Note sulla stima dell incertezza sperimentale

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1 ote sulla stma dell ncertezza spermentale Quando s effettua una msura spermentale, essa è sempre defnta a meno d una ncertezza (errore) che dpende dale condzon n cu la msura vene eseguta. Il valore numerco d un dato spermentale deve qund essere presentato nella forma msura=mglor stma ±ncertezza= Esempo: se s msura la lunghezza d un gessetto con un doppo decmetro n cu sono rportate le tacche sa per cm che per mllmetr, è possble stmare tale lunghezza con un'ncertezza dell'ordne del mezzo mllmetro, dunque l rsultato della msura sarà cm Se, nvece del doppo decmetro, s usasse un calbro a nono sarebbe possble conoscere la lunghezza con una ncertezza che raggunge 0 μm cm S not però che la sensbltà dello strumento d msura (mnma varazone apprezzable) non è l unca varable da consderare nella stma dell ncertezza assocata ad una msurazone. Ad esempo, se l operatore s trovasse a msurare con un doppo decmetro ma n condzon sfavorevol (operatore astgmatco senza occhal, oggetto da msurare n movmento ) l ncertezza assocata alla msura potrebbe essere maggore. In sostanza, la stma dell ncertezza assocata ad una sngola msura rchede un gudzo da parte dello spermentatore. Confrontare valor spermental La stma dell ncertezza è essenzale per l confronto d valor spermental e qund per gudcare la rproducbltà d un rsultato scentfco. Due laborator stmano la concentrazone d sale su un campone d acqua marna ottenendo rsultat 35.86g/l e 35.98g/l, rspettvamente. I due rsultat sono dvers? La rsposta dpende dall ncertezza assocata alle determnazon spermental: (35.86±0.0)g/l e (35.98±0.0)g/l (35.86±0.08)g/l e (35.98±0.08)g/l Le msure sono dscrepant Le msure sono concord Se gl ntervall d confdenza defnt dalle ncertezze spermental s sovrappongono allora due valor s possono rtenere consstent. 1

2 Quante cfre sgnfcatve? Quando s specfca una quanttà msurata spermentalmente, l numero d cfre che s deve utlzzare dpende dall'ncertezza che caratterzza la msura. Il numero d cfre che s utlzza per specfcare sa l valore che la sua ncertezza s defnsce col termne d cfre sgnfcatve. -Gl zer n testa al numero non sono cfre sgnfcatve (l valore L=.31cm ha 3 cfre sgnfcatve così come L=0.031m). -Gl zer n coda sono cfre sgnfcatve, ess ndcano la precsone del valore. D regola le ncertezze (error) spermental dovrebbero essere arrotondate ad una sola cfra sgnfcatva, n quanto per loro natura sono nesatte. Occasonalmente s possono tenere due cfre sgnfcatve n partcolare se la prma cfra dell'ncertezza è 1 o la seconda è 5. Se ad esempo l'ncertezza fosse 0.14, arrotondarla a 0.1 mplcherebbe una notevole dmnuzone dell'errore stesso. (e cors d chmca analtca s suggersce d usare due cfre sgnfcatve per tenere conto d questa eventualtà). Una volta defnto l numero d cfre sgnfcatve per l'ncertezza, s può determnare l numero d cfre sgnfcatve della grandezza msurata, nfatt: L'ultma cfra sgnfcatva del rsultato spermentale deve essere dello stesso ordne d grandezza (stessa poszone decmale) dell'ncertezza Per esprmere l valore msurato con l numero corretto d cfre sgnfcatve è spesso necessaro arrotondarlo. Le tre regole per un corretto arrotondamento sono: -approssmare per eccesso se la cfra successva è maggore d 5 (3.41 dventa 3.4) -approssmare per dfetto se la cfra successva è mnore d 5 (3.471 dventa 3.5) -approssmare al numero par pù vcno se la cfra successva è 5 (3.55 dventa 3.6, così come 3.65) Errore assoluto ed errore relatvo L ncertezza assoluta è espressa nelle stesse untà d musura della grandezza msurata. Così se una lunghezza è msurata come cm, l dato c dce che la lunghezza effettva dell oggetto s colloca tra 1.30 cm e 1.40 cm. L' ncertezze relatva rel s esprme nvece come l rapporto tra l'ncertezza assoluta che caratterzza l dato msurato ed l suo valore numerco: rel Dunque l errore relatvo della msurazone d lunghezza d cu sopra è 0.05/1.35=0.04, ovvero un ncertezza relatva del 4%. L errore relatvo è mportante perché, n un certo senso, esprme la qualtà della msura d una grandezza: è evdente come un errore assoluto stmato n 1 cm assuma ben dverso sgnfcato se rferto alla msura d un tavolo o d una dstanza astronomca ed è appunto la dfferenza fra gl error relatv a suggerrc tale nterpretazone.

