Corso di laurea in Economia marittima e dei trasporti

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1 Unverstà degl stud d Genova Corso d laurea n Economa marttma e de trasport Il problema del cammno mnmo n ret multobettvo Relatrce: Anna Scomachen Canddato: Slvo Vlla

2 Dedcato a: Coloro che n me Hanno sempre creduto E a coloro che Guardando oltre l apparenza d Un abto hanno generosamente Elargto conforto, calore, amcza. Va un graze dovuto A quelle persone che m hanno Resttuto forza e audaca per Arrvare alla fne della corsa.

3 Introduzone q uesto lavoro tratta sntetcamente alcun aspett del problema del cammno mnmo n ret urbane. La rstrettezza degl spaz concess ha fatto sì che l lavoro sa lmtato ad un aspetto topco del problema, a mo gudzo mportante, ma non unco. Poché, secondo le pù comun nterpretazon della rforma de cors d laurea, appare che questo breve elaborato scrtto debba rappresentare una forma d relazone fnale con cu lo studente chude l propro cclo d stud, ho rtenuto adeguato segure, durante l elaborazone d questa tes, le lnee guda apprese dal mo corso d stud. Ho scelto d trattare una matera matematca per va del personale nteresse verso la matera, trovando un ottmo mezzo per unre l utle al dlettevole. La rcerca operatva m ha permesso d unre la ma passone verso la matematca al corso d stud svolto, applcando la stessa al settore de trasport. Ho scelto altresì d fornre un adeguata ntroduzone storca all argomento, rtenendo partcolarmente mportante questa dmensone della matematca, spesso erroneamente trascurata. Il prmo captolo ntroduce la matera, la teora de graf ed l problema del cammno mnmo, passando, dall anals del problema banale, attraverso l ntroduzone d potes e vncol, allo studo d un problema che rappresent, n modo l pù possble verosmle, la stuazone reale. Nel secondo captolo, sono analzzat nel dettaglo tre algortm propost da due rcercator del dpartmento d ngegnera cvle dell unverstà del Maryland; nel momento n cu questa tes è scrtta, l lavoro de rcercator amercan è n fase d pubblcazone sul European Journal of operatonal research. Gl algortm n questone possedono un certo grado d sofstcatezza matematca, tale da rchedere un anals approfondta; per questo motvo, e perché lo stesso lavoro rappresenta l ultmo rtrovato n matera, ho preferto ncentrarm su que- I

4 sta promessa d pubblcazone. L nnovazone proposta da due scenzat è stata l ntroduzone dell anals multcrtero n ret stocastche e varabl rspetto al tempo. Nel terzo captolo sono passato ad analzzare l lavoro svolto da Paola Modest e Anna Scomachen nel 1998, che tratta un problema smle da un punto d vsta leggermente dverso. La ma tes s rsolve qund con l anals delle crtctà de due lavor, con un confronto tra gl stess e con le consderazon personal sul problema dell anals multcrtero. Questa rappresenta nfatt l fulcro del mo lavoro, n cu sono gettat presuppost per possbl nuov svlupp dell argomento, consderata l opera d sntes svolta attraverso la dscussone de lavor analzzat. Con la speranza che questa conclusone possa tradurs nell nzo d una nuova affascnante esperenza n ambto matematco. Slvo Vlla, Genova, febbrao II

5 CAPITOLO UNO Multcrtera Stochastc Tme-Varyng networs

6 Captolo 1 Multcrtera Stochastc Tme-Varyng networs Sommaro: 1.1 L orgne della teora de graf Introduzone alla teora de graf Il problema del cammno mnmo Algortm eurstc Il problema del cammno mnmo nelle ret urbane Introduz one al problema MSTV Relazon tra cammn Pareto-ottmal a pror e adattv 1.1 L orgne della teora de graf b enché gà precedentemente s fosse ragonato n termn d graf, la nascta della teora de graf s può far rsalre alla prma metà del secolo XVIII. Leonhard Euler ( ) ntrodusse alcun smbol comunemente utlzzat qual e, π,, elegantemente rappresentat nseme nella for- mula pù affascnante della stora della matematca: e π + 1= 0. Oltre all ntroduzone de logartm d numer negatv, Euler s rese protagonsta della formalzzazone d una teora d cu gà Lebnz (Gottfred Wlhelm, ) aveva parlato, tuttava senza un precso formalsmo matematco: la teora de graf. Per oltre un secolo, questa teora non fu ulterormente svluppata e s fermò al punto n cu era rmasta con gl stud d Euler; lo studo d questa teora fu rpreso a partre dalla seconda metà del secolo XIX n Inghlterra, dove dvers problem vennero formulat attraverso la teora de graf. Nel 1733, l gesuta Grolamo Saccher ( ) pubblca Eucldes ab omn naevo vndcatus, n cu, cercando d dmostrare l 5 postulato d Euclde per assurdo, getta le bas per le geometre non eucldee. IV

7 Successvamente, Lambert (Johann Henrch, ) e Legendre (Adren- Mare, ) rprendono l lavoro d Saccher, ma nfruttuosamente; Gauss (Karl Fredrch, ) nel 1824 afferma che una geometra basata su prm 4 postulat d Euclde e sulla negazone del qunto è possble e non contraddttora, ma non pubblca rsultat de suo stud per paura delle reazon del mondo matematco ne suo confront. Bsognerà aspettare l russo Lobačevsj (Ncolaj Ivanovč, ) nel 1829 perché sa formalzzata la prma geometra non eucldea basata sulla negazone del qunto postulato: la geometra perbolca. Nel XIX secolo, Remann (Georg Fredrch Bernhard, ) formula la geometra ellttca, postulando che due rette hanno sempre n comune almeno un punto, negando qund l esstenza d rette parallele. In seguto, altr stud verranno effettuat sulle geometre non eucldee che negano l qunto postulato, tra cu vale la pena rcordare l modello d Beltram (Eugeno, ), con cu lo studoso gunge alla defnzone delle geodetche, ed l modello d Klen (Felx, ). L rona della sorte volle che, mentre n tutt quest ann, gl sforz d grand matematc furono concentrat a rcercare una geometra che negasse l qunto postulato, la teora de graf, gà così come formulata da Euler rappresentava una geometra non eucldea; questa però partva dalla negazone del terzo postulato, portando rsultat per nulla trascurabl. In questa geometra, ad esempo, non è necessaramente vero che la somma d due lat d un trangolo sa maggore del terzo lato. Solo n epoca relatvamente recente c s è accort del fatto che la teora de graf rappresenta una geometra non eucldea, e pù precsamente la prma ad essere stata formalzzata. Tutto ebbe nzo nel 1735, nella cttadna d Köngsberg (ogg Kalnngrad), nella Prussa orentale. La cttà, che dede natal ad Immanuel Kant, è attraversata dal fume Pregolya e un suo quartere sorge su un sola chamata der Knephof, oltre la quale, l fume s dvde n due dramazon. A que temp, l sola era collegata con cascuna delle due sponde da due pont, mentre la sponda stuata dopo la suddvsone del fume era collegata con un ponte per ogn sponda e con un altro all sola. V

