G. Petrucci, A. Paradiso

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1 AIAS ASSOCIAZIONE ITALIANA PER L ANALISI DELLE SOLLECITAZIONI 44 CONVEGNO NAZIONALE, -5 SETTEMBRE 5, UNIVERSITÀ DI MESSINA AIAS 5-63 DIMENSIONAMENTO OTTIMALE DI CONTENITORI CILINDRICI MULTISTRATO PER ELEVATE PRESSIONI G. Petrucc, A. Paradso Uverstà degl Stud d Palermo - Dartmeto d Igegera Chmca, Gestoale, Iformatca, Meccaca Vale delle Sceze, 98 Palermo, e-mal: gova.etrucc@ua.t Sommaro Tub, cae d arm da fuoco e serbato d forma cldrca (cotetor cldrc), soggett ad elevata ressoe tera vegoo sesso realzzat come elemet multstrato, utlzzado due o ù cldr coassal, motat co terfereza, medate la rocedura defta d cerchatura. L'obettvo d questo lavoro è lo svluo d equazo utl alla determazoe de aretr d rogetto ottmal el caso geerale d u umero d cldr arbtraro e d grafc utl er effettuare la scelta del umero d cldr da megare. I artcolare, le formule svluate cosetoo d determare gl valor del raorto tra raggo tero e raggo estero d cascu cldro, gl valor delle resso d forzeto che redoo le teso equvalet a bord ter de cldr ugual tra loro e ar alla tesoe mssble, oché valor dell'terfereza da assegare alle coe d cldr. Abstract Tubes, rods of frearms ad ressure vessels subected to hgh teral ressure are ofte realzed as a multlayer comoud cylder, assembled by the shrage rocess. The am of ths wor s the develomet of equatos for the determato of the otmal desg areters, the geeral case of a arbtrary umber of cylders, ad of grahs useful to the choce of the umber of cylders to be used. I artcular, the develoed equato allow to determe the values of the rato betwee er radus ad outer radus of each cylder, the values of the shrage ressure that mae the equvalet stress actg at the er edges of the cylders equal to each other ad equal to the allowable stress of the materal ad the values of the terferece to be assged to the ars of cylders. Parole chave: cotetor, serbato, tub, multstrato, forzeto, ressoe.. INTRODUZIONE I geerale, e ut oszoat al bordo tero d u cldro soggetto ad ua ressoe tera agscoo ua tesoe radale r d comressoe ar a e ua tesoe crcoferezale θ d trazoe, maggore modulo d quella radale, che tede al valore d er sessore del cldro tedete ad fto [,]; base a questa osservazoe è facle dmostrare che rsulta mossble dmesoare sgol cldr materale fragle o duttle, soggett a resso d eserczo l cu valore è rsettvete rossmo a quello della tesoe mssble (materal fragl) e a / (materal duttl). Effettuado la cerchatura, coè l collegeto tra due elemet cldrc coassal che resetao u'terfereza, tra cascua coa d cldr s geera ua ressoe, defta ressoe d forzeto, che vee vsta come estera dal cldro tero ed tera dal cldro estero. I tal modo, lugo lo sessore del cldro tero vegoo eserctate teso crcoferezal d comressoe, che, sommados a quelle d trazoe geerate dalla ressoe d eserczo, dmuscoo la tesoe equvalete agete el uto ù sollectato []. Poché el cldro estero le

