Arch. Elab. - S. Orlando 2. Alfabeto binario: {0, 1} es.: conducibilità o meno di un transistor. Organizzazione della memoria e codici correttori

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1 Rappresentazone nformazone Element d artmetca de computer Organzzazone della memora e codc correttor Salvatore Orlando Arch. Elab. - S. Orlando 1 Codfca o codce Dat: un Alfabeto A (ad esempo, alfabeto bnaro: A{0,1}) s dat dstnt D{d 0, d 1,, d s-1 } una codfca (o codce) fornsce una corrspondenza tra sequenze (strnghe, confgurazon) d smbol n A, ed var dat d D Soltamente, codc fanno rfermento a sequenze d smbol d lunghezza fnta Alfabeto d N smbol e Sequenze d lunghezza K N K confgurazon possbl Rspetto ad un alfabeto bnaro numero totale d confgurazon: 2 K 2 k > s (dove s è la cardnaltà dell nseme D) Es.: se D comprende le 26 lettere dell alfabeto nglese (s26) sono necessar almeno sequenze d K smbol bnar, con K > 5, poché < 26 < Arch. Elab. - S. Orlando 3 Rappresentazone dell nformazone Dfferenza tra smbolo e sgnfcato la cfra (lettera) usata per scrvere è un smbolo che rappresenta l nformazone l concetto d numero (suono) corrsponde al sgnfcato dell nformazone Per comuncare/rappresentare nformazon è qund necessaro usare de smbol necessara una convenzone (rappresentazone, codfca o codce) per assocare smbol con l loro sgnfcato Per codfcare l nformazone soltamente s usa un alfabeto d smbol Alfabeto nseme fnto d smbol adottat per rappresentare nformazone Es: per rappresentare numer ne calcolator elettronc Alfabeto bnaro: {0, 1} Smbol assocat con stat elettrc faclmente dstngubl es.: conducbltà o meno d un transstor Arch. Elab. - S. Orlando 2 Codfca de numer Codfca nformazon non numerche può essere effettuata n manera sem arbtrara. Basta fssare una convenzone per permettere d rconoscere dat Es. Codce ASCII - Amercan Standard Code for Informaton Exchange - è una codfca d caratter alfanumerc su sequenze d smbol bnar d lunghezza k8 Codfca de numer accurata, perché è necessaro effettuare operazon (sommare, moltplcare ecc.) usando le rappresentazon de numer d solto s adotta l sstema d numerazone arabca, o poszonale Arch. Elab. - S. Orlando 4

2 Sstema d codfca poszonale Sstema d numerazone arabca n base 10 (B10) cfre (smbol) appartenent all alfabeto d 10 smbol A{0,1,,9} smbol con valore dverso n base alla poszone nella strnga d smbol n A (untà, decne, centnaa, mglaa, ecc.) Per codfcare numer natural n una generca base B fssare un alfabeto A d B smbol fssare una corrspondenza tra B smbol d A prm B numer natural {0,1,2,,B-1} numer maggor d B rappresentabl come strnghe d smbol d A : d n-1 d 1 d 0 valore numerco della strnga, dove la sgnfcatvtà delle cfre è espressa n base alle vare potenze d B: B n-1 * d n B 1 * d 1 + B 0 * d 0 Arch. Elab. - S. Orlando 5 Conversone nversa Da base 10 a base B Procedmento per dvsone Sa dato un certo numero N rappresentable n base B come strnga d n smbol d n-1 d 1 d 0 l cu valore è: N B n-1 * d n B 1 * d 1 + B 0 * d 0 Se dvdamo per B ottenamo d 0 come resto Quozente: B n-2 * d n B 0 * d 1 Resto: d 0, 0< d 0 <B possamo terare l procedmento, ottenendo d 1, d 2, d 3 ecc. fno ad ottenere un Quozente 0 QN; 0; fntantoché è vero che (Q>0), rpet: { d Q % B; // Q mod B Q Q / B; // Q dv B +1: } Q R Arch. Elab. - S. Orlando 7 Numer natural n base 2 Alfabeto bnaro A{0,1}, dove smbol sono dett bt, con 