8 Gl abtant d Köngsberg s chedevano se esstesse un cammno che attraversasse tutt pont una ed una sola volta. Fg. 1: Köngsberg Il questo può essere affrontato drettamente per tentatv ma, vsta la quanttà elevata d possbl soluzon, cttadn non avrebbero comunque avuto la certezza d averl elencat tutt; qund, se anche tutt cammn elencat non rsolvessero l problema, restava l dubbo d averl elencat tutt. Generalzzando l problema, e rcorrendo alla modellzzazone possble graze alla teora de graf, Euler ruscì ad uscre da quella stuazone. S pose nfatt l problema d fornre una condzone generale d rsolvbltà per quel genere d problem; fu qund n grado d fornre la soluzone: l problema non ammette soluzon. Il rsultato fu presentato all Accadema d San Petroburgo nell agosto del 1736 e pubblcato nell opera Soluto Problemats ad geometram stus pertnents. VI

9 1.2 Introduzone alla teora de graf u n grafo è un nseme ordnato e fnto d (punt) nod legat tra loro da un nseme fnto d relazon (arch). In questo tpo d geometra non valgono molte delle regole propre della geometra eucldea; l concetto che rsente maggormente della negazone del terzo postulato d Euclde è quello d dstanza. Qu non s può, nfatt, parlare d dstanza eucldea. Il concetto d dstanza nella teora de graf ha senso solo n termn numerc e non è d per se raffgurable attraverso la rappresentazone grafca. In termn formal s defnsce grafo: GVE, (, ) dove V = nseme de nod { v v v },,..., n 1 2 E = nseme degl arch { e e e },,..., m 1 2 Un grafo s dce orentato se suo arch possono essere percors solo n una determnata drezone, mentre s dce non orentato se suo arch non hanno un senso d percorrenza e possono pertanto essere percors ndfferentemente n entrambe le drezon. Grafo non orentato Grafo orentato A B A B C D C E D E Fg. 2: Esemp d graf VII

10 Due nod s dcono adacent se sono conness tra loro da un arco. Nell esempo d Fg. 2, nod B ed E sono tra loro adacent, mentre nod B e D non lo sono. Parallelamente, s dcono adacent due arch se hanno un nodo n comune; ad esempo, gl arch BE e AB sono adacent, mentre AB e DE non lo sono. In un grafo orentato, e j E, l nodo è detto predecessore del nodo j, ed l nodo j è detto successore del nodo. Qund, l nodo C è successore d A e predecessore d E. Un grafo è completo quando esste almeno un arco tra ogn coppa d nod; vene defnto planare se è possble dsegnarlo su un pano senza ntersezon tra gl arch. Questa defnzone è mportante n ambto d ret urbane, poché non possono rappresentars ret urbane non planar, n quanto ad ogn ncroco corrsponde un nodo, elmnando, d fatto, la possbltà che due arch possano ntersecars. S parla noltre d arch multpl, quando due nod sono collegat tra loro da pù d un arco, come n fgura 3 a. A B A Fg. 3 a Fg. 3 b I loops o capp, sono arch per cu l nodo orgne concde con l nodo destnazone (fg. 3 b). Un grafo che non contene loops e arch multpl s defnsce semplce. Con l termne cammno s defnsce una sequenza fnta d arch nel quale l nodo fnale d un arco è l nodo nzale del successvo. Se un cammno ha l nodo orgne che concde con l nodo destnazone, s ha un cammno chuso, chamato anche crcuto. Come gà accennato, l concetto d dstanza assume un sgnfcato partcolare n questa geometra; un grafo s defnsce pesato se ad ogn arco vene attrbuto un valore defnto peso. Questo attrbuto può rappresentare l tempo necessa- VIII

11 ro per percorrere l arco, la dstanza tra due nod, l costo per passare da un nodo all altro, l flusso massmo consentto per untà d tempo, o qualsas altro sgnfcato. La rappresentazone grafca d un grafo è vsvamente molto effcace ed mmedata ma, quando l numero d element, sano nod o arch, è consstente, per rappresentare l grafo è preferble servrs d opportune matrc. Le matrc pù comunemente assocate a graf sono generalmente tre: La matrce d adacenza An n= a j tale che: a j ( j) ( j) 1 se, E = 0 se, E Se l grafo è pesato, vene defnta la matrce de pes D n n d j = tale per cu: d j ( j) ( j) wj se, E = + se, E con w = peso assocato all arco (, j) j La matrce d ncdenza B = b tale per cu: n m a rs, 1 se è nodo nzale dell'arco ars, ba = 1 se è nodo fnale dell'arco a rs, r, s 0 se l'arco ars, non ncde sul nodo Il vantaggo d una rappresentazone attraverso le matrc consste nella possbltà d applcare algortm teratv o rcorsv medante l uso d calcolator elettronc. Attraverso graf è possble rappresentare molteplc tp d stuazon: ad e- sempo una sere d attvtà legate da precse relazon causa-effetto, anche se l applcazone pù comune e pù ntutva a cu questa geometra s presta è assocata al problema del trasporto. Altr mportant problem possono essere quello dell allocazone d centr d servzo, oppure la progettazone d ccl d attvtà complesse qual quelle present nel campo dell elettronca; recentemente, lo svluppo delle ret neural sta assumendo mportanza sempre maggore. IX

12 1.3 Il problema del cammno mnmo a pplcando la teora de graf alle ret d trasporto, uno de problem pù comun è quello d trovare quel cammno che consenta d gungere da un certo nodo orgne ad un nodo destnazone mnmzzando l costo (la durata, la dstanza). In letteratura sono present dvers algortm per rsolvere l problema, noto come shortest path problem, oltre alla possbltà d rsolvere questo problema attraverso la programmazone lneare. Il problema posto dalla programmazone lneare consste nella sua lmtata applcabltà a ret d pccole dmenson, n quanto la complesstà computazonale è elevatssma n termn d rsorse necessare per effettuare l calcolo. Il modello d programmazone lneare necessta la matrce de cost e la creazone d tante varabl bnare quant gl arch esstent che assumano valore 1 se l arco rappresentato appartene al cammno soluzone e 0 altrment; chamando O l nodo orgne e D l nodo destnazone, l modello consste nella seguente espressone: mn z = cjx j, j m x = 1 j Oj m x = 1 D j, j m x x = 0 m X (, j) { 0, 1 } O D In questa formulazone, l prmo vncolo ndca che, tra tutt gl arch uscent dall orgne, solo uno può appartenere al cammno soluzone. Al par della condzone precedente, l secondo vncolo mpone che uno solo degl arch entrant nel nodo destnazone possa essere attvo, qund appartenere al cammno soluzone. X

