POTENZE e RADICI in C più altri argomenti interessanti di Leonardo Calconi

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1 POTENZE e RADICI C pù altr argomet teressat d Leoardo Calco Ch ha fretta e o vuole perders letture oose può lmtars a dare u occhata a questa tabella: C_Exp pq a a p ( ql a) ae la e z ρ e p q [( ql p)] e ρ ρ e ρe e π ( ) e π e π z C_Roots ReU_Roots ImU_Roots U_pRoots π π π π ϕ( ) ρ e z e z e p p e ch o ha problem co le rappresetazo espoezal può adare drettamete a paga 7. No ho perso tempo a dlure la mestra co formazo e dmostrazo elemetar su umer compless metre e ho dedcato u po d pù agl esemp. Ho curato l mpagazoe modo che og argometo sa coteuto page tere e possate stamparlo dall zo alla fe separatamete col ttolo testa.. Premesse pagg. -.. Sulla rappresetazoe.. Sulla formula d Eulero.. Sulle dettà fodametal.. Sul prodotto. Rotazo el pao Argad-Gauss pagg Applcazo.. Equazoe della crcofereza. Svluppo delle poteze complesse pagg Base reale... Espoete complesso... Espoete mmagaro puro.. Base complessa... Espoete tero... Espoete complesso... Espoete mmagaro puro.. Base mmagara... Espoete tero... Espoete complesso... Espoete mmagaro puro.. Logartmo d u umero complesso. Radc complesse pagg. -.. Radc eesme.. Radc eesme dell utà... Utà reale... Utà mmagara 5. Equazoe cclotomca pagg Teorema fodametale dell algebra 5.. Grupp cclc 5.. Radc prmtve dell utà 5.. Polom cclotomc 5.5. Equazoe cclotomca

2 PREMESSE. Sulla rappresetazoe Per le operazo d moltplcazoe ed elevazoe a poteza complessa s utlzza pù effcacemete della rappresetazoe cartesaa z a b z a b ab z a b la rappresetazoe coordate polar z ρ(cos s ) z ρ(cos s ) z ρ (cos s ) dove per z s ha ρ a b, a ρcos, b ρs a b cos, s a b a b b b ta, arcta, a a a o, meglo acora, quella espoezale z ρe z ρe z ρ e che produce espresso pù compatte e dove per la formula d Eulero s ha e cos s I umer compless possoo essere rappresetat ache term d matrc emsmmetrche real a b a b b a r cos s ρe r s cos per va dell somorfsmo tra e l campo d queste matrc. Ma questa rappresetazoe è poco utle per gl scop d questo lavoro. co la fuzoe varare d. e che tracca el pao Argad-Gauss ua crcofereza d raggo utaro al

3 . Sulla formula d Eulero Tale formula dscede dallo svluppo sere d Taylor delle fuzo s, cos, e co per le qual s ha ( ) ( )!! 5! 7! 5 7 ( ) s... ( )!!! 6! 6 cos... e...!!!! Nell ultma sere, sosttuedo co s avrà ( ) ( ) ( ) ( ) 5 e...!!! 5! 5...!!! 5! !! 6!! 5! 7! cos s ovvero la formula, e pochè è e cos s s avrà ache e e e e, cos s

4 . Sulle dettà fodametal Dalla formula d Eulero dscede l omoma dettà: e π e, pù geerale per π /, Θ π/ π π/ π e - - Cosderado umer compless d modulo utaro avremo le seguet rotazo ed equvaleze per π, :. Sul prodotto Il prodotto d u umero reale per u umero complesso z è uguale a z ρe Il prodotto d due umer compless ' z ρe, z' ρ' e è uguale a ( ') zz' ' e ρρ e qud zz ha per modulo l prodotto de modul e per argometo la somma degl argomet. I partcolare s ha ( ) zz ρρe z ρ e l che coduce agevolmete al puto... No sempre l prodotto d due umer compless è u umero complesso. Ifatt zz a b a b a b ρ ( )( ) ab zz a b a b zz' ρρ ' se ' e zz per π /, è u umero reale o mmagaro puro secodo quato vsto..