3 Dverse font d ncertezza La bontà d una msura spermentale è affetta da: 1. Errore d sensbltà dovuto allo strumento d msurazone: la nostra msura non può essere pù precsa d quanto permette la lettura dello strumento d msura.. Error sstematc: che non cambano da una msura all altra e non possono essere elmnat rpetendo pù volte la msura. Gl error sstematc non sono consderat nell ncertezza spermentale, ess devono essere dentfcat ed elmnat oppure nquneranno l rsultato della msura provocando una devazone del valore msurato dal valore effettvo della grandezza n esame. Esemp: dfett d funzonamento (un orologo marca pù velocemente del dovuto), errate condzon d mpego (una blanca a bracc ugual non poszonata su un pano orzzontale), nterazone tra lo strumento ed l sstema msurato (le gansce d un calbro serrate con forza eccessva tanto da deformare l oggetto msurato), presenza d un offset nella lettura dello strumento. 3. Error casual: dovut a nevtabl varazon aleatore della procedura d msurazone, cambament nell ambente crcostante, dervant da vare font d nose. L effetto degl error casual tende ad annulars nella procedura d meda, ecco perchè, quando è possble, l dato spermentale vene determnato da msure rpetute. In seguto vedremo come l trattamento statstco degl error casual permette d stmare l ncertezza spermentale. Precsone ed accuratezza Quando dsponamo d dvers valor msurat per la stessa quanttà fsca, possamo ntrodurre concett d precsone ed accuratezza della msura. Una msura precsa s ottene quando dvers valor sono sml fra d loro (pccolo errore casuale) attorno ad un valore medo che può essere o non essere una buona stma del valore effettvo della quanttà msurata. Una msura accurata s ottene quando la meda de valor ottenut è una buona stma del valore effettvo della quanttà msurata (pccolo errore sstematco) ndpendentemente dalla loro dspersone. Fgura 1 llustra grafcamente quattro stuazon possbl: Fgura 1: error casual (statstcal) e sstematc (systematc) 3

4 Il prmo esempo rporta una msura che è precsa (pccolo errore casuale) ma non accurata (grande errore sstematco). el secondo caso la msura è accurata ma non precsa. el terzo caso, l peggore d tutt, la msura non è né precsa né accurata. Infne l'ultmo caso rporta una msura che è sa precsa che accurata..b. e cors d chmca analtca l termne accuratezza vene defnto esattezza. Esempo: S voglono pesare 15. g d zucchero, dverse msurazon effettuate con due blance danno seguent valor: blanca 1: {14.9,15.3,15.1,14.7,15.} blanca : {17.9,18.,18.1,17.8,18.4} Dalle msure effettuate con la prma blanca l operatore stma come mglor valore la meda: 15.04g. L errore è legato a una msura della dspersone de dat raccolt, n questo caso l operatore xmax xmn / 0.3g (ved scegle d esprmere l errore come semdspersone massma paragrafo successvo). In defntva l dato rcavato dalla prma blanca è: m=(15.0 ± 0.3)g, l dato è affetto da un errore relatvo del %. Agendo nello stesso modo per la seconda blanca ottenamo per l peso dello zucchero la seguente stma: m=(18.1 ± 0.3)g. In questo caso l'errore relatvo è ancora del %, ma la blanca è affetta da un errore sstematco nella detremnazone del peso d.9 g. Per rvelare la presenza d error casual è suffcente rpetere pù volte la msura. el caso appena llustrato l'errore casuale porta ad un'ncertezza nella stma del peso del %. el prossmo paragrafo vedremo che aumentando l numero delle msurazon l errore casuale può essere rdotto. Rvelare la presenza d error sstematc n un espermento è pù dffclle. el caso sopra rportato la dscrepanza delle stme esegute con due blance dverse è un segnale che deve mettere n allerta l operatore. S dovrebbe dunque procedere ad una calbrazone degl strument con oggett d peso noto. Anche l processo d calbrazone, però deve essere fatto con molta attenzone, n quanto bsogna controllare le condzon (ad esempo temperatura, umdtà, nvecchamento, corrosone) che potrebbero nfluenzare lo standard d rfermento. Propagazone dell ncertezza La msura della grandezza fsca è accompagnata dalla stma dell errore ad essa assocato. Che cosa accade quando la grandezza fsca n esame è legata matematcamente ad una o pù altre grandezze, cascuna con l propro errore? S consder ad esempo l equazone del moto unforme: s vt Supponamo d voler determnare la veloctà msurando l tempo mpegato a compere un certo spostamento 4