0 corrspondente al numero zero ed 1 al numero uno Ne calcolator numer sono rappresentat come sequenze d bt d lunghezza fnta numer rappresentat n notazone arabca, con base B2 (numer bnar) d n-1 d 1 d 0 dove d {0,1} Con strnghe d n bt, sono rappresentabl 2 n dat (numer dvers) dal numero 0 al numero 2 n -1 Valore numerco corrspondente, dove la sgnfcatvtà delle cfre è espressa sulla base d una potenza d B2: 2 n-1 * d n * d * d 0 Es: per trovare l valore della strnga d smbol 1010 n base *8 + 0*4 + 1*2 + 0* Arch. Elab. - S. Orlando 6 Rappresentazon ottale ed esadecmale Ottale: B 8 Esadecmale: B 16 Usate per facltare la comuncazone d numer bnar tra uman, o tra l computer e l programmatore Esste nfatt un metodo veloce per convertre tra base 8 (o base 16) e base 2, e vceversa Arch. Elab. - S. Orlando 8

3 Rappresentazone ottale B 8, A {0,1,2,3,4,5,6,7} Come convertre: Sa dato un numero bnaro d 10 cfre: d 9 d 1 d 0, l cu valore è: d Raggruppamo le cfre: da destra, a 3 a 3 Ponamo n evdenza la pù grande potenza d 2 possble: (2 0 d 9 ) ( 2 2 d d d 6 ) ( 2 2 d d d 3 ) (2 2 d d d 0 ) 2 O I termn tra parentes sono numer compres tra 0 e 7 s possono far corrspondere a smbol dell alfabeto ottale I fattor mess n evdenza corrspondono alle potenze d B8: Da bnaro ad ottale: Da ottale a bnaro: Arch. Elab. - S. Orlando 9 Numer natural (nter) bnar Il processore che studeremo (MIPS) rappresenta numer nter su 32 bt (32 bt 1 word) I numer nter (unsgned) rappresentabl su 32 bt sono allora: two 0 ten two 1 ten two 2 ten two 4,294,967,293 ten two 4,294,967,294 ten two 4,294,967,295 ten Arch. Elab. - S. Orlando 11 Rappresentazone esadecmale B 16, A {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,a,b,c,d,e,f} Come convertre: S dato un numero bnaro d 10 cfre: d 9 d 1 d 0, l cu valore è: d Raggruppamo le cfre: da destra, e a 4 a 4 Ponamo n evdenza la pù grande potenza d 2 possble: (2 1 d d 8 ) (2 3 d d d d 4 ) (2 3 d d d d 0 ) 2 0 I termn tra parentes sono numer compres tra 0 e 15 s possono far corrspondere a smbol dell alfabeto esadecmale I fattor mess n evdenza corrspondono alle potenze d B16: Da bnaro ad esadecmale: f 16 Da esadecmale a bnaro: a Arch. Elab. - S. Orlando 10 Algortmo d somma d numer bnar Per la somma d numer rappresentat n bnaro possamo adottare la stessa procedura usata per sommare numer decmal sommare va va numer dello stesso peso, pù l eventuale rporto: La tabella per sommare 3 cfre bnare è la seguente: d0 d1 rp RIS RIP Arch. Elab. - S. Orlando 12

4 Esempo d somma Sa A 13 dec due e B 11 dec due rport: 1111 A: B: dec L algortmo mpegato dal calcolatore per effettuare la somma è smle a quella carta e penna le cfre sono prodotte una dopo l altra, da quelle meno sgnfcatve a quelle pù sgnfcatve Arch. Elab. - S. Orlando 13 Sottrazone e numer relatv L algortmo mpegato ne calcolator per sottrarre numer bnar è dverso da quello carta e penna, che usa la ben nota nozone d prestto delle cfre Non vene mpegata l ovva rappresentazone n modulo e segno per rappresentare numer relatv s usa nvece una partcolare rappresentazone de numer negatv Questa partcolare rappresentazone permette d usare lo stesso algortmo effcente gà mpegato per la somma In pratca, nel calcolatore s usa lo stesso crcuto sa per la somma d numer natural (unsgned) sa per la somma d numer relatv (sgned) Arch. Elab. - S. Orlando 15 Overflow L overflow s