Appunti sugli integrali doppi e tripli

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1 Apputi sugli itegrali doppi e tripli. Alcui richiami per fuzioi di ua variabile reale. Uiforme cotiuità Ua fuzioe f: A R è cotiua i A se è cotiua i ogi puto dell isieme, cioè se > δ > : A - < δ f ( ) - f ( ). < La costate δ misura quato vicii ad devoo essere i valori di perché i corrispodeti valori f () distio da f ( ) meo di ; i termii di itori, δ è il raggio dell itoro di cetro i cui far variare i modo che i valori f () cadao ell itoro di cetro f ( ) e raggio. Fissata la fuzioe f, il raggio δ dipede sia da che. La dipedeza da è facile da capire: quato più vicii ad f ( ) vogliamo che siao i valori f (), tato più vicii ad dobbiamo scegliere i valori. Meo evidete è la dipedeza dal puto : verifichiamola co u esempio, esamiado la fuzioe f (), R. Poiché la fuzioe è pari, possiamo limitarci a studiarla per. alla maggiorazioe: < δ ( + δ ) segue che è - < se scegliamo δ tale che risulti δ ( + δ ), cioè δ + -.

2 all espressioe trovata è evidete la dipedeza di δ da e da : per idicare questa dipedeza scriveremo δ δ (, ). Se ci limitiamo a cosiderare u umero fiito di puti di cotiuità,...,, prededo il più piccolo tra δ (, ),..., δ (, ), riusciamo ad elimiare la dipedeza di δ dal puto. Per u isieme ifiito A siamo portati a predere δ ( ) if A δ (, ) purché risulti δ ( ) >. Quado questo accade, diciamo che la fuzioe f è uiformemete cotiua i A : > δ > :, A - < δ f ( ) - f ( ) <. U esempio baale di fuzioe uiformemete cotiua è dato dalla fuzioe idetica f (), R: i questo caso δ ( ). U esempio meo baale, è forito dalla fuzioe f () se, R ; essedo: - + se - se se cos -, segue che ache i questo caso la defiizioe di uiforme cotiuità è verificata co δ ( ). No tutte le fuzioi cotiue i u isieme lo soo i modo uiforme. Ad esempio, la fuzioe f (), R o è uiformemete cotiua el suo domiio; ifatti la fuzioe δ + - è positiva e per + si ha δ : duque if δ (, ). A U altro modo per stabilire che questa fuzioe o è uiformemete cotiua el suo domiio è il ragioameto per assurdo: se lo fosse, preso arbitrario e posto + δ / ella defiizioe, dovrebbe valere cioè ( + δ / ) - < δ / 4 + δ < R. R

3 / Questo è assurdo, perché per + risulta δ 4 + δ +. Se ivece restrigiamo la fuzioe f () ad u qualuque isieme limitato (ad esempio, per fissare le idee, all itervallo [, a ]), la defiizioe di uiforme cotiuità è verificata. Ifatti la fuzioe δ è decrescete rispetto ad e quidi if A δ (, ) a + - a. Questo esempio mostra come l uiforme cotiuità dipeda ache dall isieme (ifiito) i cui si cosideri la fuzioe. Ua codizioe sufficiete a garatire l uiforme cotiuità di ua fuzioe è coteuto el seguete teorema: - Teorema di Heie Cator Le fuzioi cotiue su u itervallo chiuso e limitato [ a, b ] soo uiformemete cotiue. (La dimostrazioe è fatta per assurdo e utilizza il teorema di Bolzao-Weierstrass sulla possibilità di estrarre ua successioe covergete da ua limitata). La defiizioe di uiforme cotiuità e il teorema di Heie-Cator si estedoo i modo aturale alle fuzioi di variabili reali. Ua fuzioe f : A R R si dice uiformemete cotiua i A se > δ > : X, X A X - X < δ f ( X ) - f ( X ) <. - Teorema di Heie Cator per fuzioi di variabili Le fuzioi cotiue su u compatto di R soo uiformemete cotiue. 3

