LA GEOMETRIA DELLE FAMIGLIE DI DISTRIBUZIONI DI PROBABILITÀ ESPONENZIALI. Angela De Sanctis 1. INTRODUZIONE

Transcript

1 STATISTICA, anno LXII, n. 2, 2002 LA GEOMETRIA DELLE FAMIGLIE DI DISTRIBUZIONI DI PROBABILITÀ ESPONENZIALI Angela De Sancts 1. INTRODUZIONE La Statstca parametrca studa famgle parametrzzate d dstrbuzon d probabltà. I parametr non hanno la funzone esclusva d ndczzare le dstrbuzon d probabltà. Infatt, anche gran parte della Inferenza statstca vene a dpendere dalla parametrzzazone prescelta. Questo è dovuto soprattutto al fatto che, nella stma de parametr e nella successva verfca d potes, un ruolo fondamentale è svolto dal Calcolo dfferenzale. Il problema d come l Calcolo dfferenzale dpende dalle coordnate è l argomento centrale d quella branca della Geometra dfferenzale, chamata Calcolo sulle varetà (Koboyash e Nomzu, 1963; O Nell, 1983). Una delle famgle parametrzzate d dstrbuzon d probabltà pù studata e applcata nella Statstca parametrca è certamente la famgla esponenzale, per la cu defnzone s utlzza un partcolare sstema d coordnate. Il punto è che non s può escludere che una famgla parametrzzata sa esponenzale solo perché non appare nella forma esponenzale, ma deve essere provato che tale famgla non può essere parametrzzata nella forma esponenzale. Questo lavoro s propone nnanz tutto d dare una defnzone ntrnseca d famgla esponenzale, coè nvarante per rparametrzzazon. Per fare cò cerchamo l sgnfcato geometrco della famgla esponenzale. Vedremo che per tale famgla la geometra è quella affne, l che spega l profondo sgnfcato de parametr canonc nella parametrzzazone esponenzale. Ess sono coordnate affn coè le coordnate pù adatte a descrvere la geometra affne. Ma la Geometra dfferenzale c permette d andare oltre. Infatt, sotto opportune condzon d regolartà, modell statstc parametrc hanno una naturale struttura d Varetà Remannana con metrca data dalla metrca d nformazone d Fsher, ntrodotta da Rao nel 1945 (come letteratura classca, s vedano: Fsher, 1925; Rao, 1945; Efron, 1975). In questo modo classc nvarant geometrc, come ad esempo la curvatura gaussana, consentono d defnre ndc statstc e dedurre qund propretà statstche dffclmente mmagnabl altrment. Il presente lavoro, sulla base degl stud effettuat negl ultm vent ann da parte d rcercator come Amar, Barndorff-Nelsen, Kass, Laurtzen, ecc. (come rferment bblografc, s vedano: Barndorff-Nelsen, 1978 e 1988; Amar, 1985;

