MODELLAZIONE DI SUPERFICI

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1 MODELLAZIONE DI SUPERFICI 482 Itroduzoe - Ua superfce ello spazo è ua fuzoe f:r 2 R 3. Essa può rappresetars utlzzado dverse forulazo ateatche: Forulazoe esplcta: Forulazoe plcta: Forulazoe paraetrca: ( x y) z = f, F ( x, y, z) = x = f ( y = g( z = h( (Forulazoe aaltca o o paraetrca) Le vare forulazo presetao vataggo e svatagg che soo rassut ella traspareza successva. Apput d Dsego Tecco Idustrale 483

2 Cofroto tra la rappresetazoe aaltca e quella paraetrca Forulazoe aaltca Le operazo d trasforazoe geoetrca (rotazoe, traslazoe, cabaeto d scala) rsultao d dffcle esecuzoe L operazoe d calcolo d u puto su ua superfce rsulta laboroso L operazoe d verfca dell apparteeza d u puto ad ua superfce rsulta edato È dffcle rappresetare seget d superfce (è la rappresetazoe aturale d superfc o ltate) Forulazoe paraetrca Le operazo d trasforazoe geoetrca (rotazoe, traslazoe, cabaeto d scala) rsultao d facle esecuzoe L operazoe d calcolo d u puto su ua superfce rsulta edato L operazoe d verfca dell apparteeza d u puto ad ua superfce rsulta laboroso S possoo presetare proble d dscotutà del paraetro (es. curve chuse) o assocat a dscotutà della geoetra È dffcle rappresetare seget d superfce lltat (è la rappresetazoe aturale d seget ltat d superfce) Apput d Dsego Tecco Idustrale 484 Superfc paraetrche I geerale, dal puto d vsta teorco, o esste ua forulazoe che, tutt cas rsulta glore delle altre. L espereza ha tuttava dostrato che, ella grafca coputerzzata, la forulazoe paraetrca seplfca l pleetazoe al calcolatore. La rappresetazoe paraetrca è duque quella aggorete utlzzata, etre la rappresetazoe aaltca è ltata a cas partcolar. La forulazoe geerale d ua superfce, coe detto è la seguete: S = S( Essedo S( ua fuzoe vettorale d varable vettorale (paraetr u e. Tale fuzoe, pur potedo essere, lea teorca, arbtrara, deve tuttava soddsfare seguet requst: -Rappresetare adeguataete le geoetre rcheste; -Perettere ua pleetazoe effcete; -Avere ua fora copresble e tutva per l operatore Apput d Dsego Tecco Idustrale 485 2

3 Superfc paraetrche coe sere d fuzo La forulazoe ateatca pù utlzzata per la rappresetazoe d superfc paraetrche abete CAD è quella sere d fuzo secodo cu la superfce è descrtta el odo che segue: S( = P F j = j= j ( Tpcaete la F j ( è rappresetata coe prodotto d due fuzo d ua varable: Fj ( = f( u) g j ( S ha così la rappresetazoe detta tesor product, dove le F j (u), soo costrute coe prodotto d due fuzo scalar d varable scalare. La superfce così geerata può agars coe l rsultato d ua grgla geerata da due ord d curve (curve soparaetrche) lugo le drezo u e v. Nel dsego assstto dal calcolatore s utlzzao, oralete, fuzo poloal o fuzo poloal fratte (fuzo razoal). Apput d Dsego Tecco Idustrale 486 Curve soparaetrche (socurve) Ua superfce può essere vsta coe l rsultato d ua deforazoe dello spazo (pao) paraetrco v ello spazo trdesoale. Le curve soparaetrche o socurve soo luogh d put gacet sulla superfce otteut per fssat valor del paraetro u o del paraetro v al varare dell altro. Curve soparaetrche Spazo paraetrco della superfce Apput d Dsego Tecco Idustrale 487 3