2 44 CONVEGNO NAZIONALE MESSINA, -5 SETTEMBRE 5 teso crcoferezal d trazoe s sommao a quelle dovute alla ressoe d eserczo, è ecessaro utlzzare u valore della ressoe d forzeto che o rovoch u aumeto della tesoe equvalete agete al bordo tero del cldro estero stesso, tale da suerare l valore della tesoe mssble []. Utlzzado due cldr rmae comuque mossble dmesoare cldr materale duttle, soggett a resso d eserczo l cu valore è rossmo a. Al fe d rdurre lo sessore comlessvo del cotetore è ossble utlzzare u umero d cldr >. Nel caso ù geerale della rogettazoe d u cotetore cldrco multstrato, le varabl d arteza del roblema, a arte l raggo tero r, soo l'ettà della ressoe tera e della tesoe mssble del materale, e, metre aretr da dmesoare fase d rogetto soo l umero d cldr che costtuscoo l cotetore, gl sessor de cldr, raresetat da rsettv raort tra raggo tero e raggo estero,, gl valor della ressoe d forzeto,, oché valor dell'terfereza da assegare alle coe d cldr, δ. I geerale le resso d forzeto devoo essere tal da redere le teso equvalet a bord ter de cldr ugual tra loro e, quado ossble, ar a. La determazoe degl sessor de cldr deve essere effettuata modo da redere mmo lo sessore comlessvo del cotetore. Ad ogg o soo dsobl formule teorche er la valutazoe de suddett aretr el caso geerale d cldr ed tem recet soo stat ubblcat dvers lavor sul dmesoeto d cotetor costtut da sol 3 strat [3-6]. I questo lavoro soo state svluate le formule teorche er la determazoe de aretr summezoat el caso geerale d cldr e vegoo fort grafc e tabelle utl er la scelta ottmale del umero d cldr da megare.. DIMENSIONAMENTO DI CONTENITORI CILINDRICI MONOSTRATO Le formule d base er la determazoe delle teso radal e crcoferezal aget su u uto a dstaza r dal cetro d u cldro soggetto a ressoe tera o a ressoe estera e soo rsettvete [,] + θ, r, (,) + e θ, e e r, e (3,4) essedo r /r e l raorto tra l raggo tero e l raggo estero del cldro, r ed r e, e r/r e. è l aretro che ermette d quatfcare le dmeso del cldro, seme al raggo tero r. I etrb cas d ressoe d eserczo tera o estera, le teso crcoferezal rsultao maggor o ugual modulo alle teso radal e ut ù sollectat soo quell corrsodeza del bordo tero, er qual, essedo rr e r /r e, le (-4) forscoo: + r, (5,6) θ, e r (7,8) θ, e Nel caso d ressoe tera, le teso crcoferezal rsultao ostve e le radal egatve er cu le teso equvalet d Tresca (trascurado l'effetto d ua evetuale tesoe logtudale) e d Naver ossoo essere scrtte come: max { θ, θ, } θ eq max { θ, r } eq r r r otteedo rsettvete (9,) θ

3 44 CONVEGNO NAZIONALE MESSINA, -5 SETTEMBRE 5 + eq eq (,) Poedo eq ar a elle (,) ed eslctado le esresso otteute rsetto a s ottee + (3,4) Le (3,4) mostrao come l valore d teda a er / ella (3) e er ella (4), rededo mossble dmesoare sgol cldr realzzat co materal duttl soggett a resso d eserczo l cu valore tede al valore d / e cldr realzzat co materal fragl, soggett a resso d eserczo l cu valore tede al valore d. 3. TENSIONI AGENTI NEI CONTENITORI CILINDRICI MULTISTRATO Nella determazoe delle formule relatve a cotetor multstrato verrao utlzzate le seguet defzo: umero de cldr costtuet l cotetore multstrato; r ragg ter degl cldr e raggo estero del cldro (,..,+), r ed r + cocdoo co ragg tero ed estero del cotetore multstrato; r /r + raorto tra raggo tero e raggo estero del -esmo cldro (,..,); r /r + raorto tra raggo tero e raggo estero del cotetore multstrato; r /r + raorto tra raggo tero del -esmo cldro e raggo estero del cotetore multstrato (,..,) ressoe d forzeto tra cldr e + (,.., ), agete corrsodeza del raggo r +. I valor de aretr e ossoo essere ost relazoe co valor de aretr degl cldr costtuet l cotetore medate le seguet relazo: r r r r + + (5,6) Teso dovute alla ressoe d eserczo Nel caso del cldro multstrato la ressoe tera agsce sugl cldr collegat co forzeto come se fossero u uco cldro d sessore sr + r [-7]. Le teso radal e crcoferezal aget corrsodeza del bordo tero d cascu cldro soo date dalle seguet relazo ottebl dalle (,) troducedo aretr e esress dalle (5,6): + θ, r, (7,8) I fg.a è mostrato l caso d 5 cldr co valor ugual del raorto r / r e, , co raorto r / r e del cotetore multstrato 5.789, raggo tero r, raggo estero r e e ressoe d eserczo MPa. I fg.b è rortato l'adeto delle teso (7,8) dovute alla ressoe d eserczo.