13 Il terzo vncolo mpone che, se n un nodo esste un arco uscente, necessaramente deve essterne anche uno entrante. Il quarto vncolo è la condzone che specfca che le varabl x j sono bnare. È facle nture come l problema assuma mmedatamente dmenson molto rlevant dal punto d vsta della complesstà computazonale. Esstono nvece molteplc e dfferent algortm n letteratura che rsolvono l problema del cammno mnmo, tra cu s possono dstnguere dverse categore. Gl algortm arborescent generano, attraverso una sngola mplementazone, l albero de percors mnm da un determnato nodo orgne a tutt gl altr nod. Applcando algortm d questo tpo a tutt nod assunt come orgne, s ottene una matrce, dove ogn applcazone dell algortmo costtusce la -esma rga, che rappresenta l peso d ogn percorso mnmo tra due nod qualsas. Generalmente gl algortm propost fanno rfermento all etchettatura de nod e s possono suddvdere n due categore a seconda che s tratt d algortm basat sull attrbuzone d etchette (label settng) o sulla correzone delle etchette (label correctng). I prm rcercano, ad ogn terazone, l percorso con l costo mnmo dall orgne ad uno o pù nod della rete e, ad ogn passaggo, sono aggornat con l aggunta d un nodo e del rspettvo arco che lo collega alla rete. L algortmo termna quando tutt nod sono stat conness al nodo orgne. La caratterstca d questo tpo d algortm è data dal fatto che ad ogn terazone è fornto un rsultato defntvo, coè tutt cammn tra l orgne ed nod attv fno a quel momento sono ottm. L mportanza d questa caratterstca s rflette n applcazon pratche, poché non è necessaro attendere l termne del processo per utlzzare gà parte de rsultat. I second nvece effettuano l aggornamento ad ogn terazone ncrementando o modfcando gl arch della soluzone, ma non garantscono che l percorso ottenuto alla fne d ogn terazone sa ottmo fnché l processo non è termnato. La dstnzone tra queste categore non è sempre netta, come nel caso del noto algortmo d Djstra che è d tpo msto, coè label settng-correctng. XI

14 Questo algortmo appartene alla categora degl algortm greedy (cupd), caratterzzat dalla scelta, ad ogn terazone, della varable a costo mnmo, senza consderare se tale scelta port o meno alla soluzone ottma. Per quanto rguarda l algortmo d Djstra, è dmostrato come per questo la soluzone generata sa sempre quella ottma. Altr tp d algortm sono n forma matrcale, e rsolvono l problema del cammno mnmo da ogn nodo della rete ad ogn altro nodo. Il metodo maggormente utlzzato è quello proposto da Floyd; questo, partendo dalla matrce de cost, dopo ogn terazone determna la lunghezza del cammno mnmo tra ogn coppa d nod. 1.4 Algortm eurstc approcco esaustvo al problema, coè l utlzzo d un algortmo che trov l nseme d tutte e sole le soluzon ammssbl, necessta, come gà detto, d un grande sforzo computazonale. Per questo motvo, s fa spesso rcorso a metod defnt eur- l stc. Ne problem d vehcle routng, s verfcano spesso condzon per cu rsulta mproponble l rcorso a metod esatt. L approcco esaustvo a problem d dmenson realstche è spesso assolutamente neffcente; per problem tal, coè d dmenson rlevant, è necessaro abbandonare l concetto d ottmaltà assoluta e lmtars a trovare soluzon d buona qualtà n un tempo convenentemente utle. Il problema del cammno mnmo è un problema semplce all nterno della teora de graf; una complcazone d questo problema è data dal problema della dstrbuzone. Poché non è nteresse d questo lavoro l problema d dstrbuzone, damo solo un accenno al problema ed a metod rsolutv utlzzat. Il problema consste nel raggungere un certo numero d nod prefssat da un punto d partenza utlzzando un dato numero d vecol. XII

15 In questo tpo d problem, per le ragon vste sopra, dffclmente metod esatt possono fornre soluzon n temp utl; questo ha portato alla nascta ed allo svluppo d metod eurstc. I metod eurstc s possono dvdere n tre class dstnte: metod costruttv, metod a due fas e metod mgloratv. I metod costruttv sono gl algortm pù semplc, ma allo stesso tempo pù neffcent. In tal algortm, la soluzone vene costruta n modo graduale, attraverso l nsermento, ad uno ad uno, de nod nell nseme soluzone, partendo da una stuazone n cu nessun nodo è assegnato all nseme soluzone. Il pù noto algortmo appartenente a questa categora è l Savngs algorthm, noto anche come metodo Clare & Wrght, per l nome de rcercator che lo hanno proposto nel I metod n due fas dervano dalla struttura del problema d dstrbuzone; nfatt, gl algortm d questo tpo possono dealmente essere scss n due fas: m L assegnazone de nod destnazone a vecol (clusterng); m L ndvduazone del cclo ottmo per ogn nseme (routng); Per trovare la soluzone ottma al problema, sarebbe necessaro rsolvere due sottoproblem contemporaneamente, mentre gl algortm n due fas s propongono d rsolvere separatamente due problem. Esste la possbltà d rsolvere due sottoproblem nell ordne nverso, coè rsolvere prma l problema d routng e, successvamente, quello d clusterng; tuttava, fno ad ora, questo secondo tpo d approcco non ha prodotto rsultat soddsfacent. Un esempo d algortmo appartenente a questa categora è l algortmo Sweep, come anche una versone modfcata dell algortmo Clare & Wrght che consdera separatamente le due fas d clusterng e routng. I metod mgloratv sono, a loro volta, un ulterore evoluzone degl algortm a due fas; n questo tpo d algortm, vene superata la dstnzone tra fase d clusterng e fase d routng. Queste sono, nfatt, applcate alternatvamente, utlzzando, cascuna, le nformazon provenent dall altra. Un algortmo d que- XIII

16 sta categora, noto n letteratura, è quello proposto da rcercator canades Hertz, Gendreau e Laporte. 1.5 Il problema del cammno mnmo nelle ret urbane a pplcando la teora de graf alle ret urbane, le qual per loro natura sono congestonabl, s rendono opportun necessar accorgment che comportano necessaramente mplementazon del problema e d conseguenza un aumento della dffcoltà dello stesso. Nelle ret d trasporto congestonabl, temp d percorrenza degl arch cambano n funzone del momento della gornata, per va del numero d vecol present nell arco stesso. Tuttava, anche consderando la varabltà delle condzon d traffco dovute a ccl gornaler, temp d percorrenza d un certo arco possono essere conoscut a pror solo con ncertezza, a causa d event mprevedbl qual ncdent, condzon della strada comportament de conducent o, pù n generale, fattor estern. In letteratura sono stat propost molt approcc al problema del cammno mnmo n ret n cu pes degl arch varano n funzone del tempo (Tme Varyng Networs), ma n modo determnstco (Cooe e Halsey, 1966; Dreyfus, 1969; Orda e Rom, 1990; Zlasopoulos e Mahmassan, 1993; Chabn, 1998). Quest lavor possono essere classfcat come algortm basat sull attrbuzone o sulla correzone d etchette. Hall (1986), Mller-Hoos e Mahmassan (2000), e Pretolan (2000) studarono problem d cammno n ret n cu pes degl arch erano varabl aleatore con funzon d dstrbuzone varabl n funzone del tempo. Ret d questo tpo vengono defnte Stochastc Tme-Varyng Networs (STV). Essendo n presenza d ret n cu l peso degl arch è stocastcamente varable nel tempo, non è possble prevedere determnstcamente un cammno Pareto- XIV