5 ROTAZIONI NEL PIANO ARGAND-GAUSS. Applcazo E evdete che l applcazoe ϕ :C C dove ' ( ') zz re,, ' co l prodotto ρρ ' r costate, descrve ua crcofereza d raggo r e cetro l orge. Notate come l applcazoe o sa bettva quato uo stesso umero complesso zz è rappresetato da valor dvers d ( ') multpl d π. Covee oltre otare che, aalogamete a quato accade l campo reale, coppe dverse d umer compless dao lo stesso prodotto e qud descrvoo la stessa crcofereza: Esempo π π 6 ' π ' π z 9 e, z e, q 6 e, q e 5π ' ' zz 8e qq I base a queste osservazo possamo semplfcare la facceda e far vedere come ua crcofereza sa descrtta f de cot da u solo umero complesso del quale s facca varare l argometo (parlado d rotazo possamo sostture al terme argometo quello d fase ). Cosderamo fatt l caso partcolare cu uo de due umer compless sa dverso dall utà ma co modulo uguale ad uo e l altro abba fase zale uguale a zero; allora s ha z e z ρ zz ρe zz' re co ρ r e ( ), ', ' co e l applcazoe è per ( ) qq' ρρ e ( ) re co ' r Se volete potete cosderare q co modulo qualuque e fase zero, per otteere lo stesso rsultato da ua prospettva dversa. 5

6 Ife otamo come l prodotto d u umero complesso per l utà mmagara produca le seguet rotazo: π ( π ) ρe ρe e ρe ( π ) ρe ρe Co tasca queste semplc cosderazo possamo scoprre l acqua calda ed affermare che per qualsas operazoe co umer compless che da rsultat co modulo costate, tal rsultat stao tutt su ua crcofereza d raggo l modulo.. Equazoe della crcofereza Partedo dalla defzoe d modulo per la quale s ha ρ z x y e che rappreseta la dstaza d z dall orge degl ass, arrvamo agevolmete alla dstaza d due put el pao complesso z' z'' ( x' y') ( x'' y'') ( x' x'') ( y' y'') ( x' x'') ( y y'') x, y del cetro e r è l raggo z z r ma allora se z o rappreseta le coordate ( ) o è l equazoe della crcofereza el pao complesso. Ifatt s ha ( x y) ( x y ) r ( x x ) ( y y ) r o o o o da cu poedo a xo, b yo, c xo yo r s ottee la ota equazoe cartesaa della crcofereza x y ax by c che s rduce a x y r se la crcofereza ha per cetro l orge. Ecco u esempo per ua crcofereza d cetro, e raggo : z x y x y xy L equazoe rappreseta l luogo geometrco de put del pao complesso: compres etro la crcofereza d equazoe data (l cercho) se vale la dseguaglaza sulla crcofereza d equazoe data (la crcofereza) se vale l eguaglaza. 6

7 SVILUPPO DELLE POTENZE COMPLESSE p Ho escluso la baaltà d a, però vorre rammetarv che e che qud questo caso s parlerebbe d umer compless co parte mmagara ulla. I seguto quado l rsultato d u operazoe tra umer compless darà come rsultato u umero complesso co parte mmagara ulla lo chamerò umero reale, ma solo per comodtà.. Base reale a.. Se l espoete è u umero complesso p q s ha ( p q ) p q p ( q l a a a a a e ) da cu poedo ql a p ρ a s ha l umero complesso z ρe rsultato dell elevazoe a poteza ( p q) a.. Se l espoete è l umero mmagaro s ha a l a e cosl a s l a. Base complessa z.. Se l espoete è u umero tero s utlzza la formula d De Movre la cu dmostrazoe è elemetare per duzoe: z ρ (cos s ) ρ e, Esempo ( ) 5 z 5 8( ) Trasformamo z forma trgoometrca π π z ( ) 8 cos s π 5π z 8 cos s 8 8( ) Ma o sempre ua tale elevazoe a poteza è u umero complesso, e cò accade ovvamete sempre quado l argometo è multplo d π. Esempo ( ) z 6 7

