GABRIELE AMADIO - GIANCARLO CREMA MODELLI DI RICERCA OPERATIVA APPLICATI ALLA LOGISTICA

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1 GABRIELE AMADIO - GIANCARLO CREMA MODELLI DI RICERCA OPERATIVA APPLICATI ALLA LOGISTICA Pubblicazioi dell I.S.U. Uiversità Cattolica

2 GABRIELE AMADIO - GIANCARLO CREMA MODELLI DI RICERCA OPERATIVA APPLICATI ALLA LOGISTICA Milao 999

3 999 I.S.U. Uiversità Cattolica Largo Gemelli, Milao ISBN

4 INDICE Prefazioe I - TEORIA DELLE CODE a cura di Gabriele Amadio. - Presetazioe La coda ed il suo processo Cei sulle Catee markoviae Defiizioe Le catee markoviae co variabile tempo di tipo discreto Catee markoviae co variabile tempo di tipo cotiuo struttura dei Modelli di code La popolazioe La coda La disciplia del servizio L'orgaizzazioe e la struttura del puto di servizio Esempi di rappresetazioe grafica dei processi di code Defiizioi Alcue cosiderazioi riepilogative Modelli di code Il processo di ascita-morte: postulati fodametali Aalisi del processo ascita-morte

5 Le probabilità di stato ei modelli o stazioari U processo di sole ascite U processo di sole uscite Stato stazioario del sistema di code Aalisi della distribuzioe di Poisso La distribuzioe espoeziale La distribuzioe di Erlag Alcui Modelli di code Premessa Modello co s=, arrivi secodo Poisso e tempi di servizio espoeziali - M/M/ Modello co s =, arrivi secodo Poisso e tempi di servizio secodo Erlag Modello co s =, arrivi secodo Poisso e lughezza massima della coda limitata a K - (M/M//K) Modello co s= e popolazioe fiita - M/M//M Modello co s >, arrivi secodo Poisso e tempi di servizio espoeziali - M/M/m Alcue cosiderazioi fiali sui modelli di code L'applicazioe dei Modelli di code ella sperimetazioe Alcue cosiderazioi U esempio cocreto Ulteriori cosiderazioi sull'utilizzo dei modelli di code La simulazioe come alterativa ai Modelli di code Defiizioe La costruzioe del modello di simulazioe Coclusioi

6 - II - GESTIONE DELLE SCORTE a cura di Giacarlo Crema. Geeralità Requisiti dei problemi delle scorte Adameto grafico delle scorte Metodi di gestioe delle scorte Parametri ecoomici Modelli matematici per la gestioe delle scorte Modelli determiistici statici Modelli per approvvigioameto istataeo Modelli per approvvigioameto differito el tempo Modelli per approvvigioameto cotiuo el tempo Modelli determiistici diamici Modelli per la programmazioe della produzioe Modelli per l'uscita delle scorte dei prodotti deteriorabili el tempo Modelli probabilistici statici Modello seza costo di preparazioe dei lotti Modello co costo di preparazioe dei lotti III - IL TRASPORTO a cura di Giacarlo Crema 3. - Origie del ome Natura del problema Modello matematico Idetificazioe delle soluzioi accettabili di base Ricerca delle soluzioi accettabili di base iiziali

7 3.6 - Ricerca della soluzioe ottima Casi particolari Esercizio IV - L ASSEGNAZIONE a cura di Giacarlo Crema 4. - Natura del problema Modello matematico Procedura risolutiva Ricerca di u massimo Esercizio Bibliografia

8 PREFAZIONE I tempi ormai lotai il gruppo di appassioati della ricerca operativa dell Uiversità Cattolica del S. Cuore produsse la traduzioe di u testo di Hillier e Lieberma che be si adattava alle ecessità di u corso istituzioale, apputo di Ricerca operativa, ella Facoltà di Ecoomia e Commercio. Quella traduzioe ha avuto ua rimarchevole fortua editoriale, ma gli oltre vet ai di oorato servizio oggi si avvertoo ettamete. L evoluzioe aturale del lavoro poteva essere la ritraduzioe delle successive edizioi di u testo così fortuato: sfortuatamete, cammi facedo, quel testo elle successive edizioi è diveuto ua specie di «summa» della ricerca operativa difficilmete utilizzabile come testo di riferimeto per u corso uiversitario. Nel frattempo, l evoluzioe dei piai di studio delle facoltà ecoomiche che hao portato ad abbadoare la vecchia dicitura di rcerca operativa co espressioi più specifiche e direttamete legate alle applivazioi aziedali, ha itrodotto ua maggiore elasticità dei temi degi di trattazioe e el cotempo ha richiesto u aggiorameto di tutta la materia. Le modificazioi debboo comuque teer coto che o si può pesare di abbadoare argometi che mategoo u elevato livello di importaza e la cui coosceza rimae bagaglio importate di u operatore direttivo i qualsiasi tipo di azieda. A queste motivazioi cerca di rispodere questa riedizioe di u piccolo mauale che matiee l itezioe di essre da ua parte 7

9 supporto di preparazioe agli esami e dall altra cerca di aprire qualche motivo di riflessioe; tale è i particolare il ceo alla simulazioe che coferma la ecessità e l augurio di programmare altri iterveti el settore. Atoio Liverai 8

10 - I - TEORIA DELLE CODE. - PRESENTAZIONE.. - La coda ed il suo processo. Molti di oi sicuramete si sarao più di ua volta trovati ella spiacevole, o comuque poco gradita, situazioe di dover sopportare delle attese prima di poter beeficiare di u servizio oppure prima di vedere soddisfatta ua richiesta a suo tempo effettuata. Lo sportello bacario, l'ufficio postale, il supermarket, il parrucchiere e molti altri soo esempi di strutture dove quasi certamete l'utete, o più i geerale il richiedete il servizio, dovrà quasi certamete adattarsi a sopportare delle attese. Ma, oltre a quelli sopra descritti, molti altri possoo essere gli esempi di situazioi reali i cui l'utete viee servito dopo ua più o meo luga attesa el sistema. Si pesi ad esempio a chi utilizza u termiale collegato i "tempo reale" co u cetro di elaborazioe dati, oppure all'impiegato che ivia ua pratica ad u ufficio itero della propria azieda affiché la stessa vega evasa, oppure ad u cetralio di ua società che deve smistare le comuicazioi i arrivo o i parteza. I situazioi come quelle sopra descritte può assumere ua certa rilevaza l'aalisi del processo di code al fie ache di effettuare delle scelte sull'evetuale modifica della dimesioe della struttura che deve offrire il servizio. I tale cotesto ci soo comuque due tipi di iteressi che si cotrappogoo vale a dire quelli dell'utete che o 9

