Appunti di Elementi di Informatica Teorica by QuaDamge

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1 Apput d Elemet d Iformatca Teorca by QuaDamge A. A. 006/007 <ultma modfca 4 Novembre 00> s rgraza Luke Boham per gl error segalat e la realzzazoe della dmostrazoe del TEOREMA 3. (del cotapass) INDICE Lguagg: I Lezoe (pag. ) : Itroduzoe al Corso Alfabet e Strghe Autom II Lezoe (pag. 5): Autom DFA Lguagg Regolar Itroduzoe Autom NDFA III Lezoe (pag. 8): Autom NDFA Relazoe tra DFA ed NDFA (Teorema.) IV Lezoe (pag. 4): fe Teorema. Propretà d chusura su Lguagg regolar V Lezoe (pag. 9): Altre Propretà d chusura Teorema d Kleee VI Lezoe (pag. 6): Espresso regolar e teorem Secoda versoe del Teorema d Kleee(prma parte) VII Lezoe (pag. 9): Secoda versoe del Teorema d Kleee (secoda parte) Pumpg Lemma e teorem coseguet VIII Lezoe (pag. 34): Eserctazoe sugl autom e le Espresso regolar Prma parte Grammatche: VIII Lezoe (pag. 37): Itroduzoe alle Grammatche Secoda parte IX Lezoe (pag. 39): Grammatche C.F.: prme ozo e teorema. (prma parte) X Lezoe (pag. 43): teorema. (secoda parte) XI Lezoe (pag. 46): Alber d dervazoe XII Lezoe (pag. 48): torem sulle Dervazo e gl Alber d dervazoe Dervazo estreme (a sx. e a dx.) Grammatche Brachg XIII Lezoe (pag. 5): teorem sulla grammatca Brachg e Chomsky Normal Form Pumpg Lemma Propretà d chusura Grammatche Ambgue e Grammatche Regolar XIV Lezoe (pag. 57): Grammatche Separatrc teorema sulla Grammatca Regolare Autom a Pla XV Lezoe (pag. 6): Esemp sugl Autom Pushdow e relatv teorem Prma parte

2 Calcolabltà: XV Lezoe (pag. 64): Itroduzoe a Lguagg d Programmazoe S-programm Secoda parte XVI Lezoe (pag. 7): Rcaptolazoe e seguto cocett sugl S-programm Fuzo parzalmete calcolabl estesoe delle Macro Predcat - composzoe d Fuzo Rcorsoe XVII Lezoe (pag. 79): Class PRC Fuzo e Predcat prmtv rcorsv XVIII Lezoe (pag. 86): Operazo terate e Quatfcator Mmalzzazoe altre Fuzo e Predcat prmtv rcorsv XIX Lezoe (pag. 98): Codfca umerca de Programm Iterruzoe d u Predcato e problema dell solvbltà dell arresto XX Lezoe (pag. 03): Teorema dell uversaltà Programma Uversale Isem rcorsv, o rcorsv e prmtv rcorsv XXI Lezoe (pag. ): Teorema della Forma Normale Mmalzzazoe propra Isem rcorsvamete eumerabl e relatv teorem Eserctazoe fale (pag. 0) Modfche apportate (pag. 4) Lettere greche utlzzate: alfa - beta - gamma - gamma mauscolo - delta - delta mauscolo - epslo - - p mauscolo - sgma - sgma mauscolo - tau - ph mauscolo - ps - omega mauscolo

3 Lguagg Prma Lezoe 6/09/006 Itroduzoe al Corso Alfabet e Strghe Autom Breve Itroduzoe Il Corso d Elemet d Iformatca Teorca s prefgge l compto d aalzzare prevaletemete problem d: DECISIONE e d GENERAZIONE Al prmo caso appartegoo ad esempo problem del tpo: x è u umero prmo?, metre al secodo appartegoo problem del tpo, ad esempo : ual è l eesmo umero prmo?. Nozo d base Alfabet e Strghe (rf. D.S.W. pag. 4) DEFF.: l ALFABETO A è u seme fto e o vuoto d smbol; Dall alfabeto s geerao le parole: la PAROLA o STRINGA su A: è ua -pla d smbol d A Deotata così: a, a,, a o pù semplcemete aa a. Se u aa a allora la LUNGHEZZA d u è e s scrve: u e può essere vsta come la fuzoe che, avedo come argometo u, resttusce la lughezza d u. PAROLA NULLA o STRINGA VUOTA: è la parola o 0, la uale, come vedremo, è mportate ad esempo per le defzo e dmostrazo per duzoe. Rsulta: 0 oppure 0 0 e u0 0 u u, u (o bsoga fare cofusoe tra l smbolo 0, come strga vuota, e 0, come umero zero). L seme d tutte le parole su A è deotato co e s legge: A stella, oppure A star. Se A a, b allora A 0, a, b, ab, ba, aa, bb, aab, bba, bbb,... Il lguaggo A è fto. A

4 Co LINGUAGGIO s tede u sottoseme L d A : L A, ud u lguaggo può essere fto (a dffereza dell alfabeto A). Due lguagg baal soo: L A e L. CONCATENAZIONE: se due strghe uv, A, co la scrttura: uv o semplcemete uv s dca la strga che s ottee poedo (gustappoedo) la strga v dopo la strga u. U fereza mmedata (cosegueza della defzoe appea data) è che: uv vu u v. CONCATENZAZIONE REITERATA: se u A, per covezoe s avrà: u u, 0 u 0 e u uuu uu, 0 volte (le paretes uadre all apce [] possoo ache essere omesse, avremo ud u luogo d u ). Rsulta charamete: u u. SCRITTURA AL CONTRARIO: se ua, u aa a a, avremo: R u aa aa. Rsulta partcolare: 0 R 0 e, se u a co a A, R u u. Autom (rf. D.S.W. pag 37) U AUTOMA fto, detto ache DFA (determstc fte automato), è ua struttura matematca che rappreseta u dspostvo (o ecessaramete realzzable ella pratca, o avedo fatt lmt, essedo u cocetto teorco) che prede put ua strga, u smbolo alla volta, da sstra a destra e camba l suo stato tero, ovvero avvegoo delle evetual modfche della struttura (ella pratca la dmesoe dell put potrebbe essere u problema, data la complesstà del problema term d spazo e d tempo). L esempo pù semplce (e uello che s utlzzerà per f d uesto corso) è uello d automa che rcoosce o meo u lguaggo, tale automa rceve put parole d u determato lguaggo e dà output due possbl valor: SI oppure NO (tal valor corrspodoo allo stato cu perverrà l automa alla fe della lettura, tale cocetto sarà charo a breve). L put è rappresetato da ua seueza fta d smbol che può essere arbtraramete luga. EDIT by Qd Lguagg I Lez.

5 Formalmete u AUTOMA FINITO ` sull alfabeto A s, s,, s ; co Stat Q,,, m ; F Q detto Iseme degl Stat d Accettazoe (o stat fal); per covezoe è lo Stato Izale; costtuto dalla Fuzoe detta d Traszoe che assoca ad og coppa, s j uo stato k : :QA Q, co, è la utupla: AQ,, F,, `. k Q e m j ; Nel caso dell esempo d automa che rcoosce o meo ua data strga u, se alla fe della lettura della strga (partedo dallo stato zale), l automa s trova uo stato F allora dremo che l automa accetta la strga u, se vece, alla fe della lettura d tutt smbol d u, l automa pervee uo stato Q F, vorrà dre che l automa o ha accettato la strga. 3 Esempo d automa fto ` : A a, b, F 3, Q,, 3, 4 Dalla tabella d traszoe (che rappreseta possbl valor che assume la fuzoe d traszoe) s evce che se l automa s trova ad esempo ello stato e rceve put l a b smbolo a, o camba stato, aalogamete succede uado s trova ello stato 3 e rceve put l smbolo b. Lo stato 4 vece rappreseta uo stato trappola (o pozzo) uato, el mometo cu l automa pervee allo stato 4 c resta per sempre, dpedetemete dal smbolo che legge. a A destra la rappresetazoe grafca dell automa ` appea descrtto, medate graf (la frecca sul cercho dello stato dca che uello è lo stato zale, metre l doppo cercho dca uo stato d accettazoe: a b b 4 a b 3 b Ora che è stato defto l automa ` verfchamo, ad esempo, che sa accettata la strga baba: a, b 4,, Rscotramo subto che 4 4 a 4, 4, b 4,, a. 4 4 F, ud baba o è accettata da `. EDIT by Qd Lguagg I Lez.

