Corso di Elaborazione Numerica dei Segnali Esame del 25 gennaio 2002

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1 Corso di Elaborazione Numerica dei Segnali Esame del gennaio TOTALE PUNTI: L allievo é invitato a dare una ragionata e succinta risposta a tutti gli argomenti proposti, per dimostrare il livello di preparazione globale. I calcoli devono essere sviluppati nel seguito. Gli esercizi devono essere risolti solo sui fogli dei colori indicati; si consiglia una lettura attenta del testo degli esercizi. Per esiti e soluzioni si usi l indirizzo Internet: La registrazione avverra il 1 febbraio alle ore 1. previa iscrizione con la modalita PROSEGUIMENTO [per la discussione dello scritto si contattino i docenti via rocca@elet.polimi.it oppure spagnoli@elet.polimi.it] Esercizio 1 (foglio bianco) (punti 1): Zeri e trasformazione a fase minima Si consideri il filtro caratterizzato dalla risposta all impulso simmetrica h =1;h 1 = h 1 = ; h = h = ; H (z) = X h n z n Si determini il filtro a fase minima con eguale caratteristica di ampiezza. Per facilitare la soluzione si verifichi che uno degli zeri della trasformata z è z 1 = (1 + j) a) ( punti) Trovarecaratteristicadiampiezzaefasedelfiltro. b) ( punti) Trovare gli zeri significativi (nè in zero, nè all infinito) della trasformata z del filtro. c) ( punti) Trovare gli zeri del filtro a fase minima e tracciarne la caratteristica di fase. d) ( punti) Trovare i coefficienti di riflessione del filtro a traliccio corrispondente. Esercizio ( foglio giallo) (punti 1): Direzioni di arrivo e periodogramma Il segnale da un trasmettitore alla frequenza 9MHz, ampiezza A(t) e direzione di arrivo (DOA) θ viene ricevuto da una schiera lineare di M =antenne con spaziatura d, il segnale complessivo alla n-esima antenna risulta: x(m, t) =A(t) exp(jπf o t) exp(jπm sin θ) +w(m, t), {z } s(m,t) somma del segnate utile (s(m, t)) e di un disturbo gaussiano complesso di potenza σ w = E[ w(m, t) ] spazialmente incorrelato (E[w (m, t)w(`, t)]=per m = `) e con componenti incorrelate (E[Re(w(m, t)) Im(w(m, t))] = ). a) (1+1 punti) Si discuta il significato dei tre termini nell espressione di s(m, t) possibilmente derivando l espressione sulla base di un semplice modello fisico. Si deduca dall espressione s(m, t) il valore numerico della spaziatura d (siricordichelavelocitàdipropagazioneèc = 1 8 m/s). b) (++ punti) Si consideri ora il segnale al tempo t =: y(m) =A exp(jπm sin θ)+w (m). b-1) ( punti) Si tracci l andamento della pulsazione spaziale del segnale utile (ovvero s(m, t =))al variare di θ identificando la DOA per cui la pulsazione assume valore minimo e massimo. b-) ( punti) Dopo aver definito il periodogramma di y(m) esiidentifichino le DOA per cui il periodogramma non risulta polarizzato. b-) ( punti) Si definisca e si calcoli lo stimatore lineare di A dal y(m) in modo da minimizzare l errore quadratico medio. c) ( punti) Si assuma di campionare temporalmente x(m, t) con passo T ricavando cosi il segnale x n (m) = x(m, nt ), ilprocessoa n = A(nT ) èbiancoconpotenzaσ A = E[ A n ]. Si consideri l insieme di 1 campioni temporali {x(m, nt )} 9 n=, calcolare la varianza del periodogramma per i valori non polarizzati. Esercizio (foglio rosa) (punti 1): Trasformata di Fourier di una lama quadrata a) ( punti) Si consideri una lama a forma di rettangolo di lunghezza L, disposta lungo l asse delle ascisse. Se ne trovi la trasformata di Fourier. b) ( punti) Disponendo lame opportunamente, si costruisca una lama a forma di quadrato di lato L e se ne trovi la trasformata di Fourier. c) ( punti) Si trovi la trasformata di Fourier dell autocorrelazione del segnale precedente. d) ( punti) Si trovi l autocorrelazione del segnale precedente nel dominio degli spazi; per semplicità, si consideri che la lama abbia uno spessore picolissimo, ma finito. Esercizio (foglio bianco con scritta MATLAB) (punti 8): Localizazzione dalle misure dei ritardi 1