11 vorrebbe sopportare delle attese e quelli della "Direzioe" della struttura che offre il servizio i quato cosapevole che per ridurre i tempi di attesa si devoo effettuare delle scelte oerose (aumeto del persoale, acquisto di macchie più efficieti, ampliameto della struttura). L'utilizzo di modelli matematico-statistici come quelli che la teoria delle code ci mette a disposizioe possoo quidi essere dei validi strumeti a disposizioe degli orgai decisioali al fie di poter idividuare u giusto equilibrio tra la dimesioe della struttura che forisce il servizio ed i costi da sosteere per creare il predetto dimesioameto. Nelle pagie che seguirao verrao quidi illustrati i pricipali cocetti e defiizioi propri della teoria delle code e verrao itrodotti alcui modelli fodametali che possoo essere utilizzati al fie di effettuare ua cocreta aalisi su alcui sistemi reali. Per ulteriori approfodimeti si rivia il lettore alle pubblicazioi citate i bibliografia. Resta iteso che, al fie di poter utilizzare i modelli di code per l'evetuale aalisi, dovrao essere verificate ed accettate le ipotesi sulle quali gli stessi si fodao. Nell'aalisi di u processo di code i passi fodametali soo quidi i segueti: aalisi del sistema e raccolta dati; elaborazioe dei dati raccolti; idividuazioe di u modello teorico di code da utilizzare ell'aalisi; verifica dell'accettabilità dei risultati foriti dal modello; aalisi dei risultati del modello i preseza di valori alterativi dei parametri. Oguo dei passi sopraccitati verrà aalizzato distitamete el corso della presete trattazioe. Co la figura che segue viee illustrato il processo di code ei suoi aspetti fodametali. 0

12 Figura.. La coda ed il suo processo geerale Popolazioe di poteziali uteti Sorgete di arrivi CODA UNITA DI SERVIZIO Sistema di code UTENTI SERVITI. - CENNI SULLE CATENE MARKOVIANE.. - Defiizioe. Al fie di meglio compredere i modelli di code che verrao successivamete aalizzati, diveta esseziale, a questo puto, itrodurre alcui cocetti fodametali relativi alle catee Markoviae. Defiizioe: U isieme di variabili casuali [X ] forma ua catea markoviaa se la probabilità del prossimo valore di stato (i ) dipede solo dallo stato attuale (i - ). Quidi:

13 P X i X i, X i,..., X i (..) P X i X i co variabile tempo di tipo discreto. Quidi, defiito E(j) come lo stato del sistema i cui la variabile casuale X assume il valore j, P ij rappreseta la probabilità di passare al prossimo stato E(j) partedo dallo stato attuale E(i). Qualora si cosideri ivece la variabile tempo di tipo cotiuo la defiizioe di catea markoviaa può essere sitetizzata dalla seguete otazioe: P X(t ) jx(t ) i,x(t ) i P X( t ) jx( t ) i,...,x(t ) i (..).. - Le catee markoviae co variabile tempo di tipo discreto. Avremo occasioe di verificare come il tipico processo di code può essere ricollegato ad ua struttura di catea markoviaa. U esempio ci aiuterà a meglio illustrare l'argometo itrodotto. Cosideriamo u veditore di prodotti di ua società il quale decide di visitare della poteziale clietela i u certo umero di città (,,3,4,...,i,j,...z) seguedo u certo itierario. Suppoiamo ioltre che la "direzioe aziedale" abbia imposto le segueti regole da seguire: il passaggio alla città successiva sarà codizioato alla raccolta sulla piazza attuale di almeo dieci ordii dalla clietela; il macato raggiugimeto del sopraccitato umero di ordii di acquisto comporta per il veditore la permaeza i città di u altro

14 gioro, fio al raggiugimeto del limite miimo previsto e comuque fio alle ore 8.00 se il citato limite viee raggiuto i giorata; lo spostameto da ua città all'altra avviee sempre dopo le ore Defiiamo ora co X la città i cui troviamo il veditore alle ore 8.00 del gioro. Ipotizziamo ioltre che il umero di ordii che possoo essere acquisiti i ua città sia imprevedibile e quidi che la futura posizioe del veditore possa itedersi come l'espressioe di ua variabile casuale. Quado il veditore si trova ella città i e el mometo i cui ha acquisito i dieci ordii di acquisto, egli sa che automaticamete e dopo le ore 8.00, potrà lasciare la città i per adare a j (si assume irrilevate il tempo ecessario per passare da ua città all'altra). L'esempio può essere ache illustrato dalla seguete figura: Figura i j Come si vede il passaggio dallo stato i allo stato j implica automaticamete che il sistema sia precedetemete passato per gli stati,,3,4,5,...,(i-),(i-). Nel ostro caso, trovadoci i preseza di ua catea markoviaa, la probabilità del prossimo stato del sistema dipede sostazialmete dalla probabilità dello stato i cui si trova attualmete il sistema. Si può quidi affermare che le catee markoviae risalgoo solo allo stato o posizioe precedete e dimeticao quidi tutto il resto. Quado X = j (il veditore è ella città j il gioro ) si dice che il sistema si trova allo stato E(j) al tempo. 3

15 Riprededo l'espressioe (..) otiamo come essa rappreseti la probabilità di trasizioe ad u solo passo. I particolare, ell'ipotesi i cui le probabilità di trasizioe siao idipedeti da, la catea markoviaa viee defiita di tipo omogeeo. Quidi: Pij P X jx i (..3) defiisce la geerica probabilità di passare al prossimo stato E(j) partedo dallo stato attuale E(i) riferita ad ua catea markoviaa di tipo omogeeo. Può essere quidi defiita a questo puto ache la probabilità di passare da uo stato all'altro del sistema dopo m passi cosiderado che detta probabilità dipede solo da m e o dal tempo attuale. Le segueti espressioi defiiscoo quidi la probabilità di passare dallo stato i allo stato j dopo m passi: P ( m) ij P X m jx i (..4) (m) (m ) P P P (..5) ij k I particolare ua catea markoviaa viee defiita irriducibile se ogi stato del sistema può essere raggiuto da qualsiasi altro stato e quidi: ik kj m ij ( P 0 ) 0 (..6) per qualsiasi i e j e co m o itero e positivo. E' ua situazioe, quella appea descritta, facilmete verificabile ei tipici processi di code. 4

16 ..3 - Catee markoviae co variabile tempo di tipo cotiuo. Se si cosidera u elemeto o u sistema i movimeto che può cambiare stato i ogi mometo e quidi i corrispodeza di qualsiasi puto della variabile tempo, ci troviamo i preseza di ua catea markoviaa co variabile tempo di tipo cotiuo. Arriviamo quidi alla seguete defiizioe: u isieme di variabili casuali X(t) forma ua catea markoviaa co variabile tempo di tipo cotiuo se per ogi itero e per ogi sequeza t, t,, t 3,,..., t(-), posto che t < t...< t(-), si ha la (..) ossia: P X( t ) jx( t ) i, X( t ) i,..., X( t ) i (..7) P X( t ) jx( t ) i Sapedo che, i ogi processo di Markov, il tempo di permaeza i u determiato stato del sistema gode della proprietà della macaza di memoria ossia o è ifluezato dai tempi di permaeza ei precedeti stati, si dimostra che elle catee markoviae co la variabile tempo discreta, il tempo di permaeza ello stato è distribuito geometricamete metre ei processi co variabile tempo cotiua, il tempo di permaeza ello stato è distribuito i maiera espoeziale..3 - STRUTTURA DEI MODELLI DI CODE.3. - La popolazioe. Procediamo ora ell'aalisi delle compoeti fodametali di u processo di code. 5

