Ricerca di radici di equazioni non lineari

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1 Rcerca rac equazon non lnear Il problema consste nella rcerca elle soluzon ell'equazone sotto forma mplcta f( ) Torna all'nce generale f e possono essere n generale ue vettor a n component, anche se la soluzone nel caso multmensonale è gran lunga pù complcata e non esstono fatto meto general per l calcolo elle rac. Nel caso unmensonale nvece la rcerca ella race costtusce un problema relatvamente semplce. Il prmo passo consste nella rcerca un ntervallo n cu la race è scuramente contenuta (bracketng). Se la funzone è contnua nfatt per l teorema Bolzano-Weestrass, se f(a)> e f(b)< esste n (a,b) n cu f()=. Purtroppo se f è contnua... se c'è una scontnutà, f potrebbe saltare a un valore negatvo a uno postvo senza per questo assumere l valore nullo per nessun. Esempo f( ),... f( ) S osserv che l teorema Bolzano-Weestrass ce che se la funzone è contnua e camba segno, allora c'è una race, e non l'opposto, se c'è una race allora la funzone camba segno. E' suffcente che annull anche la ervata prma (e che non s annull la secona), che f( ) ( ) f( ).. e l bracketng una race venta tutt'altro che ovvo! In generale è molto meglo avere un'ea ella funzone con cu s ha a che fare. Come effettuare l "bracketng" una race: Esempo: bracket( f, ) sort( ) f ab for f f( ).. break f otherwse f. ab f ab <.6. f ab f.6. f ab f f. ab f ab < f f ab > f ab otherwse f è la funzone cu tovare lo zero, è un vettore a ue component che rappresentano gl estrem un ntervallo nzale con cu nzare l bracketng.innanztutto ornamo l'ntervallo e valutamo la funzone agl estrem Interrompamo l loop se f(a)*f(b)< Allarghamo l'ntervallo nella rezone n cu la funzone assume l valore nferore Valutamo la funzone agl estrem (uno e ue estrem è ronante) Resttuamo un valore nullo se la rcerca non è ruscta

2 Provamola con qualche funzone nota... v 3.4, π.. π f( ) sn( ).9 bracket( f, ) =.758 bracket bracket ( f, ) ( f, ) f( v) f( v) 5 5 v 5 5 π ma attenzone se la funzone bracket( f, ) = rtorna un ntervallo molto grane. π Questo perchè la lunghezza ell'ntervallo prova è vcna al peroo ella funzone. Un altro caso n cu l "bracketng" ella race non resce è quello relatvo a una funzone che ha anche ervata prma nulla. 9 f( ) bracket( f, ) = e la funzone che abbamo scrtto rtorna un valore nullo anzchè l vettore con gl estrem ell'ntervallo. Se c s aspetta un smle comportamento a parte ella funzone n esame, allora è necessaro calcolare anche le ascsse egl zer ella ervata prma e verfcare l relatvo valore ella funzone. v Metoo ella bsezone Una volta crconata la race, un metoo molto scuro anche se non rapssmo nella convergenza è l metoo ella bsezone. S ve a metà l'ntervallo e s verfca quale e ue sottontervall nclue la race. S tera la proceura sno a che la lunghezza ell'ntervallo non è nferore all'accuratezza rchesta. Una stma el numero terazon necessare per la convergenza s ottene nel seguente moo. Inchamo con n la lunghezza ell'ntervallo opo n terazon. Avremo che n n a cu segue che se rcheamo una accuratezza nferore a ε, n ln ε ε ove ε è l'ntervallo nzale. Provamo anche n questo caso a scrvere una routne che esegua l metoo sno al raggungmento un'accuratezza prefssata.

3 bsecton( f,, ε) sort( ) F f( ) break f F. F > for.. break f < ε m.5. F m f m m f F. m F < m f F. m F < Ornamo l'ntervallo Calcolamo la funzone agl estrem e verfchamo che la race s trov nell'ntervallo Inza po l'terazone con l metoo ella bsezone Calcolo l'ntervallo Verfco se l'accuratezza è stata raggunta Calcolo l punto ntermeo e l valore ella funzone nel punto ntermeo Refnsco gl estrem ell'ntervallo n funzone el segno ella funzone agl estrem Rettusco come rsultato l'ntervallo e l numero terazon necessare Questa routne necessta essere completata con qualche struzone controllo relatva alle conzon errore che s possono verfcare. A esempo se non s ottene l'accuratezza rchesta alla fne el loop, o l'ntervallo non contene alcuna race. In ogn caso veamo come s comporta f( ) sn( ) Prma trovamo l'ntervallo n cu s trova una race,.4.4 bracket( f, ) = Po calcolamo con l metoo ella bsezone la race con l'accuratezza ε 6 zero bsecton( f,, ε) zero = π = L'ntervallo nzale corrspone a = 3.89 che opo zero = 3 terazon s ruce a = che è nferore a ε zero Metoo Newton-Raphson Questo metoo consste nel calcolare l'ntersezone ella retta tangente alla funzone cu s cerca la race con l'asse elle ascsse. Per l'mplementazone è necessaro l calcolo ella ervata prma ella funzone. In generale se conseramo lo svluppo n sere Taylor una funzone f( ) f( δ) f( ) f( ). δ. f( ). δ.. potremo supporre che sa f( δ). Per δ non troppo grane, troncano lo svluppo n sere al prmo orne s ottene f( ) δ f( ) che rappresenta l'ncremento a aottare nella rcerca ello zero. Possamo veere grafcamente con l seguente esempo che cosa s ntene. Conseramo la funzone 3