4 44 CONVEGNO NAZIONALE MESSINA, -5 SETTEMBRE 5 a 5 b 5 5 eq θ -5 r r [mm] Fgura : a) Esemo d cotetore costtuto da 5 cldr co uguale valore del aretro, b) teso radal, crcoferezale ed equvalet d Tresca dovute alla ressoe tera. 3.. Teso dovute al forzeto Nella determazoe delle teso dovute al forzeto, s deve teere coto del fatto che cascu cldro subsce l effetto delle resso d forzeto che agscoo tra tutte le coe d cldr. I artcolare, co rfermeto alla fg., le teso aget al bordo tero del cldro, oszoe r, soo rovocate: ) dalle resso d forzeto, co, cascua delle qual agsce come ressoe tera su u cldro avete raggo tero cocdete co la oszoe cu agsce la ressoe (r,..,r ) e raggo estero cocdete co l raggo estero del cotetore multstrato (r + ) (fg.a,b): + θ f, rf, (9,) ) dalle resso d forzeto, co, cascua delle qual agsce come ressoe estera su u cldro avete raggo estero cocdete co la oszoe cu agsce la ressoe (r +,..,r ) e raggo tero cocdete co l raggo tero del cotetore multstrato (r ) (fg.c,d): + θ fe, rfe, (,) Le equazo (9,) e (,) soo state rcavate dalle equazo (,) e (3,4), troducedo term e mostrat tabella, co rfermeto alla fg., utlzzado le equazo (5,6), oché le seguet relazo: (3,4) I fg.3 soo mostrate le teso radal e crcoferezal rodotte dalle resso d forzeto 7.55 e , el caso d fg.. È mortate otare che al bordo tero del rmo cldro (), le resso d forzeto rovocao solo la tesoe crcoferezale d comressoe esressa dalla (), metre al bordo tero dell ultmo cldro (), rovocao solo la tesoe crcoferezale d trazoe esressa dalla (9). Al bordo tero del rmo cldro, oltre, la tesoe radale dovuta alle resso d forzeto rsulta ulla Teso equvalet d Tresca e Naver I base alla (9), l'esressoe delle teso equvalet d Tresca aget a bord ter de cldr uò essere otteuta sommado le teso crcoferezal (7), (9), () e sottraedo le teso radal (8), () e (), otteedo la seguete esressoe:

5 44 CONVEGNO NAZIONALE MESSINA, -5 SETTEMBRE 5 a b c d 3 4 Fgura : Determazoe delle teso al bordo tero del cldro 3. θ 4 [MPa] r [MPa] θ r r [mm] r [mm] Fgura 3: Teso radal e crcoferezal dovute alle resso d forzeto 7.55 e mostrate fg.b e d. Tabella : Presso e aretr e ella determazoe delle teso el caso d 5 e 3. Cldro -5 ( -) Cldro 3-5 (-) Cldro -3 (-) Cldro -4 (- ) Fg. (a) (b) (c) (d) f e 3 e 4 r /r r 3/r r /r 3 3 r /r r 3/r r 3/r r 3/r 4 3 r 3/r eq, S, Se, + + avedo osto (5) S, S e, (6,7) L'esressoe delle teso equvalet d Naver s ottee dalla (), sommado semlcemete le teso crcoferezal (7, 9, ), semre utlzzado le (6,7): + + eq, S, + S e, + + (8) I fg. 4 soo mostrate le teso crcoferezal e radal otteute sommado rsettvete le (7, 9, ) e le (7, 9, ), oché le teso equvalet d Tresca (5), relatve al caso mostrato elle fg. e, co resso d forzeto 7.55,.88, 3.88 e ; le teso equvalet d Naver (8) cocdoo co le teso crcoferezal. 4. PARAMETRI DI PROGETTO Come detto, le varabl d arteza del roblema, a arte l raggo tero del cotetore, soo l'ettà della ressoe tera e della tesoe mssble del materale, e, metre aretr da

