La trasformata Z. (Metodi Matematici e Calcolo per Ingegneria) Enrico Bertolazzi. DIMS Universitá di Trento. anno accademico 2005/2006

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1 La trasformata Z (Metodi Matematici e Calcolo per Ingegneria) Enrico Bertolazzi DIMS Universitá di Trento anno accademico 2005/2006 La trasformata Z 1 / 33

2 Outline 1 La trasformata Z 2 Trasformazioni di segnali elementari Impulso unitario Heaviside discreta o gradino Esponenziale Shift Il segnale n k e il coefficiente binomiale convoluzione di due segnali I segnali cos ωn e sin ωn 3 Tabella delle trasformate 4 Esempio: successione di Fibonacci 5 Altre proprietá notevoli 6 Antitrasformata Z La trasformata Z 2 / 33

3 La trasformata Z Definizione La trasformata Z si applica a segnali discreti causali. Un segnale discreto si denota con varie notazioni: f n : n 0, 1, 2,... f[n] : n 0, 1, 2,... f(n) : n 0, 1, 2,... La trasformata é definita come: Z {f n } (z) f n z n Una notazione piú leggera della Z-trasformata é la seguente: Z {f n } (z) f(z) La trasformata Z 3 / 33

4 La trasformata Z La trasformata Z Utilitá: é usata nell analisi dei segnali digitali; trasforma Equazioni alle differenze Equazioni algebriche Analogia con il logaritmo: a log a a b log a + log b cioé il logaritmo trasforma i prodotti in somme che sono piú facili da maneggiare. La trasformata Z 4 / 33

5 La trasformata Z Linearitá della Z-trasformata Siano f n e g n due segnali discreti ed α e β due scalari Z {αf n + βg n } (z) (αf n + βg n )z n α f n z n + β g n z n αz {f n } (z) + βz {g n } (z) La trasformata Z 5 / 33

6 Trasformazioni di segnali elementari Impulso unitario Impulso unitario L impulso unitario é definito come segue { 1 se n 0, δ n 1 se n > 0, La sua trasformata si calcola immediatamente Z {δ n } (z) δ n z n 1 La trasformata Z 6 / 33

7 Trasformazioni di segnali elementari Heaviside discreta o gradino Heaviside discreta o gradino Il gradino unitario é definito come segue 1 {1} La sua trasformata si calcola immediatamente Z {δ n } (z) 1 n z n z n 1 1 z 1 z z 1 La trasformata Z 7 / 33

8 Trasformazioni di segnali elementari Esponenziale Esponenziale Trasformata del segnale esponenziale a n Z {a n } (z) a n z n ( a ) n z 1 1 a/z z z a Trasformata del prodotto per l esponenziale a n Z {a n f n } (z) f n a n z n ( z Z {f n } a) ( z f n a ) n La trasformata Z 8 / 33

9 Trasformazioni di segnali elementari Shift Shift (Anticipo temporale) (1/2) La trasformata Z 9 / 33

10 Trasformazioni di segnali elementari Shift Shift (Anticipo temporale) (2/2) Trasformata del segnale traslato f n+k con k > 0 intero Z {f n+k } (z) f n+k z n z k f n+k z (n+k) k 1 z k f n z n z k f n z n ) k 1 z (Z k {f n } (z) f n z n La trasformata Z 10 / 33

11 Trasformazioni di segnali elementari Shift Shift (Ritardo temporale) (1/2) La trasformata Z 11 / 33

12 Trasformazioni di segnali elementari Shift Shift (Ritardo temporale) (2/2) Trasformata del segnale traslato f n k con k > 0 intero Z {f n k } (z) f n k z n z k f n k z (n k) z k f n z n z k Z {f n } (z) La trasformata Z 12 / 33

13 Trasformazioni di segnali elementari Il segnale n k Il segnale n k e il coefficiente binomiale (1/2) Il segnale n k é definito come segue: Casi particolari: n 0 1; n 1 n. Osservando che n k n(n 1)(n 2) (n k + 1) d k dw k wn n(n 1)(n 2) (n k + 1)w n k Possiamo scrivere Z {n k } (1/w) n k w n w k dk dw k w n La trasformata Z 13 / 33

14 Trasformazioni di segnali elementari Il segnale n k Il segnale n k e il coefficiente binomiale (2/2) La trasformata vale: Z {n k } (1/w) w k dk 1 dw k 1 w e sostituendo z 1/w otteniamo Z {n k } (z) w k ( 1)k k! (1 w) k+1 wk k! (w 1) k+1 z k! (z 1) k+1 La trasformata Z 14 / 33

