rcostrure le equazon d contnutà e d Naver- Stokes attraverso un espansone multscala nel numero d Knudsen. Successvamente s è passat alla descrzone del metodo alle dfferenze fnte che consente la dscretzzazone degl operator dfferenzal che fgurano nelle equazon d convezone-dffusone per le concentrazon delle vare component della mscela. La strada scelta n questo captolo è consstta nell applcazone del metodo LBM ad un sstema a sngola fase ed a due fas per ntrodurre l lettore all argomento ma certamente esso è generalzzable allo studo d un sstema fsco multfase/componente. Ne captol successv s mostreranno e dscuteranno rsultat ottenut dalle smulazon nel caso n cu l sstema rlass verso l equlbro (Captolo 3) o ne sa portato fuor (Captolo4). 50

57 Captolo 3 Studo delle nterfacce pane e delle gocce all equlbro In questo captolo saranno espost prncpal rsultat relatv allo studo delle propretà d equlbro delle nterfacce pane e delle gocce ottenut dalle smulazon n Fortran 77. Dapprma s dscuterà l rlassamento delle nterfacce pane delle due concentrazon e la tensone superfcale del sstema. Successvamente s mostreranno grafc relatv all evoluzone delle gocce e del surfattante con relatve sezon, alle veloctà del sstema e all evoluzone dell energa lbera del sstema. L dea d fondo è che n assenza d termn d produzone e/o consumo d surfattante valor med delle concentrazon della mscela bnara e del surfattante sano costant nel tempo ed l sstema lascato lbero d evolvere s porta ad uno stato fnale caratterzzato da un energa lbera mnma e costante. Come s vedrà, all equlbro l surfattante è dffuso attorno alla gocca che preserva nell evoluzone la propra forma crcolare e non s evdenzano partcolar deformazon nel sstema. Alla fne del captolo s consdera solo un caso n cu alla gocca equlbrata è mpartta una forza motrce costante e dretta verso la drezone orzzontale postva che s accende e s spegne dopo un certo tempo. Cò che s mostrerà è che n questo caso s realzza una stuazone d ansotropa con l surfattante che segue la gocca nel suo moto a veloctà costante. Il Captolo successvo, che andrà a completare rsultat delle smulazon, mostrerà cò che succede al sstema quando esso è portato fuor dall equlbro. 51

58 3.1 Consderazon prelmnar Il punto d partenza delle smulazon numerche è consstto nel fssare nzalmente parametr del sstema ovvero: la dmensone del retcolo con condzon al bordo perodche. Il retcolo, costruto con geometra D2Q9, lo s é scelto della dmensone d 128x128 st, l passo spazale e temporale del metodo LBM. Nel codce s è posto x = y = 1 e t LB = 1, l tempo d rlassamento τ delle funzon d dstrbuzone a sua volta legato alla vscostà cnematca come vsto nel Captolo 2. Per semplctà s è posto τ = t, l coeffcente d dffusone D del surfattante. La scelta verrà data n seguto, coeffcent B 0 e B 1. I valor usat saranno dat n seguto, l valore d M del metodo alle dfferenze fnte. Per semplctà s è posto M = 1; qund t LB = t F D. 3.2 Interfacce pane S consdera l funzonale d energa lbera (1.38) ntrodotto nel Captolo 1. Come s è detto, per a < 0 l sstema s trova nella fase ordnata con le due component della mscela che coesstono con concentrazon ±φ eq con φ eq = a b dove a e b sono coeffcent della (1.41). Il proflo d concentrazone della mscela bnara, all equlbro, è approssmable dalla relazone: ( ) a 2x φ(x) = b tanh (3.1) ξ dove x è la coordnata spazale mentre ξ rappresenta la larghezza dell nterfacca. Tale relazone vale esattamente nel caso d una mscela bnara n assenza d surfattante. Il surfattante, nvece, dffonde all nterfacca e cò è consstente con la mnmzzazone dell energa lbera del sstema all equlbro. Se s consdera l funzonale dell energa lbera (1.38), v è l termne B 1c 2 ( φ)2 che accoppa le due concentrazon. Se rsulta B 1 < 0, allora la condzone d equlbro prevede che la concentrazone d surfattante sa maggore all nterfacca rspetto al bulk; vceversa se B 1 > 0 allora la concentrazone d c è mnore all nterfacca rspetto al bulk del sstema. 52

