MODELLAZIONE DI CURVE

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1 MODELLAZIONE DI CURVE 458 Itrodzoe Ua crva el ao o ello sazo ò raresetars tlzzado dverse formlazo matematche: Formlazoe eslcta: Formlazoe mlcta: Formlazoe arametrca: y = f ( x) F ( x, y) = x = f y = g z = h (Formlazoe aaltca o o arametrca) I de grad gr della formlazoe arametrca ed aaltca resetao vatagg e svatagg che soo rasst ella trasareza segete. At d Dsego Tecco Idstrale 459

2 Cofroto tra la raresetazoe aaltca e qella arametrca Formlazoe aaltca Le oerazo d trasformazoe geometrca (rotazoe, traslazoe, cambameto d scala) rsltao d dffcle eseczoe L oerazoe d calcolo d to s a crva rslta laboroso L oerazoe d verfca dell aarteeza d to ad a crva rslta mmedato È dffcle raresetare segmet d crva (è la raresetazoe atrale d crve o lmtate) Formlazoe arametrca Le oerazo d trasformazoe geometrca (rotazoe, traslazoe, cambameto d scala) rsltao d facle eseczoe L oerazoe d calcolo d to s a crva rslta mmedato L oerazoe d verfca dell aarteeza d to ad a crva rslta laboroso S ossoo resetare roblem d dscottà del arametro (es. crve chse) o assocat a dscottà della geometra È dffcle raresetare segmet d crva llmtat (è la raresetazoe atrale d segmet lmtat d crva) At d Dsego Tecco Idstrale 46 Crve arametrche I geerale, dal to d vsta teorco, o esste a formlazoe che, ttt cas, rslta mglore delle altre. L esereza ha tttava dmostrato che, ella grafca comterzzata, la formlazoe arametrca semlfca l mlemetazoe al calcolatore. La raresetazoe arametrca è dqe qella maggormete tlzzata, metre la raresetazoe aaltca è lmtata a cas artcolar. La formlazoe geerale d a crva arametrca, come detto è la segete: C = C() La crva C() è raresetata attraverso a fzoe vettorale della varable scalare (arametro). Tale fzoe, r otedo essere, lea teorca, arbtrara, deve tttava soddsfare seget reqst: -Raresetare adegatamete le geometre rcheste; -Permettere a mlemetazoe effcete; -Avere a forma comresble e ttva er l oeratore At d Dsego Tecco Idstrale 46

3 Crve arametrche come sere d fzo La formlazoe matematca ù tlzzata er la raresetazoe d crve arametrche ambete CAD è qella sere d fzo, secodo c la crva è descrtta el modo che sege: C = T F = I qesto caso la F () è a fzoe scalare del arametro, metre T rareseta geerco coeffcete vettorale trdmesoale. Nella maggore arte de cas gl T soo effettvamete t dello sazo (t d cotrollo). Gl T soo coeffcet della sere d fzo, metre le F (), dette fzo base o fzo d mscelameto, determao dvers ossbl t d raresetazoe delle crve. È mortate otare come, geerale, o è ossble raresetare, esattamete, ttte le ossbl crve attraverso qesto schema, dededo, tale ossbltà d raresetazoe, dalle fzo d base scelte. Nel dsego assstto dal calcolatore s tlzzao, ormalmete, qal fzo base, fzo olomal o fzo olomal fratte (fzo razoal). At d Dsego Tecco Idstrale 46 Raresetazoe sere d oteze (Hermte) La raresetazoe sere d oteze s basa s a formlazoe olomale del segete to: C( ) = a = ; È a raresetazoe dove coeffcet a raresetao de arametr o drettamete assocat ad sgfcato geometrco. Le fzo base F () soo semlcemete oteze del arametro. Voledo ad ess assocare sgfcato geometrco s ò ad esemo er = 3, assegare l assaggo er t (P e P ) oché l vettore tagete e de t (P e P ). I qesto caso s ottee la formlazoe d Hermte: P = P P = P ' ' P = P P = P ( ) = a ( ) = a + a + a + ' ( ) = a '( ) = a + a + 3a 3 a 3 a = P 3 ' a = P a = 3P + 3P P P a = P P + P ' ' ' ' + P At d Dsego Tecco Idstrale 463 3

