Elettromagnetismo stazionario

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1 Elettromagnetsmo stazonaro (versone del ) Camp statc e stazonar Campo d corrente stazonaro E 0 J 0 J ( E E ) Campo elettrostatco Campo elettrco stazonaro E 0 D c D E Campo magnetco stazonaro H J B 0 B H

2 Camp statc e stazonar ello studo de camp statc e stazonar s ncontrano comunemente stuazon n cu sono verfcate le seguent condzon: Il campo n una regone è descrtto medante due vettor a e b localmente proporzonal (la costante d proporzonaltà n generale dpende dal punto) ba (P) Il vettore a è rrotazonale nella regone a 0 Il vettore b è ndvergente nella regone b 0 3 Camp statc e stazonar Queste condzon sono verfcate nelle regon n cu non sono present camp elettrc mpress per l campo stazonaro d corrente E 0 J E ae bj J 0 nelle regon n cu non sono present carche elettrche per l campo elettrostatco e l campo elettrco stazonaro E 0 D E ae bd D 0 nelle regon n cu è nulla la denstà d corrente per l campo magnetco stazonaro H 0 B H ah bb B 0 4

3 Propretà del vettor solenodal assume che b sa ndvergente all nterno una regone a connessone superfcale semplce (e qund solenodale nella regone ) ella regone, l flusso d b attraverso ogn sezone trasversale d un tubo d flusso ha lo stesso valore bn ˆ d costante Per un vettore solenodale s può parlare d flusso assocato al tubo d flusso (portata del tubo d flusso) 5 Costanza del flusso - dmostrazone consdera un tronco d tubo d flusso d b delmtato da due superfc trasversal A e B e b è solenodale è nullo l suo flusso attraverso la superfce chusa T formata da A, B e dalla superfce laterale L bn ˆd b( nˆ ) d bn ˆ d bn ˆ d 0 A B L T A B L Le lnee d flusso d b sono tangent a L Il flusso d b attraverso L è nullo I fluss attraverso A e B sono ugual A bn ˆ d bn ˆ d A B B Data l arbtraretà della scelta delle superfc A e B s può affermare che l flusso ha lo stesso valore su tutte le superfc trasversal 6

4 Vettor ovunque solenodal All nterno d una regone n cu b è solenodale non possono esstere sezon termnal del tubo d flusso nfatt se T fosse una sezone termnale dovrebbe essere bn ˆ d 0 T n contraddzone col fatto che l flusso deve essere uguale n tutte le sezon trasversal Come caso partcolare, se b è solenodale n tutto lo spazo, tub d flusso d b, devono essere chus (eventualmente all nfnto) 7 Potenzale consdera un tronco d tubo d flusso d b delmtato da due superfc A e B ortogonal alle lnee d flusso e nteramente contenuto nella regone n cu valgono le condzon a 0 ba b 0 La regone nterna al tronco d tubo d flusso è semplcemente connessa All nterno del tronco d tubo d flusso possble esprmere a come gradente d un potenzale U a U 8

5 Potenzale Dato che a e b sono parallel, A e B sono ortogonal alle lnee d campo d a A e B sono superfc equpotenzal La dfferenza d potenzale tra le superfc A e B è U B ˆ at dl A A e B sono due punt generc appartenent rspettvamente a A e B L ntegrale è valutato lungo una lnea arbtrara che collega A e B 9 elazone tra potenzale e flusso Come s è vsto, a un tronco d tubo d flusso d b delmtato da due superfc trasversal ortogonal e contenuto n una regone n cu a 0 e b 0, possono essere assocat n modo unvoco un flusso attraverso la generca sezone trasversale una dfferenza d potenzale U tra le superfc termnal elle condzon ndcate valgono le seguent propretà: U e sono proporzonal tra loro La costante d proporzonaltà K dpende uncamente dalle propretà geometrche del tubo d flusso e dalle propretà del mezzo n cu ha sede l campo B ˆ U at dl U A K K bn ˆ d 0

6 elazone tra potenzale e flusso Come s vedrà n seguto, la relazone U corrsponde alla legge d Ohm (n forma ntegrale), nel caso del campo d corrente stazonaro (J, E) v all equazone del condensatore, nel caso del campo elettrco stazonaro (D, E) v Q C alla legge d Hopnson, nel caso del campo magnetco stazonaro (B, H) K Determnazone della costante Per calcolare K è convenente fare concdere con una lnea d campo con una superfce equpotenzale (sezone normale) In questo modo tˆ nˆ a e b sono parallel a tˆ Inoltre, dato che l flusso d b è ndpendente dalla sezone, s può valutare consderando, al varare d x lungo, la superfce (x) ortogonale a e passante per x K B at ˆ dl axdx ( ) l A 0 ˆ bn 0 ( x) l ax ( ) d b d b d dx l lunghezza d x ascssa curvlnea lungo