4 . L itegrale di Riema per fuzioi di ua variabile ata ua fuzioe f : [ a, b ] R limitata, l itegrale è defiito i modo che per fuzioi di sego positivo possa essere ragioevolmete assuto come misura dell area del sottografico o trapezoide; la defiizioe però si deve poter estedere alle fuzioi di sego qualuque, ache se i questo caso si perde l iterpretazioe geometrica. Per arrivare a questa defiizioe, si procede a dividere l itervallo i sottoitervalli mediate bisezioi successive; al passo -esimo si determia ua partizioe i sottoitervalli di ampiezza ( b a ) /. Se L k e l k idicao rispettivamete l estremo superiore ed iferiore della fuzioe el sottoitervallo k-esimo, costruiamo le segueti somme (dette rispettivamete somma itegrale superiore e iferiore al passo -esimo): S Lk ( b - a ) / k s lk ( b - a ) / k. I caso di fuzioe positiva, le due somme rappresetao l area di u plurirettagolo, i u caso circoscritto al trapezoide (e duque lo cotiee), ell altro iscritto (e duque e è coteuto). Ovviamete ad ogi passo è s S ; ioltre le due successioi soo mootòe: s è crescete, S decrescete. I quato tali etrambe ammettoo limite, ecessariamete fiito. La fuzioe si dice itegrabile se i limiti delle due successioi coicidoo; i tal caso si defiisce itegrale della fuzioe il valore comue ai due limiti. - Teorema (itegrabilità delle fuzioi cotiue) Le fuzioi cotiue i [ a, b ] soo itegrabili. dimostrazioe Occorre provare che, fissato >, risulta S s < defiitivamete. La dimostrazioe fa uso della uiforme cotiuità e del teorema di Weierstrass (per cui gli estremi superiori ed iferiori che compaioo elle somme itegrali i realtà soo massimi e miimi). 4

5 Idicata co δ / (b - a) la costate di uiforme cotiuità associata ad /( b a ), prediamo ua partizioe dell itervallo i modo che risulti ( b a ) / < δ / (b - a) ; questo è defiitivamete vero. i cosegueza: S - s ( L - l )( b - a ) / ( f ( s ) - f ( t )) ( b - a ) / k k k k k k ( b - a ) / b - a k. La dimostrazioe si adatta abbastaza facilmete al caso di fuzioi limitate che soo cotiue eccetto u umero fiito di puti. Quello che serve per adattare la dimostrazioe è che l isieme dei puti di discotiuità abbia la seguete proprietà: Isiemi E di misura ulla secodo Peao-Jorda >, I,..., I itervalli aperti : U Ik E, k k mis I k < (dove mis I k idica la lughezza dell itervallo I k ). Questa codizioe sull isieme dei puti di discotiuità è sufficiete a garatire l itegrabilità di ua fuzioe limitata e, ad esempio, è verificata dagli isiemi fiiti. Ua codizioe più precisa ecessaria e sufficiete coivolge gli Isiemi E di misura ulla secodo Lebesgue >, I itervalli aperti ( co N : U I E, mis I <. 5

6 . Itegrali doppi. Itegrale su u rettagolo Se f (, y ) è ua fuzioe cotiua sul rettagolo R [ a, b ] X [ c, d ], l itegrale doppio R f (, y ) d dy è u umero defiito i modo tale che, el caso di fuzioe a sego positivo, possa essere ragioevolmete assuto come misura del volume della regioe di spazio compresa tra il grafico e il piao y ( sottografico o cilidroide); la defiizioe deve però potersi estedere al caso di fuzioi di sego qualuque, pur perdedo l iterpretazioe geometrica. Il procedimeto che si segue è aalogo a quello visto per fuzioi di ua variabile. Si divide etrambi gli itervalli [ a, b ] e [ c, d ] i itervalli di uguale lughezza: questi idividuao ua partizioe del rettagolo i rettagoli di uguale area; su questa partizioe si costruisce la somma itegrale superiore S e quella iferiore s. Nel caso di fuzioi di sego positivo queste somme rappresetao il volume di u isieme di parallelepipedi, circoscritti o iscritti al cilidroide. Utilizzado la cotiuità uiforme della fuzioe, si prova che le due successioi hao lo stesso limite: questo valore defiisce l itegrale doppio e el caso di fuzioi positive il volume del cilidroide.. Formula di riduzioe Se f (, y ) è ua fuzioe cotiua sul rettagolo R [ a, b ] X [ c, d ], l itegrale doppio può essere calcolato mediate due successivi itegrali semplici ( cioè i ua sola variabile ) : b d y ) b d f (, y ) d dy f (, dy d d f (, y ) dy R a c a c 6