17 La popolazioe è sostazialmete rappresetata dall'isieme dei poteziali uteti. Tutte le persoe, per esempio, che dispogoo di u termiale collegato co u cetro di calcolo presso ua società o u ete pubblico soo automaticamete dei poteziali utilizzatori delle risorse del cetro stesso - oppure tutti i proprietari di ua autovettura per quato cocere la rete stradale ed autostradale. Il poter defiire la dimesioe della popolazioe dei poteziali uteti ed evetualmete la sua evoluzioe el tempo, può essere estremamete iteressate al fie ache di valutare la coveieza a modificare la struttura e la dimesioe dell'uità che deve soddisfare le richieste di servizio. La citata aalisi dimesioale può, i talue circostaze, essere ache effettuata a mote di evetuali decisioi. Si pesi ad esempio alle scelte che ha dovuto effettuare la società dei servizi telefoici el mometo i cui dovevao essere itrodotti sul mercato i telefoi cellulari. Si trattava i altri termii di valutare, co appropriate stime, a quate persoe poteva essere offerto il servizio, a quate persoe poteva iteressare e quate richieste di abilitazioi di telefoi cellulari potevao quidi arrivare alla Società. I tale cotesto doveva comuque essere predisposta ua struttura tecica tale da poter soddisfare le richieste della popolazioe dei poteziali uteti. Possiamo quidi defiire la popolazioe come quell'isieme di uità (persoe e o) dal quale ha origie il flusso di arrivi presso u certo sistema. Detta popolazioe può essere fiita o ifiita. Nei processi di code che adremo ad aalizzare verrà comuque sempre ipotizzata ua popolazioe ifiita al fie di semplificare sesibilmete le strutture dei modelli che adremo ad aalizzare ed i relativi calcoli. Si tratta comuque di u'ipotesi che può essere accettata ache i preseza di ua popolazioe fiita ma di dimesioe relativamete grade e tale per cui il flusso di uità i uscita ha u'iflueza trascurabile sulla dimesioe della popolazioe stessa. 6

18 La secoda ipotesi semplificativa che viee qui itrodotta è che tutte le uità servite rietrio successivamete ella popolazioe dei poteziali uteti La coda. Come abbiamo visto, dalla popolazioe dei poteziali uteti ha origie il flusso di arrivi presso il sistema e i relativi puti di servizio. Gli arrivi presso i puti di servizio, i u certo itervallo di tempo (t) prefissato, potrao verificarsi i modi diversi secodo il tipo di procedura o di sistema oggetto dell'aalisi. Nei modelli che verrao i questa sede cosiderati sarà sempre itrodotta l'ipotesi che gli arrivi avvegao secodo ua distribuzioe di Poisso oppure, visto sotto altro aspetto, che il tempo itercorrete tra u arrivo ed il successivo abbia ua distribuzioe espoeziale. Ora, ella gra parte dei modelli di code ed i particolare i quelli che verrao presetati ella presete trattazioe, il umero di arrivi presso il/i puto/i di servizio è ua variabile casuale (viee quidi esclusa l'ipotesi di arrivi oti o predetermiati o comuque costati i u certo itervallo di tempo). Aalogamete si putualizza che ache il tempo di servizio è ua variabile casuale. La coda che ha origie presso il/i puto/i di servizio è quidi la cosegueza di ua capacità di servizio relativamete limitata e del fatto che sia il umero di arrivi i u certo itervallo di tempo sia il tempo di servizio stesso soo delle variabili casuali. L'utilizzo dei modelli di code ha quidi lo scopo di valutare, i termii probabilistici, ache la lughezza della coda, sulla base di parametri-iput prevetivamete iseriti el modello stesso. Geeralmete si tede a fare ua distizioe particolare per quato cocere la coda. Viee defiita coda vera e propria quella formata dalle uità preseti el sistema ed i attesa di essere servite (escluse quelle che si 7

19 stao servedo). La somma delle uità preseti i coda e di quelle che si stao servedo formao ivece la liea d'attesa. Figura..3 (Il processo degli arrivi: la coda e la liea di attesa) C Popolazioe C Coda C 3... C Liea dove C, C,..., C soo i posti di servizio La disciplia del servizio. Tutte le uità che, dalla popolazioe dei poteziali uteti adrao a formare la coda, sarao servite secodo delle regole di servizio be precise e predetermiate. Le citate regole sarao ache fodametali ella scelta del modello di code da utilizzare ell'aalisi. Tutto ciò cocorre a determiare la disciplia del servizio. I molte circostaze ed i modo particolare ei sistemi i cui o vegoo effettuate particolari classificazioi e suddivisioi della popolazioe dei poteziali uteti, si tede ad applicare il criterio "FIFO" ossia viee servita per prima l'uità etrata i coda per prima. 8

20 Si pesi al casello autostradale; risulta estremamete difficile ipotizzare o immagiare u criterio di servizio diverso da quello del "primo arrivato - primo servito". Ma se pesiamo all'ospedale ci accorgiamo come il citato criterio "FIFO" ella circostaza debba, per ovvie ragioi, essere abbadoato. Gli ammalati che giugoo ad u cetro di proto soccorso di u ospedale sarao serviti sulla base dell'urgeza dell'iterveto che questi richiedoo: i questo caso le uità sarao quidi servite secodo u criterio di priorità. No può comuque essere esclusa, i questa sede, emmeo l'ipotesi i cui le uità possao essere servite secodo criteri diversi da quelli si qui euciati come quello dell'ultimo arrivato e primo servito (LIFO) oppure, più i geerale, secodo u criterio di casualità. I questa sede verrao comuque trattati modelli di code i cui l'ordie di servizio è quello del primo arrivato e primo servito metre si rivia alle pubblicazioi elecate i bibliografia per ulteriori approfodimeti su modelli utilizzati regole di servizio diverse L'orgaizzazioe e la struttura del puto di servizio. Ogi uità che dalla popolazioe etra i coda, ua volta esaurita l'attesa viee servita. L'aalisi dell'orgaizzazioe della struttura che deve offrire il servizio è fodametale per la scelta del modello da utilizzare per lo studio del sistema. No esistoo comuque regole precise ell'orgaizzazioe di ua struttura che deve soddisfare le richieste di ua certa popolazioe. I questa sede si itede comuque illustrare quelli che soo gli aspetti fodametali che possoo cotraddistiguere u certo isieme di puti di servizio da altri. Ua prima distizioe fodametale può quidi riguardare il umero di posti di servizio preseti el sistema. Il distributore di carburate, il supermarket, i caselli autostradali soo tutti esempi di 9