7 Tubo d flusso flforme e l area della sezone trasversale è molto pccola ( tubo flforme) s può assumere che b e sano unform sulla superfce sa b che dpendono solo da x L espressone della costante K è K l l l a( x) dx a( x) dx dx bxd ( ) ( xax ) ( ) d ( x) Ax ( ) ( x) ( x) A(x) area della sezone (x) Qund K non dpende da a e b, ma solo da e dalle propretà geometrche del tubo d flusso e, noltre, e l area della sezone hanno valore costante n tutto l tronco d tubo d flusso, s ottene l K A 3 Tubo d flusso generco Un tubo d flusso non flforme può essere suddvso n un nseme d tub d flusso flform elementar, le cu sezon termnal sono contenute nelle superfc A e B All -esmo tubo d flusso elementare è assocato l flusso Per tutt tub d flusso la dfferenza d potenzale è par a U Per cascun tubo elementare, applcando l procedmento precedente, s può defnre una costante K, data da K U 4

8 Tubo d flusso generco Il flusso totale è dato dalla somma de fluss de tub elementar U K Qund K può essere ottenuta da K U U U K K Dato che le K dpendono solo dalla confgurazone geometrca e dalla costante, lo stesso vale anche per K 5 Tub d flusso chus consdera un tubo d flusso d b chuso e s assume a al suo nterno mentre non s fanno potes sul valore d a all esterno La regone n cu a è rrotazonale non è semplcemente connessa E possble che la crcutazone d a su una lnea chusa 0 contenuta nel tubo d flusso sa dversa da zero ˆ at dl C 0 0 può rendere semplcemente connessa la regone nterna al tubo d flusso taglandola con una superfce 0 ortogonale alle lnee d campo ella regone nterna alla superfce formata da 0 e dalla superfce laterale del tubo d flusso è possble defnre un potenzale U 6

9 Tub d flusso chus ulla superfce 0 l potenzale n genere è dscontnuo e s ndca con U(A + ) l potenzale sulla facca superore d 0 e con U(A - ) l potenzale sulla facca nferore s ha Procedendo come nel caso d un tubo d flusso aperto s può esprmere l legame tra la crcutazone d a e l flusso d b nella forma C K dove ˆ at dl 0 K bn ˆ d dpende solo da e dalle propretà geometrche del tubo d flusso A U(A ) U(A ) at ˆdl at ˆdl C A 0 7 Tub d flusso chus e l tubo d flusso chuso fosse contenuto nteramente n una regone semplcemente connessa n cu a è rrotazonale, la crcutazone d a su ogn lnea chusa 0 sarebbe nulla ˆ at dl 0 0 In queste condzon, per ogn tubo d flusso chuso d b s avrebbe 0 K 0 qund anche b sarebbe dentcamente nullo Tub d flusso chus d b possono esstere solo se a non è ovunque rrotazonale 8

10 Crcuto elettrco elementare Il vettore J è ovunque solenodale I tub d flusso d J sono chus (eventualmente all nfnto) Un tubo d flusso chuso d J costtusce un crcuto elettrco elementare Pù n generale, s possono avere crcut elettrc con struttura ramfcata costtut dall unone d pù tub d flusso d J Il flusso d J attraverso ogn sezone trasversale del tubo d flusso assume lo stesso valore Questo valore rappresenta la corrente assocata al tubo d flusso J n ˆ d 9 Tensone consdera un tronco d tubo d flusso d J delmtato da due superfc trasversal A e B ortogonal alle lnee d flusso assume che all nterno del tronco d tubo d flusso non agscano camp mpress (qund E J) Dato che E è ovunque rrotazonale, s può porre E V A e B sono ortogonal anche alle lnee d campo d E sono due superfc equpotenzal La tensone (dfferenza d potenzale) tra le due superfc è v V(A) V(B) Etˆ dl dove A e B sono due generc punt rspettvamente d A e B e l ntegrale è valutato su una qualunque lnea che collega A e B 0