2 316 A. De Sancts Amar et al., 1987; Burbea, 1986; Burbea e Rao, 1984; Murray e Rce, 1993), fornsce tre caratterzzazon geometrche dfferenzal della famgla esponenzale. Infne, essendo quella affne la geometra pù semplce, n quanto a curvatura zero, lo studo da un punto d vsta geometrco della famgla esponenzale rsulta propedeutco per affrontare quello d modell statstc parametrc con geometra pù complessa. 2. SPAZI AFFINI E FAMIGLIE ESPONENZIALI Rcordamo la defnzone d spazo affne. Un nseme X vene detto spazo affne se esste uno spazo vettorale V ad ogn vettore v del quale resta assocata una trasformazone +v d X n X, detta traslazone per v, che s ndca col smbolo + v( p) : = p + v, p X e che soddsfa le seguent propretà: ) ( p + v) + w = p + ( v + w) p X v, w V ) p, q X esste un unco v V tale che q = p + v Come esempo possamo ctare quello n cu X = R +, V = R e x + v : = exp( vx), x R, v R. + Fssato un punto O n X, detto orgne, sceglamo una base ordnata v 1,..., v r n V. Sappamo che per ogn v V esstono unc θ 1 r,..., θ n R tal che 1 1 v = θ v θ r v r. I coeffcent θ dpendono da v coè sono funzon da V n R e possamo rguardarl anche come coordnate de punt d X componendol con la bezone X V determnata dentfcando ogn punto p X con l unco v V tale che O = p + v. Questo processo equvale a fssare un sstema d ass per 1 r l orgne n X. θ = ( θ,..., θ ) è detto un sstema d coordnate affn. Se θ e Φ sono sstem d coordnate affn sullo spazo affne X allora esstono una matrce X j e un vettore d coordnate ( u 1,..., u r ) tal che θ r j ( ) = jφ ( ) + j = 1 p X p u (1) nfatt ( u 1,..., u r ) sono le θ -coordnate dell orgne del Φ-sstema e X j è la matrce del cambo d base che esprme la base che produce Φ n termn d quella che produceθ. Due sstem d coordnate legat secondo (1) s dcono legat n modo affne. Nella teora degl spaz vettoral s dmostra anche l vceversa della proposzone precedente coè se X è un nseme dotato d una collezone d sstem d coordnate a due a due legat n modo affne allora X è uno spazo affne. La Statstca parametrca studa famgle d msure d probabltà del tpo

3 La geometra delle famgle d dstrbuzon d probabltà esponenzal 317 P = p( θ) : θ Ω R d. Fra queste la pù nota è la famgla esponenzale che può essere parametrzzata nella forma: ( ) 1 1 r r ( ) = + + ( ) p θ exp θ X... θ X K θ dµ, dove X 1,..., X r sono varabl aleatore e µ una msura su qualche spazo camponaro. I parametr θ, =(1,,n), vengono dett parametr canonc. La famgla normale è una partcolare famgla esponenzale dato che può essere parametrzzata nella forma: ( 1 2 ) = ( ) ( ) p θ, θ exp x θ xθ K θ dx µ π θ con la scelta θ =, θ =, K θ 2 2 ( ) = ln 1 1 2σ σ 2 θ 4θ 1 2 Il parametro θ = ( θ, θ ) è l parametro canonco e gace nel sempano aperto d R 2 defnto da θ 1 < 0. Lo spazo camponaro è R con la msura d Lebesgue dx. S dmostra che due nsem θ e Φ d parametr canonc sono legat dalla relazone: 2 2 ( ) θ r j = X Φ + ξ. j = 1 j per qualche X j matrce e vettore ξ. Poché parametr canonc formano una collezone d sstem d coordnate legat n modo affne, s deduce che le famgle esponenzal sono spaz affn e parametr canonc sono coordnate affn. Questa può essere assunta come defnzone d famgla esponenzale e, ovvamente, è ndpendente dalla scelta de parametr. 3. LA GEOMETRIA DEGLI SPAZI AFFINI Voglamo determnare ora una caratterzzazone geometrca delle famgle e- sponenzal, utlzzando le propretà note degl spaz affn. Sa Ω uno spazo d msura. Nell nseme delle msure postve su Ω, s consder la relazone d assoluta contnutà recproca. È facle vedere che tale relazone è d equvalenza. Indchamo con M una classe dello spazo quozente. M è uno spazo affne rspetto allo spazo vettorale R Ω delle varabl aleatore f su Ω con la traslazone per f defnta da dµ + f: = e dµ. dµ corrsponde ad una scelta dell orgne n M. S chama log-verosmglanza l applcazone l : M R f Ω