8 S calcola faclmete che l argometo d z è π e che quello d z vale π ; qud l rsultato dell elevazoe a poteza sarà u umero reale, egatvo per la dspartà del fattore moltplcatvo. Termamo l calcolo per cotrollare: z ( π π) ( ) 6 cos s Se l espoete è u umero complesso p q s ha ( p q) ( p q) l ( p q) z ( e ρ ) [ e ρ e ] da cu svluppado l secodo membro l ρ ( ) [ ] ( l ρ) ( l ρ e e e e ) ( e ) ( e ) p ( ql ρ) p q ρ e e e ed ordado s ottee ( ) [ ( l )] p q p z e q e q ρ ρ p Poedo ora p q ρ ' ρ e ' qlρ p s ha l umero complesso ' z' ρ ' e rsultato dell elevazoe a poteza ( p q) z.. Se l espoete è l umero mmagaro allora s ha z ( ρe ) ρe ovvero u umero reale.. Base mmagara p q p q p q.. Se l espoete è u umero tero pochè e π s ha e π Il rsultato d sarà u umero reale o mmagaro puro a secoda della partà o dspartà dell espoete Come calcolare? ( ) G,, r, r q Esempo: 7 8

9 .. Se l espoete è u umero complesso z p q s ha π p q πq π p ( p q) ( pq e e e e ) da cu poedo q ρ e π π p s ha l umero complesso z ρe rsultato dell elevazoe a poteza e π.. Se l espoete è l umero mmagaro s ha e π da cu l umero reale e π. Logartmo d u umero complesso Poedo ( z e ρ π ) s ha ( l z l le π ρ ) l ρ π π ( ) Cosa succede el pao Argad-Gauss al varare d? Il logartmo d u umero complesso è ua fuzoe poldroma d varable complessa. E fatt evdete che z ha mmag fte e cocdet e descrve ua crcofereza al varare d, metre le mmag del logartmo aturale d z soo sempre fte ma dstte e gaccoo tutte sulla retta parallela all asse mmagaro a l ρ. 9

10 . Radc eesme d u umero complesso RADICI COMPLESSE, Possamo applcare la formula d De Movre ache a poteze co dce frazoaro, ma tal caso l operazoe è d estrazoe d radce e l rsultato dell elevazoe a tale poteza o sarà u sgolo umero complesso ma umer. Ifatt se ϑ σ e w ρe è u umero complesso qualsas, segue che σ ρ, ϑ π Allora per,,,,..., p,..., q,... j ρ j π e sarao le radc eesme, uche e dstte, d w. La dmostrazoe è semplce: tal radc o possoo essere meo d perchè ( π ) ϑ j ρe σ e w e qud le j soo propro le radc eesme d w; o possoo essere pù per va del teorema d Ruff valdo ache ; soo tutte dstte perchè se due d esse o lo fossero s avrebbe pπ qπ p e q e ρ ρ dove due argomet o potrebbero dfferre che per multpl d π. Coè essterebbe u m tero tale che pπ qπ mπ ovvero ( p q) m l che è mpossble perchè ( p q) o può essere multplo d essedo p, q dstt tra loro e compres tra e. E evdete dalla formula come le radc sao dstrbute sulla crcofereza d raggo ρ e qud stao su vertc d u polgoo scrtto d lat, l che coferma come esse sao umero d e tutte dstte tra loro. Esempo: sa l umero complesso z Per poter utlzzare la formula occorre prma trovare l valore d : a π ρ a b, cos, ρ Applcado ora la formula avremo le radc π 7 6 π 6 ρ e, ρ e 6 6

11 Esempo: sa l umero complesso z 8 allora avremo π ρ 8, s, π 7 6 π 6 π 6 e, e, e Esempo: sao umer compless z p e z q per tutt e due avremo come modulo π ρ metre gl argomet sarao rspettvamete, Per z q s calcola faclmete che le radc soo,,, Per z p basta calcolare ua pj qualsas e moltplcarla per le radc dell utà per avere le quattro radc cercate. Scegledo la prma, quella per, abbamo la coferma che π π e e e per cu eseguedo calcol s avrà π 8 p e z p allora per,, le altre sarao p zp p zp p zp Ma avremmo potuto sceglere ua radce π π π e e e. Radc eesme dell utà.. Utà reale pj qualsas pochè l rsultato è sempre multplo d π : Secodo la formula se è w s ha ρ, e le radc dell equazoe x soo le radc eesme dell utà reale e soo date dalla formula rdotta π j e Esse esprmoo el pao complesso le coordate de vertc del polgoo regolare d lat scrtto ella crcofereza utara.