7 oppure, ivertedo l ordie di itegrazioe. d b y ) d b f (, y ) d dy f (, d dy dy f (, y ) d. R c a c a Cosideriamo il primo risultato (per l altro valgoo aaloghe cosiderazioi. Per avere ua iterpretazioe geometrica, suppoiamo che la fuzioe sia positiva. Fissiamo u valore [ a, b ]: questo determia u segmeto verticale el rettagolo R. Il piao verticale che passa per questo segmeto sezioa il grafico della fuzioe ella curva di equazioe z f (, y ) e il cilidroide i ua regioe piaa di area data dall itegrale d c f (, y ) d. Ripetedo la costruzioe per ogi [ a, b ], si ottiee ua fuzioe A ( ) che raccoglie tutte queste aree: l itegrale b a A ( ) d ricostruisce il volume del cilidroide. Nel caso baale di ua fuzioe costate f (, y ) k il cilidroide è u parallelepipedo di base il rettagolo e altezza k ( el caso k > ). La curva z f (, y ) è u segmeto e il relativo sottografico u rettagolo di base [ c, d ] e altezza k, e duque di area k ( d c ). La fuzioe A ( ) è duque costate e il suo itegrale sull itervallo [ a, b ] vale k ( d c ) ( b a ), che è apputo il volume del parallelepipedo. dimostrazioe : cotiuità della fuzioe A ( ) Facciamo vedere che è A ( ) - A ( ) < per - < δ. Questo prova che la fuzioe è cotiua; azi, dato che δ o dipede da, è uiformemete cotiua. 7

8 Iazitutto si ha : d ( f (, y ) - f (, y ) ) dy f (, y ) - f (, y ) dy. c d c Poiché f (, y ) è ua fuzioe uiformemete cotiua el rettagolo, si ha : >, δ > : (, y ) - ( ', y' ) < δ f (, y ) - f ( ', y' ) <. Ma (, y ) - (, y ) - e duque - < δ f (, y ) - f ( ', y' ) < da cui - < δ A ( ) - A ( ) < (d c). dimostrazioe : formula di riduzioe Cosideriamo la fuzioe A ( ) d c f (, y ) dy : abbiamo visto che è cotiua ell itervallo [ a, b ] e duque itegrabile. ividiamo l itervallo i segmeti I. I, che possiamo supporre della stessa lughezza. b a A ( ) d A ( ) d. k I k Applicado il teorema della media itegrale i ogi sottoitervallo: k A ( k ) ( b - a ) / ( b - a ) / k A ( k ) 8

9 b - a ) / d ( f (, y) dy. k c ividiamo l itervallo [ c, d ] i sottoitervalli di uguale lughezza : J. J. k ( b - a ) / k h Applicado di uovo il teorema della media itegrale: J h f ( k, y) dy ( b - a ) / k h f ( k, y kh ) ( d - c ) / ( b a ) ( d c ) / f ( k, ykh ). h,k Idicado co S e s le somme itegrali di f (, y ) associate alla partizioe del rettagolo sopra effettuata, il risultato precedete prova che s b A ( ) d S. a Poiché S, s R f (, y ) d dy, ecessariamete f (, y ) d dy A ( ) d. R b a.3 Itegrale su isiemi più geerali Se A o è u rettagolo, ma u geerico domiio ( domiio chiusura di u aperto) limitato del piao, u idea aturale per defiire l itegrale di ua fuzioe f (, y ) su A è quella di cosiderare u rettagolo R che cotiee A, prolugare la fuzioe poedola uguale a fuori di A e itegrare sul rettagolo la fuzioe così otteuta. f* (, y ) f (, y ) se (, se (, y ) A y ) R - A f itegrabile su A f* itegrabile su R 9