2 y [m] In un sistema radio la localizzazione di un trasmettitore (p.e., un telefono cellulare) puo avvenire dalla misura del tempo trascorso t tra la trasmissione di un segnale e la ricezione da parte di piu ricevitori in posizione note. Si vuole realizzare un programma matlab che permetta di simulare la ricezione del segnale. a) Si scriva una funzione matlab t=tempodiarrivo(tx,ty,rx,ry), che restituisca il ritardo di propagazione dalle posizioni del trasmettitore (Tx,Ty) e del ricevitore (Rx,Ry). Si ricorda che la velocita di propagazione e c = 1 8 m/s. b) La trasformata di Fourier della forma d onda (reale) trasmessa è ( 1 f <f1 G(f) = h i 1 cos(π f f 1 f f 1 )+1 f 1 f f Si costruisca nelle frequenze il segnale trasmesso mediante un vettore di 1 elementi per un intervallo di campionamento di t =ns e frequenze caratteristiche: f 1 =MHz, f =1MHz. b) Si consideri il trasmettitore nell origine del sistema di riferimento (Tx=m,Ty=m, vedifigura) e la stazione ricevente (BS 1 )postainrx= 1 e Ry= 1 m. Si costruisca (sempre nelle frequenze) il segnale ritardato ricevuto da BS 1 e si rappresenti l andamento del segnale nei tempi g(t). c) Si aggiunga al segnale ricavato al punto precedente un rumore gaussiano bianco con valore efficace pari al 1 del valore di picco del segnale ricevuto. Si disegni l andamento dei segnali in questo caso. d) Si aggiunga al segnale ricavato al punto precedente un processo AR(1) con valore efficace pari al 1 del valore di picco del segnale ricevuto e banda f 1. Si disegni l andamento dei segnali anche in questo caso. e) Il trasmettitore descrive ora una traiettoria circolare di raggio m e centro nell origine. Si calcoli il ritardo alla stazione ricevente BS 1 per M=1 posizioni lungo la circonferenza. Si disegni nel modo che si ritiene piu opportuno l immagine dell andamento dell insieme dei M=1 segnali registrati nelle diverse posizioni del trasmettitore. Si ripeta il calcolo per le altre due stazioni riceventi BS e BS in figura. 1 8 Traiettoria del trasmettitore BS BS1 BS x [m] Figura 1:

3 Corso di Elaborazione Numerica dei Segnali Esame del gennaio Soluzione Esercizio (Matlab) L esercizio simula il sistema di localizzazione per un trasmettitore tipico di un sistema radiomobile (per ulteriori dettagli su alcune problematiche connesse con la localizzazione vedi www/elet/polimi/it/dsp/tlc/...). Ovviamente nella pratica sara necessario stimare i tempi di ritardo e da questi localizzare all interno della cella il terminale mobile per triangolazione da almeno misure. Esercizio matlab /1/ Funzione per calcolare i tempi di arrivo function t=tempodiarrivo(tx,ty,rx,ry); calcola i tempi di arrivo Tx, Ty posizione del trasmettitore Rx, Ry posizione del ricevitore Il tempo di arrivo e semplicemente la distanza trasm. / ricev., diviso la velocita (c= Km/s) l uso di.^permette di operare su vettori c = e8; m/s t = sqrt( (Rx-Tx).^ + (Ry-Ty).^ ) / c; s return, Segnale trasmesso in frequenza costruzione dell asse delle frequenze fmax =1/(*1e-9); df=fmax/1; faxis=[:df:fmax/,-fmax/+df:df:-df]; f1=e; f=1e; celle in cui cadono i valori f1 e f nf1=floor(f1/df)+1; nf=floor(f/df)+1; costruzione del segnale sigf=zeros(1,1); sigf(1:nf1)=1; sigf(nf1+1:nf)=.*(cos(pi*(faxis(nf1+1:nf)-f1)/(f-f1))+1); simmetrie della trasformata di fourier di un segnale reale sigf(1:-1:8)=conj(sigf(:));