12 Esempo: l equazoe x, ha come radc,, metre l equazoe ( )( ), x x x x π ha come radc,, e pochè è ( )( ) x x x 6 tutte asseme soo le radc dell equazoe 6 x e stao sulla crcofereza utara uformemete dstazate d π, su vertc d due tragol equlater ruotat d π l uo rspetto all altro e su quell d u esagoo regolare. Esempo: cosderado vece radc d dce par per avremo: x,,,, x ( x )( x ), π,,, ( x )( x ) x 8 I questo caso le radc stao sulla crcofereza utara uformemete dstazate d π, su vertc d due quadrat ruotat d π l uo rspetto all altro e su quell d u ottagoo su regolare. Schema d umerazoe delle radc j,,,..., Per terpretare correttamete le rotazo bsoga poszoare la prma radce, ovvero quella corrspodete a, e ruotare l quadrate seso atoraro. Per le radc dell utà reale è sempre uguale ad e qud la sua poszoe è la stessa per qualsas.

13 Ma se < le radc dell utà su vertc d qual polgo stao? Esempo: co u fale trval, ecco le equazo x ±, x± le cu radc stao rspettvamete sugl estrem d u segmeto e su u puto... Utà mmagara E abbastaza evdete che per otteere le radc eesme dell utà mmagara basta ruotare d π quelle corrspodet dell utà reale, ovvero moltplcarle per. Ma dmostramolo. Secodo la formula le radc eesme delle equazo x, ( π ) e x, ( π ) soo date rspettvamete da π π π π j e, e Esempo. Le radc cubche dell utà mmagara soo: π π, 6 π, 6 e e e rsultat che s ottegoo apputo moltplcado le radc dell utà reale per. Rpetedo tutt passagg del paragrafo precedete otterremo due grupp d grafc ruotat d π rspetto a precedet. Per quato sopra dmostrato s può affermare che: le radc complesse soo sempre umero par e cougate due a due; se u equazoe d grado par possede radc real esse devoo essere umero par e opposte due a due; u equazoe d grado dspar deve avere almeo ua radce reale. è vero che è vero che j j m j se j è ua radce eesma dell utà. m

14 U ultmo esempo. Mettamo rsultat d questo paragrafo uo shaer, agtamo bee ed esamamo l rsultato: x x 8 Che tpo d coctal s ascode questa equazoe e come lo s rappreseta? Pochè tutto deve etrare, dseg clus, quel che resta d questa paga, sarò breve: ± ± ± ± x, x,, x, ± ± ± ± x,,5, x,,7, x5,6 6,, x7,8,8 Ecco fatto. Abbamo otteuto l ostro ottagoo, scrtto ua crcofereza utara, rregolare ma smmetrco rspetto agl ass, costruto sovrappoedo due grupp d grafc delle radc cubche, prv delle radc real e mmagare pure, che gaccoo su parte de vertc d u dodecagoo regolare, polgoo costruble co rga e compasso.. Qualcosa del geere s ottee ache dal coctal x x 6 per l quale è π π ρ,,, p p π π π π, (,,6,8) (,,5,7) ρ ρ,,, e, e, p,6,,8 p p π π 9 9 (,,6) (,,5) e, e, p,6, I questo caso per poszoare le se radc su vertc d u esagoo rregolare, smmetrco rspetto all asse reale ed scrtto ella crcofereza utara, è ecessaro costrure u polgoo regolare d 9 lat; ma l eagoo o è u polgoo costruble, è co rga e compasso è co altr metod, π. salvo accettare approssmazo d vara ettà dell agolo 9