10 A f (, y ) d dy R f * (, y ) d dy Si può dimostrare che l itegrabilità e l evetuale valore dell itegrale o dipedoo dalla scelta del rettagolo. Però, ache se f è cotiua i A, i geerale f* risulta discotiua i R (trae il caso i cui f è ulla sulla frotiera di A). Pertato, seza fare qualche ipotesi sul domiio A, o è ovvia emmeo l itegrabilità delle fuzioi cotiue. Procededo i modo aalogo a quato avviee per le fuzioi di ua variabile, ua codizioe sufficiete a garatire l itegrabilità è che la frotiera di A sia u isieme di misura ulla secodo Peao-Jorda. Gli isiemi ormali ( o semplici ) rispetto ad u asse verificao questa codizioe. efiizioe U isieme del piao si dice ormale rispetto all asse o y-semplice se è del tipo: {(, y ): [ a, b ], α ( ) y β ( ) } co α ( ), β ( ) fuzioi cotiue i [ a, b ]. U isieme del piao si dice ormale rispetto all asse y o -semplice se è del tipo: {(, y ): y [ c, d ], γ ( y ) δ ( y ) } co γ ( y ), δ ( y ) fuzioi cotiue i [ c, d ].

11 U isieme può essere ormale rispetto ad etrambi gli assi. Ad esempio, il triagolo i figura può essere descritto elle due forme : (i), y ( ii ) y, y. Altri isiemi o soo ormali rispetto a essuo dei due assi. Ad esempio la coroa circolare i figura, che però si può scomporre i u umero fiito di isiemi ormali che si itersecao a due solo su segmeti (che hao misura ulla). Nella figura successiva è mostrata ua possibile scomposizioe i domii ormali rispetto all asse. L itegrale può essere calcolato come somma degli itegrali su questi sottoisiemi.

12 .4 Gli isiemi ormali hao frotiera di misura ulla secodo Peao - Jorda dimostrazioe Cosideriamo u isieme ormale rispetto all asse (per i domii dell altro tipo le cosiderazioi soo aaloghe). I due lati verticali hao misura ulla: ciascuo dei due è coteuto el rettagolo che ha altezza pari alla lughezza h del segmeto e base / h ( e duque area / < ). Cosideriamo poi ua delle due curve, ad esempio quella iferiore (ovviamete valgoo le stesse cosiderazioi per l altra curva ). Poiché α ( ) è cotiua i [ a, b ], è ache uiformemete cotiua: >, δ > : ' - " < δ α ( ' ) - α ( ") <. Fissato >, dividiamo [a,b] i itervalli I k di ampiezza Δ k miore di δ, idichiamo co M k e m k rispettivamete il massimo e il miimo della fuzioe f ell itervallo I k, cosideriamo ifie i rettagoli R k I k X [ m k, M k ]. Otteiamo i questo modo u ricoprimeto della curva y α ( ) co u umero fiito di rettagoli. Poiché area R k ( M k m k ) Δ k < δ, la somma delle aree è miore di δ e quidi miore di ( b a ). Questo termia la dimostrazioe. Osservazioe: se ella stima fiale sulla somma delle aree dei rettagoli vogliamo otteere esattamete, basta partire dalla costate di uiforma cotiuità δ /( b a) associata ad / ( b a ) ivece che a quella associata ad..5 La formula di riduzioe per domii ormali Se f (, y ) è ua fuzioe cotiua su u domiio ormale rispetto all asse y, vale la seguete formula di riduzioe (co le otazioi precedetemete itrodotte): b β ( ) d f (, y ) d dy f (, y ) dy. a α ( ) Se f (, y ) è ua fuzioe cotiua su u domiio ormale rispetto all asse, vale la seguete formula di riduzioe (co le otazioi precedetemete itrodotte): d δ ( y ) dy f (, y ) d dy f (, y ) d. c γ ( y )

