Statistica Applicata all edilizia Lezione: approccio stocastico all analisi delle serie storiche

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1 Lezione: approccio stocastico all analisi delle serie storiche 3 maggio 2011

2 Programma 1 Approccio stocastico all analisi delle serie storiche

3 Programma Approccio stocastico all analisi delle serie storiche 1 Approccio stocastico all analisi delle serie storiche

4 Procedura di Box-Jenkins Insieme delle fasi per l individuazione di un processo stocastico generatore della serie storica IDENTIFICAZIONE del modello STIMA dei parametri VERIFICA DELLA BONTA di ADATTAMENTO

5 Idenficazione del modello Analisi delle funzioni di autocorrelazione e autocorrelazione parziale Ricordiamo che la stima del coefficiente di autocorrelazione è dato da yt y t+h r(h) = yt y y 2 = t+h t y 2 t y 2 t+h

6 Bande di confidenza del coefficiente di autocorrelazione sotto l ipotesi di incorrelazione tra due qualsiasi variabili casuali Y t e Y t+h si può dimostrare che ( r(h) N 0, 1 ) n Tale risultato permette per ciscun coefficiente la seguente verifica d ipotesi: { H 0 : ρ h = 0 H 1 : ρ h 0 Si accetta H 0 ad un livello di significatività α, se n ρ h < z α 2

7 Calcolo del coefficiente di correlazione parziale Il coefficiente di autocorrelazione parziale di ordine h può essere stimato tramite la regressione di Y t su h ritardi: Y t = c + φ 1k Y t 1 + φ 2k Y t φ hh Y t h P(h) = ˆφ hh sotto l ipotesi di incorrelazione tra due qualsiasi variabili casuali Y t e Y t+h si può dimostrare che ( P(h) N 0, 1 ) n

8 Esempio Approccio stocastico all analisi delle serie storiche 0.5 Sample autocorrelation coefficients 0.6 Sample partial autocorrelation coefficients sacf values spacf values k values L ACF decade lentamente a zero k values L ACF parziale ha una sola correlazione positiva e pari a φ = 0.5. > Si tratta di un AR(1) con φ positivo

9 Esempio Approccio stocastico all analisi delle serie storiche 0.2 Sample autocorrelation coefficients 0.2 Sample partial autocorrelation coefficients sacf values spacf values k values k values L ACF ha una sola correlazione negativa L ACF parziale decade gradualmente a zero > Si tratta di un MA(1) con θ negativo

10 Un modello ARIMA(p,q) possiede p + q + 2 parametri da stimare ovvero φ 1,..., φ n θ 1,..., θ n c, σ 2 ε il metodo di stima più utilizzato è quello della MASSIMA VEROSIMIGLIANZA.

11 Il metodo della massima verosimiglianza La stima dei modelli ARMA avviene sfruttando la definizione di densità condizionata f (y 1,..., y n ) = f (y 1 )f (y 2 y 1 )f (y 3 y 1, y 2 )... f (y n y 1, y 2,..., y n 1 o in logaritmi logf (y 1,..., y n ) = logf (y 1 ) + n logf (y t y n 1 ) t=2

12 La funzione di verosimiglianza di un AR(1) La funzione di verosimiglianza di un AR(1) è particolarmente semplice da ricavare dato che Y t Y t 1 è indipendente da Y t 2, Y t 3,.... I momenti condizionati si possono ottenere direttamente dalla definizione del processo per t = 2,..., n, mentre µ 1 0 = log-verosimiglianza è dunque: µ t t 1 = E(Y t Y t 1 ) = k + φy t 1 v t t 1 = E(Y t µ t 1 ) 2 = E(ε 2 t ) = σ 2 k 1 φ e v 1 0 = l(k, φ) = 1 σ2 {nlog(2π + log 2 + (n 1)logσ 2 + σ2. La funzione di 1 φ 2 1 φ )2 σ 2 1 φ 2 1 φ 2 + (y 1 k n t=2 (y t k φy t 1 ) 2 σ 2 }

13 Se si tralascia la densità di Y 1 e quindi si condiziona al valore osservato, la funzione di verosimiglianza si riduce a l(k, φ) = 1 2 {(n 1)logσ2 + n t=2 (y t k φy t 1 ) 2 σ 2 } Derivando rispetto a k e a φ ed uguagliando a zero si ottengono le equazioni caratteristiche della regressione lineare di y t sui propri ritardi.

14 Esempio: Stima di un AR(1) simulato con φ = 0.5.

15 Analisi dei residui ˆε t : valutazione di autocorrelazione parziale e globale; distribuzione dei residui (istogramma) utilizzo di opportuni tests.

16 Esempio: Analisi dei residui di un AR(1) simulato con φ = c= e φ=

17 Se con la procedura Box-Jenkins non si è identificato il miglior modello, si può utilizzare l Akaike Information Criterion (AIC) o il Bayesian Information Criterion (BIC). AIC = 2k 2 log(l(θ)) ( ) 2 log(l(θ)) k log(n) BIC = n Nell ipotesi che gli errori siano distribuiti in modo Normale e siano tra loro indipendenti, si ha AIC = n log ˆσ ε + 2k BIC = log ˆσ ε + k log(n) n Si sceglie il modello con l AIC e/o il BIC minore.

18 Esempio: Scelta tra un AR(1) e un AR(2) Il modello simulato è Y t = 0.5Y t 1 + ε Viene stimato un modello AR(1): Ŷt = Y t 1. L AIC risulta: AIC 1 = Viene stimato un modello AR(2): Ŷ t = Y t Y t 2. L AIC risulta: AIC 2 = > Poichè AIC 1 < AIC 2 è preferibile utilizzare il modello AR(1).

19 Approccio stocastico all analisi delle serie storiche I t = (y t, y t 1, y t 2,... l informazione disponibile sino al tempo t Y t (k) previsore di Y t+k e t (k) = Y t+k Y t (h) errore di previsione Il previsore che minimizza l errore quadratico medio di previsione E(e t (k) 2 ) risulta essere Y t (k) = E(Y t+k I t ) = g(y t, y t 1, y t 2,...

20 di AR(1) Y t AR(1) ad un passo (k = 1) Y t (1) = E(Y t+1 I t ) = E(c + φy t + ε t+1 I t ) = c + φy t a due passi (k = 2) Y t (2) = E(Y t+2 I t ) = E(c + φy t+1 + ε t+2 I t ) = c + φy t (1) = c(1 + φ) + φ 2 y t

21 Procedura: previsioni con un AR(1) stimato Si divide il database in due insiemi: uno per stimare il modello e il secondo per validare le previsioni del modello; si stima il modello AR(1) con il primo insieme di dati e si fanno le previsioni; si confrontano le previsioni con i dati reali. Nel seguente esempio sono stati considerati 950 dati per stimare il modello e sono stati previsti i rimanenti 50 dati.

22 Esempio: previsioni con un AR(1) stimato 3 Previsioni con un AR(1) stimato

23 Serie storiche non stazionarie Molto spesso i fenomeni che vengono analizzati non sono stazionari e quindi la procedura Box-Jenkins non è applicabile Esempio: Il processo Random Walk, Y t = Y t 1 + ε t è non stazionario. DIFFERRENZIAZIONE di ordine 1 Y t = (1 B)Y t DIFFERRENZIAZIONE di ordine d Processo ARIMA(p, d, q) d Y t = (1 B) d Y t Φ(B)(1 B) d Y t = Θ(B)ε t