15 5. Teorema fodametale dell algebra 5 EQUAZIONE CICLOTOMICA Og polomo a coeffcet compless d grado f( x) a ax ax... a x ax possede radc o ecessaramete dstte. Ifatt, pochè f( x ) possede almeo ua soluzoe possamo dvderlo per x otteedo f( x) ( x) f ( x) Ma pochè ache f ( x ) f( x) ( x)( x) f ( x) possede almeo ua soluzoe avremo, per l teorema d Ruff (valdo ) e qud terado l procedmeto so ad u polomo d prmo grado s ottee f( x) a( x)( x)( x)... ( x ) co... soluzo dell equazoe f( x ) Esempo: l polomo x ha scuramete ua soluzoe reale x e qud s scompoe ( x )( x x ) Il polomo rdotto d secodo grado o ha soluzo real essedo x, x ± ma complesse x, x ± Il teorema fodametale dell algebra beefca d teressat dmostrazo ua delle qual è molto semplce e rchede solo la coosceza del teorema d Louvlle per l quale se ua fuzoe tera è lmtata allora è costate. f : S dmostra che f ( x ) ha radc dmostrado l cotraro, e coè che u polomo prvo d radc è costate. Sa la fuzoe complessa gz () f () z co f () z polomo complesso seza radc. Essedo f () z, gz () è defta ed olomorfa, ovvero tera. Per applcare l teorema d Louvlle basta dmostrare che è ache lmtata. Ed fatt lo è, pochè essedo lm f ( z) rsulta z lm gz ( ) z 5

16 () gz è qud lmtata ed essedo tera è costate. Ma essedo gz () costate ache f () z è costate. S è qud dmostrato che polom seza radc soo quell costat. Teamo da parte questo rsultato e toramo alle radc eesme dell utà. 5. Grupp cclc Le radc esme dell utà formao grupp moltplcatv abela G d orde. Ad esempo, dette e umerate come vsto precedeza le tre radc cubche,, le propretà d G chusura assocatvtà essteza dell elemeto eutro essteza degl vers commutatvtà soo verfcate ella tabella G è oltre cclco co e è geerato da opportue poteze dell elemeto geerco m j, m,,,.., e, pù geerale, che geerator, e cò sgfca che cascu elemeto d G m g co g geeratore e m co G che vee geerato cclcamete og terazo, ovvero co perodo d cascua radce. Provamo co la tabella a geerare G tre volte co le due prmtve: geeratore geeratore D altro cato ache le radc quarte dell utà reale 6

17 ,,, formao u gruppo G che vee geerato da e og quattro terazo: V suggersce qualcosa questa tabella? Torate detro al paragrafo Radc prmtve dell utà S defsce orde d u elemeto j apparteete ad u gruppo J ( j), j J l pù pccolo m, se esste, tale che m j e dove e è l elemeto eutro del gruppo. Pochè G è moltplcatvo l suo elemeto eutro è ; allora s defsce orde d ua radce esma dell utà ( ) l pù pccolo m tale che m m e,,..., m, Se ( ) è radce eesma prmtva dell utà e ( ) z e scrvedo: z z z z... z La dmostrazoe è baale poedo dove è ( ) z e qud ( )( ) ( z z z ) dove z... Ovvamete se > Esempo: per le radc cubche o è prmtva perchè m,, o è ma prmtva, e se è > e par o lo è eache la sua opposta. lo soo perchè Per le radc quarte ache l opposta o è prmtva ( ± co tero mmo per l quale cò è verfcato. ). Le radc prmtve soo duque u sottogruppo P d G e pochè G è cclco ache P è cclco. 7

18 Il umero d dfferet radc prmtve s calcola co la fuzoe ϕ d Eulero, detta ache tozete, defta per ϕ () >, ϕ( ) umero degl ter t mor d e prm co. Ad esempo, seza bsogo d calcol s trova (,,,,..., ) ϕ(),, ϕ(),, ϕ(6),5, ϕ(8),,5,7,,, e pochè ϕ è ua fuzoe moltplcatva s ha che ϕ( ) ϕ( q) ϕ( q) se,q soo coprm e qud, ad esempo, ϕ(),5,7, ϕ() ϕ() ϕ(),5,7,,,7,9, ϕ() ϕ(8) 8 (ma o ϕ() ϕ (6)!) I geerale per calcolare l valore della la fuzoe ϕ per qualsas s adopera la produttora d Eulero ϕ( ) co p prm dstt d. p p Esempo: per l equazoe 55 x s ha ϕ(55) ϕ(5 ) 55 5 Qud le radc 55esme dell utà reale soo 55 delle qual prmtve. La fuzoe ϕ d Eulero duque rappreseta l orde del sottogruppo delle radc prmtve. A questo puto sappamo quate soo le prmtve, ma sappamo ache qual soo tra le eesme? Certamete, perchè abbamo detto che è ( ),, Allora, rcordado l sstema d umerazoe delle radc eesme dell utà, rsultao prmtve quelle che portao come dce t. Per cocludere, soo radc 55esme prmtve dell utà:,,, 5, 7, 8, 9,,,, 5,..., 55 Provamo che è vero, escludedo la baaltà d : π π ( e ) ( e ) , dove quell assegat soo gl espoet mm perchè le due equazo sao verfcate. Bee, ora possamo parlare d polom cclotomc. 8