5 s v t Entrambe le grandezze spostamento e tempo sono msurate con una certo errore s e t. Che errore v dovremo assocare alla veloctà? In che modo gl error delle grandezze convolte s rpercuotono sull errore della quanttà che voglamo determnare? Infatt n molt cas lo spermentatore utlzza un metodo d msura ndretto: l valore della grandezza fsca derva da msure d altre grandezze, msurate o drettamente o con strument tarat, legate ad essa da una qualche relazone funzonale. Se le ncertezze msurate per le varabl fsche che s combnano nel determnare l'osservable sono ndpendent e casual, allora è possble stmare l'errore combnando n manera opportuna gl error che caratterzzano le sngole msure spermental effettuate. el caso n cu le varabl msurate spermentalmente s combnno attraverso operazon d somma o sottrazone: Z A B... l'errore massmo d cu rsente Z, vene defnto dalla seguente somma:... Z A B se però le sngole msure sono state rpetute e s può ragonevolmente supporre che sano affette solo da error casual dstrbut n manera normale allora una mglor stma dell'errore per Z s ottene consderando che la ncertezza sa data dalla somma quadratca:... Z A B el caso n cu le varabl msurate spermentalmente s combnno attraverso operazon d prodotto o dvsone : AB Z C D l'errore massmo relatvo d cu rsente z, vene defnto dalla seguente somma degl error relatv: Z A B... Z A B se però le sngole msure sono state rpetute e s può ragonevolmente supporre che sano affette solo da error casual dstrbut n manera normale allora una mglor stma dell'errore per Z s ottene consderando che la sua ncertezza relatva sa data dalla somma quadratca: 5

6 Z A B... Z A B In generale la stma dell'errore massmo per una funzone f A, B... ottenuta msurando spermentalmente le varabl A, B etc. s ottene utlzzando questa formula: f f f A B... A B ma se le sngole msure sono state rpetute pù volte, come ne cas precedent, s può consderare l'errore come somma quadratca: f f f A B... A B Le formule precedent fornte per la somma/sottrazone e per l prodotto/dvsone non sono altro che una caso partcolare delle espresson general, la verfca è lascata come eserczo. Anals de dat spermental: Cenn d statstca descrttva S ndch con una quanttà fsca msurata drettamente con uno strumento d msura che assumamo ben calbrato. S effettuano dunque determnazon del valore d soggett solo ad error casual. S possono presentare seguent cas: A) Le msure effettuate danno lo stesso rsultato, oppure s esegue una sola msurazone. In questo caso l valore pù probable, ovvero la mglor stma d è l valore letto sullo strumento e l'ncertezza è suggerta dalla sensbltà dello strumento; s parla pertanto d errore d sensbltà. Questo caso s presenta quando la msura è fatta con uno strumento poco sensble. S pens alla msura della larghezza d un foglo eseguta con un rghello mllmetrato. Con tale strumento l errore d msura non è nferore a 0.5 mm, corrspondente alla mezza dvsone che l operatore può apprezzare. Evdentemente l errore d sensbltà è un errore massmo che assorbe tutt gl error casual. B) S eseguono alcune msure e queste danno valor che possono essere dvers tra d loro. Questo è l caso n cu la msura è eseguta con uno strumento sensble. S defnscono: La frequenza assoluta F come numero d volte che un valore o una classe d valor compare nelle msure effettuate. La somma d tutte le frequenze assolute corrsponde al numero complessvo d msure esegute. La frequenza relatva Fr è l rapporto tra la frequenza assoluta e l numero totale delle osservazon. Se l valore è stato msurato n volte, la corrspondente frequenza relatva è k Frk nk. La x k somma d tutte le frequenze relatve vale 1. 6