11 esstenza defnsce resstenza (untà d msura ohm, ) del tronco d tubo d flusso compreso tra le superfc equpotenzal A e B l rapporto tra la tensone v e la corrente Etˆ dl v J nˆ d Il recproco della resstenza è detto conduttanza (untà d msura semens, ) G v J nˆ d Etˆ dl La resstenza e la conduttanza non dpendono da E e da J, ma solo dalla geometra del tubo d flusso e dalla conducbltà del materale Legge d Ohm n forma ntegrale La dfferenza d potenzale (tensone) tra le sezon termnal del tubo d flusso e la corrente attraverso l tubo d flusso sono legate dalla relazone v Legge d Ohm n forma ntegrale e qund G v G /

12 Legge d Ohm per un crcuto elettrco elementare e s consdera un tubo d flusso chuso (coè s fanno concdere le sezon A e B ), dato che E è conservatvo rsulta Etˆ dl 0 Qund s ha anche 0 dove rappresenta la resstenza del crcuto D conseguenza la corrente è nulla e qund anche E e J s devono essere null 3 ecesstà del campo mpresso In presenza del solo campo elettrco E conservatvo non s può avere corrente nel crcuto se le carche percorrono traettore chuse l lavoro computo dal campo elettrco è nullo nel crcuto non può crcolare corrente, dato che questo rchederebbe che l campo fornsse un energa par a quella dsspata per effetto Joule Affnché s possa avere una corrente nel crcuto è ndspensable la presenza s un campo mpresso non conservatvo 4

13 Legge d Ohm per un crcuto elettrco elementare In presenza d un campo mpresso non conservatvo, la crcutazone del campo totale vale E E tˆ dl E tˆ dl e 0 dove e è la forza elettromotrce dovuta al campo mpresso In queste condzon s ottene ( E E J tˆ d ) tˆ dl e Qund la legge d Ohm per un crcuto elementare è e 5 Generator ormalmente Il campo mpresso è dverso da zero solo n alcune regon del crcuto ell esempo E 0 solo nel tratto compreso fra le sezon e qund e E tˆ dl E tˆ dl dove è l tratto d compreso tra le due sezon Le regon n cu agscono camp mpress corrspondono a dspostv ne qual avvene conversone n energa elettrca d energa d altro tpo (es. meccanca, termca, chmca) generator elettrc 6

14 Tubo d flusso sede d f.e.m. consdera un tronco d tubo d flusso all nterno del quale è presente una regone n cu l campo mpresso è dverso da zero Integrando l campo elettrco totale s ottene ( ) ˆ E E t dl v e La resstenza può essere valutata come v e Qund la legge d Ohm può essere espressa come v e ( E E J tˆ d ) tˆ dl (E dà contrbuto solo nel tratto compreso fra e ) 7 ota Le consderazon precedent s basano sull potes che l andamento de tub d flusso d J sa noto Generalmente crcut elettrc sono realzzat medante conduttor crcondat da un mezzo solante (nel quale 0e qund J 0) In condzon stazonare le component d J ortogonal alle superfc d separazone tra regon occupate da materal dvers devono essere contnue Dato che nel mezzo solante J è pratcamente uguale a zero, sulle superfc che delmtano conduttor s deve annullare la componente ortogonale d J (altrment s avrebbero de tub d flusso che termnano sulla superfce de conduttor, ma questo non è possble perché J è solenodale) J deve essere tangente alle superfc che delmtano conduttor E possble dentfcare tub d flusso d J con conduttor 8

15 Modello crcutale Un sstema elettromagnetco sede d un campo d corrente stazonara può essere descrtto n forma un modello crcutale Il sstema vene suddvso n sottosstem dett component crcutal Ogn componente è dealmente delmtato da una superfce chusa (superfce lmte) attraversata da corrent elettrche solo n corrspondenza d un certo numero d regon, cascuna equpotenzale, (pol o termnal) un termnale concde con la sezone normale d un tubo d flusso d J ad ogn termnale può essere assocata n modo unvoco una corrente ad ogn copa d termnal può essere assocata n modo unvoco una tensone 9 Modello crcutale Il comportamento del crcuto è descrtto medante grandezze ntegral, ndpendent dalle coordnate spazal corrent attraverso termnal tenson (dfferenze d potenzale) tra termnal Il modello crcutale fa rfermento solo alle relazon tra le tenson e le corrent a termnal de component on vene messa n evdenza la confgurazone geometrca de tub d flusso d J la dstrbuzone d campo al loro nterno 30