4 Segnale al ricevitore posizione trasmettitore Tx=; Ty=; posizione delle stazione ricevente BS1x=-1; BS1y=-1; tempo di arrivo su BS1 tbs1=tempodiarrivo(tx,ty,bs1x,bs1y); Segnale sfasato nelle frequenze sigfr=sigf.*exp(-j**pi*faxis*tbs1); Segnale nei tempi sigtr=real(ifft(sigfr)); Segnale con la somma rumore gaussiano bianco sigtrw=sigtr+randn([1,1])*max(sigtr)*.1; Processo AR(1) C=cos(*pi*e-9*e); rho=-c+sqrt(c^+1); ar=[randn([1,1]),zeros(1,11)]; for k=:1, ar(k)=randn([1,1])+rho*ar(k-1); end, Segnale con la somma di processo ar sigtar=sigtrw+ar/sum(ar.*ar)*max(sigtr)*.1; taxis=[::11*]*1e-9; figure, subplot(11) plot (taxis,sigtr); grid title ( Segnale ricevuto da BS1 ); subplot(1) plot (taxis,sigtrw); grid title ( Segnale ricevuto da BS1 + rumore gaussiano ); subplot(1) plot (taxis,sigtar); grid xlabel ( ) title ( Segnale ricevuto da BS1 +processo AR ); Trasmettitore mobile Velocita del trasmettitore, traiettoria circolare di raggio r= m v=1; m/s r=; m posizione delle stazioni riceventi BS1x=-1; BS1y=-1; BSx=1; BSy=-1;

5 Segnale ricevuto da BS Segnale ricevuto da BS1 + rumore gaussiano x Segnale ricevuto da BS1 +processo AR x x 1 - Figura : BSx=1; BSy=1; Calcolo del campionamento angolare che permette di descrivere il intera circonferenza in 1 campioni alfa=[:*pi/1:*pi-*pi/1]; rad Calcolo della posizione del mobile ad ogni istante di campionamento Tx=cos(alfa)*r; Ty=sin(alfa)*r; Disegno della traiettoria del mobile e della posizione delle stazioni riceventi figure, plot(tx,ty, - ) plot(bs1x,bs1y, k*,bsx,bsy, k*,bsx,bsy, k* ); axis square, grid, xlabel ( x [m] ) ylabel ( y [m] ) title ( Traiettoria del trasmettitore ); Calcolo dei tempi di arrivo per ogni posizione del mobile tbs1=tempodiarrivo(tx,ty,bs1x,bs1y); tbs=tempodiarrivo(tx,ty,bsx,bsy); tbs=tempodiarrivo(tx,ty,bsx,bsy); Grafico del segnale ricevuto da BS1, BS, BS figure, subplot(11) for k=1:1; sigric1=real(ifft(sigf.*exp(-j**pi*faxis*tbs1(k)))); Segnale ricevuto da BS1 plot (k+sigric1*,taxis, k- ); end, axis([ 11 e- 7e-]);

6 ylabel ( ) title ( segnali ricevuti da BS1, BS, BS ) subplot(1) for k=1:1; sigric=real(ifft(sigf.*exp(-j**pi*faxis*tbs(k)))); Segnale ricevuto da BS1 plot (k+sigric*,taxis, k- ); end, axis([ 11 e- 7e-]); ylabel ( ) subplot(1) for k=1:1; sigric=real(ifft(sigf.*exp(-j**pi*faxis*tbs(k)))); Segnale ricevuto da BS1 plot (k+sigric*,taxis, k- ); end, axis([ 11 e- 7e-]); xlabel ( posizione n. ) ylabel ( ) 7 x 1- segnali ricevuti da BS1, BS, BS x x posizione n. Figura :