15 Trasformazioni di segnali elementari Il segnale coefficiente binomiale Il segnale n k e il coefficiente binomiale Il segnale é definito come segue: ( ) n n! k (n k)!k! Casi particolari: ( n ) 0) 1; n. ( n 1 Osservando che ( ) n n k k k! Possiamo scrivere Z {( )} n (z) k z (z 1) k+1 La trasformata Z 15 / 33

16 Trasformazioni di segnali elementari convoluzione di due segnali Z-trasformata della convoluzione (1/2) La convoluzione di due segnali f n e g n é definita come segue (f g) n n f k g n k k0 Per la trasformata della convoluzione (f g)(z) Z {(f g) n } (z) vale la seguente notevole proprietá: (f g)(z) f(z) g(z) La trasformata Z 16 / 33

17 Trasformazioni di segnali elementari convoluzione di due segnali Z-trasformata della convoluzione (2/2) La trasformata vale n Z {(f g) n } (z) f k g n k z n k0 1 n k f k g n k z (n k) z k k0 ( ) f k z k 1 n k g n k z (n k) k0 ( ) f k z k g n z n k0 f(z) g(z) La trasformata Z 17 / 33

18 Trasformazioni di segnali elementari Il segnali cos ωn I segnali cos ωn e sin ωn Usando l uguaglianza 2 cos α e iα + e iα dove i é l unitá immaginaria nel campo complesso, possiamo calcolare: Z {cos ωn} (z) 1 2 cos ωn z n 1 2 (e iω z 1 ) n (e iωn + e iωn )z n (e iω z 1 ) n e iω z e iω z 1 z z e iω + z e iω 2 (z e iω )(z e iω ) z 2 z cos ω z 2 2z cos ω + 1 La trasformata Z 18 / 33

19 Trasformazioni di segnali elementari Il segnali sin ωn I segnali cos ωn e sin ωn Usando l uguaglianza 2i sin α e iα e iα dove i é l unitá immaginaria nel campo complesso, possiamo calcolare: Z {sin ωn} (z) sin ωn z n 1 2i 1 2i (e iω z 1 ) n 1 2i (e iωn e iωn )z n (e iω z 1 ) n 1 1 2i 1 e iω z i 1 e iω z 1 z z e iω z + e iω 2i (z e iω )(z e iω ) z sin ω z 2 2z cos ω + 1 La trasformata Z 19 / 33

20 Tabella delle trasformate Tabella delle trasformate Segnale Z-Trasformata Segnale Z-Trasformata ( δ n 1 f n+k z k ) k 1 f(z) j0 f jz j 1 n z ( n k) k z 1 f n k z f(z) z (f g) (z 1) k+1 n f(z) g(z) a n f n f(z/a) a n za sin ω sin ωn z 2 2za cos ω + a 2 ( n k )k f n z d dz f(z) a n z 2 za cos ω cos ωn z 2 2za cos ω + a 2 k j0 f z f(z) k z 1 Attenzione, le funzioni a sinistra delle trasformate devono intendersi uguali a 0 per t < 0, cioé f n f(s) in realtá é 1 n f n f(s). La trasformata Z 20 / 33

21 Esempio: successione di Fibonacci Esempio: successione di Fibonacci (1/3) La successione é definita ricorsivamente da F n+2 F n+1 + F n, F 0 F 1 1 Attenzione, se non si vogliono perdere le condizioni iniziali usare sempre lo shift in avanti Applicando la Z-trasformata e la regola dello shift z 2 F (z) F0 z 2 F 1 z z F (z) F 0 z + F (z) Risolvendo rispetto alla trasformata F (z) F 0z 2 + (F 1 F 0 )z z 2 z 1 ponendo le condizioni iniziali: F 0 F 1 1 F (z) z 2 z 2 z 1 La trasformata Z 21 / 33

22 Esempio: successione di Fibonacci Esempio: successione di Fibonacci (2/3) dalla decomposizione z 2 z 1 (z z 1 )(z z 2 ), z , z Dalla espansione in fratti semplici F (z) z z z 2 z 1 A z z 1 + B z z 2 dove A (5 + 5)/10 e B (5 5)/10, si ottiene F (z) Az z z 1 + Bz z z 2 La trasformata Z 22 / 33

23 Esempio: successione di Fibonacci Esempio: successione di Fibonacci (3/3) Usando la trasformazione Z {a n } (z) z/(z a) otteniamo sostituendo z si ottiene F n , z ( 1 5 ( F n Az n 1 + Bz n 2, A 5 + 5, B ) n ( 5 1 ) n ) n+1 ( ) n La trasformata Z 23 / 33

24 Altre proprietá notevoli Teorema del valore iniziale e finale Teorema (Teorema del valore finale) Se un segnale f n raggiunge un limite costante, cioé lim n f n f allora vale z f lim n (z) z 1 z 1 f Teorema (Teorema del valore iniziale) f 0 lim f n (z) z La trasformata Z 24 / 33