16 Equazon de component Le tenson e le corrent d cascun componente sono soggette a vncol dpendent dalle propretà fsche del componente (equazon de component) Per esempo, nel caso n cu l componente s dentfca con un tronco d tubo d flusso d J n cu vale la relazone J ( E E ) l equazone del componente è data, come s è vsto, dalla legge d ohm n forma ntegrale v e Il componente può essere rappresentato come sere d un resstore e d un generatore deale d tensone 3 Equazon de collegament Dalle equazon fondamental per l campo d corrente stazonaro E 0 J 0 è possble dervare le legg d Krchhoff, che esprmono vncol tra le tenson e tra le corrent de component d un crcuto dpendent dalla struttura de collegament 3

17 Legge d Krchhoff per le corrent (LKI) La legge d Krchhoff per le corrent è dretta conseguenza del fatto che la denstà d corrente n condzon stazonare è solenodale consdera una superfce chusa orentata che nterseca ram del crcuto La denstà d corrente è dversa da zero solo nelle aree che rappresentano le ntersezon tra la superfce e l crcuto, qund J nˆ d J nˆ d 0 L ntegrale d J sulla superfce concde con la corrente d un termnale o con l suo opposto a seconda che l verso della normale a e l verso della corrente sano concord o dscord 33 Legge d Krchhoff per le tenson (LKV) La legge d Krchhoff per le tenson è dretta conseguenza del fatto che l campo elettrco n condzon stazonare è rrotazonale e qund su una generca lnea chusa s ha Eˆ t dl 0 consdera una lnea passante per nod d un crcuto e la s suddvde n una successone d curve, cascuna delle qual collega una coppa d nod Etˆ dl Etˆ dl V 0 L ntegrale d E lungo la lnea rappresenta la tensone V tra nod collegat dalla lnea o l suo opposto (V ) a seconda che l verso della tensone e l verso d sano concord o dscord 34

18 Crcuto magnetco elementare Il vettore B è ovunque solenodale I tub d flusso d B non possono avere sezon termnal, qund devono chus (eventualmente all nfnto) Un tubo d flusso chuso d B costtusce un crcuto magnetco elementare Pù n generale, s possono avere crcut magnetc con struttura ramfcata costtut dall unone d pù tub d flusso d B Il flusso d B attraverso ogn sezone trasversale del tubo d flusso assume lo stesso valore B nˆ d 35 Potenzale scalare magnetco consdera un tronco d tubo d flusso d B delmtato da due superfc trasversal A e B ortogonal alle lnee d flusso e all nterno del tronco d tubo d flusso la denstà d corrente J è nulla s ha H 0 Dato che la regone nterna al tronco d tubo d flusso è semplcemente connessa, n tale regone è possble defnre un potenzale scalare magnetco [untà d msura A] H A e B sono ortogonal anche alle lnee d campo d H sono due superfc equpotenzal 36

19 Tensone magnetca La tensone magnetca [A] tra le due superfc termnal del tronco d tubo d flusso è ( A) ( B) H tˆ dl dove A e B sono due generc punt, rspettvamente, d A e B e l ntegrale è valutato su una qualunque lnea, nteramente contenuta nel tronco d tubo d flusso, che collega punt A e B 37 luttanza e permeanza defnsce rluttanza [untà d msura henry - = H - ] del tronco d tubo d flusso compreso tra le superfc equpotenzal A e B l rapporto tra la tensone magnetca e l flusso d nduzone magnetca Il recproco della rluttanza è detto permeanza [untà d msura henry, H] P H tˆ dl B tˆ d B nˆ d H tˆ dl La rluttanza e la permeanza non dpendono da B e da H, ma solo dalla geometra del tubo d flusso e dalla permeabltà del materale 38

20 Legge d Hopnson La tensone magnetca tra le sezon termnal d un tronco d tubo d flusso d B e l flusso magnetco attraverso l tubo sono legate dalla relazone (analoga alla legge d Ohm) e qund P / Legge d Hopnson P 39 Tub d flusso chus Per ogn tubo d flusso chuso deve necessaramente essere dversa da zero la corrente concatenata, altrment H e B rsulterebbero null In presenza d corrent concatenate, dalla legge d Ampere s ottene H tˆ dl c Qund la rluttanza del tubo d flusso chuso può essere espressa come H dl c B d 40