21 sistemi e strutture a più posti di servizio (s>). Aalogamete si può dire che il droghiere o il cartolaio che gestiscoo da soli il proprio egozio soo esempi di sistemi ad u solo posto di servizio (s = ). Nell'aalizzare il puto di servizio assume ioltre particolare rilievo ache verificare come vega offerto dal sistema il servizio richiesto. Oggetto dell'aalisi diveta quidi il meccaismo del servizio. Le richieste delle uità i coda possoo veir soddisfatte i u'uica fase oppure secodo ua sequeza di fasi parziali successive. Quato sopra o può essere trascurato ella scelta del modello da utilizzare ello studio di u sistema di code e comuque fodametale diveta quidi ache l'aalisi del meccaismo di servizio. La coosceza dell'orgaizzazioe del sistema e di come le uità i arrivo si muovio all'itero del sistema di code risulta esseziale al fie di meglio orgaizzare ache la raccolta dati e la ricerca dei parametri da utilizzare quali iput dei modelli di code prescelti per l'aalisi. Il tempo che ogi uità i arrivo trascorrerà all'itero del sistema di code - defiito tempo di servizio o di tratteimeto - sarà seza dubbio codizioato dall'orgaizzazioe del sistema e da come il servizio verrà offerto agli uteti. I preseza di più puti di servizio dovrà essere ricercata la distribuzioe di probabilità dei tempi di servizio per ogi puto ache se l'assuzioe di u'ipotesi di idetica distribuzioe per tutti i puti di servizio può, i moltissime circostaze, essere cosiderata molto realistica. Avremo i seguito occasioe di vedere come la distribuzioe di probabilità di Erlag ed il suo caso particolare ossia la distribuzioe espoeziale sarao quelle prescelte per rappresetare la distribuzioe di probabilità dei tempi di servizio el sistema. 0

22 Esempi di rappresetazioe grafica dei processi di code. La coda ed il suo processo può ache essere rappresetata graficamete al fie di dare ua immagie immediata di quello che può essere il problema oggetto dell'aalisi. Molteplici possoo quidi essere le teciche di illustrazioe del sistema sulla base ache del particolare aspetto che si vuole porre i evideza. Il seguete diagramma si poe l'obiettivo di illustrare l'evoluzioe del sistema al trascorrere del tempo. Figura..4 da L. Kleirock s C (-) C C (+) w x x (+) x (+) servizio C C (+) C (+) TEMPO r r (+) r (+) t (+) t (+) coda C C (+) C (+) Viee posta come ipotesi fodametale che le uità i arrivo vegao servite secodo il criterio del primo arrivato e primo servito. Si specifica ioltre quato segue: C = -esima uità presete el sistema; t = tempo itercorrete tra l'arrivo dell'uità (-) e l'uità ;

23 r = tempo di arrivo dell'uità -esima; w = tempo di attesa el sistema dell' -esima uità (escluso il tempo di servizio); x = tempo di servizio o di tratteimeto dell'-esima uità; s = tempo di permaeza el sistema dell'-esima uità. Aalizzado la figura.4 vediamo quidi che il servizio di C iizia solo el mometo i cui esce dal sistema C -. Si oti ioltre che, acor prima che iizi il servizio di C, i coda è etrato ache C +. Si oti ioltre che S copre l'itera fascia di tempo che va dall'arrivo della -esima uità el sistema alla sua uscita. Nel periodo di tempo itercorrete tra l'arrivo (+)esimo e l'(+)esimo esiste u itervallo i cui il servizio è iattivo. Come si può otare, la figura.4 rappreseta u modo estremamete valido per illustrare il processo di code el tempo e può essere utilizzato ache al fie di poter cofrotare la reale situazioe di u sistema co i risultati foriti da u modello di code. Per ua aalisi più diretta dello sviluppo della dimesioe della coda el tempo può comuque essere utilizzato lo schema grafico rappresetato dalla figura..5:

24 Figura..5 Evoluzioe della coda el tempo. U'aalisi della figura citata ed i particolare del grafico relativo alla dimesioe della liea d'attesa, ci può permettere di verificare quato il sistema sia distate dall'ipotesi di stazioarietà (*). I particolare si cosiderio le spezzate che uiscoo tutti i puti di massimo e di miimo relativo della liea d'attesa. Dette spezzate dovrebbero avere u adameto il più possibile parallelo all'asse delle ascisse ed ioltre la distaza tra di loro dovrebbe essere miima. La positiva verifica delle predette ipotesi evidezia che la coda tede ad assumere ua dimesioe prossima al suo valore medio. (*) Successivamete verrà illustrato ei dettagli il cocetto di stazioarietà di u sistema di code. 3

25 Defiizioi. Raggruppiamo e commetiamo ora le defiizioi che verrao utilizzate ella costruzioe dei modelli. E = stato i cui vi soo uità preseti el sistema; P (t) = probabilità che al tempo t vi siao esattamete uità el sistema di code; s = umero di posti di servizio el sistema di code; = tasso medio di arrivo di uove uità quado el sistema soo già preseti uità; = tasso medio di servizio quado el sistema soo preseti uità; = s - fattore di utilizzazioe del sistema. ioltre L = lughezza attesa della "LINEA" (comprese le uità che si stao servedo); L q = lughezza attesa della "CODA" (escluse le uità che si stao servedo); W = tempo medio di attesa el sistema (compreso il tempo di servizio); W q = tempo medio di attesa ella coda (escluso il tempo di servizio) Alcue cosiderazioi riepilogative. L'esposizioe si qui effettuata può permetterci di trarre alcue cosiderazioi. Ua delle caratteristiche fodametale dei modelli di code è quella di essere descrittivi. I altri termii, l'utilizzo di modelli di code o ci potrà permettere di otteere delle soluzioi ottimali. Il modello deve quidi essere visto come uo strumeto o u meccaismo che, partedo da degli iput a suo tempo ricevuti (parametri e variabili) ci forirà dei valori che vegoo defiiti output 4

26 del modello (lughezze delle code, tempi di attesa, ecc..) al fie di darci u'immagie del sistema aalizzato. I tale cotesto si deduce che il valore dei risultati delle aalisi sui processi di code dipedoo, sia dalla validità del modello usato sia, ed i modo o trascurabile, dall'abilità e dalle capacità dell'aalista e di chi è preposto all'utilizzo dei modelli stessi. Molto importate è quidi avere ua visioe il più possibile chiara e completa del sistema che viee aalizzato ed i particolare dei meccaismi e delle regole che lo goverao. Fodametale è quidi la prima fase dell'aalisi di u processo di code che deve avere l'obiettivo di studiare l'orgaizzazioe del sistema oché l'ambiete i cui il sistema stesso è iserito. Se cosideriamo, ad esempio, uo sportello bacario ubicato i zoa periferica di ua grossa città dove la clietela arriva utilizzado i mezzi pubblici, sappiamo già a priori che gli arrivi della clietela presso l'agezia bacaria sarao codizioati dalla frequeza dei mezzi pubblici e quidi difficilmete avrao ua distribuzioe di probabilità di tipo poissoiao azi, i tale circostaza, gli arrivi avverrao secodo flussi periodici che dipederao dalla frequeza di arrivo dei mezzi pubblici. Il cooscere già a priori le predette situazioi e gli aspetti del sistema e del suo ambiete o può che essere di fodametale aiuto al fie di ridurre i tempi dell'aalisi e di verifica sulla positiva applicazioe di modelli di code ello studio del sistema. L'utilizzo di strumeti grafici e visivi come quelli illustrati ella sezioe.3.5 può cotribuire a facilitare ulteriormete l'aalisi dei sistemi ed i particolare di quelli relativamete complessi. Rappresetazioi grafiche orietate all'aalisi dell'evoluzioe della coda el tempo (vedasi figura..5) possoo essere utili per verificare l'ipotesi di stazioarietà o meo di u sistema. 5