7 La frequenza percentuale F % è la Fr moltplcata per cento espressa n %. Spesso s suddvde l campo d varazone delle msure n un numero d ntervall d ampezza costante Δ e s raggruppano n class d valor le msure ottenute che cadono n uno stesso ntervallo. L esto d questa operazone s rappresenta con un stogramma della dstrbuzone delle msure, coè con de rettangol d base uguale alla larghezza dell'ntervallo e d altezza uguale alla frequenza delle msure che cadono n quell'ntervallo. Esempo: S supponga d msurare la lunghezza d una bacchetta d vetro (L) per =10 volte (set1) con un calbro a bassa precsone e d ottenere seguent dat (espress n mm): set1(l(mm))={ } Dato che le msure sono dstrbute, bsogna suddvderle n ntervall che contengano un certo numero d valor. La scelta delle dmenson dell'ntervallo dpende dalle fluttuazon che presentano le msure rpetute. In questo caso sceglamo un'ntervallo d 1 mm. S possono qund raggruppare le msure nel seguente modo: ntervallo (mm) F Fr In fgura relatv stogramm Fgura : stogramm della frequenza assoluta e relatva delle 10 msure raccolte n set1. (Istogramm generat con la funzone hstc d MATLAB) E mportante notare come la scelta delle dmenson dell'ntervallo sa crucale per ottenere un buon stogramma. Se gl ntervall sono troppo grand l'stogramma è formato da poche barre e s perde precsone nella determnazone della dstrbuzone. Se nvece gl ntervall sono troppo pccol, le altezze delle barre dell'stogramma tendono ad essere tutte ugual, perdendo l'nformazone sulle msure pù probabl. Esstono dvers tentatv d defnre la mglore ampezza 7

8 dell ntervallo su bas statstche (ved ad esempo regole d Sturges, Rce o Freedman Dacons) che funzonano bene solo n certe condzon. E dunque buona norma fare qualche prova per determnare l ampezza dell ntervallo che meglo s adatta al set d dat raccolt. Se s aumenta l numero d msure s può ottenere un stogramma va va pù dettaglato come mostrato nella Fgura 3. Come s può notare dalla Fgura 3 valor msurat tendono a collocars ntorno a quello che ragonevolmente è l valore pù probable. Dunque, quando s dspone d msurazon ndpendent d una stessa quanttà, la stma mglore del valore effettvo della quanttà msurata è la meda artmetca sul campone d msure x1, x,... x. 1 k k 1 k x x Fr x Propretà della meda -La somma degl scart x x è par a zero: x x 0 -La somma del quadrato degl scart delle x da un valore a è mnma per a x: x a x x -Propretà assocatva: S dvda l campone n K grupp ncompatbl (format da dverse msurazon) d numerosta rspettvamente 1,,, j,, K con ( K ) =. Denomnamo con 1 K x, x,... x le mede artmetche calcolate all nterno d ogn gruppo, dette anche mede parzal. Allora la meda totale s può calcolare come meda delle mede parzal de grupp ponderate per la numerosta de grupp. Incertezza delle sngole msure 1 1 K 1 j1 j x x x Una stma puttosto pessmstca dell'errore assoluto è la semdspersone defnta come l valore assoluto della semdfferenza tra l valore massmo e l valore mnmo fra quell ottenut: xmax xmn D regola l errore s stma come dspersone massma quando l numero d msurazon è esguo, tpcamente nferore a =5. Quando l campone è un po pù numeroso l errore può essere stmato come devazone standard, convenzonalmente ndcata come j x x 1 8