59 3.2.1 Evoluzone temporale delle concentrazon φ e c Verrà ora effettuato uno studo sulle nterfacce pane relatve alle concentrazone φ. Fssando come condzone nzale per la φ un doppo gradno ed un valore costante per la c, 1 varando valor de parametr B 0 e B 1, dopo un pò d terazon le due concentrazon rlassano verso valor d equlbro come è mostrato ne grafc rportat nel seguto. Cascun grafco rporta delle curve a temp successv per mostrare l processo d rlassamento verso l equlbro. Come s noterà, all equlbro la concentrazone φ s smussa assumendo l andamento d una tangente perbolca secondo la relazone (3.1) mentre la concentrazone c assume de massm sull nterfacca se B 1 < 0 e de mnm se B 1 > 0. Come s può notare da grafc rportat nel seguto, all aumentare del valore del coeffcente B 0 l nterfacca della concentrazone della mscela bnara s allarga sempre pù. Se s consderano ad esempo le Fgure 3.1(a)-3.4(a) per B 1 < 0 corrspondent a cas B 0 = e B 0 = l nterfacca è meno ampa mentre s allarga per B 0 = 0.01 nelle Fgure 3.5(a)-3.8(a) per estenders ulterormente nel caso d B 0 = 0.08 come è mostrato nelle Fgure 3.8(a)-3.10(a). Per quanto rgurda l proflo d concentrazone del surfattante, nel caso d B 1 < 0, a fssat valor d B 0, massm appaono sempre pù elevat all aumentare d B 1 n valore assoluto. Se s consderano, per esempo, le Fgure 3.2(b)-3.4(b), nel caso B 0 = 0.006, l altezza de massm aumenta passando dal valore B 1 = 0.01 al valore B 1 = 0.03 ed nfne B 1 = Inoltre per lo stesso valore d B 1 < 0 massm appaono pù bass nel caso d B 0 pù grande. Infatt se s consderano,per esempo, le Fgure 3.4(b) e 3.6(b) massm sono pù alt nel prmo caso rspetto al secondo. Nel caso, nvece, d B 1 > 0 per valor va va pù grand,a fssato valore d B 0, mnm appaono progressvamente pù bass come s può notare nelle Fgure 3.12(b)-3.14(b). Per lo stesso valore d B 1 > 0 mnm sono pù alt per B 0 pù grand come s può notare nelle Fgure 3.11(b) e 3.12(b). I grafc dell energa lbera, rportat alla fne del paragrafo per alcun cas, mostrano che ad un certo punto essa raggunge un mnmo valore costante e questo ndca che l sstema ha raggunto uno stato d equlbro. 1 S è potzzato che φ = 1 per 32 x 96 e φ = 1 altrove; l valore del surfattante, nelle smulazon, è stato scelto c =

60 (a) (b) Fgura 3.1: Profl delle concentrazon della mscela bnara e del surfattante per B 0 = 0.003, B 1 = 0.01 e D = 0.1. (a) (b) Fgura 3.2: Profl delle concentrazon della mscela bnara e del surfattante per B 0 = 0.006, B 1 = 0.01 e D =

67 (a) (b) Fgura 3.15: Energa lbera per B 0 = 0.003, B 1 = 0.01 (a) e B 0 = 0.006, B 1 = 0.01 e D = 0.1 (b). (a) (b) Fgura 3.16: Energa lbera per B 0 = 0.006, B 1 = 0.03 (a) e B 0 = 0.006, B 1 = 0.01 e D = 0.1 (b). 61