4 Raresetazoe sere d oteze (Lagrage) È ossble ache rcavare coeffcet a moedo l assaggo della crva er qattro t dat (semre er = 3). I qesto caso s ottee la formlazoe d Lagrage: Soedo che valor d corrsodeza de t d cotrollo sao {,/3,/3,} s ha P = P( ) = a P = P( /3) = a + a + a + a P = P( /3) = a + a + a + a P3 = P( ) = a + a + a + a3 3 S rcavao coeffcet a fzoe de t d assaggo P La raresetazoe sere d oteze è d solto oco tlzzata er seget motv: - coeffcet a o soo drettamete legat alla geometra; -s verfcao roblem d mlemetazoe merca (coeffcet che varao molto e qd roblem d arrotodameto) At d Dsego Tecco Idstrale 464 Raresetazoe olomale d Bézer La raresetazoe d Bézer s basa ach essa s a formlazoe d to olomale: C( ) = P = B, Essedo le B, fzo olomal così defte (olom d Berste): ( )! ( ) ( ) B, = =!! I coeffcet P, soo t ello sazo costtet l olgoo d cotrollo della crva. La forma della crva arossma l olgoo d cotrollo. At d Dsego Tecco Idstrale 465 4

5 Caratterstche delle fzo base ella raresetazoe d Bézer La fzo base della raresetazoe d Bézer godoo delle seget caratterstche: No egatvtà:,; B, B, = ; = Somma o: ( ) Massmo co ell tervallo [,] corrsodeza d = /; Smmetra: er og le fzo base soo smmetrche rsetto a = ½; Rcorsvtà: B, = ( ) B, + B, ; co B er < o > Fzo d Berste er = (grado, 3 t d cotrollo) B(), Fzo d Berste er = 3 (grado 3, 4 t d cotrollo) B() At d Dsego Tecco Idstrale 466 Proretà della raresetazoe d Bézer La raresetazoe olomale d Bézer gode delle seget caratterstche: La crva costtsce arossmazoe del olgoo d cotrollo (terola, oltre l to zale ed l to fale); La tagete alla crva e t zale (P ) e fale (P ) ha la drezoe defta, rsettvamete, da : P P e P P -. La crva è teramete coteta el olgoo covesso defto da t d cotrollo; Nessa lea (ao) terseca la crva mero d volte maggore d qelle che terseca l olgoo d cotrollo Formlazoe varate rsetto ad a trasformazoe affe dello sazo (la trasformazoe alcata alla crva eqvale ad alcare la stessa a t d cotrollo): T = B, P = P = T ( ) B, At d Dsego Tecco Idstrale 467 5

6 Vatagg e svatagg della raresetazoe d Bézer VANTAGGI Raresetazoe ttva faclmete maolable er va terattva (sostameto t d cotrollo): La formlazoe rcorsva ermette a effcete mlemetazoe del calcolo d t slla crva (meo soggetta ad error merc rsetto alla formlazoe d Hermte) SVANTAGGI Grado della crva dedete dal mero d t d cotrollo ( t grado -) Necessar grad elevat er raresetare forme comlesse Macaza d cotrollo locale: l movmeto d to d cotrollo modfca la forma dell tera crva (fzo base ttte o lle er ],[) At d Dsego Tecco Idstrale 468 Raresetazo olomal a tratt La raresetazoe d Bézer reseta l doo coveete che ) rchede grad elevat all ametare del mero d t d cotrollo e ) la modfca della crva è globale (lo sostameto d to d cotrollo modfca la forma della crva ttto l domo). Per serare qest coveet s ò rocedere el segete modo: -sezzare l domo arametrco della crva var tratt; -defre delle fzo base che: ) sao o lle solo alc tratt; ) abbao oorto lvello d cottà; 3) l loro grado s dedete dal mero d t d cotrollo At d Dsego Tecco Idstrale 469 6