9 S può dmostrare (ved rfermento [1]) che l fattore -1 al dvsore (nvece d ) fornsce una stma mglore della devazone standard calcolata da un campone fnto. La devazone standard è un ndce dell ampezza della dstrbuzone de dat raccolt. Come gà vsto ne cors d analtca se l campone d msure non è numeroso, esstono metodologe per ottenere una stma mglore dell errore (come ad esempo la dstrbuzone della cosdetta t d Student); dunque è mportante specfcare sempre la metodologa scelta per la stma dell errore spermentale. Fgura 3: stogramm opportunamente normalzzat relatv a set d msure d dverese dmenson. S not che l ampezza degl ntervall nel caso =1000 è d 0.5mm. La frequenza relatva è dunque opportunamente scalata per conservare l area untara. e due set pù numeros (=100 e =1000) la curva ormale rcavata dal ft degl stogramm con una funzone gaussana è mostrata dalla lnea tratteggata. (Istogramm generat con la funzone hstc d MATLAB, ft ottenuto dalla funzone Gft scrtta n matlab e rportata n Appendce) C) Sono accessbl grand quanttà d dat. Quanto maggore è l numero d msure acquste tanto pù grande è l numero d ntervall n cu s può suddvdere l campo d varazone della, che raggunge un lmte mnmo determnato dalla rsoluzone del sstema d msurazone. L'stogramma delle msure tende allora ad appoggars ad una curva contnua d forma ben defnta chamata dstrbuzone lmte (ved fgura 3). 9

10 La dstrbuzone lmte è un rsultato teorco cu tende la dstrbuzone de valor spermental quando l numero d msurazon ndpendent tende all nfnto. Essa è utle perchè permette d descrvere le propreta general della dstrbuzone dell'errore casuale. La dstrbuzone lmte f( x ) su una quanttà contnua x è la dstrbuzone d probabltà sulla varable x. Il prodotto f x dx rappresenta la probabltà che una msurazone d x da un valore compreso tra x e x dx. La funzone f( x ) è defnta su tutto l'ntervallo delle x che va da,. L'ntegrale d f( x ) n un ntervallo [a,b] rappresenta la probabltà che una delle msure rpetute cada n quell'ntervallo. b Prob a x b f x dx a Pochè la probabltà d ottenere una qualunque msura su tutto l'ntervallo deve essere uguale a uno, allora l'ntegrale: f xdx 1 Ovvero la denstà d probabltà è sempre una funzone normalzzata a 1. Importante: La normalzzazone della denstà d probabltà mplca che per creare un stogramma corretto, ovvero che può essere nterpolato con una denstà d probabltà contnua, le frequenze relatve devono essere scalate n modo tale che l area dell stogramma sa untara. Dunque se c è l fattore d scala, l stogramma deve rportare la frequenza relatva scalata Fr c* Fr tale che k xk * Frk 1 Quanto vale c se, come nel nostro caso, gl ntervall k k x sono d ampezza costante? In assenza d error sstematc, se la msura è affetta solo da error casual ndpendent, la dstrbuzone lmte è la funzone ormale, ovvero una funzone Gaussan normalzzata a 1: dove x x ( x) dx x 1 exp x, è l valore medo e calcolo degl ntegral è lascato come eserczo, ved rfermento [1]). x x x x ( x) dx è la varanza (Il 10

11 La devazone standard è l parametro che defnsce la larghezza della dstrbuzone normale e qund è a sua volta legata alla probabltà che una msura rcada n un ben determnato ntervallo ntorno al valor medo. Se s consdera, nfatt un ntervallo t, t la probabltà che una msura rcada n questo ntervallo è data da: x t 1 Prob t x t exp dx t Cambando la varable con x z l'ntegrale dventa: t z t 1 exp dz erf( t) Questo ntegrale non è calcolable analtcamente, vene chamato funzone degl error. Un esempo dell'area d questo ntegrale rspetto alla dstrbuzone normale (gaussana) è dato n Fgura (5). Fgura 5 La Fgura (6) mostra come vara la probabltà che una msura rcada nell'ntervallo consderato all'aumentare del prametro t: Fgura 6 11