21 Legge d Hopnson per un crcuto magnetco elementare Per un tubo d flusso chuso la legge d Hopnson assume la forma c In partcolare, se l tubo d flusso è concatenato con un avvolgmento formato da spre e percorso da una corrente, s ha La corrente concatenata c è detta forza magnetomotrce (f.m.m.) (ha un ruolo analogo a quello della f.e.m. n un crcuto elettrco) 4 Crcut magnetc Per l campo magnetco stazonaro è possble svluppare un modello crcutale analogo a quello defnto per crcut elettrc A partre dalle equazon fondamental è possble dervare legg analoghe alle legg d Krchhoff per crcut elettrc fruttando le analoge tra le equazon de crcut elettrc e de crcut magnetc è possble rcondurre lo studo d un crcuto magnetco all anals d un crcuto elettrco equvalente Il modello crcutale è utlzzable solo ne cas n cu l andamento de tub d flusso d B è noto a pror sstem dotat d partcolar smmetre crcut magnetc costtut da materal con permeabltà molto elevata rspetto a quella de mezz crcostant 4

22 Crcut magnetc ad elevata permeabltà Dal punto d vsta del comportamento magnetco non esstono materal analogh agl solant (Tutt mezz, vuoto compreso, sono magnetcamente permeabl) Mentre le conducbltà de buon conduttor e quelle degl solant possono dfferre d 8-4 ordn d grandezza, le permeabltà magnetche possono dfferre, al pù, d 5-6 ordn d grandezza Esempo: Crcuto magnetco costtuto da un materale ad elevata permeabltà ( 0 ) crcondato da un mezzo con permeabltà relatvamente bassa ( 0 ) ono possbl due tp d lnee d flusso a) lnee che s svluppano nteramente nel mezzo ad elevata permeabltà b) lnee che n parte s svluppano nel mezzo a bassa permeabltà 43 Crcut magnetc ad elevata permeabltà consderano due tub d flusso flform avent ass concdent con le lnee a e b Dalla legge d Hopnson s ottene a a b Dato che l tubo d flusso b comprende un tratto a bassa permeabltà rsulta b a b E possble trascurare l flusso dovuto a lnee del tpo b e consderare l anello d materale ad elevata permeabltà come un tubo d flusso d B b a 44

23 Legge d Krchhoff per fluss magnetc La somma algebrca de fluss de ram che attraversano una superfce chusa è nulla In partcolare s ha che: La somma algebrca de fluss de ram afferent ad un nodo è nulla Questa legge è dretta conseguenza del fatto che B è solenodale B nˆ d B nˆ 0 d Legge d Krchhoff per le tenson magnetche La somma algebrca delle tenson magnetche de ram d una magla è uguale alla forza magnetomotrce concatenata con la magla stessa Questa legge s ottene drettamente dalla legge d Ampere H tˆ dl H tˆ dl e la forza magnetomotrce è prodotta da un nseme d avvolgment concatenat con la magla C

24 Vers d rfermento delle f.m.m. f.m.m. f.m.m. Alle f.m.m. degl avvolgment s assocano vers d rfermento orentat relatvamente a vers delle corrent secondo la regola della mano destra A secondo membro dell equazone d una magla, alla f.m.m. d un avvolgmento s attrbusce segno se l suo verso d rfermento è concorde con l verso della magla, segno se è dscorde 47 Analoge tra crcut elettrc e crcut magnetc Crcut elettrc v (f.e.m.) e v Crcut magnetc (f.m.m.) 0 0 e 48

25 Esempo l l l l l Crcut magnetc con traferr In alcun cas, n un crcuto magnetco s possono avere delle nterruzon del materale ad elevata permeabltà (traferr) La presenza d traferr d pccolo spessore non altera n modo sgnfcatvo l andamento delle lnee d flusso d B (s hanno degl effett d bordo, spesso trascurabl) 50

26 Crcut magnetc con traferr Qualora sa necessaro tenere conto degl effett d bordo, s può valutare la rluttanza de traferr assumendo un area effcace > ( = sezone del nucleo n corrspondenza del traferro) Un metodo emprco per defnre l area effcace consste nell aggungere un bordo d larghezza par allo spessore del traferro I traferr possono alterare notevolmente l enttà de fluss magnetc, dato che le loro rluttanze possono essere molto elevate anche per valor modest dello spessore pesso le rluttanze de tratt d materale ad elevata permeabltà rsultano trascurabl rspetto alle rluttanze de traferr el crcuto elettrco equvalente tratt ad elevata permeabltà corrspondono a conduttor deal e traferr a corrspondono a resstor 5 Esempo 0 Traferr d uguale spessore luttanza d un traferro: t 0 5