13 imostrazioe el caso di domiio ormale rispetto all asse delle ato il domiio {(, y ): [ a, b ], α ( ) y β ( ) } ormale rispetto all asse, racchiudiamolo i u rettagolo R [ a, b ] X [ c, d ]. Sia f* la fuzioe itrodotta i.3 come prolugameto di f al rettagolo co valore ullo. alla defiizioe di itegrale su u domiio e dalla formula di riduzioe dell itegrale su u rettagolo, si ottiee successivamete: f (, y ) d dy f * (, y ) d dy R b a d d f * (, y ) dy c b a d ( α( ) c f * (, y ) dy + β( ) α( ) f *(, y ) dy + d β( ) f * (, y ) dy ) b β ( ) a d f (, y ) dy. α ( ) L ultimo passaggio è giustificato dal fatto che egli itervalli [ c, α ( ) ] e [ β ( ), d ] la fuzioe f* è ulla, metre ell itervallo [ α ( ), β ( ) ] coicide co f. Esempio Itegriamo la fuzioe f (, y ) el triagolo idicato i figura Vededo il domiio come ormale rispetto all asse y, si ha : y d dy d y dy y 3 d d y 8. Se ivece il domiio come ormale rispetto all asse, si ha : y d dy dy y d y y dy y (- y ) d y 8. 3

14 Esempio Itegriamo la fuzioe f (, y ) ep ( y 3 ) el domiio idicato ella figura: Vededo il domiio come ormale rispetto all asse, dobbiamo calcolare : d ep ( y ) dy. 3 Il procedimeto o può essere portato avati, perché o possiamo scrivere i forma elemetare le primitive della fuzioe ep ( y 3 ), che ci servoo ivece per calcolare l itegrale i y. Se ivece iterpretiamo il domiio come ormale rispetto all asse y, si ha : 3 ep ( y ) dy y d 3 y ep ( y ) dy ep ( y 3 3 ) ( e ) / 3..6 Proprietà elemetari dell itegrale doppio per fuzioi cotiue su u domiio ormale Valgoo le stesse proprietà viste per l itegrale i ua variabile: liearità positività e mootoia rispetto alla fuzioe mootoia rispetto al domiio per fuzioi positive additività rispetto al domiio teorema della media itegrale. la ozioe di itegrale doppio permette o solo di misurare il volume di u sottografico, ma ache l area di ua regioe piaa ( l itegrale della fuzioe costatemete uguale a ). 4

15 .7 Cambiameto di variabili i u itegrale doppio Per fuzioi di ua variabile il metodo di itegrazioe per sostituzioe si esprime ella forma: b a f ( ) d ϕ ϕ - - (b) (a) f ( ϕ ( t ) ) ϕ' ( t ) dt dove ϕ è ua fuzioe da [ c, d ] ad [ a, b ] ivertibile, di classe C isieme all iversa. I particolare ϕ è ua fuzioe mootòa, Se è crescete, ϕ - ( a ) c, ϕ - ( d ) d e ϕ è positiva. Se è decrescete, ϕ - ( a ) d, ϕ - ( d ) c e ϕ è egativa. I questo caso i due estremi di itegrazioe o soo messi ell ordie corretto: li possiamo scambiare, cambiado però di sego all itegrale. Questo cambio di sego si può effettuare detro il sego di itegrale, facedolo iterveire su ϕ. Riassumedo i due risultati, possiamo scrivere: b ( ) d f ( ϕ ( t ) ) ϕ a d f ' ( t ) dt. c Negli itegrali doppi il procedimeto aalogo cosiste ell effettuare ua trasformazioe di coordiate el piao: ϕ : E (, y ) ϕ ( u, v ) ovvero ϕ ( u, v ), y ϕ ( u, v ) ivertibile e di classe C isieme all iversa. ire che la fuzioe a valori vettoriali ϕ è di classe C sigifica che tali soo le sue compoeti ϕ, ϕ. L ivertibilità basta che sia verificata a meo di u isieme di misura ulla. Co il cambiameto di variabile, il domiio di itegrazioe diveta E, metre la fuzioe da itegrare f (, y ) diveta f ( ϕ ( u, v ) ). Rimae da capire qual è per gli itegrali doppi l aalogo della formula d ϕ ( t ) dt. Questa si può iterpretare come il modo i cui l elemeto ifiitesimo di lughezza cambia per effetto della trasformazioe ϕ ( t ). L itervallo [ t, t + dt ] si trasforma ell itervallo [, + d ], co ϕ ( t ) e + d ϕ ( t + dt ). A meo di ifiitesimi di ordie superiore a dt (duque trascurabili rispetto ad esso), ϕ ( t + dt ) si può approssimare co ϕ ( t ) + ϕ ( t ) dt. Questo porta al risultato richiesto: d ϕ ( t ) dt. 5