4 318 A. De Sancts ( ) = defnta da l pdµ : ln p. Le msure d probabltà costtuscono un sottonseme P d M che non è un sottospazo affne n quanto la traslazone non conserva la propretà che la massa totale è untara. In M defnamo la relazone rspetto a cu due msure sono n relazone se s ottengono l una dall altra per un fattore d scala. Tale relazone è d equvalenza e lo spazo quozente contnua ad essere uno spazo affne rspetto allo spazo vettorale quozente R Ω n cu una classe è del tpo R f + R, f RΩ. Le msure fnte d M danno luogo nello spazo quozente ad un sottonseme dentfcable con P, poché dvdendo una msura non negatva fnta per la sua massa totale s ottene una msura d probabltà. Una famgla d msure d probabltà P = p( θ ): θ Ω R d può essere vsta come una superfce n P e qund n M. È noto che l pano tangente a una superfce n un punto è un sottospazo affne nello spazo affne ambente. In questo caso ha la forma p + v = exp( v) p : v V dove V è un sottospazo d varabl aleatore su Ω, che concde con lo spazo tangente a P n p che s ndca con T p P. S può dmostrare l seguente: l Lemma 1. L nseme l := p n ( ), = 1,..., è una base d V. θ Posto P = { exp( λ) p : λ R p P}, un sstema d coordnate per P è dato da ( ( ) ) = θ 0 exp λ p λ θ exp( λ) p θ ( ) = ( p) se θ è un sstema d coordnate per P. È facle verfcare che P è un sottospazo affne d P generato da un sottospazo vettorale V d R Ω R se e solo se P è un sottospazo affne d M generato dal sottospazo vettorale d R Ω defnto da V = f RΩ : f + R V. È possble estendere la log-verosmglanza a P l( λ p) = l( p) + λ. Ne segue che una base d medante exp( ) V è data da { l, 0 = 1 l = l, = 1,..., n }. In Geometra dfferenzale s dmostra che una varetà dfferenzale è uno spazo affne se e solo se l pano tangente n ogn punto concde con la varetà stessa coè le dervate parzal d una base dello spazo tangente n ogn punto contnuano a gacere n esso. l Teorema 1. P è uno spazo affne se e solo se l j : =,, j = 1,..., n, j θ θ gaccono nello spazo generato da l, = 1,..., n, e 1. 2

5 La geometra delle famgle d dstrbuzon d probabltà esponenzal 319 Dmostrazone. L osservazone precedente, nella smbologa adottata, s traduce 2 dcendo che P è uno spazo affne se e solo se l l : j = V,, j = 1,..., n, j θ θ coè esstono unc coeffcent γ k j che consentono d esprmere l j come combnazone lneare della base d l 0 ( θ) = 0, s deduce la tes. V fssata: l j r k ( θ) = γ l j ( θ) k( θ). Poché Se p P, s defnsce matrce d nformazone d Fsher la matrce g j ( p) : = EP ( l, l j ) dove E P ndca l valore atteso rspetto alla msura p. g j ( p) defnsce un prodotto scalare su T p P e qund, nel lnguaggo della geometra remannana, g j rappresenta coeffcent della prma forma quadratca fondamentale d una metrca remannana su P. La defnzone può essere estesa ovvamente a P. La caratterzzazone, fornta dal teorema 1, prende n consderazone esclusvamente l rapporto fra la varetà P e l suo spazo tangente, espresso da coeffcent della prma forma fondamentale, n questo senso è ntrnseca coè gnora l mmersone della varetà nell ambente. Guardamo ora P nella varetà ambente M. g j ( p) s può ntendere come la restrzone a T p P del prodotto scalare f g p = p( fg), E sullo spazo vettorale R Ω, supponendo per comodtà che tutte le varabl aleatore su Ω sano d quadrato ntegrabl. Indchamo con N p lo spazo normale a T P p rspetto al suddetto prodotto scalare, qund R Ω s decompone nella somma dretta RΩ = N P TPP. Vale l seguente : Lemma 2. Se f R Ω la sua componente normale n N p è mn π p ( f ) = f g EP ( f m) n E p( f ) m, n d nformazone d Fsher. Dal teorema 1 segue faclmente k= 0 l l dove g mn è l nversa della matrce Teorema 2. P è uno spazo affne se e solo se α π, j = 1,..., n. := ( l ) = j p j 0 per ogn Tale condzone esprme l fatto che è nulla la componente delle dervate seconde perpendcolare allo spazo tangente coè P è patta n M. In Geometra dfferenzale la curvatura gaussana è un ndce sntetco della metrca della varetà remannana.