6 4 Vedamo vece la strga aabbb:, a,, a,, b,, b 3, 3, b F, ud la strga aabbb è accettata dall automa. * Nozoe d : Rappreseta u estesoe della fuzoe alle strghe. È detta fuzoe delta stella ( o delta star) e assoca alla coppa, u lo stato k Q co Q e u A. Il smbolo k rappreseta lo stato a cu perverrà l automa su A dopo aver letto (partedo dallo stato ) tutta la strga u smbolo dopo smbolo. :QA Q da o cofodere co : Q A Q Defamo rcorsvamete : passo base,0 A è l seme delle strge, metre A è l seme de smbol (alfabeto) passo rcorsvo ; ovvamete se l automa o rceve ulla put, coè la strga vuota, l suo stato o camberà, ud resta, v, u, s se v usj. j Per defre l passo rcorsvo per ua geerca strga d lughezza arbtrara o ulla, abbamo spezzettato la strga due part v usj dove u è ua strga (pù pccola d v) ed s j è u smbolo (l ultmo smbolo d v), se v k, u k., possamo bessmo sfruttare la (che cooscamo) per passarle come argome- Poché, u to, u k (l cu valore o è altro che uo stato) e l smbolo j s, ud la scrttura u,, s è be formulata, essa rappreseta pratca lo stato a cu perverrà l automa uado avrà letto prma tutta la strga u e po l smbolo s j. La defzoe rcorsva è be posta uato og strga può essere passata come argometo a e, ota la tabella d traszoe dell automa, s sarà grado d calcolarla rcorsvamete (la preseza d s j c asscura che, el passo rcorsvo, o rceva la strga vuota). j EDIT by Qd Lguagg I Lez.

7 Secoda Lezoe 9/09/006 Autom DFA Lguagg Regolar Itroduzoe Autom NDFA Nell ambto degl autom, l aspetto mplemetatvo o c teressa, è vece mportate approfodre l aspetto teorco, c teressa studare l fuzoameto degl autom, ma o come potrebbero essere, ella pratca, realzzat. Rcaptolado, u automa ` è costtuto dall seme A (alfabeto su cu opera), Q (seme d tutt possbl stat dell automa, Q è u seme fto), F (sottoseme -o propro- d Q, rappreseta l seme degl stat d accettazoe, o fal, d ` ), uo stato zale Q e ua fuzoe (d traszoe): Q A Q,, Rcordamo che, u `,, F Q, A s co p, k Q e sj p j k se s trova prma ello stato A. (co u strga d A ) deota lo stato al uale accede u automa fto all estremtà sstra d u e po uado ha completato la scasoe d tutta la strga (smbolo dopo smbolo), abbamo: :QA Q passo base,0 ; passo rcorsvo Esempo sull uso d :, v, u, sj se v usj (, u rappreseta lo stato d ` uado è stata letta tutta la stga u)., v = co v sj, possamo scrvere v come,0 sj,0, sj, sj Qud :, v, sj. strga v 0s j Lguagg L seme L A è detto lguaggo ( geerale o è detto che A sa u lguaggo, u lguaggo a dffereza del suo alfabeto può ache essere fto, essedo u sottoseme d A ). S dce che u lguaggo è regolare se esste u automa ` che lo accetta (coè che accetta tutt e soltato suo elemet, ovvero tutte e soltato le sue strghe), u lguaggo accettato da ` s deota co L ` e formalmete s scrve:

8 6 `, co,, F Q, A L u A u F `. Cò sgfca che l lguaggo L è accettato da ` se è costtuto (soltato) da tutte le strghe u A per cu `, partedo dallo stato zale, guge uo degl stat fal d `, k F. U lguaggo o è regolare se o esste alcu automa che lo accetta. I pratca ` :, L L u u Q F (ud se v è pure solo ua strga o accettata dall automa, l lguaggo L o è regolare. TEOREMA: La regolartà d u lguaggo o dpede strettamete dall alfabeto, come mostrato da uato segue: B sa L A A e A B allora vale la seguete euvaleza: L è regolare, sa ` u automa che opera sull alfabeto A e che accetta L, abbamo che L L` ` su B: L L`. Ad esempo: se A a, b e B a, b, c allora ` (su A): L L A, abbamo: se charamete rsulta L F ` `, co ` su B; ` : a ` : a c b a, b b c 3 a, b a, b Vedamo u sstema geerale per dmostrare la bezoe: DIM. : Voglamo dmostrare che se ` su B che accetta L A ` su A che accetta L A (restrzoe d su A). È baale mostrare che ` accetta L A se e solo se ` perverrà allo stato fale seza leggere smbol o strghe che cotegoo smbol apparteet a B A, altr- L L `, o ache L A. met EDIT by Qd Lguagg II Lez.

9 DIM. : Voglamo dmostrare che se ` su A che accetta L A ` su B che accetta L. Partedo da `, basta trovare almeo u ` su B che accetta L (espasoe), ud poamo: d ` e smbolo b B A :, b e s, co F s B Metre le altre traszo restao mmutate rspetto a uelle dell automa `. è u uovo stato d ` (che o deve essere d accettazoe), esso rappreseta lo stato trappola a cu pervee l automa ` se prede put u smbolo b B A, ud b A (vedere esempo precedete). D cosegueza ` accetta lo stesso lguaggo d `. 7 Autom No Determstc (rf. D.S.W. pag. 4) Partamo co u esempo d Automa No Determstco (NDFA Nodetermstc Fte Automato) per compredere la atura: a b,, 3 sa A a, b l alfabeto ed F 4 l seme degl stat d accettazoe, la fuzoe d traszoe è u po partcolare ed è così descrtta: 4 Quado l automa NDFA pervee allo stato vuoto vuol dre che o farà ulla, ache ell evetualtà che la strga vega letta fo alla fe, però c è da dre che l NDFA ha la partcolartà d poter pervere essuo, uo o pù stat cotemporaeamete, coè, se è defta u certo modo, l NDFA ha l potere d percorrere pù strade dfferet allo stesso tempo. Qud se ad u certo puto l NDFA pervee allo stato è probable che possa prosegure per u altra strada. È mportate otare che o è da cofodere co l cappo vsto ella rappresetazoe grafca, uato l seme dca che ua determata strada dell automa è bloccata. Il cappo vece (ad esempo 4, a 4 ) dca che l automa, rcevedo put l smbolo a, è rmasto sempre ello stesso stato, magar al passo successvo potrebbe trastare u altro stato, co u put dfferete. EDIT by Qd Lguagg II Lez.