4 esempo che cosa s ntene. Conseramo la funzone f( ) J ln L'equazone ella retta tangente n è ata a g f,, f. f ove abbamo utlzzato la notazone secono cu.8 f corrspone alla ervata f, calcolata n. Per.5, f( ) g f,, Confrontamo la veloctà convergenza el metoo Newton-Raphson e quella el metoo bsezone. Se nchamo con ε l'accuratezza raggunta all'terazone n, per l metoo bsezone abbamo ε n ε n e qun la convergenza è lneare, ovvero l'accuratezza cresce lnearmente con le terazon. Per l metoo Newton-Raphson nvece avremo f f Supponamo che sa s l punto n cu f( s) L'errore, ovvero la stanza s ε scala anch'esso come ε ε f f Se espanamo n sere la funzone f e la sua ervata nel punto s ε f f s ε f( s) ε. s f( s) ( ). f( s).. s ε f s f s ε s f( s) ε. f( s).. s Rcorano che per efnzone f( s) avremo ε ( ε ) s.. f( s) s f( s) E coè la veloctà convergenza el metoo Newton-Raphson è quaratca. Il metoo è estremamente effcente nella rcerca rapa ella soluzone, a patto non ncappare n qualche stuazone patologca. A esempo, urante l'terazone s può captare su un punto n cu la ervata ella funzone è nulla, che comporta un valore ell'ncremento nefnto. In questo caso rsulta molto utle l fatto aver preventvamente crcoscrtto la race con una routne tpo "bracket" come quella mostrata a esempo. Un'altra stuazone patologca può essere la seguente. 4

5 Conseramo la funzone f( ) J e supponamo che nella rcerca ello zero s sa captat sul valore ell'ascssa.993. In questo caso l valore ell'ncremento ell'ascssa fornto al metoo c porta n f f A sua volta n la retta tangente c rconuce n. E' evente osservano l grafco nella fgura seguente che l metoo Newton può talvolta fatcare a raggungere la convergenza.,... 4 f( ) g f,, g f,, Quano lo zero s trova n prossmtà un flesso, l metoo può entrare n un cclo talvolta pressochè stable per cu non s ottene la convergenza. Per evtare questo tpo "patologe" un metoo effcace consste, opo aver crcoscrtto la race, nell'alternare opportunamente l metoo ella bsezone, fntanto che le ervate ella funzone non ventano pressochè costant urante l'terazone a causa el restrngmento ell'ntervallo, con l metoo Newton-Raphson per sfruttarne opportunamente le propretà rapa convergenza. Scrvamo ora una routne esempo n cu è mplementato l metoo Newton-Raphson. Per l calcolo ella ervata utlzzeremo l lmte el rapporto ncrementale fornto a Mathca con l'operatore. In un'mplementazone numerca è preferble utlzzare la ervata calcolata analtcamente. Qualora questo non fosse possble, s può calcolare l rapporto ncrementale a scapto una ruzone ella veloctà convergenza el metoo a causa el maggor numero valutazon ella funzone necessaro. In questo caso è necessaro prestare attenzone anche alla precsone numerca con cu s effettuano le valutazon el rapporto ncrementale. 5

6 newton( f,, ε) sort( ) m f f m otherwse for.. < Ornamo l'ntervallo Inzamo la rcerca al lato n cu la ervata conuce alla race contenuta nell'ntervallo prescelto m f m f m m break f < ε m m f m <. m > m otherwse Iteramo l metoo sno al raggungmento ella convergenza con un lmte (n questo caso) terazon Come nel caso ella bsezone resttuamo l valore ella race con l numero terazon utlzzate per la convergenza f( ) J DE Prma trovamo l'ntervallo n cu s trova una race, f m m f f m m.9 bracket( f, ) = (prova a sostture.993 come estremo nferore).9 Po calcolamo con l metoo Newton-Raphson la race con l'accuratezza ε 6 zero newton( f,, ε) zero = f zero =.7. che raggunge la convergenva opo zero = 6 terazon. Possamo provare anche questa sequenza: prma trovamo l'ntervallo n cu s trova una race,.. bracket( f, ) = Po con l metoo ella bsezone restrngamo l'ntervallo bsecton f,, = E nfne con l metoo Newton trovamo la race con l'accuratezza ε =. 6 newton( f,, ε) = In ogn caso con Mathca bastava scrvere, TOL 6 e root( f( ), ) = Torna all'nce generale 6