6 320 A. De Sancts In partcolare coeffcent della seconda forma fondamentale, espress da α j, sono dentcamente null se e solo se la curvatura è dentcamente nulla. Vale allora: Teorema 3. P è uno spazo affne se e solo se s annulla la quanttà scalare j kl γ p g p g pe α p α p ( ) ( ) = ( ) ( ) P k( ) jl( ), j, k,l Dmostrazone. Poché l nversa della matrce d Fsher g j ( p) è anch essa defnta postva, γ s annulla se e solo se s annullano tutt gl α j. Dpartmento d Scenze Unverstà degl Stud G. d Annunzo d Chet ANGELA DE SANCTIS RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI S.I. AMARI (1985), Dfferental-geometrc Methods n Statstcs, Lecture Notes n Statstcs, Vol. 28, Sprnger-Verlag, Berln. S.I. AMARI, O.E. BARNDORFF-NIELSEN, R.E. KASS, S.L. LAURITZEN, C.R. RAO (1987), Dfferental Geometry n Statstcal Inference, Lecture Notes Monograph Seres, Vol. 10, Insttute of Mathematcal Statstcs, Hayward Calforna. O.E. BARNDORFF-NIELSEN (1978), Informaton and exponental famles n statstcal theory, Wley, New York. O.E. BARNDORFF-NIELSEN (1988), Parametrc Statstcal Models and Lkelhood, Lecture Notes n Statstcs 50, Sprnger-Verlag, Berln. J. BURBEA (1986), Informatve geometry of probablty space, Expermental Mathematcs, 4. J. BURBEA, J. DEL CASTILLO (1992), Geodesc submanfolds of statstcal models wth locaton parameters, Computatonal Statstcs and Data Analyss, Vol. 14, North-Holland, Amsterdam. J. BURBEA, C.R. RAO (1984), Dfferental metrcs n probablty spaces. Probablty and Mathematcal Statstcs, 3. D.R. COX, D.V. HINKLEY (1974), Theoretcal Statstcs, Chapman and Hall, London. A. DE SANCTIS (1996), Geodesc submanfolds of a famly of statstcal models, Statstcs & Probablty Letters 30. B. EFRON (1975), Defnng the curvature of a statstcal problem (wth applcatons to second order effcency) (wth dscusson), Annals of Statstcs 3. R.A. FISHER (1925), Theory of statstcal estmaton, Proceedngs of Cambrdge Phlosophcal Socety 22. S. KOBOYASHI, K. NOMIZU (1963), Foundatons of Dfferental Geometry, Interscence, Wley, New York. M.K. MURRAY, J.W. RICE (1993), Dfferental Geometry and Statstcs, Monographs on Statstcs and Appled Probablty, 48, Chapman and Hall, London. B. O NEILL (1983), Sem-Remannan Geometry (wth Applcatons to Relatvty), Academc Press, New York. C.R. RAO (1945), Informaton and accuracy attanable n the estmaton of statstcal parameters, Bullettn of Calcutta Mathematcal Socety 37.

7 La geometra delle famgle d dstrbuzon d probabltà esponenzal 321 RIASSUNTO La geometra delle famgle d dstrbuzon d probabltà esponenzal Sono state dmostrate quattro caratterzzazon della famgla esponenzale: la prma è una caratterzzazone algebrca come spazo affne, la seconda è una caratterzzazone geometrca ntrnseca (teorema 1), la terza è una caratterzzazone geometrca come varetà mmersa (teorema 2), la quarta è una caratterzzazone scalare (teorema 3). SUMMARY The geometry of exponental famles of probablty dstrbutons We proved four charactersatons of the exponental famly: the frst s an algebrcal charactersaton as affne space, the second s a geometrcal ntrnsc charactersaton (theorem 1), thrdly there s a geometrcal charactersaton as mmersed manfold (theorem 2) and fnally there s a scalar charactersaton (theorem 3).