17 ottmale assoluto; noltre, per questo motvo, sono possbl due dfferent approcc al problema che, oltre a costture due dfferent mpostazon del problema, conducono a soluzon non paragonabl tra loro, n quanto costtute da enttà d ordne dverso. In tutt quest lavor, vengono consderate nfatt due class d problem: l problema del tempo medo atteso a pror (Least Expected Tme, LET) e l problema del tempo medo atteso adattvo. I problem del prmo tpo portano alla generazone d un cammno nteramente determnato prma d ntraprendere l vaggo, confrontando le possbl alternatve e sceglendone una sulla base delle caratterstche attese. Il rsultato sarà qund un sngolo cammno, ovvero una sequenza d nod. I problem del secondo tpo, al contraro, generano una sere d stratege d vaggo per cu l vaggatore può, ad ogn nodo, sceglere la successva drezone mglore n funzone del momento d arrvo n questo nodo. Tal stratege d percorso possono essere vste come percammn; un percammno è nfatt l nseme d tutt e sol possbl cammn per arrvare dal nodo orgne al nodo destnazone. Qund una soluzone per questo tpo d problema non è data da una sequenza d nod, bensì da una stratega d vaggo. L mportanza assunta dagl percammn e dalle stratege adattve è dovuta al grande campo d applcazone d questo tpo d concett: nelle ret urbane, conducent s trovano ad affrontare stuazon d questo tpo, n cu ad esempo un ncdente può rendere completamente neffcente una soluzone ottma a pror. Fu e Rlett (1998) proposero un algortmo eurstco per l problema del cammno a pror. Mller-Hoos (2001) dede un esempo per llustrare la dfferenza tra l problema a pror e l problema adattvo. Altr lavor che nserscono l problema del cammno adattvo n ret stocastche sono trattat da Polychronopoulos e Tstsls (1996), Waller e Zlasopoulos (2003), Cheung (1998), Fu (2001) e Provan (2003). Un ulterore mplementazone al problema è data dalla consderazone d pù d un crtero nella scelta del cammno mnmo. Fno ad ora, sono stat presentat XV

18 lavor approfondt solo per problem con un sngolo crtero. Per molte applcazon può esserc pù d un crtero per la scelta del cammno mglore: per e- sempo, pendolar, autst d scuolabus, vettor d carch percolos, preferscono un cammno che smultaneamente mnmzz l costo del vaggo, l tempo d percorrenza, la dstanza, la probabltà d ncdent, le esternaltà negatve sulla popolazone ed effett sml. Poché è puttosto mprobable che essta un sngolo cammno mnmo tra una data coppa d nod orgne-destnazone, ottmo secondo tutt crter consderat, la soluzone d un problema d cammno mnmo nell anals multcrtero sarà una sere d cammn Pareto-ottmal (o non domnat). Numeros lavor propongono procedure d soluzone per problem d cammno multcrtero, n cu tutt gl attrbut degl arch sono assunt n modo determnstco e nvarant rspetto al tempo. Clmaco e Martns (1982) proposero un algortmo basato sull dea d partre da percors pù cort per rsolvere l problema del cammno mnmo con due crter (bcrtero). Martns (1984) svluppò due algortm per generare tutt cammn Paretoottmal. Un algortmo è la generalzzazone dell approcco label-settng d Hansen per questo problema. Corley e Moon (1985) svlupparono un algortmo basato sulla correzone delle etchette per generare tutt cammn Pareto-ottmal. Zografos e Davs (1989) mpegarono la programmazone d meta per progettare l vaggo ottmo multobettvo d materal percolos n una rete statca. Nel contesto dell assegnazone del traffco, Dal (1979) propose una tecnca per generare scelte d metod d nstradamento Pareto-ottmal. Nonostante le tecnche o l applcazone consderata, la generazone d tutt cammn Pareto-ottmal può rchedere la generazone d tutt possbl cammn, poché tutt cammn possono essere Pareto-ottmal. Qund, ogn tecnca che gener tutte le soluzon Pareto-ottmal nella peggore delle potes ha una complesstà computazonale che cresce n modo esponenzale. A causa d questa complesstà, alcun rcercator hanno applcato funzon d u- tltà per studare problem multdmensonal d cammno mnmo n ret statche. Modest e Scomachen (1998) usarono l algortmo d Djstra per determ- XVI

19 nare cammn che mnmzzno funzon d utltà lnear n ret determnstche per rsolvere un problema multobettvo d assegnazone del traffco. Lou (1983) ed Eger (1985) mostrarono come, quando la funzone d utltà è lneare o esponenzale, ogn algortmo basato sulle etchette può essere usato per trovare l cammno ottmo n ret statche senza volare l prncpo d Bellman. Carraway (1990) propose una generalzzazone dell algortmo d programmazone dnamca basato sul prncpo debole d ottmaltà per l utlzzo con funzon d utltà non monotone. Il suo approcco generalzzato alla programmazone dnamca nsersce l problema del cammno mnmo multcrtero nelle ret statche e acclche quando l prncpo d Bellman può essere volato. Mrchandan e Wece (1993) rdussero l problema stocastco del cammno mnmo al problema del cammno ottmo multattrbuto con una funzone d utltà monotona non lneare. Mrchandan e Soroush (1985) svlupparono un algortmo effcente per rsolvere l problema del cammno ottmo n una rete stocastca con una funzone d u- tltà parabolca. Alcun lavor studarono problem d cammno multcrtero n ret stocastche a temp costant (tme-nvarant). Turnqust (1987) suggerì l utlzzo della smulazone nseme ad algortm basat sulle etchette per rsolvere quest problem. Suppost gl attrbut degl arch dstrbut normalmente, Wjeratne (1993) svluppò l algortmo d cammno mnmo stocastco e multobettvo (Stochastc Multobjectve Shortest Path) per trovare l nseme d cammn n questo tpo d ret. Il problema è esteso al multcrtero, ma crter sono rdott a due fattor determnstc; qund l problema fnale è rdotto ad un problema determnstco multobettvo. Tutt lavor precedentemente elencat assumono che gl attrbut degl arch sano costant rspetto al tempo (tme-nvarant). Esstono comunque dverse applcazon per cu multpl attrbut, come l tempo d percorrenza, l costo d percorrenza, le esternaltà negatve sulla popolazone ed l numero d ncdent, possono varare n funzone del tempo (tme-varyng). Nozc (1997) svluppò un approcco ntegrato d panfcazone e nstradamento per rsolvere un problema multcrtero legato a spedzon d carch percolos con attrbut varab- XVII

20 l n funzone del tempo ma determnstc. Le soluzon rsultant formano un nseme d combnazon d temp d partenza-vaggo. Questo approcco non può garantre che sano generat tutt cammn Pareto-ottmal. In ret STV, Mller-Hoos e Mahmassan (1998) fornrono algortm d tpo label-correctng per generare tutt cammn Pareto-ottmal a pror nel rspetto d dverse defnzon d preferenza. Chang è n procnto d presentare un algortmo eurstco per rsolvere problem d cammno multcrtero n ret STV n cu s assume che tutt gl attrbut d tutt gl arch sano varabl aleatore contnue. 1.6 Introduzone al problema MSTV s embrerebbe che non v sano pubblcazon che consderno la generazone d tutt cammn adattv Pareto-ottmal n questo contesto. I rcercator Sathaporn Opasanon e Else Mller-Hoos hanno proposto un lavoro, che al momento attuale è n fase d pubblcazone, n cu è presentato un algortmo che genera tutte le stratege adattve Pareto-ottmal (rferte a percammn Pareto-ottmal) n ret STV con attrbut multpl sugl arch, coè n ret STV multcrtero (MSTV). Specfcamente, sono cercat cammn che mnmzzno l valore atteso secondo pù crter da tutte le orgn ad una specfcata destnazone per tutt temp d partenza n un ntervallo d tempo defnto. Quest percammn ncludono un nseme d stratege che fornscono al vaggatore le drezon Pareto-ottmal da prendere ad ogn nodo n funzone del momento d arrvo nelle locazon ntermede. Sebbene un decsore potrebbe, a posteror, sceglere una sngola soluzone ottma tra tutt gl percammn Pareto-ottmal, la generazone d tutt quest percammn potrebbe rchedere enorm sforz computazonal. Così, s presenta un algortmo per generare effcentemente un sngolo percammno ottmo rappresentando esplctamente crter d preferenza del decsore attraverso una funzone d dsutltà (costo generalzzato). Queste tecnche conducono XVIII