4 Rappresetazoe sere d poteze La rappresetazoe sere d poteze s basa su ua forulazoe poloale del seguete tpo: S( = a j = j= j u v ; v I coeffcet a j rappresetao de paraetr o drettaete assocat ad u sgfcato geoetrco. Questo tpo d rappresetazoe è poco utlzzato per seguet otv: coeffcet a j o soo drettaete legat alla geoetra (o rappresetao put d cotrollo) a coeffcet uerc d dffcle lettura; presetao proble d pleetazoe uerca quato coeffcet a j possoo avere valor che varao olto (olto grad e olto pccol) co coseguet proble d arrotodaeto Apput d Dsego Tecco Idustrale 488 Rappresetazoe poloale d Bézer La rappresetazoe d Bézer s basa ach essa su ua forulazoe d tpo poloale: S( B = P j = j= ( u) B ( v Essedo le B fuzo poloal così defte (polo d Berste): ( )! ( ) ( ) B, = u u = u u!! I coeffcet P j rappresetao de put ello spazo che defscoo l poledro d cotrollo della superfce. Superfce d scelaeto d Bézer (grado 2 u e 3 Superfce d Bézer (4 put d cotrollo u e 3 Apput d Dsego Tecco Idustrale 489 4

5 Propretà della rappresetazoe d Bézer La superfce costtusce u approssazoe del poledro d cotrollo No egatvtà e soa : le fuzo base soo o-egatve su tutto l doo [,]x[,] ed hao soa : ( u) B (, v; B, ( u) B ( B, =, v = j= Iclusoe el poledro covesso: La superfce è teraete coteuta el poledro covesso defto da put d cotrollo; Iterpolazoe de put d cotrollo estre: la superfce terpola put d cotrollo a vertc del polgoo do cotrollo (P, P, P, P ) Ivaraza rspetto ad ua trasforazoe affe dello spazo (la trasforazoe applcata alla superfce equvale ad applcare la stessa a put d cotrollo): T ( ) ( ) Pj B, u B v = T ( Pj ) B, ( u) B ( = j= = j= I geerale o vale la propretà dell tersezoe (u pao o terseca la superfce pù volte d quelle che terseca l poledro d cotrollo). Apput d Dsego Tecco Idustrale 49 Vatagg e svatagg della rappresetazoe d Bézer VANTAGGI Rappresetazoe tutva faclete apolable per va terattva (spostaeto put d cotrollo): Effcete pleetazoe del calcolo d put sulla superfce (eo soggetta ad error uerc rspetto alla forulazoe sere d poteze) SVANTAGGI Grado della superfce dpedete dal uero d put d cotrollo Necessar grad elevat per rappresetare fore coplesse Macaza d cotrollo locale: l oveto d u puto d cotrollo odfca la fora dell tera superfce (fuzo base tutte o ulle per ( ],[ x ],[) Apput d Dsego Tecco Idustrale 49 5

6 Rappresetazo poloal a tratt La rappresetazoe d Bézer preseta l doppo coveete che ) rchede grad elevat all auetare del uero d put d cotrollo e 2) la odfca della superfce è globale (lo spostaeto d u puto d cotrollo odfca la fora della superfce tutto l doo). Per superare quest coveet s può procedere el seguete odo: -spezzare l doo paraetrco della superfce var tratt; -defre delle fuzo base che: ) sao o ulle solo alcu sottodo dello spazo paraetrco v ; 2) abbao u opportuo lvello d cotutà elle zoe d cofe tra dvers sottodo; 3) l loro grado sa dpedete dal uero d put d cotrollo Apput d Dsego Tecco Idustrale 492 Rappresetazoe poloale a tratt B-Sple La rappresetazoe poloale d tpo B-Sple (secodo la forulazoe d CoxdeBoor) è così defta: N N p ( u) S = P N se k u k = altret u k p k k + p+ ( u) = N ( u) + N ( u) + p ( = j= + ( u) N ( j p q Essedo le N fuzo poloal avet la seguete forulazoe: k k + p+ u k + +, p La superfce è duque defta da due vettor d od (forulazoe aperta: l pro e l ulto odo soo rpetut (p+) e (k+) volte): ( + ) = ( + ) + p + U =,...,, ku,..., ku,,..., ( s + ) = ( + ) + q + { p+ r p } {,...,, kv,..., kv,,..., } r spezzao l doo della superfce odo da perettere V = q+ s q la forulazoe a tratt Essedo p e q rspettvaete l grado elle drezo soparaetrche u e v; (+) e (+) l uero d put d cotrollo elle drezo soparaetrche u e v; (r+) e (s+) l uero d od coteut U e V. Apput d Dsego Tecco Idustrale 493 6