27 Coeffcent d auto e mutua nduzone consderano due crcut elettrc e percors dalle corrent e e mmers n un mezzo lneare sotropo In questa potes le equazon che descrvono l campo magnetco generato dalle corrent sono lnear I fluss d nduzone magnetca concatenat con due crcut sono funzon lnear delle corrent e 53 Coeffcent d auto e mutua nduzone Le espresson de fluss sono del tpo c c L M M L I coeffcent L e L sono dett coeffcent d autonduzone o (auto)nduttanze de crcut e (untà d msura henry, H) I coeffcent M e M sono dett coeffcent d mutua nduzone o mutue nduttanze de crcut e (untà d msura henry, H) può dmostrare che rsulta sempre verfcata l uguaglanza M M M qund s può parlare d un unco coeffcente d mutua nduzone tra due crcut 54

28 55 Coeffcent d auto e mutua nduzone Il coeffcente d autonduzone L rappresenta l rapporto tra l flusso concatenato con l crcuto e la corrente, quando la corrente nell altro crcuto è nulla Il coeffcente d mutua nduzone rappresenta l rapporto tra l flusso concatenato con l crcuto e la corrente nell altro crcuto valutato quando la corrente è nulla 0 c L 0 c L 0 0 c c M 56 Coeffcent d auto e mutua nduzone Le defnzon d coeffcent d auto e mutua nduzone possono essere generalzzate al caso d crcut In questo caso rsulta dove Inoltre s ha c c c L M M M L M M M L h c h L 0 h M h M j h j c j h M 0

29 egn de coeffcent d auto e mutua nduzone L 0 M 0 M 0 Il coeffcente d autonduzone è sempre postvo Il coeffcente d mutua nduzone può essere postvo o negatvo a seconda d come sono defnt vers d rfermento 57 Flusso nel nucleo Fluss concatenat con gl avvolgment c c Esempo Coeffcent d auto e mutua nduzone l L M L 58

30 59 Esempo Flusso nel nucleo Fluss concatenat con gl avvolgment Coeffcent d auto e mutua nduzone l c c L M L 60 ota Per un avvolgmento formato da spre dsposto su un ramo d un crcuto magnetco l flusso concatenato c s ottene moltplcando l flusso del ramo per l numero d spre Al flusso concatenato s attrbusce segno quando l verso della corrente nell avvolgmento e l verso del flusso sono orentat secondo la regola della mano destra attrbusce segno n caso contraro c

31 Conduttor n regme elettrostatco In condzon statche J 0, qund deve rsultare E 0 D conseguenza s ha 0 E 0 E 0 0 Il campo elettrco può essere dverso da 0 solo n un mezzo solante ( 0) All nterno d un conduttore ( 0) l campo elettrco è nullo l potenzale è costante La superfce esterna d un conduttore è una superfce equpotenzale la componente tangente del campo elettrco è nulla l campo elettrco all esterno del conduttore è normale alla superfce 6 Conduttor n regme elettrostatco Per una generca superfce chusa nteramente contenuta all nterno del conduttore, dalla legge d Gauss s ottene Enˆ Q d 0 La denstà d carca all nterno del conduttore è nulla, 0 ˆn, 0 ˆn 6

32 Conduttor n regme elettrostatco consdera una superfce clndrca nfntesma con asse ortogonale alla superfce del conduttore e con una base all nterno del conduttore e una all esterno assume che la superfce laterale sa un nfntesmo d ordne superore rspetto all area d base d In presenza d campo elettrco esterno l flusso d E attraverso la superfce è dato dal solo contrbuto della base esterna Enˆ d Ed nˆ, 0 Per la legge d Gauss, sulla superfce del conduttore deve essere presente una dstrbuzone d carca con denstà superfcale c tale che d, 0 Q cd Ed c E D 63 Campo elettrostatco all esterno de conduttor consdera un sstema costtuto da conduttor carch separat da un mezzo solante (delettrco) assume C 0 all esterno de conduttor ella regone esterna a conduttor, per un generco tubo d flusso d D l flusso è ndpendente dalla sezone Per un tronco d tubo d flusso delmtato da due superfc A e B ortogonal alle lnee d campo, la dfferenza d potenzale tra le superfc termnal e l flusso d D sono legat da una relazone del tpo v K 64