10 Terza Lezoe 3/0/006 Autom NDFA Relazoe tra DFA ed NDFA (teorema.) Gl autom o determstc soo u cocetto teorco o realzzable ella pratca, ma le sue propretà soo utl per rsolvere de problem per ual percorredo certe strade lugo gl stat dell automa, cert percors (ram) vegoo scartat per predere altr (come s vedrà elle dmostrazo d alcu teorem). Damo ora ua defzoe formale d Automa No Determstco: su A co Q ed F è dato dalla fuzoe (che è ua fuzoe dfferete da uella utlzzata per gl autom determstc DFA determstc fte automata) defta così:, s Q, co Q j :QA X X è l seme delle part d Q X Q Q Q Q (ud può essere ache ) (X Q, metre Q X, j, s Q, co Q X. Se Q a, b allora X, a, b, a, b Metre prma, per DFA,, sj rappresetava uo stato, per gl NDFA, sj. rappreseta u seme d stat. Qud, uesto caso, ua strga sarà accettata dall NDFA se esso perverrà almeo uo degl stat d accettazoe. Formalzzamo uest ultmo cocetto defedo prma la fuzoe per gl NDFA, sempre rcorsvamete: : QA Q passo base,0 rcevedo la strga vuota l NDFA resta ello stato correte (come l DFA) solo che dobbamo sostture a l suo sgleto per come abbamo defto per l NDFA; passo rcorsvo, w, sj, u s prede l uoe d tutt gl stat a cu pervee l NDFA alla fe della lettura d u co ( w k, u k ). Dopodchè vee letto l ultmo smbolo. Alla fe della lettura d u l automa o determstco s troverà uo o pù stat, ecco perché è ecessaro l uso del smbolo d uoe, per og stato a cu è perveuto l NDFA vee letto l ultmo smbolo s della strga w, l rsultato j fale è u sottoseme d Q, Q Q (, u Q ). w us j

11 Aalogamete a DFA, stpulamo come stato zale dell NDFA. Ora possamo formalzzare che ua strga è accettata da u automa o determstco su A se: ua,, u F 9 Cò vuol dre che l automa o determstco che accetta la strga u alla fe della lettura dovrà trovar- u sa o s almeo uo degl stat fal, ecco perché s rchede che l tersezoe tra F e vuota (devoo coè avere almeo u elemeto comue). Il lguaggo accettato da u NDFA è l seme L ` costtuto da tutte le strghe accettate da ` (NDFA). Da sottoleare che u DFA o è affatto u partcolare tpo d NDFA uato la ha codomo dfferete: : Q A Q metre : Q A X DFA NDFA, co X Q Q Q., TEOREMA. (rf. D.S.W. pag. 44): U lguaggo L è accettato da u NDFA ` u DFA ` ( L L ` ). Coè L è accettato da u NDFA se e solo se L è regolare. L è accettato da DIM. : Voglamo provare che se L è regolare allora L è accettato da u NDFA: cò è mmedato (, s ) luogo d NDFA DFA(, s ), possamo ache scrvere uato s può defre la NDFA (, s ) (, s ) j DFA j j k j k, l automa o determstco avrà gl stess stat (ache d accettazoe) dell automa determstco. È charo che l lguaggo accettato dall automa determstco è lo stesso che accetterà l automa o determstco. DIM. : Dmostramo ora che se L è accettato da ` (dove ` è u NDFA), allora L è regolare, coè L L( ` ). Dobbamo costrure u DFA che accett l lguaggo accettato dal NDFA. è la fuzoe d traszoe d `, F è l seme degl stat d accettazoe ( F Q ) e,,, m Q l seme de suo stat. Voglamo provare che L( ` ) L( ` ) L. Costruamo u DFA ` sullo stesso alfabeto A d `. ` avrà m stat, tale umero corrspode a tutte le part d Q, coè costruamo u automa ` co gl stat, oguo de ual rappreseta u sottoseme d Q (seme degl stat d ` ), cluso l seme vuoto. Qud l seme degl stat d Q Q, Q,, Q m ( Q X, X è l seme delle part d Q). Defamo lo stato zale d ` sarà ` come Q. Ora sceglamo l seme degl stat d accettazoe d `, Y Q Q F ( Y Q ). Y è stato scelto modo tale da coteere tutt uegl stat d DFA che cotegoo almeo u elemeto (stato d NDFA) comue a F (seme degl stat d accettazoe d ` ). Q, s, s ( : Q A Q, ( s, ) è u NDFA Defamo ora la fuzoe d traszoe d `, Q sottoseme d Q che ud cotee essuo, uo o pù elemet (seme d stat) d Q, a ( Q, s) vee assocata l uoe degl stat a cu pervee ` uado uesto s trova uo degl stat Q ). EDIT by Qd Lguagg III Lez.

12 0 Abbamo duue defto l seguete automa AQ,,,, Q ` Y : A è l alfabeto su cu opera ache ` ; Q Q, Q,, Q m ; Y Q Q F ; Q, s, s Q ; Q. Per cotuare la dmostrazoe è ecessaro eucare l seguete LEMMA (l lemma è u teorema d mportaza more, o che comuue è utlzzato prevaletemete per la dmostrazoe d teorem pù mportat): Sa R Q (rcordamo che Q è l seme degl stat d ), s ha: Q, s Q, s QR Q R Tale scrttura è corretta per l DFA da o defto uato l uoe d tutt gl elemet d R è acora u elemeto d Q (seme degl stat d ` ). ` DFA Il lemma dce che l dell uoe d tutt gl elemet d R e d s è uguale all uoe d tutt d Q R e d s. DIM.: poamo: Q Q pratca sceglamo R modo tale che uedo QR tutt suo elemet otteamo l seme Q (R può assumere ud vare coformazo) QR Possamo ud scrvere: Q, s Q, s Dalla defzoe che abbamo dato per d DFA ` ( Q, s, s ) possamo scrvere: Q stamo applcado la defzoe d solo che al Qs, s, Q posto d Q scrvamo Q EDIT by Qd Lguagg III Lez.

13 Sfruttado otteamo: s, s, s, Q QR Q (l uoe delle uo d Q QR s, co Q e Q R Rutlzzado la defzoe d s ha: s, Q, s. QR Q Q R Cocludedo,ovvero: Q, s Q, s QR Q R. Passamo al LEMMA : u A, Q, u, u. Q Il lemma dce che, uado l automa DFA da o defto s trova ello stato Q e legge la parola u, la fuzoe d traszoe su strghe defta su ` assumerà l valore corrspodete all uoe d DFA tutt gl stat a cu perverrà l automa o determstco coteut Q e uado legge la strga u. DIM.: l lemma s dmostra per duzoe sulla lughezza della parola u: passo base: u 0, ud u 0, s ha: Q,0 Q ` NDFA uado s troverà uo degl stat uesta poszoe è vera per la defzoe del caso base d rcorsoe della fuzoe d u geerco automa fto (determstco), s ha fatt; possamo esprmere Q così: Q Q uest ultma è ua baale fereza, Q è costtuto dall uoe d tutt sgleto degl elemet ap- parteet a Q, da cu abbamo:,0 Q Q EDIT by Qd Lguagg III Lez.

14 uesta uguaglaza s rcava rcordado la defzoe che s è data per degl autom o determstco,0 Q., ud l uoe d tutt Q Qud per u 0 l lemma è dmostrato: sarà uguale all uoe d tutte le,0 Q,0 Q,0 Ipotzzado che l lemma sa vero per u. Q l (potes d duzoe), eseguamo l seguete: passo d duzoe: u l, poamo u vs ( s A) dove v l, ud è mmedato scrvere: Q, u Q, vs e Q, vs Q, v, s s è applcata semplcemete la defzoe d per gl autom determstc; co Q, v, s, v, s Q uest ultma uguaglaza o s è fatto altro che sostture Q, v co v, Q term soo ugual per l potes d duzoe secodo la uale l lemma è vero per v l, uest due (rammetamo che dmostrare per duzoe sgfca dmostrare l caso base, dopodchè presumedo vero l passo k basta dmostrare che l passo k è vero, ud la dmostrazoe è fatta). Ora applchamo l lemma alla formula: el lemma abbamo al posto d v, v, Q, propro come Q Q, ud su v, è applcable l lemma. v,, s v,, s Q Q l seme Q e v, Q, del resto v, Q e rsulta ache fao parte dello stesso seme e ud Ora, applcado la defzoe d per u DFA data el teorema., otteamo: EDIT by Qd Lguagg III Lez.