verfca quando l rsultato è troppo grande per essere rappresentato nel numero fnto d bt messo a dsposzone dalle rappresentazon de numer l rporto flusce fuor Es.: la somma d due numer d n-bt produce un numero non rappresentable su n bt Arch. Elab. - S. Orlando 14 Possbl rappresentazon Modulo e Segno One's Complement Two's Complement Problem: blancamento: nel Complemento a Due, nessun numero postvo corrsponde al pù pccolo valore negatvo numero d zer: le rappresentazon n Modulo e Segno, e quella n Complemento a Uno, hanno 2 rappresentazon per lo zero semplctà delle operazon: per l Modulo e Segno bsogna prma guardare segn e confrontare modul, per decdere sa l segno del rsultato, e sa per decdere se bsogna sommare o sottrarre. Il Complemento a uno non permette d sommare numer negatv. Qual è qund la mglore rappresentazone e perché? Arch. Elab. - S. Orlando 16

5 Complemento a 2 La rappresentazone n complemento a 2 è quella adottata da calcolator per numer con segno (sgned) Il bt pù sgnfcatvo corrsponde al segno (0 postvo, 1 negatvo) MIPS: Numer relatv (sgned) su 32 bt: two 0 ten two + 1 ten two + 2 ten two + 2,147,483,646 ten two + 2,147,483,647 ten two 2,147,483,648 ten two 2,147,483,647 ten two 2,147,483,646 ten two 3 ten two 2 ten two 1 ten maxnt mnnt Bt d segno Arch. Elab. - S. Orlando 17 Complemento a 2 Il valore corrspondente alla rappresentazone de numer postv è quella solta Per quanto rguarda numer negatv, per ottenere drettamente l valore d un numero negatvo su n poszon, basta consderare l bt d segno (1) n poszone n-1 con peso: -2 n-1 tutt gl altr bt n poszone con peso 2 Dmostrazone: - N vene rappresentato n complemento a 2 dal numero unsgned 2 n - N supponamo che 2 n - N corrsponda alla n-upla 1 d n-2 d 1 d 0 2 n - N 2 n n-2 * d n * d * d 0 - N -2 n + 2 n n-2 * d n * d * d 0 - N -2 n n-2 * d n * d * d 0 Arch. Elab. - S. Orlando 19 Complemento a 2 Rappresentazone d numer n complemento a 2 su n bt de numer sgned: 0: n-1-1 numer postv: 1 (0 01) 2 n-1-1 (massmo) (01..11) 2 n-1 numer negatv - N rappresentato dal numero unsgned ottenuto tramte la seguente operazone: 2 n - N -1: 2 n -1 ( ) -2 n-1 (mnmo): 2 n - 2 n-1 2 n-1 ( ) Arch. Elab. - S. Orlando 18 Complemento a 2 Dato un numero postvo N, con bt d segno uguale a 0 Per ottenere la rappresentazone n complemento a 2 d -N è possble mpegare equvalentemente Alg. 1: nvert tutt bt (ovvero Complementa a uno) e somma 1 Alg. 2: nvert tutt bt a snstra della cfra 1 meno sgnfcatva Arch. Elab. - S. Orlando 20

6 Regole per complementare a 2 Esempo Alg Complementa a uno Esempo Alg Complementa a uno fno alla cfra 1 meno sgnfcatva Arch. Elab. - S. Orlando 21 Regole per complementare a 2 Alg. 1: nvert tutt bt e somma 1 (dmostrazone - contnuazone) Se N è un numero postvo, la rappresentazone d N sarà 0 d n-2 d 1 d 0 l cu valore è: 2 n-2 * d n * d * d 0 Qund l valore del numero negatvo -N sarà uguale a Sommando e sottraendo (2 n-2-1) - N - 2 n-2 * d n * d 0-1) - (2 n-1-1) - 2 n-2 * d n (2 n-1 * d 0 (2 n-2 * * 1) - (2 n-1-1) - (2 n-2 * d n * d 0 ) - 2 n-1 + (2 n-2 *(1- d n-2 ) *(1 - d 0 )) + 1 Invertendo tutt bt della rappresentazone d N ottenamo 1(1- d n-2 ) (1 - d 0 ) dove 11-d n-1 Il valore del numero complementato (negatvo) è: - 2 n n-2 * (1- d n-2 ) * (1 - d 0 ) Sommando 1, ottenamo propro l valore d -N sopra dervato Arch. Elab. - S. Orlando 23 Regole per complementare