27 .4 - MODELLI DI CODE.4. - Il processo di ascita-morte: postulati fodametali. Il processo di ascita-morte che verrà aalizzato può essere visto come u esempio di catea Markoviaa. U particolare stato E del sistema può essere raggiuto muovedoci dagli stati immediatamete vicii (- oppure +). Resta iteso comuque che lo stato E può essere ache la cosegueza di essu movimeto da uo stato predefiito. Viee quidi presa i cosiderazioe ache la situazioe i cui il sistema permaga i u certo stato. L'ipotesi di catea markoviaa alla quale si farà riferimeto i questa sede è quella co variabile tempo di tipo cotiuo i quato di maggiore iteresse. Esiste comuque u'aalisi parallela relativa al caso di variabile tempo di tipo discreto. Il movimeto del sistema dallo stato E - allo stato E defiisce ua ascita. I maiera aaloga, il movimeto del sistema dallo stato E + allo stato E defiisce ua morte. La ascita viee quidi ricodotta ad u arrivo metre la morte viee ricodotta ad u'uscita dal sistema. I tale cotesto vegoo itrodotti i cocetti di tasso di arrivo () e di tasso di uscita () dal sistema: defiisce il tasso di arrivo quado el sistema soo preseti esattamete uità. defiisce il tasso di uscita quado el sistema soo preseti esattamete uità. Si oti che sia il tasso di arrivo sia il tasso di uscita o dipedoo dal tempo ma solo dallo stato E del sistema. Ipotizziamo ora che il sistema di code si trovi i u certo stato E al tempo t ed adiamo ad aalizzare cosa può succedere i u certo 6

28 itervallo di tempo di ampiezza t. A tale scopo si cosideri la seguete figura: Figura..6 Evoluzioe del sistema i t t (t + t) Tempo ) E u arrivo E ( + ) ) E ua uscita E ( - ) 3) E essu eveto E 4) E più eveti? Per ipotesi il verificarsi di uo dei quattro eveti sopra descritti esclude automaticamete gli altri e quidi gli stessi soo stocasticamete idipedeti. Nell'itervallo di tempo di ampiezza t può quidi verificarsi o u arrivo, o ua uscita, o più eveti, o essu eveto. A differeza di quato detto per i tassi di arrivo ed uscita, lo stato del sistema dipede dal tempo t. Possiamo ora itrodurre i tre postulati fodametali della teoria delle code. 7

29 ) Postulato della ascita: Sia dato u sistema allo stato E al tempo t co = 0,,,3,... La probabilità che avvega ua sola etrata ell'itervallo di tempo da t a (t + t) è pari a: dove è ua costate positiva. t o( t) (.4.) ) Postulato della morte: Sia dato u sistema allo stato E al tempo t co = 0,,,3,... La probabilità che avvega ua sola uscita (morte) ell'itervallo di tempo da t a (t + t) è pari a: t o( t) (.4.) dove = 0 e è ua costate positiva per > 0. 3) Postulato del salto multiplo: Sia dato u sistema allo stato E al tempo t co = 0,,,3,... La probabilità che ell'itervallo di tempo da t a (t + t) si verifichio più eveti (ascite e/o morti) è pari a: o(t) (.4.3) Quest'ultima espressioe che viee chiamata "o piccolo", rappreseta ua fuzioe di t che assume valori trascurabili ua volta scelto u valore sufficietemete piccolo di t. Quidi o(t) idetifica ua fuzioe di t tale per cui si ha: o( t) lim 0 t0 t (.4.4) 8

30 La figura..7 ci rappreseta visivamete quato appea esposto. Partedo dalle defiizioi dei tre postulati si può arrivare a defiire la probabilità che ell'itervallo di tempo sopracitato o si verifichi essu eveto. Sapedo ifatti che la somma delle.4.,.4. e.4.3 corrispode alla probabilità che ell'itervallo di tempo da t a (t + t) si verifichi ua delle tre ipotesi euciate ei tre postulati, il complemeto ad della citata somma di probabilità corrispode alla probabilità che ello stesso itervallo o si verifichi essuo dei tre eveti. Figura..7 Il processo di ascita-morte Probabilità E(t) t E ( + ) (t + t) = t + o( t) Probabilità E(t) t E ( - ) (t + t) = t + o( t) Probabilità E(t) t? = o( t) NOTA: il puto di domada idetifica ua situazioe che si crea al seguito del verificarsi cogiuto di più eveti ache della stessa specie (più etrate e/o uscite). Si deduce quidi il seguete corollario: Sia dato u sistema allo stato E al tempo t co =0,,,3,... La probabilità che o si verifichi alcu eveto ell'itervallo di tempo da t a (t + t) è pari a: 9

31 t o( t) t o( t) o( t) (.4.5) t t o( t) teedo presete che dalla somma di etità trascurabili si ottiee u'etità trascurabile e quidi che: o (t) + o (t) o (t) = o (t) (.4.6).4. - Aalisi del processo ascita-morte. Cosideriamo ora il sistema di code i u certo stato E ed adiamo ad aalizzare come il citato stato possa essere raggiuto i u certo itervallo di tempo di ampiezza t. A tale scopo può essere d'aiuto la figura..8: Figura..8 t (t + t) E - u arrivo E E + ua uscita E E essu arrivo E eveti multipli? E co > 0 ed itero 30

32 Sarebbe sicuramete iteressate e fodametale, ell'aalisi di u processo di code, cooscere la distribuzioe di probabilità della lughezza della coda e del tempo di attesa el sistema. Ora, pur o essedo possibile risolvere il problema per quato cocere il tempo di attesa, è possibile ivece arrivare ad otteere dei risultati per quato cocere le probabilità di stato del sistema. I tale cotesto procederà quidi l'aalisi. Nel cosiderare le quattro situazioi rappresetate dalla figura.8 si ottegoo rispettivamete le segueti probabilità: eveto: u arrivo ell'itervallo di tempo da t a (t + t): P (t) t o( t) (.4.7) eveto: u'uscita ell'itervallo di tempo da t a (t + t): P (t) t o( t) (.4.8) essu eveto ell'itervallo di tempo da t a (t + t): P (t) t t o( t) (.4.9) più eveti (eveti multipli) ell'itervallo di tempo da t a (t + t): o(t) (.4.0) Le probabilità di stato ei modelli o stazioari. Sapedo ora che il verificarsi di ua sola delle quattro ipotesi descritte ella sezioe precedete esclude automaticamete il verificarsi delle altre, si può ricavare la geerica probabilità di stato al tempo (t + t) che è data dalla somma delle quattro sigole probabilità di stato. Per cui: 3