16 Nel caso bidimesioale dobbiamo capire come si trasforma l elemeto di area. Il rettagolo ifiitesimo del piao u,v compreso tra u, u+du e v, v+dv viee trasformato el piao,y i domiio ifiitesimo che può essere approssimato co il parallelogramma che ha i due lati adiaceti PQ e PR. Essedo: P ϕ ( u, v ) Q ϕ ( u + du, v ) R ϕ ( u, v + dv ) possiamo approssimare PQ co ϕ u ( u, v ) du e PR co ϕ v ( u, v ) dv; a sua volta l area del domiio può essere approssimata co PQ PR e quidi co ϕu ϕv du dv. Poiché : i j k ϕ u ϕv det ϕu ϕu ( ϕu ϕv ϕv ϕv - ϕu ϕ v ) k è duque ϕ u ϕ v ϕu ϕv - ϕu ϕ v. Alla matrice J ϕu ϕv ϕ ϕu ϕ u v v yu yv si dà il ome di matrice Jacobiaa della fuzioe ϕ che determia il cambiameto di variabili. Si è duque trovato che è d dy det J f du dv e la formula di cambiameto di variabili i u itegrale doppio assume la forma: ϕ f (, y ) d dy f ( ϕ ( u, v ) ) det J du dv, E 6

17 U esempio di cambiameto di variabile particolarmete importate è il passaggio a coordiate polari: Poiché r cos q, y r se q. J ϕ y r r y ϑ ϑ cosϑ - r seϑ seϑ r cosϑ det J f r, si ha duque d dy r dr dq. altra parte l area del quadrilatero i figura si ottiee come differeza tra due settori circolari (l area di u settore di raggio R e apertura α è α R / ); duque: d dy [ ( r + dr ) r ] dq / r dr dq se trascuriamo l ifiitesimo dr di ordie superiore rispetto a dr. 7

18 . Itegrali tripli I risultati validi per gli itegrali doppi si estedoo a dimesioe superiore, cioè a fuzioi di più variabili. Qui ci occuperemo solo degli itegrali tripli. Per l itegrale di ua fuzioe f (, y, z ) o possiamo ripetere l iterpretazioe geometrica vista per l itegrale doppio, dato che adesso il grafico della fuzioe è u sottoisieme di R 4. U modo di iterpretare il uovo itegrale può essere quello di pesare alla fuzioe come ad ua desità di massa distribuita i u solido che occupa ua regioe dello spazio; i questa prospettiva l itegrale misura la massa totale del solido. I particolare, l itegrale f (, y, z ) d dy dz idica la massa di u solido co desità costate uitaria; ma poiché i questo caso δ M/V, l itegrale misura ache il volume del solido. Per arrivare alla defiizioe dell itegrale triplo, i rettagoli [ a, b ] X [ c, d ] del piao soo sostituiti dai parallelepipedi [ a, b ] X [ a, b ] X [ a 3, b 3 ] dello spazio; per il resto si procede come per gli itegrali doppi, arrivado a defiire l itegrale di ua fuzioe cotiua su u parallelepipedo. Per quato riguarda l estesioe ad u domiio più geerale ma acora limitato, si cosidera u parallelepipedo che cotiee e si proluga la fuzioe defiedola uguale a fuori di. Ache i questo caso le discotiuità che si creao sulla frotiera di soo iesseziali se tale frotiera ha misura ulla (e la defiizioe di misura ulla ripete quella data el piao, se solo sostituiamo i rettagoli co i parallelepipedi). Si può dimostrare che questo accade se il domiio è ormale rispetto ad u asse. Ad esempio, u domiio limitato ormale rispetto all asse z si rappreseta ella forma: {, y, z ): (, y ) A, g (, y ) z g (, y ) } ( dove g e g soo due fuzioi cotiue i A ed A è u domiio regolare del piao ( cioè u domiio su cui si può calcolare u itegrale doppio ).. Formula di riduzioe per fili 8