7 Caratterstche delle fuzo base ella rappresetazoe B-Sple La fuzo base della rappresetazoe B-Sple godoo delle seguet caratterstche: Supporto locale: cascua Np(u)Nq( è o ulla solo all tero dell tervallo [kuku+p+[ x [kvkv+p+[ No egatvtà: N, p (u )N j, q (v ) Soa uo: p,q, v [ ][ N, p (u )N j,q (v ) =, (v ) ku,ku + x k v,kv + = j = ] Dfferezabltà: corrspodeza d d u odo u ( rsulta p l (q-l) volte dfferezable ella drezoe u (, essedo l la olteplctà del odo. Altrove è dfferezable sepre. Apput d Dsego Tecco Idustrale 494 Propretà della rappresetazoe B-Sple: fora della superfce Il poledro d cotrollo costtusce u approssazoe della superfce. I geerale ore è l grado della superfce elle due drezo soparaetrche, ore la sua dstaza dal poledro d cotrollo. Poledro d cotrollo Superfce B-sple d grado 2 u e v Apput d Dsego Tecco Idustrale Superfce B-sple d grado 4 u e v 495 7

8 Altre propretà della rappresetazoe B-Sple Gestoe locale della geoetra: la odfca d u puto d cotrollo P j coporta ua odfca della superfce soltato ell tervallo [k u,k u+p+ [ x [k vj,k vj+p+ [. La superfce può terpolare quattro put estre del polgoo d cotrollo P, P, P, P (forulazoe aperta terpolate; forulazoe chusa o terpolate) Iclusoe el poledro covesso: se ( [ku,ku + [ x [kv j,kv j+ [, allora la superfce S( è copletaete coteuta all tero del poledro covesso defto da put P -p,j-q ; P -p,j ; P j-q ; P j Forulazoe varate rspetto ad ua trasforazoe affe dello spazo (la trasforazoe applcata alla superfce equvale ad applcare la stessa a put d cotrollo): T ( ) ( ) Pj N u N v = T ( Pj ) N ( u) N ( = j= = j= I geerale o vale la propretà dell tersezoe (u pao o terseca la superfce pù volte d quelle che terseca l poledro d cotrollo). Apput d Dsego Tecco Idustrale 496 Rappresetazoe edate polo razoal (NURBS) - Ua superfce NURBS (No Ufor Ratoal B-Sple) è defta el seguete odo: w P j jn p( u) N q ( = j= S( = ; v w N w = j= j p ( u) N ( Per seplctà s è cosderato lo spazo paraetrco defto dall tervallo [,]x[,]. La superfce può essere couque rparaetrzzata su u tervallo geerco. N p( N q( Effettuado la seguete poszoe: R, p; q( = w N u N v w q j j = j= p ( ) q( ) j la superfce NURBS s può rappresetare attraverso la seguete fora copatta: S( = P R j = j= ( u p; q, Apput d Dsego Tecco Idustrale 497 8

9 Rappresetazoe edate polo razoal (NURBS) - 2 P j è la atrce bdrezoale d put d cotrollo, w j ua atrce d uer real (pes) assocat a cascu puto d cotrollo. N p (u) ed N q ( soo le fuzo poloal (o razoal) B-Sple gà vste precedeza, defte a partre da seguet vettor de od: U = V = {,...,, ku p+,..., kur p,,..., } {,...,, kv,..., kv,,..., } q+ s q r = + p + s = + q + Dove p e q soo rspettvaete l grado elle drezo soparaetrche u e v; (+) e (+) l rspettvo uero d put d cotrollo. Apput d Dsego Tecco Idustrale 498 Caratterstche delle fuzo base ella rappresetazoe (NURBS) La fuzo base della rappresetazoe B-Sple godoo delle seguet caratterstche: Supporto locale: cascua R j ( è o ulla solo all tero dell tervallo [k u,k u+p+ [ x [k v,k v+p+ [ No egatvtà: ( v Soa uo: = j= R j ( u) R ( =, ( [ k,k ] x[ k ] R,k, p j, q u u + v v + Dfferezabltà: corrspodeza d d u odo u ( rsulta p k (q-k) volte dfferezable ella drezoe u (, essedo k la olteplctà del odo. Altrove è dfferezable sepre. U={,,,,/4,/2,3/4,,,,}; V={,,,/5,2/5,3/5,3/5,4/5,,,}; w j = per tutt eo che per =4,j=2. Sstra w 4,2 = 2/5; destra w 4,2 = 6 Apput d Dsego Tecco Idustrale 499 9