25 Antitrasformata Z Forma standard della Z-trasformata In molte applicazioni la Z-trasformata si puó normalmente scrivere nella forma: G(z) z P (z) Q(z) dove p i p j se i j. b 0 + b 1 z + b 2 z b m z m (z p 1 ) m 1 (z p2 ) m 2 (z pn ) mn Possiamo sempre assumere che P (z) < Q(z). Come nel caso sella trasformata di Laplace possiamo decomporre la trasformata in fratti semplici: G(z) z m n j j1 k1 α jk (z p j ) k La trasformata Z 25 / 33

26 Antitrasformata Z Formula esplicita della soluzione Avendo scritto G(z) come somma di fratti semplici come segue G(z) m n j j1 i1 α ji z (z p j ) i formalmente l inversa diventa consultando la tabella delle trasformate: m n j ( ) k G k α ji p k j i 1 j1 i1 Il problema di questa espressione é che se p j é un numero complesso il termine corrispondente é una funzione a valori complessi della quale non abbiamo definito la Z-trasformata. La trasformata Z 26 / 33

27 Antitrasformata Z Caso generale con radici complesse semplici (1/2) Per ovviare al problema dei numeri complessi basta raccogliere le radici a due due in modo da avere a che fare solo con funzioni razionali semplici a coefficienti reali. Nel caso di radici complesse essendo il polinomio a coefficienti reali saranno a due accoppiate con la loro complessa coniugata. In tal caso per evitare coefficienti complessi nella espansione in fratti semplici si possono raccogliere le frazioni corrispondenti alle radici complesse coniugate Per semplificare l esposizione consideriamo il caso di due sole radici complesse coniugate G(z) z α 1 z p + α 2 z p La trasformata Z 27 / 33

28 Antitrasformata Z Caso generale con radici complesse semplici (2/2) Per prima osserviamo che α 1 α 2 : α 2 lim z p (z p)g(z) lim z p (z p)g(z) lim z p (z p)g(z) α 1 Quindi ponendo α α 1, G(z)/z si riscrive come G(z) z α z p + α α(z p) + α(z p) z p (z p)(z p) z(α + α) pα pα z 2 z(p + p) + pp cioé G(z) si puó riscrivere come G(z) 2z Re (α) Re (pα) z 2 2z Re (p) + p 2 Az 2 + Bz z 2 2z Re (p) + p 2 dove A e B sono due coefficienti reali da determinati da α e p. La trasformata Z 28 / 33

29 Antitrasformata Z Caso generale con radici complesse multiple (1/5) Nel caso di radici complesse essendo il polinomio a coefficienti reali saranno a due accoppiate con la loro complessa coniugata. Per semplificare l esposizione consideriamo il caso di due sole radici complesse coniugate di molteplicitá m G(z) z m [ α i (z p) i + β ] i (z p) i i1 La trasformata Z 29 / 33

30 Antitrasformata Z Caso generale con radici complesse multiple (2/5) Per prima osserviamo che α i β i : d i α m i lim z p dz i (z p)m G(z)z 1 Quindi G(z)/z si riscrive come G(z) z d lim i z p dz i (z p)m G(z)z 1 d lim i z p dz i (z p)m β m i m [ α i (z p) i + α ] i (z p) i i1 La trasformata Z 30 / 33

31 Antitrasformata Z Caso generale con radici complesse multiple (3/5) Osserviamo ora che Quindi G(z) si riscrive come G(z) 1 dk 1 ( 1)k (z p) k+1 dz k z p m i1 m i1 m i1 [ α i z (z p) i + α ] i (z p) i i 1 di 1 z( 1) dz i 1 i 1 di 1 z( 1) dz i 1 [ αi z p + α ] i z p { [ 1 αi z z z p + α ]} iz z p La trasformata Z 31 / 33

32 Antitrasformata Z Caso generale con radici complesse multiple (4/5) Come nel caso della radice complessa coniugata singola possiamo scrivere dove G(z) m i1 F [i] (z) i 1 di 1 z( 1) dz i 1 ( ) 1 z F [i] (z) A i z 2 + B i z z 2 2z Re (p i ) + p i 2 dove A i e B i sono due coefficienti reali da determinati da α i e p i. La trasformata Z 32 / 33

33 Antitrasformata Z Caso generale con radici complesse multiple (5/5) Sia f n l antitrasformata di f(z) allora vale ( ) z( 1) k dk 1 dz k z f(z) Z i1 { f n k ( n k usando tale formula l antitrasformata diventa m ( ) G n F [i] n n i+1 i 1 )} (z) dove F [i] n sono le antitrasformate delle F [i] (z) La trasformata Z 33 / 33