21 verso la reale complesstà nella selezone del cammno consderando le varabl condzonant l vaggo, coè consderano la natura multobettvo d molte decson relatve alla scelta d un cammno. Damo ora un esempo per llustrare la natura ed vantagg degl percammn soluzone nelle ret MSTV. Smlmente a problem d cammno n ret STV con un sngolo attrbuto assocato ad ogn arco, quando esstono pù attrbut varabl n funzone del tempo, possono essere prese decson corrette solo sceglendo l cammno n modo adattatvo. In fgura 4, è llustrata una rete MSTV con due attrbut per arco, coè l tempo ed l costo d percorrenza. Assumamo che entramb sano varabl n funzone del tempo e sano conoscbl solo probablstcamente. L attesa al nodo non è permessa e s assume che gl attrbut degl arch sano ndpendent nello spazo e nel tempo e sano ndpendent recprocamente l un l altro. t = 0 Tempo Costo B 1 (0,7) 1 (0,8) 2 (0,3) 6 (0,2) C 1 2 A D t 1 t > 1 (7,38; 6) (4; 7,4) t 1 t > 1 (5,4; 6,7) (7,5; 7,8) t 1 t > 1 (5,2; 6,6) (8,8; 10,2) Fg. 4 3 Gl attrbut sono espress o come valor attes (ne sottocammn B, C, D) o come varable aleatora dscreta, n cu la probabltà d ogn possble rsultato è data tra parentes (per l arco A). Per esempo, c sono due possbl temp d percorrenza per l arco A partendo dal nodo 1 con t = 0 : 1 con probabltà 0,7 e 2 con probabltà 0,3. C sono anche due possbl cost: 1 con probabltà 0,8 e 6 con probabltà 0,2. Per semplctà, sono fornt drettamente valor attes per ogn attrbuto de sottocammn B, C e D; per esempo, l tempo ed l costo d percorrenza attes per l cammno B con t 1 sono 7,38 e 6. S può osservare che esstono tre cammn XIX

22 (A-B, A-C, A-D) tra l nodo orgne ed l nodo destnazone. Supponamo che l vaggatore parta dal nodo 1 al tempo t = 0 : gl attrbut attes per quest tre arch possono essere trovat come segue: P 1 ) Cammno A-B Tempo d percorrenza atteso: ( 1+ 7,38) 0,7+ ( 2+ 4) 0,3= 7,67 Costo d percorrenza atteso: ( 1+ 6) 0,7 0,8+ ( 6+ 6) 0,7 0,2+ ( 1+ 7,4) 0,3 0,8+ ( 6+ 7,4) 0,3 0,2= 8,42 Impegando lo stesso procedmento s determnano anche temp ed cost d percorrenza attes degl altr possbl cammn, che rsultano essere per A-C: (7,33; 9,03) e per A-D: ( 7,58; 9,68). La domnanza ad un partcolare stante d partenza può essere stablta da crter d confronto de valor attes, sa per l problema a pror che per quello adattvo. Così, per come stante d partenza, esstono due cammn Paretoottmal a pror: l cammno A-B e A-C, poché l cammno A-D è domnato dal cammno A-C. t = 0 Nella versone adattva d questo problema d cammno mnmo multcrtero, l vaggatore può postcpare la sua scelta tra sottocammn B, C e D fno al momento del suo arrvo al nodo 2. Il tempo atteso per una soluzone adattvo s calcola come: H 1 ) Cammno A-B se l arrvo al nodo 2 s ha con t = 1 o cammno A-C se l arrvo al nodo 2 s ha ad un stante t > 1 Tempo d percorrenza atteso: ( 1+ 7,38) 0,7+ ( 2+ 7,5) 0,3= 8,72 Costo d percorrenza atteso: ( 1+ 6) 0,70,8 + ( 6+ 6) 0,70,2 + ( 1+ 7,8) 0,30,8 + ( 6+ 7,8) 0,30,2 = 8,54 Impegando lo stesso procedmento s determnano anche temp ed cost d percorrenza attes per ogn possble percammno per questo problema. Quest sono rassunt nella seguente tabella. XX

23 Indce Stratega rsultante dal tempo d arrvo al nodo 2 (Tempo atteso, dell percammno t = 1 t = 2 costo atteso) H 1 B C (8,72; 8,54) H 2 C B (6,28; 8,91) H 3 B D (9,11; 9,26) H 4 D B (6,14; 8,84) H 5 C D (7,72; 9,75) H 6 D C (7,19; 8,96) H 7 B B (7,67; 8,42) H 8 C C (7,33; 9,03) H 9 D D (7,58; 9,68) Nota: gl percammn H 7, H 8, H 9 sono dentc rspettvamente alle soluzon a pror A-B, A-C e A-D. Solo H 4 e H 7 sono non domnate. Entrambe le soluzon comportano che l vaggatore percorra l arco A con t = 0. Poché l attesa non è permessa, entrambe le soluzon ndcano che la mossa successva dal nodo 2 sa l sottocammno B se l tempo d arrvo è 2. Con tempo d arrvo 1, s può sceglere sa l sottocammno D, sa l sottocammno B. Occorre notare che, per questo esempo, Il cammno Pareto-ottmale A-C per l problema a pror è domnato da H Relazon tra cammn Pareto ottmal a pror e adattv. g l autor propongono ora alcune proposzon che mostrano le relazon esstent tra cammn ottm a pror e quell adattv. Proposzone 1: Una soluzone Pareto-ottmale al problema adattvo non può essere domnata da nessuna soluzone a pror. Dscussone: Cò è conseguenza del fatto che ogn cammno a pror può servre un percammno. Nel problema del cammno mnmo adattvo a crtero sngolo, per un dato - stante d partenza da una data orgne, l tempo atteso dell percammno soluzone fornsce un margne nferore per l tempo atteso del cammno mnmo a XXI