10 Propretà della rappresetazoe co polo razoal Valgoo le propretà precedeteete vste: gestoe locale della geoetra, varaza della forulazoe a trasforazoe affe, clusoe el polgoo covesso. I geerale o vale la propretà dell tersezoe (u pao o terseca la superfce pù volte d quelle che terseca l poledro d cotrollo). La rappresetazoe co polo razoal agguge u ulterore paraetro d odfca della geoetra: l peso assocato a cascu puto d cotrollo. P 4,2 P 4,2 Effetto della varazoe del peso assocato al puto P 4,2 sulla fora della superfce (s osserv coe l poledro d cotrollo raga varato). Apput d Dsego Tecco Idustrale 5 Superfce bleare terpolate quattro put dat Dat quattro put ello spazo P,, P,, P,, P,, la superfce è data dall terpolazoe bleare de quattro put d cotrollo: ( u) [( P + vp ] + u[ ( P v ] S( u, = + P,, S può faclete vedere che tale superfce può essere rappresetata ter d B-Sple el seguete odo: S( = P jn j = j= ( u) N ( ; co: U = V {,,, },, =, Superfce bleare geerata da quattro put coplaar (pao). Superfce bleare geerata da quattro put gacet a vertc delle dagoal d u cubo (parabolode perbolco). Apput d Dsego Tecco Idustrale 5

11 Superfce otteuta da estrusoe rettlea d ua curva data (cldro geeralzzato) Il cldro geeralzzato è geerato dallo scorreto d ua curva (curva sezoe) lugo ua drezoe assegata. Cerchao la rappresetazoe d ua superfce cldrca geralzzata S(, otteuta dallo scorreto della curva C(u) per ua dstaza d lugo la drezoe W (drezoe soparaetrca. Sa C u) = P R ( u) ( = p la curva sezoe defta dal vettore de od U = {u } e da quello de pes W = {w }. S può vedere che è possble utlzzare la seguete rappresetazoe: S( = P R = j= j p; ( ; {,,, } V = co w, = w, = w Pratcaete s agguge alla rappresetazoe della curva sezoe ua copoete leare drezoe v. Curva sezoe (zale) Curva sezoe (fale) P, = P, + dw I put della curva sezoe fale soo otteut per traslazoe de put della curva sezoe zale. Apput d Dsego Tecco Idustrale 52 Superfce otteuta da terpolazoe leare d due curve date (superfce rgata) La superfce rgata terpolate learete due curve date è tale per cu due put corrspodet (d ugual paraetro) soo terpolat learete. La rappresetazoe ateatca è aaloga alla precedete, a cabao put d cotrollo. Metre el cldro geeralzzato l secodo gruppo d put d cotrollo è otteuto per offset del gruppo che defsce la curva sezoe, qu due grupp gaccoo sulle due curve date, a a pror o soo ot. S( = P R = j= j p; ( S deterao paraetr acat poedo le seguet codzo: -le due curve hao lo stesso doo paraetrco; -Le due curve hao lo stesso grado (se ua ha grado ore s eleva al grado della aggore); ; {,,, } V = co, U, p, w, P, j da deterare -Le due curve hao lo stesso vettore de od (se o è così s esegue u erge de due vettor) Apput d Dsego Tecco Idustrale 53 u C 2 (u) u u ax u ax C (u)