12 Perchè la dstrbuzone è spesso Gaussana? I teorem del lmte centrale Una domanda nteressante è: perchè la dstrbuzone d una grande quanttà d msurazon ndpendent tende così spesso ad una dstrbuzone d probabltà normale? Esstono nfatt altre dstrbuzon d probabltà (dstrbuzone bnomale, dstrbuzone d Posson...) che s realzzano quando l sstema msurato possede partcolar propretà statstche, tuttava n mancanza d nformazon specfche è ragonevole potzzare una dstrbuzone d probabltà normale. La rsposta s può trovare n una sere d teorem, dett del lmte centrale che, n termn semplfcat, provano che la somma d molte varabl casual ndpendent è dstrbuta n modo normale. L enuncazone pù semplce del teorema del lmte centrale è la seguente Sa 1 x la varable casuale che rsulta dalla somma d varabl casual r 1 ed dentcamente dstrbute con meda e varanza della varable Z (ovvero la varable tende ad una dstrbuzone normale 0,1. x ndpendent. S può dmostrare che la dstrbuzone standardzzata) Dunque se s consdera l rsultato della msura come l valore vero della quanttà consderata pù un contrbuto casuale rsultante dalla somma d molteplc fattor aleator ndpendent, l teorema del lmte centrale spega come ma la dstrbuzone Gaussana sa così mportante. Errore standard della meda Quando s rporta l rsultato d una sere d msure nella forma: x dove x è la meda e la devazone standard rcavata da dat, s ntende dre che la probabltà che, rpetendo una sngola msura, essa cada nell'ntervallo x, x è del 68,3%, oppure che l 68.3 % delle msure esegute cade n tale ntervallo. A rgore σ rappresenta qund non tanto l'ncertezza meda della dstrbuzone, ma quella delle sngole msure. Fra le msure effettuate l valore medo è quello pù affdable e la sua devazone dal valore vero è pù pccola d quella delle msure. S può dmostrare (derva drettamente dal teorema del lmte centrale) che l'ncertezza assocata al valore medo è volte pù pccola d quella delle sngole msure. Tale ncertezza è chamata devazone standard della meda e vale: x 1

13 Questo errore standard è una msura dell'ncertezza legata alla stma della meda. In altre parole, l'errore standard è una msura dell'errore d stma. In questo senso, l'errore standard è concettualmente molto dverso dalla devazone standard del campone, che rappresenta una varabltà naturale nelmnable. S not nfatt che la devazone standard del campone non dpende pratcamente dal numero d rpetzon della msurazone mentre l errore standard della meda dmnusce all'aumentare del numero delle rpetzon, annullandos quando questo tende ad nfnto. Bblografa [1] J. R. Taylor, "Introduzone all'anals degl error", Seconda Edzone, Zanchell [] P. R. Bevngton and D. K. Robnson, "Data Reducton and Error Analyss for the Physcal Scences", McGrow--Hl Appendce (funzone matlab per l fttng con una curva normale) functon [sgma, mu] = Gft( x, y ) % Fttng d una curva ormale de dat (x,y) con metodo LMS terattvo (teratve Least Mean Square algorthm) % La curva normale è scrtta come % y = 1/(sqrt(*p)*sgma)*exp( -(x - mu)^ / (*sgma^)) % OUTPUT: % sgma valore ottmzzato della devazone standard % mu valore ottmzzato della meda % % OTA % I dat devono essere scalat opportunamente. Ovvero l area sottesa crca uguale a 1 % ESEMPIO: % x = -10:1:10; % s = ; % m = 3; % y = 1/(sqrt(*p)* s ) * exp( - (x-m).^ / (*s^)) + 0.0*randn( 1, 1 ); % [sgma,mu] = gaussft( x, y ) % xp = -10:0.1:10; % yp = 1/(sqrt(*p)* sgma ) * exp( - (xp-mu).^ / (*sgma^)); % plot( x, y, 'o', xp, yp, '-' ); 13