15 v,, s rs, Q Q r, v r rappreseta uo stato, uo de possbl stat raggugbl dall automa o determstco; v, Q v, Q Q, s, s, rcordamo che, e per uesto lemma applcare la vece che a appartegoo allo stesso seme Q (soo della stessa atura); Q Q a v, è legttmo uato v, come Q 3 applchamo adesso (a rtroso) l passo d duzoe della fuzoe d traszoe determstc ( us, s, j j ) s ottee:, u degl autom o rs, vs, ; r, v Q Q poché avevamo posto u vs abbamo: vs, u,. Q Qud: Q, u, u Q Q avedo dmostrato l lemma per u l, l teorema è dmostrato. EDIT by Qd Lguagg III Lez.

16 Quarta Lezoe 0/0/006 fe teorema. Propretà d chusura su Lguagg regolar Al fe d dmostrare l teorema vedamo l terzo e ultmo lemma. LEMMA 3: L` L` I base a come abbamo defto due autom ` ed `, l lemma 3 c dce che l lguaggo ac- NDFA DFA cettato da ` è lo stesso che è accettato da `. DIM.: per come abbamo defto l automa determstco e per la defzoe d strga accetta da u DFA abbamo: :, ul ` Q u Y Dal lemma otteamo: Q, u, u, u per come abbamo defto lo stato zale d `, Q, è a che applchamo l lemma : Q, u, u Q Q che, essedo l sgleto d Q e è l uco elemeto apparteete a Q., solo che uesto caso Q, è u uco elemeto, ud l smbolo è utle, Dobbamo mostrare che u è accettato ache da ` modo buvoco, dall ultma uguaglaza otteamo: `, u L u Y, `, u L u F uest ultma bezoe è valda per come abbamo defto ` e Y Q Q F Dalla precedete bezoe, che è et altro che la defzoe d strga accettata da u automa o determstco, derva la seguete: ul ` ul ` Cò vuol dre che ` ` L L L l rsultato che volevamo otteere per la dmostrazoe del teorema..

17 Propretà d chusura (per lguagg) (rf. D.S.W. pag. 49) 5 I lguagg regolar soo chus rspetto a vare operazo. Al fe d dmostrare alcu teorem relatv a ueste propretà defamo l seguete: DEF.: DFA No Restartg (NRDFA), che è u automa fto determstco che ha la seguete propretà: s, s, I pratca l NRDFA o rpassa per lo stato zale (o esste alcu stato tale che l automa pervega ello stato zale ). TEOREMA 4.: Dato u DFA ` s può costrure u NRDFA ` tale che L L ` `. Il teorema c dce che u lguaggo regolare è accettato ache da u automa fto determstco o restartg. DIM.: Costruamo l NRDFA ` modo che accett L `. Sa Q,,, l seme degl lo stato zale, F l seme degl stat d accettazoe ( F Q ) e la fuzoe d stat d ` co traszoe. Q è l seme degl stat d ` (lo costruamo co uo stato aggutvo rspetto a ` ): co Q Q La fuzoe d traszoe d ` è così defta: s, se e, se e, e s, Q s Q s, s, s lo stato zale, L automa appea defto ha ua fuzoe d traszoe che s comporta come la fuzoe d `, trae che e cas cu l automa dovrebbe evetualmete trastare per lo stato zale, fatt se s, la fuzoe vece d far trastare `, lo fa adare el uovo stato. Ivece, uado ` s trova ello stato s comporta come se stesse ello stato, fatt s ha, s, s. Defamo ora l seme degl stat fal F d ` : F se F F F se F EDIT by Qd Lguagg IV Lez.

18 6 Nel caso cu ` ha tra gl stat d accettazoe propro lo stato zale allora ` verrà drzzato verso (ovvamete se, per potes, abbamo che ` è o restartg, l teorema è baalmete dmostrato). uato è legttmo che ` pos- Da otare che o sarebbe corretto defre F F sa avere tra gl stat fal propro, ad esempo uado vee letta la strga vuota, el caso uesta appartega ad u lguaggo regolare, l automa o trasta alcuo stato e resta ello stato zale che sarebbe ache uello d accettazoe. L automa ` NRDFA così defto accetta lo stesso lguaggo d ` ache se o rpassa per e ha ` ` c.v.d. uo stato pù. Qud L L TEOREMA 4. : se L e L soo due lguagg regolar lo è ache L L. DIM.: Seza perdere d geeraltà, per l teorema 4. s cosderao per la dmostrazoe due NRDFA ` ed ` che accettao rspettvamete L e L, tal autom operao sullo stesso alfabeto A, eache uesto caso s perde d geeraltà, fatt rcordamo che l lguaggo rcooscuto da u automa o dpede dall alfabeto utlzzato: ` NRDFA AQ,,, F, e ` NRDFA AQ,,, F,, mpoamo oltre che tal autom o abbao stat comue coè (seme degl stat dsgut) : Q Q. Seza perdta d geeraltà (per l teorema.) ora costruamo u automa o determstco che accett l lguaggo L L, ` ˆ : l automa stato zale ˆ ; ` ˆ NDFA Q ˆ, ˆ, Fˆ, ˆ, A Q ˆ Q Q ˆ, ` ˆ ha gl stess stat d ` ed ` trae loro stat zal e, ` ˆ possede u suo ˆ, se ˆ F F F o F F F F altrmet l seme degl stat fal ˆF d ` ˆ è costtuto da tutt gl stat fal d ` ed` ad eccezoe degl stat zal se preset tra gl stat zal, uest due vegoo rmpazzat dallo stato zale d ` ˆ ˆ ; ˆ s, s, se Q s, se Q EDIT by Qd Lguagg IV Lez.

19 7 la fuzoe ˆ s comporterà come due autom ft o restartg ` ed`, però essedo ` ˆ u automa o determstco dobbamo cosderare sgleto el codomo della fuzoe d traszoe. Maca da defre la traszoe dallo stato zale: ud l automa ˆ ` ˆ ˆ, s, s, s, leggedo s uado s trova ello stato zale trasta cotemporaeamete agl stat cu trasterebbero ` ed ` alla lettura d s partedo dagl stat zal e, grafcamete possamo rappresetarlo così: ` ˆ ` ` ` ` È stato costruto u NDFA che è obblgato a segure etrambe le strade d ` ed `. L automa `ˆ NDFA accetta etramb (e soltato) lguagg L ed L, ud s può cocludere che accetta l lguaggo L`ˆ L L, c.v.d. Le codzo Q Q e l fatto che gl autom da cu samo partt soo o restartg c asscura che `ˆ è obblgato a rcooscere ucamete L L. TEOREMA 4.3: Se L A ed L è regolare allora A L è l complemeto d L rspetto ad A. A L è regolare. DIM.: Come al solto per dmostrare la regolartà d A L basta trovare u automa fto che rcoosca tale seme. Partedo da u DFA ` su A co Q ed F sceglamo u DFA ` uas detco a `. ` accetta tutte le strghe che ` rfuta, ud abbamo: F Q F (gl stat d accettazoe d ` corrspodoo a tutt gl stat che o soo d accettazoe per ` ), ud l uovo automa accetta A L. L A A L EDIT by Qd Lguagg IV Lez.