19 5. Polom cclotomc Cosderamo l polomo seguete e la sua elemetare fattorzzazoe ( )( )( ) ( )( ) x x x x x x x x Sarebbe comodo avere a dsposzoe u metodo per fattorzzare u polomo d grado? Naturalmete s. Vedamo come fare. Itato sappamo che se è prmo s avrà sempre x ( x )( x x... x x ) I geerale, se, (, ) soo le radc prmtve eesme dell utà, cosderamo l ϕ : polomo moco seguete che chameremo polomo cclotomco e che sarà d grado ( ) Φ ( x) ( x ) (, ) S dmostra che polom cclotomc soo rrducbl su e qud utlzzabl per la fattorzzazoe d x su stesso. Ifatt, pochè le radc prmtve eesme soo d orde, è charo che le radc eesme dell utà soo radc prmtve d-esme dell utà e qud d orde d <, (, d). Allora secodo la potremo scrvere tat polom cclotomc d ( x) x Φ ( x) d d Naturalmete calcolare tramte la tutt polom cclotomc ( x) Φ e cocludere che Φ d ecessar alla fattorzzazoe sarebbe u procedmeto oeroso e pertato a tale scopo utlzzeremo la formula seguete x Φ Φd ( x) d d ( x) che c permette d calcolare qualsas polomo cclotomco fuzoe de precedet. Esempo. Propoamoc d fattorzzare x 8 Partedo da prm polom cclotomc, d calcolo elemetare ed mmedato ( ) ( ) ( ) ( ) Φ x x, Φ x x, Φ x x x, Φ x x co calcolamo cascata: x x 6 6 Φ 6 x x Φ Φ Φ ( x) ( x) ( x) ( x )( x )( x x ) 9 9 x x ( x )( x 6 x ) ( x) ( x) ( x )( x x ) x 6 Φ 9 x x Φ Φ 9

20 9 9 ( x )( x ) ( x )( x )( x x )( x x )( x x ) ( x )( x x )( x x ) 6 x x 6 6 ( x )( x x ) Φ 8 6 e qud co fattorzzamo traqullamete per 8, d,,, 6,9,8 8 x Φ Φ Φ Φ Φ Φ ( )( )( )( )( )( ) x x x x x x x x x x x S, lo so. Co Derve basta mmettere x^8-, premere Eter e qud Fattorzza Equazoe cclotomca Samo alla fe, possamo trare le somme. Cosderamo l polomo d grado x ( x )( x x... x ) che, come vsto è così fattorzzato quado è prmo. Dell equazoe x ( x ) ( x x... x ) oltre a dre che: è rrducble se è prmo è soddsfatta dalle radc prmtve dell utà se è rrducble se è rducble è soddsfatta ache dalla radce reale dremo che è cclotomca o d dvsoe della crcofereza e le sue radc, dette ache Numer d De Movre, soo le radc dell utà ovvero le coordate el pao Argad-Gauss de vertc del polgoo regolare d lat scrtto ella crcofereza utara che dvdoo part. Leoardo Calco 9//7 Se sete arrvat f qu v sarete accort d ua grave asseza: le radc qute. No s tratta d ua dmetcaza ma d ua scelta precsa per mettere la parola fe a questa tesa che s è dlatata f troppo strada facedo. L argometo fatt è talmete deso d fasco che merta u lavoro a parte: radc qute petagoo petagramma sezoe aurea Fboacc... Ua versoe aggorata e corretta potrebbe essere dspoble all drzzo:

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