33 (t) t o( t) P (t) t o( t t t o( t) o( t) P (t t) P P (t) ) (.4.) Ricordado ora la.4.6, i merito alla somma di elemeti trascurabili, si possoo sommare le o(t) per cui si ottiee: P (t t) P + P (t) (t) t P (t) t t t ot (.4.) Se sottraiamo, ad etrambi i membri della.4.., P (t) e dividedo per t otteiamo la seguete espressioe: P (t t) P (t) t P (t) P (t) ( o( t) )P (t) t (.4.3) Sapedo ora che l'equazioe.4.3, el ostro caso, è valida per ogi valore di t positivo maggiore di zero, è possibile calcolare il suo valore per t che tede a zero. Per cui: lim t0 P lim P ( t t) P ( t) (.4.4) t0 t o( t) (t) P (t) ( )P (t) t Come si può otare, il primo membro dell'equazioe o è altro che la derivata di P (t) rispetto a t. Riprededo ioltre la.4.4 si ottiee quato segue: dp (t) dt P (t) P (t) ( )P (t) (.4.5) 3

34 defiita per ogi valore di > 0 Nell'ipotesi i cui = 0 sappiamo che - = 0 ed ioltre che o = 0 per cui la.4.5 diveta: dp 0 (t) P (t) 0P0 (t) dt (.4.6) Utilizzado quidi l'espressioe.4.5 e.4.6 si ottiee u sistema di = 0,,,3,... equazioi differeziali le cui soluzioi soo i valori P (t). Purtroppo risulta assai difficile trovare le citate soluzioi i quato o esiste ua soluzioe geerale del sistema di equazioi differeziali. Quato appea otteuto merita comuque ua particolare cosiderazioe el seso che ci permette di trarre delle coclusioi i merito ad u sistema i uo stato di o stazioarietà. Come si vede quidi le probabilità di stato del sistema soo codizioate dalla variabile tempo. La.4.5 e la.4.6 defiiscoo quidi la velocità co la quale variao P e P o rispetto alla variabile tempo. Nell'esamiare u caso cocreto, come per esempio uo sportello bacario, si può affermare che, ell'ipotesi di o stazioarietà, la probabilità che il sistema si trovi i u certo stato E varia i fuzioe del mometo o del periodo della giorata che si cosidera. Al di là delle difficoltà oggettive, che purtroppo sussistoo el ricercare le citate probabilità di stato, i risultati otteuti assumoo ua particolare rilevaza i quato possoo essere cosiderati come il puto di parteza per arrivare a determiare le soluzioi i codizioe di stazioarietà del sistema. Le pagie che seguirao si pogoo quidi l'obbiettivo di illustrare tali tipi di soluzioi. 33

35 U processo di sole ascite. Prima di illustrare i sistemi di code i stato stazioario verrao aalizzati due semplici processi che, ache se difficilmete si potrao verificare ella realtà, hao u'importaza o trascurabile dal puto di vista teorico. I questa sezioe verrà presetato il processo a sole etrate (o soli arrivi) metre ella prossima verrà itrodotto il processo a sole uscite. Cosideriamo quidi u sistema che si evolve i u'uica direzioe. A frote di u flusso di arrivi o si verifica essua uscita per cui: = 0 (.4.7) per ogi valore di Viee ioltre itrodotta u'ulteriore ipotesi che cotribuisce a semplificare ulteriormete il problema: (.4.8) per tutte le =,,3,4,... Co quest'ultima ipotesi si è assuto che il tasso di arrivo el sistema sia idipedete dal umero di uità preseti ella coda. Ache se i casi particolari, come ella situazioe di coda i esplosioe o comuque che supera i ormali livelli, l'ipotesi itrodotta può o essere accettata, i situazioi di ormalità essa può essere assuta come rappresetativa di ua situazioe reale. Sulla base delle ipotesi itrodotte, dalla.4.5 e.4.6 si ottiee quato segue: dp (t) dt P (t) P (t) (.4.9) co ed itero; 34

36 co = 0 dp 0 dt (t) P (t) (.4.0) 0 Si ipotizzi che il sistema parta, al tempo 0, seza elemeti i coda e quidi allo stato E o per cui: Sapedo ora che: per = 0 P (t) (.4.) 0 per 0 t P0 (t)dt e c (.4.) risolvedo l'equazioe differeziale.4.0 si ottiee che: P 0 (t) = e t (.4.3) Sostituedo ella.4.9 per = si ottiee: dp (t) t P (t) dt e (.4.4) la cui soluzioe è: t P (t) te (.4.5) i quato: d( te dt t ) t t e ( t)e (.4.6) 35

37 Nell'espressioe appea riportata vegoo evideziate le probabilità di stato che troviamo ella.4.9 co =. Procededo ell'aalisi, per valori di =,3,4,..., si ottiee la seguete soluzioe geerale: t ( t) e P (t) (.4.7)! Quella appea otteuta o è altro che la distribuzioe di probabilità di Poisso rispetto a co parametro t. La media e la variaza del umero di arrivi i u certo itervallo di ampiezza t è pari a t metre il tasso di arrivo (o velocità di arrivo) è. L'espressioe.4.3 rappreseta la probabilità che il sistema si trovi acora allo stato E o al tempo t e poiché il sistema al tempo 0 è sempre allo stato E o essa o è altro che la probabilità che o si verifichi essua etrata ell'itervallo di tempo che va da 0 a t. Di cosegueza, la probabilità che ello stesso itervallo di tempo si verifichi il primo arrivo e quidi almeo ua ascita, è pari a: t P (t) e (.4.8) co > 0 ed itero. Quest'ultima espressioe o è altro che la fuzioe di distribuzioe cumulativa della variabile casuale "tempo del primo arrivo (T)" per cui: t T t e F(t) P (.4.9) La fuzioe di desità di probabilità di T è quidi: 36