68 3.2.2 Tensone superfcale e larghezza dell nterfacca Dopo lo studo del rlassamento delle due concentrazon, s è successvamente passat allo studo della tensone superfcale del sstema. Nel modello studato la relazone che defnsce la tensone superfcale è data da: σ an = 1 2 dxb(c) ( ) 2 φ (3.2) x dove l fattore 1 tene conto del fatto che s sta consderando un sstema a due 2 nterfacce. La condzone nzale posta per la φ, nfatt, è quella d un doppo gradno. La relazone (3.2) è stata po confrontata con una relazone alternatva per l calcolo della tensone superfcale data dalla: σ dff = 1 2 (F nt F bulk ) (3.3) dove F nt rappresenta l energa lbera del sstema n presenza d nterfacce, mentre F bulk rappresenta l energa lbera d bulk ovvero l energa che l sstema avrebbe se fosse omogeneo, prvo d nterfacce. La dvsone per due è sempre legata alla presenza d due nterfacce. I valor della tensone superfcale con la (3.2) e la (3.3) sono stat calcolat varando parametr B 0 e B 1. La larghezza dell nterfacca, nvece, è stata calcolata eseguendo un ft tra la curva smulata della concentrazone φ all equlbro con la relazone (3.1). S rportano n una tabella dat relatv alle vare smulazon per alcun valor d B 0 e B 1 scelt n modo tale da rspettare sempre l vncolo B(c) > 0. Sono stat effettuat anche grafc trdmensonal della tensone superfcale e della larghezza dell nterfacca n funzone d B 0 e B 1. Nella tabella σ dff rappresenta la tensone superfcale calcolata secondo la (3.3), σ an rappresenta la tensone superfcale calcolata secondo la (3.2), mentre ξ è la larghezza dell nterfacca. 62

69 B 0 B 1 σ dff σ an ξ (a) (b) Fgura 3.17: Grafc della tensone superfcale e della larghezza d nterfacca n funzone d B 0 e B 1. La prma mportante osservazone è che valor della tensone superfcale calcolata ne due mod espost prma sostanzalmente concdano. Per quanto rguarda valor numerc, la tensone superfcale tende a dmnure per B 1 < 0 progressvamente pù grande n valore assoluto a B 0 fssato mentre aumenta nel caso d pù grand valor d B 1 > 0. Inoltre ogn valore della tensone superfcale aumenta per pù grand valor d B 0 a B 1 < 0 fssato. Comportamento analogo lo s evdenza anche per la larghezza dell nterfacca n quanto a fssato valore d B 0 dmnusce per pù grand valor d B 1 < 0 mentre aumenta nel caso d B 1 > 0. 63

70 3.3 Gocce Evoluzone temporale delle concentrazon φ e c Dopo lo studo sulle nterfacce pane e sulla tensone superfcale s è passat allo studo del comportamento d un gocca n presenza d surfattante. Le condzon nzal per le smulazon sono state una gocca d dametro par a 64 st retcolar poszonata nel centro del retcolo, corrspondente al sto (64, 64) del retcolo , con veloctà nzale nulla ed un valore costante del surfattante (par a c = 0.1) su tutto l retcolo. Anche qu sono stat varat valor de parametr B 0 e B 1 ; rspetto al caso precedente, però, sono stat consderat, per fssato valore d B 0 solo prm quattro cas con B 1 < 0. D seguto sono rportat grafc della gocca, del surfattante, delle veloctà e dell energa lbera. Come è possble notare dalla colorbox a fanco de grafc, la concentrazone del surfattante che è dffuso all nterfacca è va va maggore all aumentare d B 1 n valore assoluto a B 0 fssato. Ne grafc delle veloctà del sstema le frecce pù marcate corrspondono alle zone dell nterfacca dove le veloctà spure assumono valore maggore rspetto alle regon perferche del sstema. I grafc dell energa lbera ne quattro cas studat mostrano che dopo un certo tempo l sstema rlassa verso lo stato d equlbro con energa lbera mnma e costante. Le smulazon sono state svolte fno al tempo t= tempo per l quale l sstema può consderars all equlbro. 64

71 (a) Gocca. (b) Surfattante. (c) Veloctà. (d) Energa lbera. Fgura 3.18: Contour plot della concentrazone φ, della concentrazone c, campo d veloctà ed energa lbera per B 0 = 0.003, B 1 = 0.01 e D =

75 3.3.2 Sezon undmensonal Qu sono, nvece, rportat grafc, per dvers valor d B 0 e B 1, delle sezon undmensonal d φ e c lungo quattro drezon passant per l centro d massa della gocca: drezone orzzontale, drezone vertcale e drezon a 45 grad e 135 grad. In generale per le sezon udmensonal valgono le stesse consderazon gà fatte per l rlassamento delle concentrazon φ e c de paragraf precedent. Inoltre, non s osservano ansotrope nella gocca essendo profl nvarat modfcando le drezon lungo cu sono consderat. 69