a 2 Alg. 1: nvert tutt bt e somma 1 (dmostrazone) La rappresentazone n complemento a 2 del numero negatvo - N è: 1 d n-2 d 1 d 0, Il valore è: - N -2 n n-2 * d n * d * d 0 Sommando e Allora: N sottraendo 1 2 n-1-2 n-2 * d n * d * d 0 (2 n-1-1)+1 - (2 n-2 * d n * d * d 0 ) (2 n-2 * * * 1) - (2 n-2 * d n * d * d 0 ) + 1 (2 n-2 * (1- d n-2 ) * (1 - d 0 ) ) n poché (sere geometrca): n 0 q 1 1 n q q 0 n Invertendo tutt bt della rappresentazone d - N ottenamo 0(1- d n-2 ) (1 - d 0 ) dove 01-d n-1 Il valore del numero complementato (postvo) è: 2 n-2 * (1- d n-2 ) * (1 - d 0 ) Sommando 1, ottenamo propro l valore d N sopra dervato Arch. Elab. - S. Orlando 22 Estensone del numero bt della rappresentazone Regola: copare l bt pù sgnfcatvo (bt d segno) negl altr bt > > L estensone del bt d segno funzona anche per numer negatv l complemento a 2 del numero negatvo 1010 è 110, ndpendentemente dal numero d 1 nzal (es ) Esempo d applcabltà dell estensone del segno: un operando d una struzone macchna può essere pù corto d una word (32 bt) l operando deve essere esteso nella corrspondente rappresentazone a 32 bt prma che crcut della CPU possano effettuare l operazone artmetca rchesta dall struzone Arch. Elab. - S. Orlando 24

7 Addzon & Sottrazon Operazon d numer bnar n complemento a 2 sono facl sottraamo usando semplcemente l algortmo dell addzone l sottraendo (negatvo) deve essere espresso n complemento a 2 Esempo: Sottrazone de valor assolut vs Somma de numer relatv n compl (-6) Arch. Elab. - S. Orlando 25 Scoprre gl Overflow No overflow se somma d numer con segno dscorde No overflow se sottrazone d numer con segno concorde Overflow se s ottene un numero con segno dverso da quello aspettato, ovvero se s sommano algebrcamente due numer con segno concorde, e l segno del rsultato è dverso. Qund ottenamo overflow se sommando due postv s ottene un negatvo se sommando due negatv s ottene un postvo se sottraendo un negatvo da un postvo s ottene un negatvo se sottraendo un postvo da un negatvo s ottene un postvo Consdera le operazon A + B, e A B Può verfcars overflow se B è 0? Può verfcars overflow se A è 0? Arch. Elab. - S. Orlando 27 Addzon & Sottrazon Per sottrarre N1 - N2 (numer d n-bt), N1>0 e N2>0 sommamo (N1 + (2 n - N2)) mod 2 n Perché questo tpo d somma algebrca funzona? Perché n questo caso non possamo avere un overflow? se N1 > N2, l rsultato dovrà essere postvo. Otterremo un bt d peso n che non verrà consderato (a causa del modulo 2 n ) (N1 + 2 n - N2) mod 2 n N1 - N2 poché (N1 + 2 n - N2) > 2 n se N1 < N2, l rsultato dovrà essere negatvo. Il modulo non avrà effetto, poché (N1 + 2 n - N2) < 2 n (N1 + 2 n - N2) mod 2 n 2 n - (N2 - N1), che corrsponde propro alla rappresentazone n complemento a 2 d (N2 - N1)> Arch. Elab. - S. Orlando 26 Scoprre gl Overflow Somma algebrca d due numer postv A e B la cu somma non può essere rappresentata su n bt n complemento a 2 Overflow se A+B>2 n-1 A01111 B00001 (OVERFLOW due ultm rport dscord) A01100 B00001 (NON OVERFLOW due ultm rport concord) Somma algebrca d due numer negatv A e B la cu somma non può essere rappresentata su n-bt n complemento a 2 Overflow se A + B >2 n-1 A10100 B10101 (OVERFLOW due ultm rport dscord) A10111 B11101 (NON OVERFLOW due ultm rport concord) Arch. Elab. - S. Orlando 28