20 8 Ad esempo ` P Q,,, F, A, A a, b, A 0, a, b, ab, aab,,,, 3 m F 3, L` b a b 0, m 0 Q, ` : a b 3 b a Metre abbamo: Q,,, F, A,, ` F Q F : ` : a b 3 b a È evdete che l automa ` o accetta le strghe del lguaggo L, ma accetta ` m L A L a, b, aa, bb, ba, baa, b a,, m 0. TEOREMA 4.4 : Se L ed L soo lguagg regolar allora ache DIM.: Posto L, L A, per le legg d De Morga vale: L L A A L A L L L è regolare. (rf.d.s.w. pag. ) R S R S, el ostro caso R L ed S L, R A L, S A L ud, applcado le legg d De Morga abbamo: L L A R S A A L A L. A L e 4. (uoe) s ha che che: A A L A L è regolare. Qud, essedo A L soo regolar per l teorema precedete (4.3, complemeto); ud, dal teorema A L A L è regolare; fe, rapplcado l teorema 4.3 otteamo L L L `, c.v.d. coclude che: L L A A L A L s EDIT by Qd Lguagg IV Lez.

21 Quta Lezoe 3/0/006 altre propretà d chusura teorema d Kleee TEOREMA 4.5: e 0 soo lguagg regolar. DIM. : U automa che accetta L o ha stat d accettazoe ( L L` F ), ud ualsas strga letta da u sffatto automa o verrà accettata perché o esstoo stat d accettazoe, ud l lguaggo accettato è L. DIM. 0 : Per uato rguarda L 0 u automa che lo accetta è uello che ha come stato fale propro lo stato zale: F, l automa o ha bsogo d leggere ulla per trovars ello stato d accettazoe, uato lo stato, d parteza, è gà d accettazoe, ud se legge la strga vuota 0 o fa ulla e resta F. Charamete affché l automa accett solo la strga vuota e et altro deve essere o restartg. TEOREMA 4.6: Se u A allora L u è regolare. DIM.: Se u 0, dal teorema precedete abbamo la dmostrazoe. Per u geerco u aa alal co a, a,, al, al A costruamo u NDFA che rcoosce soltato la strga u. Possamo defre la fuzoe d traszoe così:, a, a co,,, l e a A a, a, a, k k F l a a al 3 l l L automa abortsce la computazoe ( ) se legge u smbolo che o è letto al mometo gusto ovvero uado k, metre prosegue la computazoe se k fo allo stato fale l. L NDFA appea costruto accetta l lguaggo u, ud u L `. COROLLARIO 4.7: Og sottoseme FINITO d A è u lguaggo regolare.

22 0 DIM.: Per l teorema 4.5 se L allora L è regolare; se vece L è u ualsas sottoseme d A o vuoto, L u, u,, u co u, u,, u A allora, applcado l teorema 4.6 e 4., s ottee la dmostrazoe del corollaro. Ifatt per l teorema 4.6 gl sem u, u,, u soo regolar; po, per l teorema 4. s ha che u u u è regolare, ud l corollaro è dmostrato. Teorema d Kleee (rf. D.S.W. pag. 53) Esstoo altre propretà d chusura d cu godoo lguagg regolar rspetto ad operazo uove che adamo a defre: DEF. (Cocateazoe d lguagg) : sao L, L A, co la scrttura L L dchamo l lguaggo otteuto dalla gustapposzoe delle strghe d L co L, ud: L L uv ul e vl Se L ed L soo sem ft, ovvamete L L è u seme fto. Metre se L h, L k al- lora L L hk. DEF. L : sa L A scrvamo: L uu u 0, u, u,, ul. L charamete è sempre fto e 0 L uato può essere ache uguale a 0. Charamete se L A rsulta L A. TEOREMA 5.: se L ed L soo lguagg regolar allora ache LL è u lguaggo regolare. DIM.: Coma al solto basta costrure u automa che accett LL per dmostrare l teorema. L L L L `, ud avremo due DFA: Suppoamo che ` ed e ` ` Q,, F,, A DFA DFA Q,, F,, A co Q Q, rcordado che la regolartà d u lguaggo o dpede dall alfabeto su cu opera l automa rcoosctore possamo, seza perdere d geeraltà supporre che due autom opero sullo stesso alfabeto A. Sulla base degl autom ` ed ` costruamo ora u automa o determstco ` NDFA e faccamo modo che uesto uovo automa accett l lguaggo L L facedo sì che esso segua etrambe le strade degl autom ` ed `. Defamo le compoet dell automa ` : EDIT by Qd Lguagg V Lez.

23 Q Q Q,, s, per Q F s, s,, s per F s, per Q L automa L automa ` pratca, uado legge u smbolo, trasta altr stat seguedo l percorso d NDFA `, el mometo cu s trova uo degl stat d accettazoe d ` (coè uado è stata letta tutta ua strga apparteete a L ), l suo percorso s sdoppa, proseguedo evetualmete egl stat fal d ` e zado l percorso d ` so al terme della lettura della strga apparteete a L. ` ud è stato costruto modo da leggere prma le strghe d L e po uelle d L ; dobbamo però defre l seme degl stat d accettazoe d ` : F F F se 0L F F se 0 L Tale clausola è ecessara uato, ad esempo, parole del tpo u 0 co u L e 0 L devoo essere rcooscute da strga vuota e poché u0 `, però per la defzoe d u NDFA (ma ache u DFA) o fa ulla se legge la u, ` deve accettare ache parole d L, el caso cu L cotega la str- ga vuota, ecco perché F F F se 0 L. Metre el caso cu 0 L, o c sarao strghe del tpo u0 che l automa o determstco dovrà accettare, ecco perché è suffcete mporre F F se 0 L. `, per come è stato realzzato accetta l lguaggo LL che ud è regolare. TEOREMA 5.: Se L è u lguaggo regolare allora ache L è regolare. DIM.: Ipotzzamo che L sa accettato da u NRDFA ` (per l teorema 4. l uso d u NRDFA o fa perdere d geeraltà alla dmostrazoe, oltre l uso d u automa o restartg faclta la dmostrazoe), co Q seme degl stat, lo stato zale, F l seme degl stat d accettazoe ( F Q ) e la fuzoe d traszoe, costruamo u automa o determstco, ora defamo la fuzoe d traszoe: ˆ s, ` co Q Q, s, ed F s, se s, F se s, F I pratca laddove ` s ferma (uado fsce d leggere ua strga u L), per leggere acora pezz d strga fatt da strghe d L. ` rparte d accapo EDIT by Qd Lguagg V Lez.

24 L automa ` appea realzzato accetta L, ud tale lguaggo è regolare. Abbamo vsto molt esemp per cocludere che gl autom soo degl strumet per dmostrare la regolartà de lguagg. TEOREMA 5. (d Kleee): U lguaggo L è regolare L può essere otteuto a partre da lguagg FINITI applcado u umero fto d volte le operazo:,,. DIM. : la dmostrazoe uesto seso è mmedata. Bsoga fatt dmostrare che: se L è u lguaggo otteble da lguagg ft applcado u umero fto d volte gl operator,, allora L è u lguaggo regolare. Dal teorema 4.7 s ha che og sottoseme fto d A è regolare, da teorem 4., 5. e 5. abbamo rspettvamete che l uoe, la cocateazoe e la stella soo operazo che preservao la regolartà d u lguaggo, ud l teorema uesto verso è dmostrato; DIM. : Ora dobbamo dmostrare che se L è regolare allora L è otteble a partre da lguagg ft applcado u umero fto d volte le operazo,,. Suppoamo che L L`, sa ` u DFA co Q stat d accettazoe F, operate sull alfabeto A s, s,, s p Defamo l seguete seme:,, m, stato zale, seme degl e la fuzoe d traszoe., `, k R, j xa x j e tale che o trasta attraverso stat l l k ell'esamare x, j 0 k 0 Pù formalmete possamo dre che R k è l seme delle parole x, j s s s s r tal che: r, s ; j, s ; j j j, j,, j k, s ; jr r jr, s ; jr r jj j l l k - Iterpretazoe grafca del comportameto dell automa uado legge ua strga d R - r k I pratca l seme R, j defsce tutte le strghe che fao trastare u automa dallo stato allo stato j seza ma trastare per gl stat k, k, e così va. 0 Vsto cò possamo dre che l seme R, è rappresetate d tutte uelle strghe che fao trastare l automa dallo stato allo stato stesso seza ma trastare attraverso alcuo stato (vsto che k 0 ). È charo che esste soltato ua strga che EDIT by Qd Lguagg V Lez.