24 pror (la dmostrazone è d Mller-Hoos e Mahamassan, 2000). Mostreremo mmedatamente che questo concetto non è necessaramente vero quando vengono consderat pù crter. Proposzone 2: Una soluzone Pareto-ottmale al problema del cammno adattvo può non contenere neanche un crtero per cu l suo valore atteso sa mnore o uguale a tutte le soluzon a pror. Dmostrazone: Assumamo per assurdo che un percammno Pareto-ottmale debba contenere almeno un crtero per cu l suo valore atteso sa mnore o al pù uguale a tutte le soluzon a pror. Per fornre un esempo contraro, possamo modfcare la rete presentata nell esempo, coè cambare l tempo d percorrenza del sottocammno C per t > 1 da 7,5 a 3,95. Con questa correzone, le tre soluzon a pror hanno seguent valor attes per due crter: P1 (7,67; 8,42), P 2 (6,27; 9,03), P 3 (7,58; 9,68). Per lo stesso esempo s possono trovare quattro percammn Pareto-ottmal: H 1 (7,65; 8,54), H 4 (6,14; 8,84), H 6 (6,13; 8,84), H 7 (7,67; 8,42). L percammno soluzone H 1 è Pareto-ottmale e non contene un crtero per cu l suo valore atteso sa mnore o uguale a tutte le soluzon a pror, contraddcendo l assunto. Proposzone 3: Il mnor valore atteso d tutte le soluzon Pareto-ottmal al problema del cammno adattvo per ogn crtero è mnore o al pù uguale a quello d ogn soluzone a pror. Dmostrazone: Per ogn crtero, se esste una soluzone a pror l cu valore atteso per quel crtero è l mnore d tutt gl percammn soluzone Paretoottmal, questa soluzone a pror sarebbe Pareto-ottmale per l problema adattvo (coè sarebbe un percammno Pareto-ottmale). Proposzone 4: Una soluzone Pareto-ottmale al problema a pror può non contrbure a nessuna soluzone Pareto-ottmale al problema del cammno adattvo. Dscussone: La rete mostrata n fgura 4 fornsce un esempo contraro. Sebbene la soluzone a pror A-C sa non domnata per l problema a pror, quando possono essere prese decson adattve, non è ma ottmo contnuare dal nodo 2 XXII

25 lungo l sottocammno C, poché tutte le soluzon adattve che contengono l sottocammno C sono domnate. Proposzone 5: Un cammno domnato nel problema a pror può contrbure alla soluzone del problema del cammno adattvo. Dscussone: Nuovamente, la rete d esamnata fornsce un contro esempo. Il cammno A-D è domnato nel problema a pror. Comunque, quando sono permesse soluzon adattve, l cammno A-D è una stratega Pareto-ottmale per un dato stante d partenza dal nodo 2, qund contrbuendo alla soluzone Pareto-ottmale del problema del cammno adattvo. XXIII

26 CAPITOLO DUE Algortm esatt

27 Captolo 2 Algortm esatt Sommaro: 2.1 Notazone nelle ret e defnzon del problema L algortmo APS Consderazon sull algortmo APS L algortmo ALEDS I Consderazon sull algortmo ALEDS I L algortmo ALEDS II Consderazon sull al-gortmo ALEDS II Esperment su convenent ret stan- dard Concluson 2.1 Notazone nelle ret e defnzon del problema s a G= ( V, A, S, C, P, R) un grafo fnto, dove V è l nseme de nod e A è l nseme degl arch drezonat che connettono nod. Γ 1 ( ) rappresenta l nseme de nod predecessor del nodo, coè tutt nod j tal per cu l arco ( j), A. S, dove t è la L ntervallo d nteresse, rferto al perodo d punta, è rdotto a dscreto n pccol ntervall d tempo rappresentat da = { t0 + s t } con s= { 1,2,3,..., I} lunghezza d ogn ntervallo d tempo. Dopo l ultmo perodo, s assume che gl attrbut degl arch sano stazonar, prendendo gl stess valor assunt nell ultmo ntervallo d tempo, t 0 + I t. Vengono assocat dvers attrbut ad ogn arco; assumamo che quest attrbut sano varabl aleatore dscrete con funzone denstà d probabltà data dall nseme ( C,P ), coè l nseme degl attrbut degl arch e le corrspondent probabltà d verfcars, dove l nseme = { 1,2,..., r} crtero. R ndca l corrspondente XXV

28 { j } = 1,..., z Per ogn arco (, j) A, R, = c ( t) C ndca l nseme de D possbl valor degl arch per l crtero per attraversare l arco con partenza all stante t. con z D Per ogn crtero preso n consderazone, esstono D possbl valor che ogn arco può assumere. z rappresenta l numero d ordne del valore assumble dalla varable aleatora. z Per ogn possble valore dell arco, s assume che c ( ) ρj P. negatvo con probabltà d verfcars z ( t) j t sa un valore reale non Nel contesto dell assstenza per l cammno mnmo, la durata del vaggo è un crtero che vene spesso consderato. Qund, assumamo che l tempo d vaggo sa l prmo degl r crter consderat, coè n questo lavoro per = 1 s ntende l crtero della durata del vaggo. I valor degl attrbut degl arch e le corrspondent probabltà sono defnte all n-gresso dell arco e s consderano statche per quel partcolare vaggatore fno all usc-ta dell arco. Questa condzone vene generalmente chamata propretà dell arco congelato (Orda e Rom, 1990). Per ogn stante d partenza successvo al perodo d punta, coè per t > t + I t, z j z z z () = ( + ) e allo stesso modo ρ ( t) ρ ( t I t) c t c t I t j 0 j = +,, z, j, ; questa potes è dovuta al fatto che, al d fuor del perodo d punta, gl attrbut possono essere consderat ragonevolmente meno varabl rspetto al tempo. Assumamo che gl attrbut degl arch sano ndpendent nello spazo e nel tempo e sano ndpendent tra loro. Il lavoro preso n esame tratta due ordn d problem dfferent: j 0 0 m Cercare tutte le stratege d percammno Pareto-ottmal, nel rspetto de valor attes d ogn crtero, da ogn nodo a destnazone, per ogn stante d partenza t S. m Cercare un sngolo percammno ottmo nel rspetto d una funzone lneare d dsutltà da ogn nodo ad ogn specfca destnazone per ogn stante d partenza t S. XXVI

29 Per quanto rguarda l prmo problema, sa H( t ) l nseme d tutt possbl - t () percammn che collegano una coppa orgne-destnazone per l stante d partenza e sa θ a t la varable aleatora per l -esmo crtero lungo () l percammno a H t. { } () 1 (), 2 (),..., (),..., r a a a a a(), dove E θ () a t E θ t = E θ t E θ t E θ t E θ t valore atteso della varable aleatora θ a t. Dat un nodo V e un stante d partenza t S, l percammno a è Pareto-ottmale se non esste nessun altro - ( ) percammno b H t tale per cu () è l () b θ a() E θ t E t { 1,2,..., r } ed esste h { 1,2,..., } r tale per cu h () h b < θ a() E θ t E t. Nel secondo tpo d problema, l percammno f H( t) rappresenta l percammno con la mnore dsutltà attesa per l stante d partenza t se () E U f t = mn E Ug t () g H t e è l peso as- w segnato al crtero. (), dove () E Ug t = w E θ g () t r = L algortmo APS n ell algortmo del lmte atteso pù basso (ELB), prma della conclusone, ad ogn nodo è assocata un etchetta per ogn - stante d partenza, cascuna delle qual rappresenta un lmte superore al tempo medo d percorrenza dal nodo n questone alla destnazone per quel determnato stante d partenza. Termnato l processo, ogn etchetta fornsce l mnor tempo medo d percorrenza verso la destnazone desderata. Dversamente dalle soluzon del problema adattvo a crtero sngolo, n cu esste un sngolo percammno soluzone per ogn nodo e per ogn stante d partenza, nel problema adattvo multcr- XXVII