8 Numer razonal (a vrgola fssa) Conversone della parte frazonara Numer con la vrgola (o con l punto, secondo la convenzone anglosassone) Nel sstema d numerazone poszonale n base B, con n cfre ntere e m cfre frazonare: d n-1 d 1 d 0, d -1 d -2 d -m Sgnfcatvtà: B n-1 * d n B 1 * d 1 + B 0 * d 0 + B -1 * d -1 + B -2 * d B -m * d -m La notazone con n+m cfre è detta a vrgola fssa (fxed pont) Conversone da base 10 a base 2 10,5 dec 1010,1 due Voglamo convertre n base 2 a partre da una base B La parte frazonara n base 2 che vorremmo ottenere sarà: 0,d -1 d -2 d -m dove d - {0,1} con sgnfcatvtà 2-1 * d * d m * d -m se moltplchamo per 2, la vrgola s sposta a destra 2 0 * d * d m+1 * d -m dopo aver moltplcato per 2, la parte ntera dventa del numero dventa d -1 d -1, d -2 d -m l processo d moltplcazone deve essere terato con la nuova parte frazonara (fno a quando la parte frazonara dventa nulla) Processo d conversone d 0,43 dec *2 Cfre frazonare 0,43 0,86 0 d -1 0, 86 1,72 1 d -2 0, 72 1,44 1 d -3 0, 44 0,88 0 d -4 0, 88 1,76 1 d -5 0, 76 1,52 1 d -6 0, 52 1,04 1 d -7 0, 04 0,08 0 d -8 0, 08 0,16 0 d -9 0, , due Arch. Elab. - S. Orlando 29 Arch. Elab. - S. Orlando 30 Numer razonal (a vrgola moble) Numer razonal (a vrgola moble) La notazone a vrgola fssa (es.: n8 e m8) non permette d rappresentare numer molto grand o molto pccol per numer grand utle spostare la vrgola a destra e usare la maggor parte de bt della rappresentazone per la parte ntera ,0100 parte ntera non rappresentable su n8 bt per numer pccol utle spostare la vrgola a snstra e usare la maggor parte de bt della rappresentazone per la parte frazonara 0, parte frazonara non rappresentable su m8 bt Notazone n vrgola moble, o FP (Floatng Pont) s usa la notazone scentfca, con l esponente per far fluttuare la vrgola Segno, Esponente, Mantssa (-1) S * 10 E * M 0, * 0,121 14, * 0, * 0,911 In base 2, l esponente E s rfersce ad una potenza d 2 Segno, Esponente, Mantssa (-1) S * 2 E * M Dat bt dsponbl per la rappresentazone FP, s suddvdono n 1 bt per l segno gruppo d bt per E gruppo d bt per M s E M Torneremo alla rappresentazone FP, e allo standard IEEE 754 d rappresentazone, quando parleremo delle operazon FP e de crcut corrspondent Standard Mantssa rappresentata come numero frazonaro, con parte ntera uguale a 0 Arch. Elab. - S. Orlando 32 Arch. Elab. - S. Orlando 31

9 Rappresentazone nformazone alfanumerca Per rappresentare le lettere (mauscole, mnuscole, punteggature, ecc.) è necessaro fssare uno standard L esstenza d uno standard permette la comuncazone d document elettronc (test, programm, ecc.), anche tra tra computer dfferent ASCII (Amercan Standard Code for Informaton) n orgne ogn carattere una strnghe 7 bt 128 caratter, da 0 a 7F codc da 0 a 1F usat per caratter non stampabl (caratter d controllo) 0A (Lne Feed) 0D (Carrage Return) 1B (Escape) 20 (Space) 2C, 2E. 41 A A Z a A z Arch. Elab. - S. Orlando 33 UNICODE Grupp d codc (code ponts) consecutv assocat a pù mportant alfabet 336 al Latno, 256 al crllco, ecc. Molt grupp d codc assegnat a cnese, gapponese e coreano 1024 per smbol fonetc per gl deogramm (Han) usat n cnese e gapponese per le sllabe Hangul usate n coreano cnes e gappones rchedono nuov deogramm per le parole nuove (modem, laser, smleys).. e qund nuov codc. molt problem ancora apert... Arch. Elab. - S. Orlando 35 ASCII e evoluzon Codc ASCII esteso a 8 bt 256 codc dvers non bastano a coprre set d caratter