38 df(t) t f(t) e (.4.30) dt La variabile T è quidi distribuita espoezialmete. Come evideziato all'iizio della presete parte, i processi di ascita e morte possoo essere cosiderati come degli esempi di catee markoviae. Il processo di Poisso qui itrodotto gode quidi della proprietà di Markov ossia della macaza di memoria. I altri termii si può ipotizzare che il sistema ricomici il suo processo da zero dopo ogi etrata i quato gli eveti precedeti possoo essere trascurati dall'aalisi. I tale cotesto si può affermare che la.4.9 e la.4.30 descrivoo il tempo itercorrete tra ua etrata qualsiasi e la successiva la cui distribuzioe di probabilità è espoeziale co parametro Il tutto equivale alla probabilità di stato distribuita i maiera poissoiaa. Si deduce quidi che modelli co arrivi poissoiai possoo essere visti ache come modelli co itertempi di arrivo espoeziali. Dalla.4.30 si può ifie otteere il valore atteso del tempo itercorrete tra u arrivo ed il successivo che dato da: itegrado per parti si ottiee: t t E (t) te dt te dt (.4.3) 0 0 t e t 0 0 e t dt 0 0 e t dt 0 e t 0 37

39 Abbiamo quidi verificato che i u processo di sole ascite co tasso di arrivo costate ed idipedete dallo stato del sistema, gli arrivi hao ua distribuzioe di Poisso e gli itertempi di arrivo ua distribuzioe espoeziale metre l'itertempo medio tra gli arrivi è / U processo di sole uscite. Nel processo di sole uscite il sistema si trova ella situazioe opposta rispetto al caso aalizzato ella precedete sezioe. Si parte ifatti co u cero umero M di uità preseti che progressivamete uscirao dal sistema dopo essere state servite. Il processo, che termia quidi dopo M eveti (uscite), può essere illustrato dalla seguete figura: Figura..9 Il processo di sole uscite Nel caso i esame si poe quidi: per =,,3,...M = 0 = (.4.3) 38

40 Riprededo la.4.5 e la.4.6 e sostituedo, si ottiee: dp per =,,3,...,(M-) dt () t P () t P () t (.4.33) dpm (t) dt P (t) (.4.34) M Risolvedo l'equazioe differeziale.4.34, come già fatto per il processo a sole etrate, si ottiee: P () t e (.4.35) M Aalizzado la figura.9 si vede che il sistema si troverà allo stato E al tempo t solo el mometo i cui si sarao verificate (M-) uscite ell'itervallo di tempo da 0 a t. E' possibile quidi otteere la geerica probabilità di stato P (t) come già visto ella sezioe precedete per il sistema a sole etrate. t P (t) (M) t e (M )! t (.4.36) per =,,3,4,...,M L'espressioe appea riportata quidi o è altro che la probabilità che avvegao esattamete (M-) uscite ell'itervallo di tempo da 0 a t. Se, ioltre, si cosidera il caso i cui ello stesso itervallo di tempo avvegao esattamete M uscite si determia quato segue: 39

41 M 0 (t) P (t) P (.4.37) L'espressioe.4.36 idetifica ua distribuzioe di probabilità di Poisso troca i quato il processo di uscita dal sistema ha termie quado = M. Il parametro della citata distribuzioe è pari a ( t) ed il tasso di uscita dal sistema o tasso di servizio è. Per quato cocere l'aalisi dei tempi di servizio cosideriamo la variabile casuale T che rappreseta il tempo che deve trascorrere affiché il sistema si porti allo stato E o.. Com'è facile ituire il citato tempo sarà codizioato dal umero di uità preseti el sistema e quidi la fuzioe di desità di probabilità sarà f (t E ). Nell'ipotesi i cui la disciplia del servizio sia quella del "primo arrivato - primo servito" la citata fuzioe di desità diveta la distribuzioe di probabilità del tempo di attesa dell'eesima uità presete el sistema (icluso il tempo di servizio). Accettado l'ipotesi che il tempo di servizio di ogi uità abbia ua distribuzioe espoeziale la variabile casuale T diveta automaticamete ua variabile casuale somma di variabili casuali idipedeti e distribuite i maiera idetica. Si dimostra che la citata somma di variabili casuali geera ua distribuzioe gamma la cui fuzioe di desità è: f (t E t t e ) ( )! (.4.38) meglio coosciuta ache come distribuzioe di Erlag. Dopo quato esposto è possibile ache determiare la probabilità che la variabile T superi u certo valore t predetermiato. Essa è data da: 40

42 P T t E f (x E ) dx t (.4.39) Stato stazioario del sistema di code. Nella quasi totalità dei sistemi di code si possoo trovare dei periodi i cui il processo di etrata e di uscita assume ua particolare cofigurazioe. Si possoo quidi idividuare degli itervalli di tempo i cui gli arrivi aumetao i modo cosistete e parallelamete idividuare altri periodi i cui gli arrivi dimiuiscoo sesibilmete determiado uo stato di sotto utilizzo del sistema. Nell'aalisi dei sistemi di code assume quidi ua particolare rilevaza l'idividuazioe di quegli itervalli temporali i cui lo stato del sistema risulta codizioato dal tempo. La determiazioe di questi periodi, i cui le probabilità di stato dipedoo dal tempo, ci permettoo, per esclusioe, di poter focalizzare l'attezioe su quelle fasi i cui il sistema aalizzato può trovarsi i uo stato stazioario. Nelle pagie che seguirao verrao itrodotte ed illustrate le soluzioi i regime stazioario ossia i ua situazioe i cui la probabilità di stato del sistema diveta idipedete dal tempo t. L'ipotesi di stazioarietà del sistema assume ua particolare rilevaza i quato, i primo luogo, o può essere cosiderata u'ipotesi irreale ed i secodo luogo ci permette di risolvere le equazioi differeziali itrodotte ell'aalisi del sistema o i stato stazioario. L'ipotesi di stazioarietà del sistema può essere sitetizzata dalla seguete codizioe: dp (t) 0 (.4.40) dt 4

43 Riprededo quato otteuto ell'aalisi delle probabilità di stato ei modelli o stazioari (processo di etrata-uscita), sappiamo che esiste ua soluzioe ello stato stazioario quado: lim P (t) P t (.4.4) per cui si ottiee: dp (t) lim 0 t dt (.4.4) Dalle espressioi.4.4 e.4.4, riprededo la.4.5 e calcolado il limite per t si ottiee: P P ( )P 0 (.4.43) co > 0 ed itero. P 0 (.4.44) P 0 0 co = 0 dalla quale si ottiee: P 0 P 0 (.4.45) Ora, sapedo che l'espressioe.4.43 può essere scritta el seguete modo: 4

44 P P P P P P P P (.4.46) sostituedo co la.4.44 si ottiee: P P (.4.47) Cosiderado quidi il sistema di code al tempo t, co t sufficietemete grade e tedete ad ifiito, vediamo che la probabilità dello stato E dipede esclusivamete dalla probabilità dello stato E - precedete. Il tutto si ricollega al cocetto di catea markoviaa itrodotto ella secoda parte della presete trattazioe. Si deduce a questo puto che la.4.47 può ache essere scritta come segue: P P (.4.48) e co successive iterazioi si ottiee: P..... P (.4.49) per cui:

45 44 0 i i 0 i i P P (.4.50) Sapedo ora che: 0 0 P P P (.4.5) si ottiee: 0 i i 0 i i 0 P P P (.4.5) quidi: P P 0 i i o i i 0 (.4.53) dalla quale si ottiee: i i o i i P 0 (.4.54) Avedo già defiito P e ricordado il cocetto di valore atteso (*) si può otteere: (*) Sappiamo ifatti che, el caso discreto, si ha:

