ENS - Esame e seconda prova in itinere del 3 luglio 2007

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1 ENS - Esame e seconda prova in itinere del luglio 007 L allievo é invitato a dare una ragionata e succinta risposta a tutti gli argomenti proposti, per dimostrare il livello di preparazione globale. I calcoli devono essere sviluppati nel seguito. Gli esercizi devono essere risolti solo sui fogli dei colori indicati; si consiglia una lettura attenta del testo degli esercizi. Per esiti e soluzioni si usi l indirizzo Internet: l/ Per la discussione dello scritto si contattino i docenti via rocca@elet.polimi.it; tubaro@elet.polimi.it Esercizio foglio bianco) a Prova in itinere e Esame: punti 5: DOA e periodogramma Si consideri la realizzazione di un processo x n somma di due segnali d,n + d,n e cioè due onde piane monocromatiche che incidono su una schiera lineare di N = 8 sensori spaziati di. Ad ogni sensore e aggiunto un rumore gaussiano complesso bianco e incorrelato da sensore a sensore: x n = d,n + d,n + w n, n =,..., 8 dove : d,n = A e jkn ; d,n = A e jk n Le direzioni di arrivo DOA) sono θ = 0 0 e θ = 60 0 ; le ampiezze A e A sono variabili casuali indipendenti di uguale potenza; il rumore gaussiano complesso ovvero w n = w R,n + jw I,n ) ha valore medio nullo: EA = EA = 0; EA A = 0; E A = E A = σ A = ; Ew n w n m = σ wδn m) = 0.δn m); La frequenza è f 0 = GHz. a) 5 punti) Si determini la distanza tra i sensori della schiera possibilmente in modo che una delle due onde sia campionata spazialmente a metà della frequenza spaziale di Nyquist della schiera; si trovi la frequenza spaziale dell altra onda. b) 5 punti) Si definisca il periodogramma per la sequenza di 8 campioni registrati dagli N = 8 sensori. Si determini il valore medio del periodogramma nelle due posizioni relative alle due onde e si evidenzino le polarizzazioni se presenti) quantificandole per quanto possibile. c) + punti) Si valuti la risoluzione angolare del periodogramma, differenziando la risoluzione per le due DOA θ e θ. Si illustrino i vantaggi di una stima spettrale AR, indicandone il minimo ordine e il perchè. Esercizio foglio azzurro) a Prova in itinere e Esame: punti 5: Stima spettrale in rumore colorato Si consideri la sequenza: xn) = u n) + u n) somma di due termini; ogni termine e ottenuto filtrando due processi gaussiani indipendenti un) e vn) entrambi a valore medio zero e potenza unitaria: u n) = un) un ) u n) =.95u n ) + vn) a) 5 punti) Si calcolino i primi tre campioni dell autocorrelazione di xn). b) 5 punti) Si vuole stimare il campione u n) a partire da una combinazione lineare di campioni della sequenza xn) in questo caso il processo u n) rappresenta il disturbo): û n) = αxn) + βxn ) Si calcoli lo stimatore α, β che minimizza l errore quadratico medio e si calcoli il valore dell errore quadratico medio per lo stimatore trovato. c) 5 punti) Si determini lo stimatore a minimo errore quadratico medio di u n) da x n) nel dominio delle frequenze.

2 Esercizio foglio rosa) Esame primo appello: punti 5: Antitrasformata z di segnali non causali Si consideri la funzione di trasferimento H z) = z + z ) z) Se ne determini l antitrasformata, in modo da aver un risultato che sia non causale e convergente. a) 5 punti) Si trovi la caratteristica di ampiezza di H z). b) 4 punti) Si trovi la caratteristica di fase di H z) +. c) 6 punti) Si trovi l antitrasformata di H z). Esercizio 4 foglio rosa) a Prova in itinere: punti 5: Stima adattativa in rumore bianco Si consideri il processo y n = x n + z n somma del segnale x n e del rumore z n. Il segnale x n è generato secondo l equazione alle differenze finite: x n = u n u n I processi z n e u n sono indipendenti, bianchi, a valore medio nullo e potenza σ z = Ez n = 0.5 e σ u = Eu n = 0.5. Si desidera ricostruire con il filtro fn) i valori della sequenza x n) a partire dai valori del vettore d n) = u n + u n, u n + u n T : x n) = f n) d n) mediante la relazione iterativa tecnica LMS): f n) = f n ) + γ y n) x n) d n) a) 5 punti) Si trovi la matrice di covarianza del vettore dn) : R = E dn) dn) ed il filtro asintotico f ). b) 5 punti) Si trovi il valore massimo γ max del passo di aggiornamento γ e l errore di predizione all infinito. c) 5 punti) Utilizzando γ = γ max /, si determini la durata dei transitori lungo i due diversi autovettori della matrice R.