14 % umero massmo d terazon max = 50; f( length( x ) ~= length( y )) fprntf( 'x and y should be of equal length\n\r' ); ext; end n = length( x ); x = reshape( x, n, 1 ); y = reshape( y, n, 1 ); %reordno dat = [x,y]; = sortrows( ); x = (:,1); y = (:,); %Controllo d normalzzazone dx = dff( x ); dy = 0.5*(y(1:length(y)-1) + y(:length(y))); s = sum( dx.* dy ); f( s > 1.5 s < 0.5 ) fprntf( 'Data s not normalzed! The pdf sums to: %f. ormalzng...\n\r', s ); y = y./ s; end = zeros( n, 3 ); (:,1) = 1; (:,) = x; (:,3) = (x.*x); % stma nzale della meda e devazone [ymax,ndex]=max(y); mu = x(ndex); sgma = 1/(sqrt(*p)*ymax); % terazon for =1:max dfdsgma = -1/(sqrt(*p)*sgma^)*exp(-((x-mu).^) / (*sgma^)); dfdsgma = dfdsgma + 1/(sqrt(*p)*sgma).*exp(-((x-mu).^) / (*sgma^)).*((xmu).^/sgma^3); 14

15 dfdmu = 1/(sqrt(*p)*sgma)*exp(-((x-mu).^)/(*sgma^)).*(x-mu)/(sgma^); F = [ dfdsgma dfdmu ]; a0 = [sgma;mu]; f0 = 1/(sqrt(*p)*sgma).*exp( -(x-mu).^ /(*sgma^)); a = (F'*F)^(-1)*F'*(y-f0) + a0; sgma = a(1); mu = a(); f( sgma < 0 ) sgma = abs( sgma ); fprntf( 'Instablty detected! Rerun wth ntal values sgma0 and mu0! \n\r' ); fprntf( 'Check f your data s properly scaled! p.d.f should approx. sum up to \n\r' ); ext; end end 15

16 Esperenza d Laboratoro Parte spermentale 1) Ogn studente deve preparare due soluzon pesando crca 15 mg d CuSO 4 e scoglendol n 5 ml d acqua acdfcata prelevata con una ppetta. Lo studente deve prendere nota delle pesate, della precsone d msura della blanca e della ppetta. ) S setta lo spettrofotometro d assorbmento UV Vsble a 750 nm e s azzera la sua lettura (baselne) utlzzando una cuvetta n plastca (cammno ottco l=1 cm) contenente acqua. 3) Usando le soluzon preparate al punto 1) s avvna una cuvetta (cammno ottco l=1 cm) due volte e po la s rempe con la soluzone e s effettua la msura dell assorbanza a 750 nm con lo spettrofotometro d assorbmento UV Vsble. Lo studente annota l valore letto d assorbanza A(λ = 750) per le due soluzon preparate e l ncertezza con cu s legge l assorbanza stessa. Con dat raccolt lo studente calcola la concentrazone C delle due soluzon e l valore del coeffcente d estnzone ɛ(λ = 750) a 750 nm del CuSO 4 usando la relazone d Lambert Beer: ɛ(750) = A(750) C l (1) Una volta calcolat coeffcent d estnzone, quest vengono dat al docente che provvede a raccoglere tutt dat ottenut dagl student. Quest dat verrano qund analzzat statstcamente per valutare la mglor stma d questa grandezza e l ncertezza che la caratterzza. Elaborazone de dat 1) Metodo d propagazone dell errore per una sngola msura S scegle una msura effettuata e s assoca ad ogn msura spermentale l errore dovuto alla precsone dello strmento utlzzato. S utlzza qund la formula d propagazone dell errore per valutare l ncertezza sul coeffcente d estnzone. ) Calcolo della mglor stma e dell ncertezza da un numero lmtato d msure S consderano due valor d ɛ(750) msurat dal sngolo studente e s calcola l valor medo e l errore massmo utlzzando la formula della sem dspersone massma. 1

17 3) Calcolo della mglor stma e dell ncertezza da un numero elevato d msure Usando tutte le msure d epslon raccolte da tutt gl student s procede alla realzzazone d un stogramma per osservare come sono dstrbut dat spermental. S procede qund al calcolo del valor medo, della devazone standard e della devazone standard della meda. Usando dat rportat nell stogramma e un programma d elaborazone dat, s applca la procedura d fttng per analzzare dat. Come funzone modello s usa la funzone gaussana. S valutano, tramte tale procedura, le stme de parametr µ e σ della funzone gaussana che meglo nterpolano dat dell stogramma. S confrontano valor med e la devazone standard ottenute con le due dverse procedure. Ogn studente dovrà effettuare l elaborazone de dat e consegnare la scheda pre complata fornta dal docente.