30 tero possono esstere dvers percammn soluzone Pareto-ottmal per ogn nodo ed stante d partenza. A maggor ragone, nvece che calcolare un sngolo valore atteso, dovranno essere mantenut R valor attes, coè uno per crtero. Smlmente al problema a crtero sngolo, dove un partcolare percammno può essere ottmale solamente dato un partcolare stante d partenza, nel problema multobettvo un percammno Pareto-ottmale per un certo stante d partenza può essere domnato per un altro stante d partenza. Il calcolo d quest percammn rchede la conoscenza delle nformazon relatve al cammno solo per gl stant d partenza n cu quest percammn non sono domnat. Qund, è suffcente mantenere solo gl percammn per gl stant d partenza n cu sono non domnat. Per ogn nodo V, ogn stante d partenza t S ed ogn percammno Paretoottmale lemento ( t) { x } x è mantenuto un vettore etchetta λ ( t) = λ ( t) x l percammno x dal nodo, ad un certo stante d partenza t, al nodo destnazone x con R n cu ogn e- λ del vettore è l valore atteso rspetto al crtero lungo N. Fnché non ha termne l algortmo, sono mantenut pù vettor etchetta per ogn nodo e per ogn stante d partenza. Nelle terazon ntermede dell algortmo, X ( ) per l nodo all stante d partenza t. () t contene le etchette degl percammn soluzone corrent X t è uguale al numero d etchette vettore attualmente mantenute per l nodo dato l tempo t. S V R t. S assume che t,,,0 < ε < t, λ ( t+ ε) = λ ( ) Inoltre, per ogn stante d partenza successvo al perodo d punta, per la pro- pretà dell arco congelato, t t I t λ ( t) λ ( t I t) > + = +. 0, x D seguto è llustrata la struttura de vettor etchetta per ogn stante d partenza e s dmostra che può essere mantenuto pù d un vettore etchetta, cascuno assocato a dfferent percammn, per ogn stante d partenza. Rendamo dscreto l perodo d nteresse assumendo t = 1 e assumendo che c sano due percammn Pareto-ottmal per t = 0,1,3 ed uno solo per t = 2. x x x XXVIII

31 Per cu, X ( 0) = X ( 1) = X ( 3) = { 1, 2 } e ( 2) { 1} X =. Tempo Poszone 1 Poszone 2 { } { } { 1 2 r } { 1 2 r } { } { } 1 2 r 1 2 r 0 λ1( 0) = λ1( 0 ), λ 1( 0 ),..., λ1( 0) λ2( 0) = λ2( 0 ), λ2( 0 ),..., λ2( 0) 1 2 r 1 2 r 1 λ () 1 = λ () 1, λ ( 1 ),..., λ ( 1) λ ( 1) = λ ( 1 ), λ ( 1 ),..., λ ( 1) λ1( 2) = λ1( 2 ), λ1( 2 ),..., λ1( 2) r 3 λ ( 3) = λ ( 3 ), λ ( 3 ),..., λ ( 3) λ ( 3) = λ ( 3 ), λ ( 3 ),..., λ ( 3) È utlzzato un vettore etchetta temporaneo η ( t) η ( t) { } { } =, R. Per valutare se un percammno nuovo è domnato o no, s confronta l vettore etchetta temporaneo con le etchette dell percammno Pareto-ottmale dal nodo e al tempo t : se l percam-mno temporaneo è domnato, vene scartato. Allo stesso modo, se domna uno o pù degl percammn esstent, questo vene mantenuto e vengono scartat quell domnat. In modo smle all algortmo del lmte atteso pù basso, l algortmo APS procede n va teratva analzzando un nodo da una lsta d nod analzzabl, lavorando al contraro, coè partendo dal nodo destnazone. L algortmo ELB costrusce un percammno da ogn nodo per ogn stante d partenza attraverso gl attual sottopercammn assocat con possbl temp d arrvo al nodo successore. Quest percammn vengono analzzat per determnare se sono domnat, nel qual caso vengono scartat. Per costrure un vettore etchetta assocato ad un sngolo percammno dal nodo al tempo d partenza t, attraverso l nodo successore j, mpegando l arco (, j), deve essere selezonato l vettore etchetta c 1z 1 ( t ) d un sottopercammno ( j ) 1z λ t+ c 1 () t, 1 z1 x X t c ( t) jx j ( j ) + per ogn valore d z { D} coè dell'stante d percorrenza dell arco (, j ). Ogn combnazone d 1z z e t c 1 ( t) 1 jx ( j ) L percammno è costruto da queste percorrenza per l arco ( j ) j 1 1,2,..., λ + è attrbuta dalla coppa ( ) D, n funzone z x. coppe (una per ogn possble tempo d (, j) ). Poché possono esserc pù coppe d ( z 1, x ) quando 1 z1 X t+ c () t > 1 per almeno un possble tempo d arrvo al nodo j, può j 1, XXIX

32 essere possble costrure pù d un percammno dal nodo. Infatt, c sono e- D ( 1 ) 1z sattamente X j t+ cj () t percammn che possono essere costrut. z= 1 D seguto s fornsce un esempo n cu s llustra la costruzone dell percammno: t=0 1(0,4) 3(0,6) t=1 A: λ 21 ( 1 ) 1 2 t=3 B: λ 3 21 N C: λ 22 ( 3) ( ) t=1 A t=1 A t=3 1 2 B 1 2 t=3 H 1 H 2 B La fgura descrve un nseme d possbl percammn che collegano l orgne (l nodo 1) con la destnazone (l nodo N ) n una rete MSTV. C sono due possbl temp d percorrenza per l arco (1,2) al tempo t = 0 : 1 con probabltà 0,4 e 3 con probabltà 0,6, che portano a due corrspondent temp d arrvo al nodo 2, coè t = 1 e t = 3. Supponamo che al nodo 2 essta un percammno A per l stante t = 1 con assocata un etchetta λ ( ) e due percammn Paretoottmal B e C per l stante 3 22 ( 3). Coè λ X () = {} e ( ) { } combnazon d coppe d ( ) 21 1 λ e t = con assocate etchette rspettvamente ( ) 21 3 X 2 3 = 1,2. Qund, al nodo 1, esstono due dverse z x. Cò rsulta dalla generazone de due percammn al nodo 1 per l stante d partenza t = 0, coè: H :( 1,1 ),( 2,1) e ( ) ( ) 1 1, H :1,1,2,2. 2 XXX

33 Sono due le combnazon che contrbuscono al calcolo del tempo medo d percorrenza d H 2 : l prmo possble tempo d percorrenza dell arco (1,2) e la prma etchetta al nodo 2 al tempo d arrvo corrspondente a questo tempo d percorrenza, ed l secondo possble tempo d percorrenza e la seconda etchetta al nodo 2. Sa Q l nseme d queste coppe ( z x ) che comprendono un sngolo percammno H, coè per 2, 1, H Q = {( 1,1 ), ( 2, 2) } può essere calcolato come segue:. Il tempo medo d percorrenza per H 2 η z ( ) ( ) 1 = + + ρ 0 = z1 z1 ( 0) c ( 0) λ 0 c ( 0) x ( z1, x) Q ( ) ( ) ( ) ( ( )) ρ ( 0) ( ) ( ) = c 0 λ 0 c 0 ρ c 0 + λ 0+ c Notamo come per questo calcolo sano stat usat due sottopercammn, uno con stante d partenza t = 1 e l altro con t = 2. Per consentre la rcostruzone effcente degl percammn rsultant dopo l termne dell algortmo, sono utlzzat due cursor d percorso per ogn nodo ad ogn stante t lungo l percammno x. Quest cursor ndcano l nodo successore e lo specfco sottopercammno per l nodo successore per ogn possble stante d partenza. Per ogn vettore etchetta x X ( t), π x t ndca l nodo successore che deve essere preso dal nodo all stante d partenza t lungo l percammno x. A dfferenza dell algortmo ELB, n cu è rchesto un solo cursore per questo { { } { }} x 1 con z 1= 1,2,..., D scopo, per rsolvere l problema multcrtero deve esserne mantenuto un nseme q () t ( z, x) = al fne d defnre l sottopercammno approprato al nodo successore ( t) d arrvo al nodo successore. x z 1 π per ogn valore d, coè per un partcolare tempo () XXXI