6 44 CONVEGNO NAZIONALE MESSINA, -5 SETTEMBRE 5 dmesoare fase d rogetto soo l umero d cldr del cotetore multstrato,, gl valor de aretr, gl valor delle resso d forzeto, oché gl valor dell'terfereza da assegare alle coe d cldr δ, ottebl drettete dalle resso forzeto. Poché ut ù sollectat soo quell al bordo tero d cascu cldro, elle oszo detfcate da ragg r, o da aretr admesoal, la soluzoe ottmale uò essere otteuta el caso cu le teso equvalet corrsodeza d tal ut rsultao ugual tra loro e ar alla tesoe mssble. La determazoe de valor deve essere effettuata modo da redere mmo lo sessore comlessvo del cotetore. 5 eq [MPa] 5 θ -5 r r [mm] Fgura 4: Teso radal e crcoferezal comlessve e teso equvalet d Tresca el caso d fg. e, co resso d forzeto 7.55,.88, 3.88, Presso d forzeto Il rmo asso è quello d determare le resso d forzeto da morre affché le teso equvalet a bord ter de cldr rsulto ugual tra loro. I artcolare, moedo la codzoe eq, eq, + (9) er cascua delle eq.(5) e (8), s ottee u sstema leare d equazo le cu cogte soo geerale, le resso d forzeto e gl valor del aretro. Nel caso cu valor d sao stat assegat, l sstema ermette d determare le resso d forzeto. Nel caso del crtero d Tresca, la tesoe equvalete al bordo tero del cldro + s rcava modfcado oortuete la (5), otteedo: eq, + S, Se, (3) Effettuado la dffereza tra term d destra delle (5) e (3), searado term d dce dalle sommatore e oedo l rsultato uguale a, s ottee l seguete sstema d equazo: S, + Se, + + (3) Oerado allo stesso modo co le teso equvalet otteute co l crtero d Naver (8) s ottee l seguete sstema: + + S, + Se, + + (3)

7 44 CONVEGNO NAZIONALE MESSINA, -5 SETTEMBRE 5 I sstem d equazo (3) e (3) ossoo essere scrtt forma matrcale come: A b (33) essedo l vettore coteete le resso cogte : [... ] T (34) b l vettore de term ot, uguale er due sstem: b,.., (35) A la matrce de coeffcet, cu term fuor dalla dagoale soo ugual er due sstem ed esress come: A, S,,.., A S + (36), e,,.., a loro volta, term aarteet alla dagoale della matrce A, er due cas de crter d Tresca (3) e Naver, (3) soo esress rsettvete come: A,,.., (37) + + A,,.., (38) 4.. Valor ottmal de aretr Nel caso dell alcazoe del crtero d Tresca, è stato verfcato che l more sessore comlessvo del cldro multstrato uò essere otteuto utlzzado cldr co lo stesso valore del aretro ( ), che uò essere determato medate la seguete relazoe: (39) I questo caso l aretro r /r e del cotetore è. Se s utlzzao cldr co l valore del aretro otteuto medate la (39), cascua delle equazo del sstema (3) rsulta coteere la sola cogta, che uò essere eslctata semlcemete come ( )( )( ) ( ) Determado l aretro medate la (39) e le resso medate la (4), le teso equvalet d tresca a bord ter de cldr rsultao ar a, come s vede fg.4, essedo le fgure da a 4 relatve ad u esemo d alcazoe delle eq.(39), (4), el caso cu MPa. I fg.5a è mostrata ua raresetazoe dello sessore del cotetore multstrato che s ottee utlzzado la (39); artcolare vee mostrato l raorto tra lo sessore del cotetore e l suo raggo tero: (4)