7 Raresetazoe olomale a tratt B-Sle La raresetazoe olomale a tratt d to B-Sle (secodo la formlazoe d Cox-deBoor) è così defta: C = P N =, Il mero de od (m+), l grado della crva (), l mero de t d cotrollo (+) soo tra loro legat dalla relazoe: (m + ) = ( + ) + + At d Dsego Tecco Idstrale 47 Essedo le N, fzo olomal avet la segete formlazoe: N N,, se k k = altrmet k, k k + + = N + N + + k k + + k + +, K = {k,,k m } rareseta vettore d valor real o decrescet (o ecessaramete dstt) deomat od (kots). Nella defzoe s assme che / =. è l grado della crva; (+) l mero d t d cotrollo; (m+) l mero de od; Il vettore de od sezza l domo della crva modo da ermettere la formlazoe a tratt Caratterstche delle fzo base ella raresetazoe B-Sle La fzo base della raresetazoe B-Sle godoo delle seget caratterstche: Sorto locale: casca N, () è o lla solo all tero dell tervallo [k,k ++ [ No egatvtà:,, Somma o: N, I og tervallo [k,k + [ v soo al ù + fzo base o lle (N j-,, N j, ) j= N = [k,k [ j, + Dfferezabltà: ( r) volte corrsodeza d odo, essedo r la moltelctà del odo; fte volte teramete agl tervall odal N() N() Fzo B-sle d grado co U Fzo B-sle d grado co U ={,,,,,3,4,4,5,5,5} ={,,,,,3,4,4,5,5,5} At d Dsego Tecco Idstrale 47 7

8 Cosderazo sl vettore de od ella raresetazoe B-Sle Le fzo base della raresetazoe B-Sle, N, (), rsltao vocamete determate a volta fssato l grado ed l vettore de od {k,,k m }. Il vettore de od è forme se ttt so od soo eqamete sazat, ossa se esste valore d tale che k + k = d er og [,m--] Il vettore de od è erodco se ha la segete formlazoe: k = ( + ) Il vettore de od è vece o erodco (ovvero aerto o clamed) se ha la segete formlazoe: k = + + < + { 3,,,,,,3 } {,,,,,, } Esemo d vettore de od erodco e o erodco er a B-Sle d grado defta da 4 t d cotrollo. Se l vettore è o erodco la crva assa er l to zale e fale, altrmet o. At d Dsego Tecco Idstrale 47 Proretà della raresetazoe B-Sle: forma della crva Il olgoo d cotrollo costtsce arossmazoe leare a tratt della crva. I geerale more è l grado della sle, more la sa dstaza dal olgoo d cotrollo = 4 = 5 = = 3 = Effetto del cambameto d grado s a crva B-Sle defta dallo stesso olgoo d cotrollo. At d Dsego Tecco Idstrale 473 8

9 Proretà della raresetazoe B-Sle: gestoe locale della geometra Gestoe locale della geometra: la modfca d to d cotrollo P comorta a modfca della crva soltato ell tervallo [k,k ++ [. = / = = /4 = = 3/4 Crva B-Sle d grado 3, 7 t d cotrollo, co vettore de od U = {,,,,/4,/,3/4,,,,}. Lo sostameto del to P 4 rovoca a modfca della crva soltato ell tervallo arametrco [/4,[ At d Dsego Tecco Idstrale 474 Proretà della raresetazoe B-Sle: clsoe el olgoo covesso Iclsoe el olgoo covesso: l tera crva è coteta el olgoo covesso defto da t d cotrollo. Ioltre casc tratto della crva defto da [k,k + [ è comreso el olgoo covesso descrtto da t d cotrollo {P -, P } = /3 = /3 = = Crva B-Sle d grado 3, 5 t d cotrollo, co vettore de od U = {,,,,/3,/3,,,,}. Nell tervallo arametrco = [/3,/3[ la crva è comresa el olgoo covesso defto da t d cotrollo {P,P 4 }. At d Dsego Tecco Idstrale 475 9