3 Soluzione Esercizio a) Corso di Elaborazione Numerica dei Segnali Esame e seconda prova in itinere del luglio 007 x n = A e j π λ sin θ n + A e j π λ sin θ n + w n π λ sin θ = π λ = π = λ = 0 cm = 8.66cm Con questa scelta di le due pulsazioni spaziali sono: u = π u = π λ sin θ = π λ λ = π b) Il periodogramma è definito come: Ŝ x k) = X k N = X k 8 Per non avere polarizzazione deve essere: k =,,, 0,,,, 4 u k = π λ λ sin θ k = π sin θ k = π 8 k La DOA in θ non genera polarizzazione perchè cade esattamente nella cella k =, in quanto Per la DOA in θ si ha π sin θ = π 8 k k = 8 π π = π sin θ = π 8 k k = 8 π π = =.5 Quindi la DOA in θ crea polarizzazione. Per il calcolo del valore medio del periodogramma, suppongo che il contributo della DOA in θ si divida equamente nelle sole due celle adiacenti k = e. E A N + σw = σa N + σ w k = EŜxk) = E A N + σw = σ A N + σ w k =, σw k =, 0,,, 4 c) La risoluzione angolare dipende dall apertura della schiera θ = λ N cosθ λ θ = = 0.5 rad N cosθ λ θ = = = rad N cosθ Il minimo ordine di una stima spettrale AR è, poiché due sono le DOA considerate. ed è diversa per le due DOA:

4 Soluzione Esercizio a) Il segnale xn) è un processo ARMA ottenuto dalla somma del processo MA) u n) con funzione di autocorrelazione r u m) u n) = un) un ) U z) = z )Uz) = Hz)Uz) R U z) = U z)u /z) = z z)r U z) r u m) = δm) δm ) δm + ) e il processo AR) u n) u n) =.95u n ) + vn) U z) = con funzione di autocorrelazione r u m) La funzione di autocorrelazione di xn) è in particolare si ha r u m) = m V z) = Gz)V z) 0.95z r x m) = r u m) + r u m) = δm) δm ) δm + ) + r x 0) = =.6 r x ) = = r x ) = = 9.6 b) Imponendo la condizione di ortogonalità { E u n) û n)) xn) = 0 E u n) û n)) xn ) = 0 { αrx 0) + βr x ) = r u 0) αr x ) + βr x 0) = r u ) {.6α β = 8.74α +.6β = Le soluzioni sono α = 0.45 e β = 0.4. L errore quadratico medio corrispondente è E ε n = E u n) û n)) = E u n) û n)) u n) = m = E u n) αxn) βxn )) u n) = r u 0) αr u 0) βr u ) = α + β = 0.67 c) Lo stimatore ottimo di u n) nelle frequenze a partire dal segnale xn) è Ûz) = Az)Xz), con Xz) = U z) + U z) = Hz)Uz) + Gz)V z). Imponendo l ortogonalità EU z) Ûz))X /z) = 0 E U z)x /z) = Az)E Xz)X /z) = Az) = E U z)x /z) E Xz)X /z)

5 Essendo X /z) = H /z)u /z) + G /z)v /z), allora Az) = E U X E XX = E HUH U + G V ) E HU + GV )H U + G V ) = sostituendo Hz) = z e Gz) = 0.95z, si ottiene Az) = z ) z) z ) z) z 0.95z Hz)H /z) Hz)H /z) + Gz)G /z) Il filtro è IIR causale e anticausale. L errore quadratico medio è E ε = EU Û) = EU Û)U Û) = EU Û)U = = EU U Az)EXU = EHUH U Az)EHUH U = = HH Az)HH = HH Az)) = HH HH ) HH + GG = Hz)H /z)gz)g /z) Hz)H /z) + Gz)G /z) = Soluzione Esercizio I poli della funzione di trasferimento Hz) si trovano come: ) z + z ) z) = 0 Le soluzioni sono +,, da cui scrivo Hz) come z H z) = + z ) z) = z z ) ) = z z + = ) z z = z )z 0.5z )z = = 0.5z 0.5z ρ z ρ z a)ponendo z = e jω, ottengo: z ) z) = cos ω H e jω) = La caratteristica di ampiezza H e jω) è: e jω + cos ω jω cos ω H e jω) = cos ω b) La caratteristica di fase di Hz) + è: Az) = H z) + = z + + z ) z) + z ) z)

6 Ponendo z = e jω, ottengo: da cui ricavo la caratteristica di fase: A e jω) = e jω + cos ω cos ω jω + cos ω cos ω A e jω) = jω + cos ω) cos ω) = = jω + ω cos ω) = arctan + cos ω c) L antitrasformata di Hz) è { 0.5ρ n h n = = 0.5 ) n n > 0 0.5ρ n = ) n n 0 Soluzione Esercizio 4 a) Essendo u n un processo bianco, la sequenza di autocorrelazione è r u n) = σ uδn) = 0.5δn). La matrice di covarianza di dn) è R = E dn) dn) un + u = E n u n + u n un + u n u n + u n σ = u σu σu σu Ora valuto la soluzione asintotica del filtro: un + u p = Ey n) d n) = Eu n u n + z n ) n u n + u n f ) = R σ p = u σu b) Gli autovalori della matrice R sono σ u σ u σ det u λ σu σu σu λ 0 σ u = 0 = = 0 σ u σ u λ ) = σ 4 u λ, = σ u, σ u Il valore massimo γ max del passo di aggiornamento γ γ < γ max ) è γ max = λ max = σ u =.67 L errore di predizione all infinito è E ε = ry 0) p R p = σu + σz ) 0 σ u = 4 σ u + σz = 0.8 c) La durata del transitorio è data dalla componente associata all autovalore più piccolo, che va a convergenza più lentamente. Dico che sono a convergenza quando il valore dell errore si riduce di /e o equivalentemente di /00. γλ min ) n = γ ) max n λ min = λ ) n min = log e = n = λ max e log / =.46 o equivalentemente, γλ min ) n = γ ) max n λ min = λ ) n min = λ max 00 = n = log 0 00 log 0 / =.5