8 44 CONVEGNO NAZIONALE MESSINA, -5 SETTEMBRE s/r /. / Fgura 5: Crtero d Tresca: a) raorto s/r al varare del umero de cldr er dvers valor del raorto / ; b) valor del raorto / el caso d / e umero d cldr el co. / r/r 4 3 s re r re (4) r r r er valor dscret del raorto tra tesoe mssble e ressoe d eserczo el co / e er umer de cldr comres tra ed. Ad esemo, el caso d. lo sessore comlessvo del cotetore rsulta s5r er cldr ed s r er 4. La fgura mostra come er. l umero mmo d cldr ecessaro er l dmesoeto è, metre er l umero mmo d cldr è 3. La fg.5a uò essere utlzzata er effettuare la scelta del umero d cldr da megare ella realzzazoe del cotetore. I fg.5b è mostrata ua raresetazoe delle resso d forzeto otteute medate la (4); artcolare vegoo mostrat raort tra le resso d forzeto e la ressoe d eserczo otteut el caso ù oeroso d /, er umer de cldr comres tra ed. I ut raresetatve delle resso soo oszoat a ragg cu le resso agscoo, utlzzado l raorto r/r. Ache el caso del crtero d Naver è stato verfcato che l more sessore comlessvo del cldro multstrato uò essere otteuto utlzzado cldr co lo stesso valore del aretro, ma o è stato ossble determare ua relazoe che ermetta d calcolare l valore come el caso della (39). Tuttava, effettuado ua smulazoe umerca, sfruttado valor delle resso d forzeto otteut medate l sstema (3), soo stat determat valor del aretro ottmale al varare del raorto / e del umero d cldr rassut tabella..5 s/r /. / Fgura 6: Crtero d Naver: a) raorto s/r al varare del umero de cldr, er dvers valor del raorto / ; b) valor del raorto / el caso d / ed el co. r/r

9 44 CONVEGNO NAZIONALE MESSINA, -5 SETTEMBRE 5 Nelle fg.6a e 6b soo mostrate ua raresetazoe dello sessore del cotetore multstrato che s ottee utlzzado valor d reset ella Tabella e delle resso d forzeto otteute rsolvedo l sstema (3), modo aalogo a quato mostrato elle fg.5a e 5b relatvete a materal duttl. Tabella : Valor del aretro ottmale er materal fragl. cldr Iterfereza Il valore dell terfereza che deve essere mosto tra l cldro e l cldro + er otteere la ressoe d forzeto uò essere esresso come u u (4) δ, + e, essedo u,+ lo sosteto radale de ut al bordo tero del cldro + ed u e, lo sosteto radale de ut al bordo estero del cldro, oszoe rr +. Gl sostet radal d u uto a dstaza r dal cetro del cldro ossoo essere esress fuzoe delle teso medate la seguete esressoe [,] ( ) u ε r ν r E (4) θ θ r Per cascua ressoe d forzeto, le teso aget al bordo estero del cldro tero e le teso aget al bordo tero del cldro estero devoo essere determate rsettvete medate le relazo (,) e (3,4), assegado gl oortu valor d e, che ossoo essere dedott dalla fg.7. Determat gl sostet medate la (4) ed utlzzado la (4), valor dell'terfereza da assegare a cascua coa d cldr, uò essere otteuta medate la seguete esressoe + + r δ E + (43) a b c d 3 4 Fgura 7: Cofgurazo de cldr er la determazoe de valor d terfereza.

10 44 CONVEGNO NAZIONALE MESSINA, -5 SETTEMBRE 5 5. EFFETTO DELLA TENSIONE LONGITUDINALE Nel caso de serbato la sta sulle aret suerore ed ferore rovoca ua tesoe logtudale costate ello sessore e ar a l (44) Utlzzado valor d e delle resso d forzeto otteut co le (39) e (4), al bordo tero del cotetore multstrato, coè al bordo tero del cldro, la tesoe equvalete d Tresca (9) dveta eq, max { θ, r,, θ, l,, l, r, } max,, (45) essedo la tesoe radale r,, dalla (8), e la tesoe crcoferezale θ,, otteuta sommado le teso dovute alla ressoe d eserczo (7) e d forzeto (9). È semlce dmostrare che e cas cu > (46) la tesoe equvalete d Tresca rsulta maggore d, essedo l r > θ r (47) Utlzzado valor d e delle resso d forzeto otteut co le (39) e (4), er umer d cldr comres el co, la codzoe (46) uò verfcars sol e cas cu <.. Nel caso ù crtco d e la tesoe equvalete d Tresca suera l valore d d crca l %. È mortate otare che, quest cas, utlzzado l crtero d Tresca, artcolarmete coservatvo, è mossble dmesoare l cldro multstrato utlzzado la tecca del forzeto; cò è dovuto al fatto che, come detto, al bordo tero del cotetore multstrato le resso d forzeto agscoo esclusvete sulla tesoe crcoferezale θ, er cu l terme l r o vee modfcato. A sua volta la tesoe equvalete d Vo Mses al bordo tero del cldro è data dalla seguete esressoe eq, ( θ, + ) + θ, + (48) Dmesoado l cldro multstrato medate le (39) e (4), la (48) dveta eq, + + (49) Nel caso ù crtco d e la tesoe equvalete d Vo Mses suera la d meo del 7%. Il modo ù semlce er rdurre ulterormete l valore assuto dalla tesoe equvalete d Vo Mses (48) al bordo tero del cldro e cas cu s verfca la codzoe (46) cosste ell aumetare valor delle resso d forzeto moltlcadole er u fattore costate, legato al raorto tra / l ; artcolare, medate oortue smulazo umerche, è stato osservato che la tesoe d Vo Mses uò essere rdotta al lvello della utlzzado valor delle resso d