46 0 L P (.4.55) che idetifica la lughezza attesa della liea. I maiera aaloga si può otteere l'espressioe rappresetate la lughezza attesa della coda che è data da: q ( s) P s L (.4.56) dove s rappreseta il umero dei puti di servizio. Come si può facilmete vedere le espressioi.4.55 e.4.56 idetificao delle serie covergeti e che foriscoo ua soluzioe dei modelli che adremo successivamete ad aalizzare. Nel caso geerale comuque le predette espressioi possoo forire ua soluzioe approssimata sommado u umero di termii fiito ma tale da garatire u errore sufficietemete piccolo Aalisi della distribuzioe di Poisso. La già più volte citata distribuzioe di probabilità di Poisso assume ua particolare rilevaza ell'aalisi dei processi di code i quato, come sperimetalmete dimostrato, essa be si adatta a descrivere la maggior parte dei processi di arrivo presso u sistema ed i particolar modo i quei casi i cui l'arrivo di ua uità o è ifluezato dal precedete ed a sua volta o iflueza il successivo. Si può dimostrare ifatti che i molti casi la somma di u umero sufficietemete grade di processi stazioari e ripetitivi (oguo co E(T) t0 tp T t tp (t) t0 T 45

47 ua distribuzioe arbitraria dell'itertempo tra gli eveti successivi) tede ad assumere ua distribuzioe di Poisso (*). I questa parte della trattazioe si vuole illustrare la citata distribuzioe ei suoi aspetti fodametali ed i particolare riferita all'aalisi degli arrivi presso u puto di servizio. Sappiamo che il tasso medio di arrivo presso il sistema è rappresetato da. Ioltre, la seguete espressioe: k ( t) t Pk (t) e (.4.57) k! co k 0; t 0 rappreseta la probabilità che ell'itervallo di tempo tra 0 e t avvegao esattamete arrivi. E' chiaro che, essedo il tasso medio di arrivo per uità di tempo, la media degli arrivi i u itervallo di tempo di lughezza t è pari a t. Riprededo la.4.57 si ottiee che: ( t) t E (k) kpk (t) k e (.4.58) k! k0 e t k0 k k k ( t) (k )! sapedo che: e t t k0 k ( t) (k)! (*) Ref. Leoard KLEINROCK - Queueig systems (vol. I) - pag.6 - Wiley Itersciece N.Y

48 e t ( t) t ( t) 6 3 ( t)...!... k0 k! ( t) k (.4.59) dalla.4.58 si ottiee che: E(k) = t (.4.60) Le segueti figure..0 A e B rappresetao quidi graficamete la distribuzioe di Poisso la cui fuzioe è la Figura..0 / A La distribuzioe di Poisso - esempio co =,5 0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, 0 P [ k ] t K E t 47

49 Figura..0 / B La distribuzioe di Poisso - esempio co =,5 E ,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, 0 P [ k ] t t K Ua volta prefissato u itervallo di tempo e quidi posto t = si ottiee ua distribuzioe di Poisso la cui distribuzioe di probabilità è rappresetata dalla seguete espressioe che idetifica la probabilità che, ell'itervallo di tempo prefissato, avvegao esattamete k arrivi: k e PX k PX (k) (.4.6) k! e che può essere rappresetata dal seguete grafico (poedo sempre u valore ipotetico di = 4): 48

50 Figura.. - Distribuzioe di Poisso co 4 P(X=k) P[X=k] * 00 5,00 0,00 5,00 0,00 5,00 0, k Nel mometo i cui si ipotizza che il sistema di code abbia raggiuto lo stato stazioario e quidi che: dp (t) 0 (.4.6) dt si ottiee di cosegueza che la rappresetazioe grafica della distribuzioe di Poisso dipede solo dal parametro e o da t. Il cosiderare l'evoluzioe della distribuzioe el tempo, i ipotesi di stazioarietà, dovrebbe quidi portare a rappresetazioi grafiche pressoché idetiche o comuque simili. Le rette che uiscoo i valori sperimetali di P(t) el tempo dovrebbero quidi avere ua derivata prima prossima allo zero. La seguete figura servirà a farci meglio compredere quato appea esposto. 49

51 Figura.. Esempio di evoluzioe della distribuzioe di Poisso el tempo 5,00 0,00 5,00 0,00 %P[X=k] 5,00 K ,00 tempo dove: co tempo = 4 co tempo = 4, co tempo = 3 co tempo = 4,5 Sarà quidi compito dello sperimetatore decidere i merito all'accettabilità o meo dell'ipotesi di stazioarietà del sistema sulla base dei dati a suo tempo raccolti ed elaborati. L'esame degli arrivi presso u sistema deve ioltre permetterci, i via collaterale, di idividuare evetualmete quei periodi che devoo essere trattati separatamete, o rietrado ell'ipotesi di stazioarietà del sistema La distribuzioe espoeziale. Come già si è acceato el corso della presete trattazioe, la distribuzioe espoeziale è strettamete legata alla distribuzioe di Poisso. I effetti, el mometo i cui viee verificata l'ipotesi che gli arrivi presso u certo puto di servizio abbiao ua distribuzioe poissoiaa ciò sigifica ache che, presso lo stesso puto di servizio, 50

52 la distribuzioe dell'itertempo tra u arrivo ed il successivo è di tipo espoeziale. Come abbiamo visto quidi il feomeo degli arrivi presso u sistema può essere aalizzato sia cosiderado il umero di eveti i u certo itervallo di tempo prefissato sia cosiderado gli itervalli di tempo itercorreti tra u arrivo ed il successivo. Ma la distribuzioe espoeziale può be adattarsi ache a descrivere i tempi di servizio ed i particolar modo i quei sistemi dove le operazioi più frequeti soo quelle che richiedoo tempi di servizio sempre più brevi. E' il caso tipico di quelle strutture dove le procedure e le prassi di servizio soo fortemete stadardizzate co ua prevaleza di operazioi co tempi relativamete brevi e dove progressivamete meo frequeti soo le operazioi più complesse e co tempi di servizio più lughi. I tali situazioi, ella maggioraza dei casi, può essere accettata l'ipotesi di ua distribuzioe espoeziale dei tempi di servizio. Cosideriamo ora gli arrivi ed i particolar modo l'espressioe Z(t) che defiisce la probabilità che il tempo itercorrete tra due arrivi sia miore o uguale a t quidi: Z (t) _ P t t (.4.6) Sapedo ora che Pt t è esattamete la probabilità che o si verifichio arrivi ell'itervallo (0,t) e può essere quidi scritta come P (t), si ottiee: ed utilizzado la.4.57: Z 0 (t) P (t) (.4.63) t Z(t) e (.4.64) che rappreseta la fuzioe cumulativa di desità della distribuzioe espoeziale per valori di t maggiori o uguali a zero. 5