33 Campo elettrostatco all esterno de conduttor possono avere solo tub d flusso d D che vanno da un conduttore a un altro () da un conduttore all nfnto () on è possble che un tubo d flusso abba entrambe le sezon termnal sullo stesso conduttore (3) s rchuda su se stesso (4) Campo elettrostatco all esterno de conduttor Dato che conduttor sono equpotenzal, per un tubo d flusso del tpo (3) la tensone rsulterebbe nulla Qund s annullerebbe l flusso d D e d conseguenza anche D dovrebbe essere nullo K 0 0 D 4 In modo analogo, dato che E è conservatvo, anche per un tubo d flusso d tpo (4) s otterrebbe B K 0 D 0 A 3 66

34 Condensatore elementare consderano due conduttor separat da un delettrco lneare nel quale la denstà d carca è nulla consdera noltre un tubo d flusso d D che ha orgne sul conduttore e termna sul conduttore ulle superfc termnal e D è dscontnuo, qund devono essere present due dstrbuzon superfcal d carca può dmostrare che le carche sulle superfc e sono ugual e opposte cd cd Q Q 67 Condensatore elementare forma una superfce chusa unendo alla superfce laterale del tubo d flusso e due superfc e nterne a conduttor Il flusso d D attraverso questa superfce è nullo (D è nullo all nterno de conduttor ed è tangente alla superfce laterale) Qund rsulta d d d d Q c c 0 Il sstema formato dalle superfc e e dal tubo d flusso che le collega costtusce un condensatore elementare c c 68

35 Flusso d D e carca All esterno de conduttor l flusso d D ha lo stesso valore attraverso ogn sezone trasversale del tubo può verfcare che, con vers d rfermento ndcat nella fgura, questo valore concde con la carca totale su D ˆn d d Q c Per dmostrarlo è suffcente applcare la legge d Gauss alla superfce chusa formata da, e dal tratto della superfce laterale del tubo compreso tra ed 69 Tensone Le superfc e sono equpotenzal (e qund ortogonal alle lnee d campo d E e d D) La tensone tra due sezon termnal del tubo d flusso può essere espressa come v V( P ) V( P ) Etdl ˆ dove P e P sono due punt arbtrar d e e è una lnea arbtrara che unsce due punt 70

36 Capactà defnsce capactà C (untà d msura farad, F) del tubo d flusso l rapporto tra l valore assoluto della carca sulle sezon termnal e la dfferenza d potenzale tra conduttor C Q V Dnˆ d Etˆ dl La capactà dpende solo dalla geometra del sstema e dalle propretà del mezzo nterposto tra conduttor La defnzone d capactà d un tubo d flusso d D è analoga alla defnzone d conduttanza d un tubo d flusso d J 7 Condensatore Condensatore: sstema formato da due conduttor (armature) dspost n modo tale che tutte le lnee d campo uscent da un conduttore termnno sull altro Le carche total sulle superfc de conduttor sono ugual e opposte defnsce capactà del condensatore l rapporto Q C V V Q valore assoluto della carca V potenzale del conduttore con carca Q V potenzale del conduttore con carca Q V V Q Q 7

37 Esempo - condensatore a facce pane parallele Armature pane parallele d area Dstanza tra le armature d pccola rspetto alle dmenson lnear delle armature e s trascurano gl effett d bordo, s può assumere che l campo elettrco tra le armature sa unforme E d C d 73 Conduttor n condzon stazonare In condzon stazonare, all nterno d un conduttore vettor D E e J soddsfano le equazon D J c 0 D E E J e l conduttore è omogeneo s ottene c J E J 0 All nterno d un conduttore omogeneo la denstà volumetrca d carca è sempre nulla A dfferenza del caso elettrostatco, n presenza d corrent stazonare questa propretà vale solo se l mezzo è omogeneo 74

38 Campo elettrco all esterno de conduttor La superfce d un conduttore percorso da corrente non è equpotenzale Deve essere presente un campo elettrco anche all esterno d un conduttore Infatt l ntegrale d lnea del campo elettrco lungo una lnea esterna al conduttore che collega due punt della superfce è uguale alla dfferenza d potenzale tra due punt, qund l campo elettrco all esterno non può essere nullo A dfferenza d quanto avvene nel caso elettrostatco, esstono lnee d campo che collegano punt appartenent allo stesso conduttore Il campo elettrco all esterno del conduttore n generale non è ortogonale alla superfce del conduttore 75 Condensatore elementare consdera un conduttore omogeneo percorso da corrente crcondato da un delettrco con permettvtà assume che all esterno del conduttore sa c 0 ulla superfce del conduttore è presente una dstrbuzone superfcale d carca con denstà E c En D n, D n = component d E e D n ortogonal alla superfce ulle superfc termnal d un tubo d flusso che nza e termna sul conduttore sono present due carche ugual e opposte cd cd Q Q 76