usat, ad esempo, nelle lngue latne, slave, turche, ecc. IS (Internatonal Standard) con concetto d code page IS è l codce ASCII a 8 bt per Latn-1 (esempo l nglese o l talano con le lettere accentate ecc.) IS è l codce ASCII a 8 bt per Latn-2 (lngue latne slave cocoslovacco, polacco, e ungherese) ecc. UNICODE ulterore estensone (IS 10646) con codc a 16 bt (65536 codc dvers) standard creato da un consorzo d grupp ndustral codc che vanno da 0000 a 00FF corrspondono a IS per rendere pù facle la conversone d document da ASCII a UNICODE Arch. Elab. - S. Orlando 34 Istruzon machna e codfca bnara Le struzon macchna, ovvero l lnguaggo che la macchna (processore) comprende, hanno bsogno anch esse d essere codfcate n bnaro devono essere rappresentate n bnaro n accordo ad un formato ben defnto Il lnguaggo macchna è molto restrttvo l processore che studeremo sarà l MIPS, usato da Nntendo, Slcon Graphcs, Sony l ISA del MIPS è smle a altre archtetture RISC svluppate dal 1980 le struzon artmetche del MIPS permettono solo operazon elementar (add, sub, mult, dv) tra coppe d operand a 32 bt le struzon MIPS operano su partcolar support d memora denomnat regstr, la cu lunghezza è d 32 bt 4 Byte Arch. Elab. - S. Orlando 36

10 Formato (codfca) delle struzon macchna Esempo: add $9, $17, $18 (semantca: $9$17+$18) dove regstr sono dentfcat da numer 9, 17, 18 Formato delle struzon: Codfca op rs rt rd shamt funct Regstr nput Defnsce l operazone che l struzone deve esegure Regstro output Arch. Elab. - S. Orlando 37 Numer bnar magc (8 bt 1 Byte B) (32 bt 1 Word) La dmensone della word dpende dal processore. Esstono processor dove la Word è d bt (oppure d bt) (K Klo Mglaa - KB (klobytes) - Kb (klobts)) 2 20 (M Mega Mlon - MB) 2 30 (G Gga Mlard - GB) 2 40 (T Tera Mglaa d Mlard - TB) 2 50 (P Peta Mlon d Mlard - PB) 8 bt (1 B) è un untà fondamentale: - è l untà d allocazone della memora - codc ASCII e UNICODE hanno dmensone, rspettvamente, 1 B e 2 B Arch. Elab. - S. Orlando 39 Informazone e memora L nformazone, opportunamente codfcata, ha bsogno d essere memorzzata nel calcolatore per essere utlzzata. In partcolare programm (e dat) devono essere trasfert nella memora prncpale del computer per l esecuzone Organzzazone della memora sequenza d celle (o locazon) d lunghezza prefssata ogn cella è assocata con un numero (chamato ndrzzo) se un ndrzzo è espresso come numero bnaro d m bt sono ndrzzabl 2 m celle dverse (da 0 a 2 m -1) ndrzz consecutv celle contgue nelle memore attual, ogn cella d memora è lunga bt 1 Byte (memora ndrzzable al Byte) I Byte consecutv sono organzzate n grupp ogn gruppo è una Word processor a 64 bt (Word d 8 Bytes) e a 32 bt (Word d 4 Bytes) le struzon artmetche operano su Word la dmensone della Word stablsce qual è l massmo ntero rappresentable bts of data 8 bts of data 8 bts of data 8 bts of data 8 bts of data 8 bts of data 8 bts of data Arch. Elab. - S. Orlando 38 Codc per correggere o scoprre error Le memore elettronche (o magnetche come dsch) memorzzano bt usando meccansm che possono occasonalmente generare error es.: un bt settato ad 1 vene po letto uguale a 0, o vceversa Formalzzamo l concetto d errore n una codfca a n bt C codfca corretta, C codfca letta Dstanza d Hammng tra le codfche H( C, C ) : numero d cfre bnare dfferent a partà d poszone Possbl stuazon H( C, C )0 : sgnfca che C e C sono ugual (OK) H( C, C )1 : sgnfca che C e C dfferscono per 1 solo bt H( C, C )2 : sgnfca che C e C dfferscono per 2 sol bt ecc. Arch. Elab. - S. Orlando 40