25 permette ad u automa d comportars uesto modo, la strga vuota, ud l automa o potrà trastare alcuo stato, può solo stare ), charamete 0, 0, 0 3 R (poché k 0 R è u seme fto. 0 Ivece R, j j è l seme costtuto da tutte uelle strghe che fao trastare l automa dallo stato 0 allo stato j, ma poché k 0, l automa o potrà trastare alcuo stato se o j, ud R, j sarà costtuto da strghe d lughezza, coè smbol (s ha d cosegueza che se 0 x R x, x, s co x s A), ud ach esso fto:, j j R aa, a, j. 0 j j Sottoleare che gl sem mostrat soo ft è essezale a f della dmostrazoe del teorema, come vedremo a breve. Da otare che co uesta uova otazoe u automa potrebbe trovars, alla fe della lettura d ua k strga dell seme R, j uo stato co l k, l vcolo è rferto al fatto che l automa o deve l trastare durate la lettura de smbol della strga d R, ma all zo e alla fe della lettura della strga potrebbe ache trovars uo stato ualsas. Possamo scrvere ua formula rcorsva (avedo gà vsto l caso base sem d orde more, abbamo: 0 R, j) che defsce k R, j base a k k k k k, j, j, k k, k k, j R R R R R Tale formula può essere terpretata grafcamete uesto modo: j k Rk, k Rk, j k k R k, k R k può essere espresso medate operazo applcate a R, j che a sua volta può essere rcavato da k, j formule sml fo ad arrvare al caso base R l cu coteuto è oto. Rbadamo che 0, j k R, j rappreseta l seme d tutte uelle strghe che fao trastare ` dallo stato allo stato j, ma che o trasta attraverso stat k, k, È utle sottoleare che o esste u orde tra gl stat, ud j potrebbe bessmo essere more d, è k che c vcola a o sceglere strghe che faccao trastare ` attraverso stat,, k k EDIT by Qd Lguagg V Lez.

26 4 R vece rappreseta ua parte dell seme k, j trastare ` dallo stato allo stato k, j R, fatt esso è costtuto dalle strghe che fao k, j j seza passare attraverso gl stat k k k,, Qud R, j, a dffereza d R, o farà passare l automa attraverso lo stato k, stato vece cosetto per R. k, j No bsoga fare cofusoe su ual soo gl strumet ecessar a costrure u seme R, fatt è dall automa, co la fuzoe d traszoe, gl stat e l alfabeto che s parte per costrure l seme R e o vceversa. scuramete ` dovrà trastare ua sola volta per j I geerale ` trasta ua volta attraverso e j e u umero arbtraro d volte attraverso l, co l k. I uato, se k j, metre potrà trastare u umero arbtraro d volte attraverso stat l co l Poché maca lo stato k al fe d costrure l seme k, j k. R k, otteble medate R, j, dobbamo ag- k gugere a R, j u altro pezzo costtuto da uelle strghe, az da ue pezz d strghe che fao trastare l automa da a j passado evetualmete ache per k. Possamo duue mmagare la strga k R, j x dvsa tre part: x uv w, dove u rappreseta la sottostrga d x che fa trastare medate u umero fto d pass ` da a k ; metre v fa trastare ` da k se stesso u umero arbtraro, ma fto, d volte (ecco perché s fa uso della stella); e fe w fa trastare ` da k a j sempre medate u umero fto d pass (letture d smbol d w). Il fatto che o s fa uso della stella elle altre part della formula dpede dal fatto che per la defzoe che abbamo dato d k R, j, se esstoo, le strghe d tale seme devoo far trastare l automa ecessaramete dallo stato allo stato k, se applcassmo la stella a j k, k 0 k, j, pù formalmete, rspettado la formula, da j R e a k, a k e po da k k k R j sarebbe cosetto dre che R k 0, e R, ma uesto modo l automa o potrebbe ma trastare dallo stato allo stato. j Metre è ecessaro l uso del smbolo d uoe d k R k k k co R, j, R k k, k R k, j perché potrebbero esstere strghe che o passao per k, facedo trastare l automa da drettamete. j Dalla formula rcorsva vsta abbamo l seguete: k LEMMA: Og seme R, j può essere otteuto da lguagg ft applcado u umero fto d volte gl operator,,. DIM.: La dmostrazoe derva da uato affermato poco fa. Procedamo per duzoe su k : k=0 : abbamo vsto prma che l seme R è fto; 0, j k=r+, presumedo che l lemma sa vero per k=r : la tes del lemma è d uovo data dalla r r formula che abbamo vsto prma, s ha: r r r R, j R, j R, k Rk, k R k, j che è propro la tes, fatt l seme è dato dall uso d u umero fto d operazo, ovvero ua r volta l uoe e la stella e due volta la cocateazoe sull seme R, j, che per potes d duzoe è otteble da u umero fto d operazo su lguagg ft. EDIT by Qd Lguagg V Lez.

27 Rtorado al teorema d Kleee, rcordamo che dobbamo dmostrare che se l lguaggo L è regolare, allora esso è otteble da lguagg ft applcado su d ess u umero fto d volte le operazo d uoe, stella e cocateazoe. Adoperado l seme R vsto prma, possamo esprmere u lguaggo regolare L così:, L L ` R j0 jf Coè stamo cosderado tutte le strghe che fao trastare l automa ` dallo stato zale agl stat fal j, è ua uattà che dpede dal umero d stat e rsulta F. Rcorredo al lemma precedete otteamo la dmostrazoe, fatt R, j è otteble da lguagg ft applcado u umero fto d volte le operazo d uoe, stella e cocateazoe, cò è dato ache dal fatto che l uoe su R, j vee applcata u umero fto d volte, uato F è u seme fto. j 5 EDIT by Qd Lguagg V Lez.

28 Sesta Lezoe 0/0/006 Espresso regolar e teorem secoda versoe del teorema d Kleee (prma parte) Espresso regolar Il teorema d Kleee vsto ella lezoe precedete mette relazoe lguagg regolar co lguagg ft e le operazo,, ; è possble duue dare, graze ad esso, de om a lguagg rego- lar. Og lguaggo è omable secodo uato segue: fssamo u certo alfabeto A s s s,,, k ; s vao a cosderare tutt lguagg regolar L`, L A ; defamo l seguete seme: A s, s,, s k,0,,,,,(,) I pratca abbamo defto l seme A medate elemet che rappresetao smbol d A e le vare operazo, abbamo dato u ome a tal smbol e a tal operazo ( s s chama s,, 0 s chama 0, ecc ). Defamo ora la classe delle espresso regolar (rf. D.S.W. pag. 56): per duzoe dcamo che essa è u sottoseme d A co le seguet clausole: passo base: ),0, s, s,, s k soo espresso regolar; passo duttvo: ) se e soo espresso regolar, allora lo è ache 3) se e soo espresso regolar, allora lo è ache ; 4) se è u espressoe regolare, allora lo è ache ; ; passo d chusura: 5) et altro è u espressoe regolare se o è stato otteuto applcado (serve a escludere le clausole,,3,4 u umero fto d volte. tutt gl altr cas) per pratctà omettamo tratt post sotto alle paretes ( e ) Quella appea data è ua defzoe stattca, abbamo vetato de om (espresso regolar) adoperado smbol: s, s,, s k, 0,,,,,(, ). Ora damo ua deotazoe sematca a uelle che abbamo battezzato: espresso regolar: sa u espressoe regolare, co l uso delle paretes agolar < e > defamo che rappreseta u lguaggo regolare. Ecco che l smbolo acussce u vero sgfcato medate l uso delle paretes agolar ( vee ache detto valutazoe d ).