10 Altre roretà della raresetazoe B-Sle La formlazoe della crva è varate rsetto ad a trasformazoe affe dello sazo: la crva trasformata d a crva data defta da t d cotrollo assegat è otteta alcado la trasformazoe a t d cotrollo. La raresetazoe B-Sle clde la raresetazoe d Bézer come caso artcolare qado s oga: (+) = + e K = {,,,,,} La dervata d a crva B-Sle d grado s ò esrmere formalmete acora come a B-Sle d grado -: C ' = = N, Q essedo P Q = k P k + metre l vettore de od K è otteto dal vettore K togledo da qesto ltmo l rmo e l ltmo elemeto. At d Dsego Tecco Idstrale 476 Le crve coche Le crve coche rvestoo rolo rmaro ella modellazoe assstta dal calcolatore, ertato la loro raresetazoe assme artcolare rlevaza. La raresetazoe aaltca d a coca geerca è la segete ax + bxy + cy + dx + ey + f = Ua coca s dce forma stadard qado l so o so ass d smmetra cocdoo co gl ass del sstema d rfermeto. I qesto caso s hao le seget formlazo: Coca Formlazoe aaltca Formlazoe arametrca Ierbole Parabola Ellsse x y = b a y = mx x y + = b a ( b + a t ) a a t b ab t, a t b Da cò s osserva che co le tecche vste fora (fzo base olomal e olomal a tratt) è ossble raresetare esattamete soltato la arabola. At d Dsego Tecco Idstrale 477 ( t,mt ) a( t ) + t bt, + t

11 Raresetazoe attraverso olom razoal (NURBS) La raresetazoe d crve attraverso olom razoal è defta el modo segete: N, w C = P R, ; co R, = = N w Essedo le N, fzo base della raresetazoe B-Sle gà vste recedeza. j= j, K = {k,,k m } rareseta l vettore de od, metre W = {w,,w } è l vettore de es. S ò mostrare come qesta raresetazoe sa formalmete eqvalete alla formlazoe B-Sle qado s esrmao t d cotrollo coordate omogeee: C( ) ( w x, w y, w z, w ), se w PN, ; co P = =,,se w = = ( x,, ) y z j j At d Dsego Tecco Idstrale 478 Caratterstche delle fzo base ella raresetazoe co olom razoal R() I olom razoal che raresetao le fzo base d qesto schema d raresetazoe godoo delle seget caratterstche: Sorto locale: casca R, () è o lla solo all tero dell tervallo [k,k ++ [ No egatvtà:, ; [,] Somma o: R, = R = [],, Dfferezabltà: ( r) volte corrsodeza d odo, essedo r la moltelctà del odo; fte volte teramete agl tervall odal Se w =, allora le R, () cocdoo co le N, () recedetemete vste. R() Effetto del dverso eso Fzo B-sle razoal d grado 3 co U Fzo B-sle razoal d grado 3 co U ={,,,,/4,/,3/4,,,,} e w = {,,,,,,} ={,,,,/4,/,3/4,,,,} e w = {,,,3/,,,} At d Dsego Tecco Idstrale 479

12 Proretà della raresetazoe co olom razoal Valgoo le roretà recedetemete vste: gestoe locale della geometra, varaza della formlazoe a trasformazoe affe, clsoe el olgoo covesso e roretà dell tersezoe ( ao/crva o terseca la crva ù volte d qelle che terseca l olgoo d cotrollo). Ioltre: La raresetazoe co olom razoal aggge lterore arametro d modfca della geometra: l eso assocato a casc to d cotrollo. Le coche ossoo essere raresetate esattamete attraverso olom razoal, metre esse ossoo essere raresetate solo arossmatvamete tlzzado le altre formlazo (B-Sle, Bézer) Effetto della varazoe del eso assocato al to P 3 slla forma della crva. At d Dsego Tecco Idstrale 48 Esemo: raresetazoe d arco d crcofereza co olom razoal S vole raresetare a semcrcofereza sl ao x-y d cetro l orge e d raggo r. Mostramo come s ossa fare attraverso NURBS d grado, l vettore de od K = [,,,,,], l vettore de es W = [,,] ed seget tre t d cotrollo ( coordate omogeee): P = (r,,); P = (,r,); P = (-r,,) Sosttedo s ottee: C = Da c: x ( ) P + P ( ) + ( ) r = + Per la qale rslta: x + P + y + y = r ( ) r = + At d Dsego Tecco Idstrale 48