11 Partà Codc correttor Per scoprre gl error sngol, ovvero per accorgers se H( C, C )1 aggungamo bt d partà alla codfca bt agguntvo posto a 1 o a 0 affnché l numero d bt 1 nelle vare codfche sa par (dspar) se s verfca un errore sngolo (un numero d error dspar) n C, allora l numero d bt 1 non sarà pù par purtroppo, con un sngolo bt d partà, non scoprremo ma un numero d error doppo, o n generale par In vertà, usare un bt d partà sgnfca usare una codfca non mnmale nella rappresentazone dell nformazone una codfca mnmale usa tutte strnghe possbl n questo s usano solo la metà delle strnghe permesse su n+1 bt la dstanza mnma d Hammng tra coppe d codfche permesse è 2 es.: n2 con 1 bt d partà (no. bt par) Strnghe (codfche) permesse Strnghe (codfche) non permesse In generale, possamo avere pù d un bt per correggere o scoprre possbl error multpl n sono bt della codfca mnmale m sono bt della codfca estesa, m>n r m-n sono bt rdondant che estendono la codfca mnmale solo 2 n delle 2 m codfche possbl sono valde per ogn codfca su n bt, rmanent r bt rdondant possono essere codfcat soltanto n modo fsso affnché la codfca sa valda e corretta se sngolo bt d partà mn+1 solo 2 n delle 2 n+1 codfche possbl sono valde (solo metà) Arch. Elab. - S. Orlando 42 Arch. Elab. - S. Orlando 41 Dstanza d Hammng e codc correttor Dstanza d Hammng e codc correttor E possble defnre una codfca non mnmale su m bt per correggere o scoprre error La dstanza d Hammng della codfca è defnta come: la dstanza d Hammng mnma tra le vare coppe d codc vald Nota che la dstanza d Hammng n una codfche mnmale è 1 Codfca non mnmale su 6 bt con dstanza d Hammng uguale a 3 solo 4 codc vald: H(000000,000111)3 H(000000,111000)3 H(000000,111111)6 H(000111,111000)6 H(000111,111111)3 H(111000,111111)3 la codfca d sopra permette d scoprre fno a 2 error es.: se samo scur che c possono essere al massmo 2 error, la dstanza tra una strnga corretta C e la strnga erronea C è 2 < 3. C non può essere scambato per un codce corretto perché la dstanza d Hammng del codce è 3. correggere fno a 1 errore Per scoprre fno a d error su sngol bt è necessaro che la dstanza d Hammng della codfca sa d+1 supponamo d avere una codfca sffatta supponamo che C sa una codfca erronea d C tale che: 1 < H(C,C ) d C non può essere scambato per una codfca valda, perché n questo caso dovrebbe essere vero che: H(C,C ) d+1 Per correggere fno a d error su sngol bt è necessaro che la dstanza d Hammng della codfca sa 2d+1 supponamo d avere una codfca sffatta supponamo che C sa una codfca erronea d C tale che: 1 < H(C,C ) d C non può essere scambato per una codfca valda, perché n questo caso dovrebbe essere vero che: H(C,C ) 2d+1 poché C è la codfca valda pù vcna a C, possamo pensare che C sa la codfca corretta e correggere l errore es.: è pù vcno a Arch. Elab. - S. Orlando 44 Arch. Elab. - S. Orlando 43

12 Codc correttor Esste un algortmo dovuto a Hammng (1950) che permette d determnare una codfca con un numero mnmo d bt d rdondanza per la correzone degl error Esempo: Numero mnmo d check bt (bt rdondant) per correggere error sngol (d1) I check bt devono essere confgurat n modo che la dstanza d Hammng tra le codfche valde sa 2d+1 3 Arch. Elab. - S. Orlando 45