76 (a) (b) (c) (d) Fgura 3.22: Profl a temp successv delle concentrazon della mscela bnara e del surfattante lungo la drezone orzzontale (rga superore) e vertcale (rga nferore) passant per l centro d massa della gocca per B 0 = 0.003, B 1 = 0.01 e D =

77 (a) (b) (c) (d) Fgura 3.23: Profl delle concentrazon della mscela bnara e del surfattante lungo le drezon a 45 (rga superore) e 135 (rga nferore) passant per l centro d massa della gocca per B 0 = 0.003, B 1 = 0.01 e D =

78 (a) (b) (c) (d) Fgura 3.24: Profl delle concentrazon della mscela bnara e del surfattante lungo la drezone orzzontale (rga superore) e vertcale (rga nferore) passant per l centro d massa della gocca per B 0 = 0.006, B 1 = 0.01 e D =

84 3.4 Moto d una gocca per effetto d una forza motrce In questo paragrafo sono espost rsultat relatv a smulazon n cu alla gocca equlbrata è applcata una forza motrce costante, del valore d G = 10 6, che s accende al tempo e s spegne al tempo L mplementazone del termne d forza motrce è descrtta nell Appendce A nella tes. I grafc che s rportano nel seguto sono relatv al caso B 0 = e B 1 = In (a) è mostrata la gocca nell ultma poszone raggunta nel moto mentre n (b) s vede che l surfattante segue l moto d quest ultma e s dspone sotropcamente attorno ad essa. In (c) s mostrano gl andament della veloctà d mgrazone del centro d massa della gocca e del fludo nel centro d massa. In ordnata le grandezze funzone del tempo sono v CM /c s e u /c s dove s rcorda che c s = c/ 3 con c = x LB / t LB. Come s può notare al tempo t 0 = la gocca all equlbro è ferma nel centro del retcolo corrspondente alla poszone x 0 = 64 e la veloctà nzale v 0 = 0. L accensone della forza costante mette n moto la gocca che, acqusta una veloctà dversa da zero, s muoverà con veloctà crescente che resta costante quando la forza è spenta. L aspetto crucale è che nel moto la veloctà del centro d massa della gocca (punt n rosso nel grafco (c) d Fgura 3.30) concde con la veloctà del fludo nel centro d massa (punt n verde nel grafco (c) d Fgura 3.30); questo sta ad ndcare che la gocca è correttamente trasportata dal fludo. Il valore della forza da mprmere alla gocca lo s è scelto n modo tale da rendere stable l codce e non ntrodurre dstorson nella forma della gocca. Per questo caso trattato, nfatt, la gocca non è dstorta nel moto e preserva la forma crcolare nzale. 78

85 (a) (b) (c) Fgura 3.30: Contour plot della concentrazone φ, della concentrazone c e veloctà per B 0 = 0.006, B 1 = 0.01 e D =

86 Captolo 4 Studo della gocca n condzon d non equlbro Il Captolo 3 ha essenzalmente avuto lo scopo d presentare prm rsultat numerc relatv al rlassamento delle concentrazon della mscela bnara e del surfattante sa nel caso delle nterfacce pane sa nel caso delle gocce. All equlbro, come s è dscusso, la gocca preserva la sua forma crcolare e resta n quete. Il surfattante, nvece, dffonde all nterfacca della gocca n modo tale che per B 1 < 0 la concentrazone sa maggore su quest ultma rspetto al bulk del sstema. L obettvo d questo Captolo 4 consste, nvece, nello studo delle propretà del sstema quando esso è portato fuor dall equlbro attraverso l ntroduzone, nell equazone (1.43), d termn d produzone e d consumo d surfattante secondo var cas. Le grandezze fsche oggetto d nteresse n questo casptolo sono rappresentate dalle due concentrazon della mscela bnara e del surfattante e dalla tensone superfcale; n partcolare s cercherà d capre eventual dfferenze con l caso d equlbro e se sano o meno ntrodotte dstorson nel sstema. L mplementazone numerca de termn d consumo e produzone d surfattante da nserre nell equazone (1.43) è descrtta nel dettaglo nell Appendce B. 80