11 44 CONVEGNO NAZIONALE MESSINA, -5 SETTEMBRE 5 forzeto otteut medate la seguete esressoe: l (5) 6. CONCLUSIONI I questo lavoro soo state svluate formule, tabelle e dagrm utl er l dmesoeto ottmale d tub e serbato cldrc multstrato realzzat materale duttle o fragle. I artcolare: soo stat determat due sstem d equazo utl er la determazoe delle resso d forzeto che redoo ugual tra loro le teso equvalet d Tresca e d Naver a bord ter degl cldr che comogoo l cotetore, assegat aretr de cldr - equazo (3), (3) o (33-38); el caso de materal duttl è stata determata la formula er la determazoe del valore ottmale del aretro da assegare a cldr, eq. (39), seme alla formula er determare le resso d forzeto, eq.(4), seza la ecesstà d rsolvere l sstema (3); el caso de materal fragl è stata determata ua tabella co valor ottmal del aretro da assegare a cldr al varare d e del raorto / - tabella ; soo stat realzzat due grafc raresetatv dello sessore comlessvo del cotetore fuzoe del umero d cldr e del raorto /, avet lo scoo d facltare la scelta del umero d cldr da megare ella realzzazoe del cotetore - fg.5a e 6a; è stata determata la formula er l calcolo de valor d terfereza δ da assegare alle coe d cldr, er otteere le resso d forzeto desderate - equazoe (43); Ife, el caso de serbato realzzat materale duttle, è stata determata ua semlce rocedura che ermette teere coto della reseza della tesoe logtudale dovuta alla sta eserctata dalla ressoe tera sulle aret suerore ed ferore del cotetore che cosste ell'aumetare le resso d forzeto d u fattore costate, trte l'eq.(5); l'eq.(46) cosete d determare cas cu è ecessaro rcorrere alla suddetta rocedura. BIBLIOGRAFIA [] G. Geta, Prc e metodologe della rogettazoe meccaca, Vol., II Edzoe, Levrotto & Bella, Toro, 99. [] G. Petrucc, Lezo d Costruzoe d macche, Palermo, dsoble ole: htt:// (5) [3] A. A. Mrae, S. A. Patl, Mmzato of materal volume of three layer comoud cylder havg se materals subected to teral ressure, Iteratoal Joural of Egeerg, Scece ad Techology, Vol. 3, No. 8, () [4] A. A. Mrae, S. A. Patl, Otmum thcess of three-layer shr ftted comoud cylder for uform stress dstrbuto, Iteratoal Joural of Advaces Egeerg & Techology, Vol. No. 3, Issue No., () [5] T. Maumder, S. Sarar, S. Ch. Modal, D. K. Madal, Otmum Desg of Three Layer Comoud Cylder, Joural of Mechacal ad Cvl Egeerg, Volume, Issue 3, (4) [6] S. D. Urade, D. V. Bhoe, S. D. Khaar, Stress Aalyss of Multlayer Pressure Vessel, Iteratoal Joural of Egeerg ad Techcal Research, Volume-, Issue-9, (4)