19 si fissa u puto (, y ) g (, y ) t g (, y ) si itegra la fuzioe sul filo rispetto alla variabile z A e si cosidera il segmeto verticale (filo) costituito dai puti (, y, t ) co ripetedo il calcolo per tutti i puti di A, si trova ua fuzioe F (, y ) si calcola l itegrale doppio di F (, y ) i A. I defiitiva: g (, y) f (, y, z ) d dy dz f (, y, z ) dz A g (, y) d dy che più comuemete si scrive : g (, y) f (, y, z ) d dy dz d dy f (, y, z ) dz. A g (, y) Esempio Calcolare il volume della regioe situata el primo ottate e compresa trai cilidri di equazioe + y e + z. La fuzioe da itegrare è costate uguale ad e il domiio di itegrazioe è idividuato dalle codizioi: + y, + z,, y, z, che possiamo riscrivere ella forma z -, + y,, y (la codizioe che dà sigificato alla radice è superflua, i quato coteuta elle altre). Così scritto, il domiio appare ormale rispetto all asse z; l itegrale da calcolare diveta: d dy dz A - A - d dy. Essedo il domiio A ormale, ad esempio rispetto all asse, possiamo ulteriormete scrivere: 9

20 - d dy (- ) d - /3.. Formula di riduzioe per sezioi si fissa u valore z che sia compreso tra h e h, rispettivamete la quota miima e massima dei puti del domiio si iterseca co il piao orizzotale di quota z, otteedo la sezioe Ω ( z ) si itegra la fuzioe f (, y, z ) i Ω ( z ) (itegrale doppio; si sa calcolare se Ω ( z ) è u domiio regolare) si ripete il calcolo per tutti i valori di z, otteedo ua fuzioe G ( z ) si itegra G ( z ) i [ h, h ]. I defiitiva: f (, y, z ) d dy dz h h A f (, y, z ) d dy dz che più comuemete si scrive: f (, y, z ) d dy dz h h dz A f (, y, z ) d dy.

21 Esempio (quello visto el paragrafo precedete, ma svolto co altro metodo) Calcolare il volume della regioe situata el primo ottate e compresa trai cilidri di equazioe + y e + z. La fuzioe da itegrare è costate uguale ad e il domiio di itegrazioe è idividuato dalle codizioi: + y, + z,, y, z, che possiamo riscrivere ella forma z, - z, y -. La formula di riduzioe diveta: - z dz d dy dz - d. - - z Il calcolo può essere portato avati, ma co difficoltà maggiori di quelle viste co il metodo precedete. Questo prova che da u puto di vista pratico la scelta tra u metodo o l altro o è idifferete. Esempio z d dy dz : +y + z,, y, z ½ Possiamo scrivere ella forma: -/ z ½, + y z,, y e duque si ottiee / / z d dy. C C è il quarto di cerchio di cetro l origie e raggio vale π ( z ) / 4. Rimae da calcolare z ; l itegrale doppio misura l area di C e duque π 4 / / z (- z ) dz π / z (- z ) dz. Si procede co il cambiameto di variabile t z.

22 .3 Cambiameto di variabili i u itegrale triplo Vale u risultato aalogo a quello visto per gli itegrali doppi: f (, y, z ) d dy dz E f ( ϕ ( u, v, w ) ) det J ϕ du dv dw essedo ϕ : E (, y, z ) ϕ ( u, v ) ovvero ϕ ( u, v, w ), y ϕ ( u, v, w ), z ϕ 3 ( u, v, w ) ivertibile e di classe C isieme all iversa. Jϕ idica la matrice jacobiaa della trasformazioe: ϕu ϕv ϕw J ϕ ϕu ϕv ϕw ϕ3u ϕ3v ϕ3w y z u u u y z v v v y z w w w Esempio : passaggio a coordiate cilidriche f ( r, q, z ) ( r cosq, r seq, z ) cos ϑ r seϑ J ϕ cos ϑ r cosϑ det J ϕ r Esempio : passaggio a coordiate polari f ( r, f, q ) ( r sef cosq, r sef cosq, r cosf ) se ϕ cos ϑ r cosϕ cos ϑ r se ϕ se ϑ J ϕ se ϕ seϑ r cos ϕ seϑ r se ϕ cos ϑ det J ϕ r sef dr df dq. cos ϕ r se ϕ