39 Condensatore elementare Per dmostrare le affermazon precedent, n prmo luogo s osserva che è nullo l flusso d J attraverso le superfc e nterne al conduttore J è solenodale è nullo l flusso d J attraverso le superfc chuse formate da e e da e Il flusso d J attraverso e è nullo perché l conduttore costtusce un tubo d flusso d J Qund devono annullars anche fluss attraverso e Il conduttore è lneare e omogeneo D è proporzonale a J Qund anche l flusso d D attraverso e è nullo 77 Condensatore elementare Applcando la legge d Gauss alla superfce chusa formata da, e dal tratto della superfce laterale L compreso tra ed s ottene Dnd ˆ Q Qund la denstà d carca sulla superfce del conduttore è c Dnˆ Il flusso attraverso la superfce formata da L, e è nullo Qund le carche su e sono ugual e opposte cd cd c d 0 78

40 Elettromagnetsmo stazonaro - replogo J Q B D E Q H J Β 0 B H E 0 J 0 J ( E E ) E 0 D D E c Legge d Hopnson C Legge d Ohm e Q V C Equazone del condensatore 79 Elettromagnetsmo stazonaro - replogo esstenza V luttanza Capactà C V Q Edl l dx Jd ( x) A( x) 0 Hdl Bd Edl Dd l l dx ( x) A( x 0 ) dx ( x) A( x) 0 Le ultme uguaglanze valgono nel caso d tub d flusso flform 80

41 Effett capactv e nduttv assocat a un crcuto ulla superfce d un conduttore percorso da corrente è presente una dstrbuzone superfcale d carca Alla superfce del conduttore s appoggano de tub d flusso d D sulle cu sezon termnal s localzzano carche ugual e opposte Quest tub d flusso costtuscono de condensator elementar B La corrente nel crcuto genera un campo magnetco Un crcuto elettrco è sempre concatenato con tub d flusso d B D 8 Effett capactv e nduttv assocat a un crcuto In condzon stazonare è possble studare l campo d corrente prescndendo dalla presenza d un campo elettrco e d un campo magnetco all esterno del conduttore ot l potenzale e la corrente nel conduttore s possono determnare l campo magnetco e la dstrbuzone della carca sulla superfce In condzon non stazonare le equazon che governano l campo elettrco e l campo magnetco all esterno del conduttore sono accoppate con le equazon del campo d corrente In queste condzon l comportamento del crcuto è nfluenzato anche dalla presenza d effett nduttv e capactv B D 8

42 Induttor e condensator ormalmente crcut elettrc sono realzzat n modo che gl effett nduttv e capactv sano sgnfcatv solo all nterno d determnate regon che corrspondono a component dett nduttor e condensator Propretà che a rgore dovrebbero essere assocate all ntero crcuto possono essere attrbute a sngol component All nterno d un nduttore valor d B sono molto maggor rspetto a quell assunt all esterno Il flusso d B concatenato con l crcuto è pratcamente determnato da sol contrbut de fluss negl nduttor All nterno d un condensatore valor d D sono molto maggor rspetto a quell assunt all esterno La denstà d carca sulla superfce del conduttore assume valor sgnfcatv solo sulle armature de condensator 83 Esempo c 0 Induttore esstor Β 0 D 0 c 0 D 0 Β 0 Conduttore deale Generatore Condensatore 84

43 Induttor e condensator n regme stazonaro e l conduttore può essere consderato deale, la tensone dell nduttore è nulla In regme stazonaro un nduttore equvale a un cortocrcuto Dato che le armature del condensatore sono separate da un delettrco, la corrente nel condensatore è nulla In regme stazonaro un condensatore equvale a un crcuto aperto In regme stazonaro è possble determnare le corrent degl nduttor e le tenson de condensator studando crcut format solo da component resstv Per gl nduttor, da valor delle corrent s possono rcavare fluss d nduzone magnetca Per condensator, da valor delle tenson s possono rcavare le carche 85 Esempo Q Q L L Q Cv C L v C VG V G 86