29 Ecco alcu esemp adoperado uesta otazoe: 7 le espresso regolar sull alfabeto A a, b, c e soo ad esempo: a b c vegoo defte medate l seme A a, b, c,0,,,,,(, ), 0 a b, c b. S ha base alle defzo date per la classe delle espresso regolar: s è u espressoe regolare, metre dall espressoe regolare s. s è l lguaggo regolare deotato se allora s s s, se 0 allora 0 0 ; se allora (s ottegoo dalla clausola della defzoe d espresso regolar); se allora (s ottee dalla clausola della defzoe d espresso regolar); se allora (s ottee dalla clausola 3 della defzoe d espresso regolar); se allora (s ottee dalla clausola 4 della defzoe d espresso regolar, uesto caso le paretes tode o soo ecessare uato la stella è u operazoe uara); Quado L, sappamo che rappreseta L (coè L ha l ome, metre L ). Altr esemp (rf. D.S.W. pag. 57): ) a b c a b c a b c a b c a b c (ell ultma uguaglaza le paretes agolar o soo pù ecessare uado o v è alcua espressoe regolare da deotare) Rsulta: ` m m a b c L ab, 0 ac, m 0 w w ab, 0 ac, m 0 ; ) 0 ab a b a b a b a b (la strga vuota può essere omessa uato è gà clusa ella stella ell espressoe a destra dell uoe) EDIT by Qd Lguagg VI Lez.

30 8 Rsulta: a b L ` ab 0 ; 3) c b c b c b c b Rsulta: ` m c b L c b,, m0. TEOREMA 5.4 (rf. D.S.W. pag. 57): Se L è u lguaggo fto allora c è sempre u espressoe regolare per L tale che L DIM.: Dmostramo l teorema per duzoe sulla cardaltà del lguaggo, per le defzo sematche date prma valgoo le seguet bezo, rappresetat pass base dell duzoe:.a) L.b) L ; L 0 L 0 ;.c), m 3 m L x x s s s L s s s s. Ora, assumedo che l teorema valga per L L k. Posto L k (potes d duzoe), dmostramo che vale ache per d duzoe s ha che per L per l passo base (.c) x, co espressoe regolare. Qud, poché k, possamo scrvere LL x, co x A ( L L x k ), per l potes k esste u espressoe regolare tale che L, s ha oltre che, L L x possamo otteere u espressoe regolare tale che L ( L x L). Qud l teorema è dmostrato, fatt medate l passo duttvo può essere costruto ualsas lguaggo regolare fto da cu otteere u espressoe regolare che lo deota. TEOREMA 5.5 (secoda versoe del teorema d Kleee rf. D.S.W. pag. 58): I base alle defzo stattche e sematche date prma e base al teorema precedete, l teorema d Kleee può essere scrtto uesto modo: U lguaggo (o ecessaramete fto) L A è regolare v è u espressoe regolare tale che L. DIM. : È facle dmostrare l teorema da destra a sstra, fatt, facedo uso del teorema d Kleee, s ha che se esste u espressoe regolare tale che L allora L è u lguaggo regolare. Ifatt deota u lguaggo regolare otteble da lguagg regolar ft a cu soo applcate le operazo,, u umero fto d volte (è propro cò che c dce l teorema d Kleee). Qud è u lguaggo regolare. La dmostrazoe segue alla lezoe successva EDIT by Qd Lguagg VI Lez.

31 Settma Lezoe 4/0/006 secoda versoe del teorema d Kleee (secoda parte) Pumpg Lemma e teorem coseguet DIM. : Nell altro seso dobbamo dmostrare che se L è regolare allora v è u espressoe regolare tale che L. Cosderamo l mplcazoe el caso cu L sa u seme fto e po el caso cu sa fto. Se L è fto, per l teorema precedete esste u espressoe regolare, tale che L, co L regolare. Nel caso cu L è fto, s rcorre uovamete al teorema d Kleee per l uale s ha che og lguaggo L (o ecessaramete fto) può essere otteuto dalla costruzoe d lguagg ft a ual s applcao le operazo,, u umero fto d volte. Qud L può essere rappresetato da e- spresso regolar e le relatve operazo, da cu derva la dmostrazoe del teorema. U grosso lmte de lguagg regolar è che e esstoo var che soo rcooscbl da u algortmo, ma o da u automa ( rfermeto all ettà d automa fto studata fo ad ora, fatt esstoo altr tp d automa pù potet che soo capac d rcooscere ua classe pù vasta d lguagg e o solo d uell regolar vst so ad ora, come vedremo ella sezoe delle grammatche), ud o sempre la costruzoe d u automa c auta a verfcare la regolartà d u lguaggo. Ecco che l PUMPING LEMMA c vee auto (rf. D.S.W. pag. 60): TEOREMA 6.: Sa L L `, dove ` è u DFA co stat. Posto x L e x allora s può scrvere x ella forma uvw, co v 0 e l lguaggo L coterrà tutte le strghe della forma: x uv wl, 0,,,. 0 Da otare che è sì vero che v 0 ma può succedere che compaa v, uesto perché x può essere e- spresso come uvw, uvvw, uvvvw, ecc, ud avremmo u0w, u00w, u000w, ecc per u arbtraro, se v 0 la strga u0 w s potrebbe pompare all fto dpedetemete dal valore assuto da, otteedo sempre lo stesso rsultato e coè u0 w uw. Da otare ache che poché per potes Q e x, ` ella lettura d x trasterà per almeo stat, o ecessaramete dstt, az, scuramete o potrà trastare per stat tutt dstt, uato e ha solo a dsposzoe, ud ` trasterà almeo due volte per uo stato, uesto fatto rappreseta la chave d volta per dmostrare l lemma. DIM.: Il pumpg lemma s basa sul prcpo della pccoaa (acceato poco fa), coè, se abbamo lettere da dstrbure ua pccoaa d cassette, è ovvo che almeo ua cassetta dovrà coteere almeo due lettere. Le lettere corrspodoo a smbol della strga x, metre le cassette della pccoaa corrspodoo agl stat dell automa `. Dre che due lettere sarao poste ua cassetta corrspode a dre che l automa `, ella lettura d x, trasterà almeo due volte uo de suo stat. I base a tale prcpo possamo duue scrvere l comportameto dell automa ` ella lettura d x:

32 30, u v, w, F ` u w F v F F L automa leggerà prma la sottostrga u, che dopo ua sere d traszo, arrverà ello stato alla fe della lettura d u; ello stato zerà a leggere la strga v, alla fe della lettura d v, l automa ` s rtroverà uovamete ; da l automa ` leggerà l ultma parte d x, coè la sottostrga w che lo farà trastare dallo stato uo degl stat d accettazoe. Il teorema è dmostrato medate tale comportameto, fatt per v, co 0,,, l tragtto d ` ella lettura d x s cocluderà sempre uo stato d accettazoe. Il pumpg lemma è uo strumeto molto utle a verfcare la NON regolartà d u lguaggo, fatt o possamo affermare che o esste alcu automa che rcoosce l lguaggo (è semplce trovare uo o pù autom che rcooscoo u dato lguaggo regolare, per la precsoe se esste u automa e esstoo ft che rcooscoo u dato lguaggo regolare; cosa molto pù complcata vece sarebbe uella d esbre gl ft autom che NON rcooscoo u dato lguaggo, al fe d dmostrare che esso o è regolare; è charo ud che el dmostrare che u lguaggo o è regolare l automa o è uo strumeto adatto al ostro fe). Per dmostrare che u lguaggo o è regolare lo s fa per assurdo. Se l metodo dretto è l seguete: se (potes) L allora L o è regolare (tes), la dmostrazoe per assurdo prevede che eghamo la tes, ud assumamo che L sa regolare. A uesto puto possamo applcare a tale lguaggo l pumpg lemma, esbedo delle strghe del tpo x uv w co v 0 e 0. La cotraddzoe s ottee soltato uado per tutte le strghe uvw,, esste almeo u tale che uv w L. Da cu s può affermare co certezza che L o è regolare. Tale rsultato o può essere cofermato el caso cu o s resca a trovare ua tera d strghe u, v, w tal che essta u tale che uv w L ( tal caso l pumpg lemma o è pù suffcete a dmostrare la regolartà o la o regolartà del lguaggo, bsoga duue rcorrere ad altr metod). Il metodo appea descrtto sarà charto pù avat co u esempo molto mportate. ` esste ua str- TEOREMA 6. (rf. D.S.W. pag. 6): Sa ` u DFA co stat, allora se L ga x L` tale che x. Il lguaggo costtuto da tutte le strghe x co x è ovvamete fto. DIM.: Suppoamo che x sa la parola pù pccola (lughezza mma) accettata da ` ( x L` x ). Dmostramo l teorema per assurdo, egado la tes, suppoamo ud che se L` allora esste ua strga x L` tale che x. C soo duue presuppost per applcare l pumpg lemma, possamo duue scrvere x uvw, co v 0, e, se 0, esste ua 0 strga uv w uw L `, segue che uw uvw, coè uw x e uest ultma dsuguaglaza rappreseta u assurdo uado avevamo potzzato che x fosse la strga pù pccola accettata da ` e vece l pumpg lemma c dce che esste ua parola, pù pccola d x, uw che è accettata da `, coè L `, ud l teorema è dmostrato. apparteete a EDIT by Qd Lguagg VII Lez.

33 3 È utle mostrare u metodo che c permetta d stablre se u lguaggo accettato da u automa ` è cluso el lguaggo accettato da u automa `, coè c stamo chededo se esste u meto- L ` L `. Per verfcare cò basta mostrare che u dato l- do che c permetta d sapere se guaggo L ` sa vuoto esprmedolo così: ` ` ` ud s ha: L` L` L` L L A L Grafcamete possamo esprmere L` così: A A L ` L ` L ` L Come s può osservare A L` e L` soo dsgut ud. ` L` L ` ` Caso lmte è L, uesta crcostaza abbamo comuue L Al cotraro, se avessmo scrtto L` L`, avremmo avuto L` dal grafco: L ` è vuoto, dfatt `., come s può vedere A A L ` L ` L ` TEOREMA 6.3 (rf. D.S.W. pag. 6): Se L L uvw,, A co v 0, tal che uv w L co 0,, ` è u seme fto allora v soo strghe A dffereza del pumpg lemma, c samo ora svcolat dal umero d stat d ` e dalla lughezza d x. Tale teorema è utle per verfcare se cert lguagg ft o soo regolar. Ifatt basta cercare delle strghe del tpo x che o appartegoo al lguaggo come vsto prma. TEOREMA 6.4: Sa ` u DFA co stat, s ha che L` è u seme fto L` cotee parole x (e cotee almeo ua) tal che x. EDIT by Qd Lguagg VII Lez.

34 3 DIM. : La dmostrazoe uesto seso è baale e s ottee medate l pumpg lemma. S deve L ` cotee parole x, tal che x L ` è u seme fto. dmostrare che se allora Sussstoo le potes per applcare l pumpg lemma, fatt abbamo u lguaggo regolare L`, u DFA co stat e la strga x ha lughezza par o maggore d. Esste duue strghe x uv w, co v 0 e 0,,, L ` è dretta cosegueza del pumpg lemma, fatt se esste ua La o ftezza d x uv w, co v 0 e 0,,, x s può pompare a pacere al varare d, ud L ` è L` coterrà strghe (o soo tutte così) del tpo uw, uvw, uvvw, uvvvw, ud fto. DIM. : Ora dobbamo dmostrare che: dato u L` fto allora x x. Abbamo che, poché L ` coterrà parole L ` per potes è fto, essterao certamete parole x x, sceglamo ua strga d lughezza mma luga almeo, essedo tale strga x la s può certamete scomporre due pezz (è charo che ` ha almeo uo stato, ud ). Qud x x x, posto x abbamo d cosegueza x poché abbamo fssato x, allora, per l prcpo della pccoaa vsto per la dmostrazoe del pumpg lemma, abbamo che x uvw. Nel pumpg lemma o è specfcato, ma u e w possoo essere ache strghe vuote, è soltato su v che c è l vcolo d v 0. Possamo duue scrvere:, u v, w, x F co v. ` Qud, poché la lettura d v geera u cappo, possamo dre che uwx è ua strga accettata da `, uwx L`,, uwx F. Certamete rsulterà uwx x, poché x. Ioltre, poché abbamo costruto x xx, co x uvw e v, ovvamete rsulterà uwx x (strettamete more uato ella parte sstra della dsuguaglaza, maca la v che certamete o è ua strga vuota). Rcordado che s era potzzato x uale strga pù pccola, d lughezza o more d ( x ), rsulterà duue uwx e uwx è ua parola accettata da `, ma x avevamo stablto che fosse la pù pccola parola d lughezza o more d e d cosegueza ua strga pù pccola d x deve ecessaramete rsultare d lughezza strettamete more d e poché uwx x e uwx avremo che uwx. I deftva uwx rappreseta la strga apparteete al lguaggo L che soddsfa la tes. Il teorema appea mostrato rappreseta u valdo metodo (algortmo) per verfcare che u dato lguaggo regolare sa fto o meo, basterà fatt trovare ua strga x tale che, se ` ha stat, x. u v w x F F F Il pumpg lemma forsce come avevamo gà detto u metodo per verfcare la o regolartà d u lguaggo. Ad esempo (rf. D.S.W. pag. 6) s può dmostrare che l lguaggo L a b 0 o EDIT by Qd Lguagg VII Lez.

35 è regolare (coè o esste essu automa che accetta esclusvamete le strghe d tale lguaggo e ull altro, oltre a e b devoo essere vst come strghe costtute da u solo smbolo). DIM.: per assurdo suppoamo che L L `. Suppoamo che ` abba m stat. Per l pumpg lemma L è fto, oltre esste ua strga x, co x m, x uvw e v 0, abbamo che uv w 0 L. Posto l l x a b, rsulta l b co, ecessaramete, l l a b l e, poché x m, l m. Qud dre l l l l l che x uvw a b vuol dre che v deve essere della forma a oppure della forma a a oppure acora l, l l. I tutt è tre cas la strga x L`, uato essa vremmo `, ma ache l o può avere lo stesso umero d a e d b. Ifatt, el caso cu v a, per l pumpg lemma, a- uvw L u vv wl `, che o potrao ma avere lo stesso umero d a e d b (se ce l ha la prma, o può averle la secoda e vceversa); aalogamete succede per vece, el caso cu l l l l l l v a b s avrebbero strghe del tpo u a b a b w che certamete o soo strghe accettate da `. l l u a b w v 33 l b ;, ma ache 0 Avedo esbto tutt possbl cas cu x può presetars e (per cascu caso) esste almeo u valore d l per cu x L, s coclude che certamete L a b L `. È mportate rbadre che esstoo sì autom che accettao, tra le tate, strghe del tpo vsto poc az, ma o esstoo autom che accettao ESCLUSIVAMENTE tutte le strghe appea vste, uesto c basta per dre che l automa o accetta l lguaggo. U automa che rcoosce u dato lguaggo L deve apputo rcooscere le strghe d tale lguaggo e soltato uelle (o deve rcooscere altre). EDIT by Qd Lguagg VII Lez.