87 4.1 Produzone e consumo d surfattante Nel seguto saranno descrtt rsultat dervant da smulazon n cu, dopo l raggungmento dell equlbro da parte del sstema, nza la produzone nterna d surfattante secondo tre dfferent confgurazon: produzone concentrca, produzone non concentrca e non concentrca tangente nternamente alla gocca. I meccansm fsc che portano alla produzone d surfattante sono reazon chmche che hanno luogo all nterno della gocca. In alcun cas s è consderato l solo termne d produzone d surfattante mentre n altr s è anche aggunto l termne d consumo Produzone concentrca con tasso d consumo nullo In questo caso s è potzzato che la produzone d surfattante avvensse, a equlbro raggunto, n una regone crcolare concentrca nternamente alla gocca d raggo R = R 4 x LB dove R è l raggo della gocca all equlbro e x LB è l passo retcolare del metodo LBM. Il caso consderato è per B 0 = 0.006, B 1 = 0.05 e D = 0.1 con un tasso d produzone d surfattante A = mentre l tasso d consumo lo s è supposto γ = 0. 1 Dopo che l sstema s porta all equlbro, dal tempo t= ha nzo la produzone d surfattante che, come s può notare dalla Fgura 4.1, porta alla rottura della gocca. Nel grafco vettorale della veloctà del fludo s nota come le veloctà sano maggor sulla regone dove l nterfacca della gocca s sta rompendo. 1 I tass d produzone e consumo d surfattante concenttualmente esprmono la concentrazone che è aggunta o rmossa nell untà d tempo. 81

88 (a) (b) (c) Fgura 4.1: Contour plot delle concentrazon φ e c e campo d veloctà al tempo t= per B 0 = 0.006, B 1 = 0.05, D = 0.1, A = e γ = 0. 82

89 4.1.2 Produzone concentrca con tasso d consumo non nullo In questo caso s è rconsderata la stessa produzone d surfattante precedente con la dfferenza che nell equazone (1.43) s è aggunto anche un termne d consumo con tasso γ = La dfferenza con l caso precedente è che l aggunta del termne d consumo d surfattante prevene la rottura della gocca, che preserva la propra forma crcolare, e rprstna una stuazone d equlbro n cu l sstema raggunge un nuovo stato caratterzzato da un energa lbera mnma e costante. Valutando, noltre, la tensone superfcale della gocca alla sua destra e snstra secondo la (3.2) ( ) 2 φ σ = dxb(c) (4.1) x s osserva che la dfferenza, n valore assoluto, tra valor avant ed ndetro resta costante e del valore d crca e questo mplca che la tensone superfcale della gocca, n tale sstema è uguale nelle due regon e del valore σ = S precsa che la relazone rportata qu non presenta l fattore 1/2 rspetto alla (3.2) perchè non s sta pù calcolando la tensone superfcale sulla doppa nterfacca. 83

90 (a) (b) (c) (d) Fgura 4.2: Contour plot delle concetrazon φ e c, energa lbera e dfferenza della tensone superfcale per B 0 = 0.006, B 1 = 0.05, D = 0.1, A = e γ =