34 Prma che un vettore etchetta temporaneo sa controllato per trovare un eventuale domnazone, π ( t) e q ( ) 0 0 t sono usat per mantenere temporaneamente l nforma-zone sul cammno d quel vettore etchetta. Nell esempo proposto n fgura, π 0 ( 0) = 2 e 10 ( 0) {( 1,1 )(, 2,2) } q =. I pass dell algortmo: Passo 1 (Inzalzzazone): Inzalzzare gl element delle etchette vettore ed cursor d cammno. () λ 1 t =, V / N, R, t S. () π 1 t =, V, t S. () q1 t =, V, t S. () {} X t = 1, V, t S. () λ N1 t = 0, R, t S. Creare la lsta de nod analzzabl e nserre l nodo destnazone N nella lsta. Passo 2 (Selezone del nodo da analzzare): Se la lsta de nod analzzabl è vuota, s va al passo 4; altrment, sceglere e cancellare un nodo dalla lsta. Questo nodo dventa l corrente nodo j. Passo 3 (Aggornamento delle etchette de nod): ( ) 1 Per ogn Γ j, per ogn t S, { j } Q {( z, x) } 1 con z = { 1,2,..., D} 1z dentfcare c 1 () t e tutte le possbl combnazon d Per ogn combnazone come segue: Q, calcolare l valore dell etchetta temporanea η ( t) 1z ( ) ρ 1 j () t 1 1z1 1 1z1 Per l tempo d percorrenza ( = 1: ) η () t c () t + λ t+ c () t j jx j ( z1, x) Q 1. XXXII

35 D z 1z1 1z1 z Per altr crter ( 1: ) η () t = cj () t λjx( t cj () t ) + + ρj () t ρ j () t. Porre π 0 () t = j e q0 () t = Q. ( z x) 1, Q z = 1 Passo 4 (Controllo d domno): Controllare se l percammno appena generato con assocata l etchetta ( t) η è domnato attraverso paragon a due a due con tutte le altre etchette non domnate n X () t : se è domnato, deve essere scartato, altrment, aggungere questa etchetta a X () t ed elmnare tutte le etchette d percammn domnat da () X t. SE = SE { } Tornare al passo 2. Passo 5 (Conclusone): L algortmo termna con tutt cammn Pareto-ottmal nel rspetto del valore atteso d ogn crtero da ogn orgne al nodo destnazone d partenza t S. N, per ogn stante 2.3 Consderazon sull algortmo APS n ret STV per problem d cammno mnmo a pror e con un sngolo crtero, tutt sottocammn d un cammno non domnato (nel rspetto d una varetà d crter d domno) con lo stesso nodo destnazone del cammno stesso, devono essere ess stess non domnat. Estendendo questo concetto all anals multcrtero su ret STV: Lemma 1: Dato un stante d partenza t S, qualsas percammno che contene un sottopercammno per lo stesso nodo destnazone domnato sarà domnato esso stesso. XXXIII

36 Dscussone: Può essere faclmente fornta una prova per esempo contraro. S può mostrare che se un percammno contene un sottopercammno domnato, esste un altro percammno che lo domna. Questa dmostrazone dettaglata è stata svluppata da Opasanon, Proposzone 6: Al termne del processo, l algortmo genera tutt e sol gl percammn soluzone Pareto-ottmal. Prova: Comncamo mostrando che ogn etchetta fnale generata dall algortmo è Pareto-ottmale. Sa λ x () t un etchetta assocata ad uno degl percammn Pareto-ottmal per l stante d partenza t dal nodo determnata dall algortmo. Non può esstere nessun altro percammno λ v ( ) v X t con etchetta tale per cu: h h () t λ () t { 1, 2,..., r } e λ ( t) < λ ( t ) per almeno un h { 1, 2,..., r} x v x. Supponamo per assurdo che essta un percammno che soddsf questa condzone.; qund, una delle seguent affermazon deve essere vera: era domnata da un altra etchetta o v ( t) λ v () t λ non è ma stata costruta nel passo 3 dell algortmo. Se esstesse un percammno che domna l percammno a cu è assocata l etchetta, questo domnerebbe anche l percammno cu è assocata l etchetta, contraddcendo l assunzone che l percammno cu è assocata l etchetta λ () t è Pareto-ottmale. Qund λ ( t) non doveva essere costruto. Se λ v () t λ x () t λ v () t x non è ma stato costruto, o contene un sottopercammno domnato, per l lemma 1 è domnato, altrment la lsta de nod analzzabl non potrebbe essere vuota, contraddcendo l potes d aver termnato l processo. Cò stablsce che tutt gl percammn soluzone present nella soluzone fnale sono Pareto-ottmal. Ora è necessaro provare che sano stat generat tutt gl percammn Pareto-ottmal. Assumamo che essta un percammno per alcun stant d partenza che non sa domnato da nessun altro percammno, ma questo non sa presente nell nseme fnale delle soluzon. v XXXIV

37 Questo percammno potrebbe essere escluso dall nseme fnale delle soluzon solo se non fosse ma stato creato. Coè, un sottopercammno d questo percammno deve essere domnato o un sottopercammno d questo cammno non è ma stato generato. Nel prmo caso, se l sottopercammno è domnato, per l lemma 1 ogn percammno che contenga questo sottopercammno deve essere domnato. Il secondo caso può accadere solo se l sottopercammno contene a sua volta un sottopercammno domnato, qund sarebbe domnato, o se non c è nessun cammno tra l orgne del sottopercammno e l nodo destnazone, qund l potetco percammno non potrebbe esstere. Qund, nessun cammno escluso dall nseme delle soluzon fnal può essere Pareto-ottmale. Proposzone 7: L algortmo APS ha, nel peggore de cas, complesstà computazonale esponenzale. Dscussone: Come affermato precedentemente, è possble che nel peggore de cas tutt possbl percammn sano Pareto-ottmal. D conseguenza, l algortmo APS, che cerca tutte le soluzon Pareto-ottmal, è esponenzale nel peggor caso d complesstà computazonale. 2.4 L algortmo ALEDS I l algortmo APS genera tutt gl percammn Pareto-ottmal. Il lato postvo d questo algortmo è che un decsore potrebbe a posteror sceglere una sngola soluzone mglore fra tutt gl percammn Pareto-ottmal, ma purtroppo la generazone d tutt quest percammn può rchedere enorm sforz computazonal. Per questo motvo, due rcercator s sono post l problema d presentare un algortmo per generare effcentemente un sngolo percammno ottmo rappresentando la struttura d preferenze del decsore attraverso una funzone d dsutltà. Invece che costrure dvers vettor etchetta per tutt gl percammn Pareto-ottmal, { t)} quest algortmo mantene solo un vettore etchetta λ ( t) λ ( = con R per XXXV