91 4.1.3 Produzone asmmetrca nterna con tasso d consumo nullo In questo caso s è studato l sstema nel caso n cu la produzone d surfattante avvenga, ad equlbro raggunto, n una regone nterna non concentrca. S è posto come centro d produzone l punto d coordnate (x, y) = (x CM + 10 x LB, y CM ) e raggo della regone R = R /2. Il tasso d produzone è sempre A = mentre l tasso d consumo γ = 0. Anche n questo caso c s aspetta che una produzone ncontrollata d surfattante port, dopo un certo tempo, alla rottura della gocca. I grafc mostrat n fgura mostrano le vare confgurazon, a temp successv, della gocca e del surfattante fno al tempo t= quando ha nzo l processo d rottura della gocca stessa. La curva dell energa lbera mostra che essa dmnusce sempre e qund l sstema non raggunge ma una condzone d equlbro. La contnua produzone d surfattante fa dmnure sempre pù la tensone superfcale e crea anche una dfferenza del valore della stessa nelle regon a snstra (punt ross) e a destra della gocca (punt verd) con valor mnor sul lato destro. S osserva n partcolare l fatto che la tensone superfcale nel tempo assume anche de valor negatv e questo perchè l aumento della concentrazone meda d surfattante nel tempo fa sì che B(c) = B 0 + B 1 c > 0 dvent negatvo. La tensone superfcale, nfatt, dpende da B(c) secondo la (3.2). Nel Captolo 1 s era defnta la tensone superfcale come l energa per untà d area per contrarre una superfce; la tensone superfcale è qund legata al fatto che una superfce all equlbro tende sempre a contrars. Una tensone superfcale negatva è qund nterpretable fscamente come una tendenza della superfce ad espanders creando nterfacca e questo comporta pertanto la rottura della gocca. 85

92 (a) (b) (c) (d) Fgura 4.3: Contour plot delle concentrazon φ e c al tempo t= (a)-(b) e t= (c)-(d) per B 0 = 0.006, B 1 = 0.05, D = 0.1, A = e γ = 0. 86

93 (a) (b) Fgura 4.4: Energa lbera e tenson superfcal per B 0 = 0.006, B 1 = 0.05, D = 0.1, A = e γ = 0. 87

94 4.1.4 Produzone asmmetrca tangente nternamente con tasso d consumo nullo Caso B 0 = e B 1 = 0.05: In questo caso s è studato l sstema nel caso n cu la produzone d surfattante avvenga, ad equlbro raggunto, n una regone nterna non concentrca tangente nternamente alla gocca con centro d produzone l punto d coordnate (x, y) = (x CM + 20 x LB, y CM ). Il tasso d produzone è sempre A = mentre l tasso d consumo γ = 0. Ne grafc che seguono s rportano l evoluzone della gocca e del surfattante per temp successv fno a quando nza l processo che porta alla rottura della gocca. Il grafco dell energa lbera mostra che l sstema non raggunge ma una confgurazone d equlbro. Anche n questo caso la produzone contnua d surfattante fa n modo che la tensone superfcale dmnusca nel tempo fno a dventare negatva. Nel grafco s mostra l fatto che valor della tensone superfcale a snstra (punt n rosso) e a destra della gocca (punt n verde) sano dfferent con l valore d destra mnore d quello d snstra. 88

95 (a) (b) (c) (d) Fgura 4.5: Contour plot della concentrazone φ al tempo t=110000, , e per B 0 = 0.006, B 1 = 0.05, D = 0.1, A = e γ = 0. 89

96 (a) (b) (c) (d) Fgura 4.6: Contour plot della concentrazone c al tempo t=110000, , e per B 0 = 0.006, B 1 = 0.05, D = 0.1, A = e γ = 0. 90

97 (a) (b) Fgura 4.7: Energa lbera e tenson superfcal per B 0 = 0.006, B 1 = 0.05, D = 0.1, A = e γ = 0. 91

98 Caso B 0 = e B 1 = 0.01: Lo studo del sstema con produzone d surfattante n una regone non concentrca tangente nternamente alla gocca è stato rpetuto anche per B 0 = e B 1 = Stavolta l fatto che B 1 sa pù pccolo n valore assoluto rspetto al caso precedente, anche n assenza del termne d consumo d surfattante, fa sì che a partà d tempo la gocca rest stable e non s rompa come nel caso precedente. Al tempo t= mentre nel caso precedente la gocca nza a rompers, adesso essa preserva la propra forma crcolare. L energa lbera dmnusce sempre ed l sstema non raggunge ma una condzone d equlbro mentre valor delle tenson suerfcal a snstra (punt n rosso) e a destra della gocca (punt n verde) restano postv n quanto deve passare pù tempo perchè l termne B(c) = B 0 + B 1 c > 0 dvent negatvo. 92

99 (a) (b) (c) (d) Fgura 4.8: Contour plot delle concentrazon φ e c, energa lbera e tenson superfcal per B 0 = 0.006, B 1 = 0.01, D = 0.1, A = e γ = 0. 93

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