ANALISI SERIE STORICHE

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1 ANALISI SERIE STORICHE SERIE STORICA: insieme finito di osservazioni di uno stesso fenomeno, ordinate secondo il tempo, con cadenza periodica costante (mensile, trimestrale, annuale ecc.) Presenze turistiche mensili - Rimini lug-86 ago-87 set-88 ott-89 nov-90 dic-91 gen-93 mar-94 apr-95 mag-96 giu-97 lug-98 ago-99 ott-00 ANALISI CLASSICA: I valori osservati sono il risultato dell aggregazione di una componente deterministica e di una componente casuale (natura descrittiva ed interpretativa). ANALISI STOCASTICA (Box-Jenkins): Si considera la serie storica come parte finita di un processo stocastico, cioè come successione di valori osservati di un insieme di variabili casuali (natura probabilistica). ANALISI FREQUENZIALE (o spettrale): La serie storica è vista come risultante di infinite serie periodiche, con periodo, ampiezza e fasi diverse (approccio fondato sulla trasformata di Fourier). OBIETTIVO DELL ANALISI Comprensione del meccanismo generatore dell andamento del fenomeno osservato, per fare previsioni sui suoi livelli futuri. 1

2 PROBLEMATICHE GENERALI L analisi classica si basa su campioni casuali di osservazioni indipendenti: ogni dato fornisce informazioni sulla variabile casuale che lo ha generato, ma non aggiunge alcuna informazione sull osservazione successiva. L analisi stocastica studia una serie storica fondandosi sulla connessione che caratterizza una successione di dati temporali: la conoscenza di quanto è avvenuto in passato condiziona ciò che avverrà in futuro. La regolarità (stazionarietà) del fenomeno osservato condiziona notevolmente l analisi delle s.s., soprattutto nella fase previsiva. 1. ANALISI CLASSICA Osservando serie storiche reali, ci si accorge della presenza di comportamenti di lungo periodo a cui si sovrappongono comportamenti di durata inferiore, connessi alla stagionalità, alla composizione e collocazione delle festività nel calendario, a fatti eccezionali. Si evidenziano perciò andamenti particolari, che possono essere ritenuti prodotto dell azione di FENOMENI NON RIPETITIVI (che generano movimenti di lungo periodo) e di FENOMENI RIPETITIVI (responsabili dei movimenti oscillatori). L approccio classico all analisi delle serie storiche propone modelli nei quali i valori osservati si considerano esprimibili, per ciascuno dei tempi considerati, come risultanti di una componente sistematica (deterministica) e di una componente aleatoria. Si ipotizza inoltre che la parte sistematica del modello sia scindibile in una componente tendenziale di lungo periodo (trend), in una componente congiunturale (ciclo) e, se i dati sono rilevati con cadenza inferiore all anno, in una componente stagionale. TREND (T): componente evolutiva, spiega l andamento regolare di lungo periodo; sintetizza la struttura e l evoluzione sistematica di una serie, a prescindere la fattori contingenti o irrilevanti. CICLO (C): componente congiunturale, spiega le fluttuazioni pluriennali a periodicità irregolare; spiega l andamento di lungo periodo in termini di alternanza tra fasi di espansione e contrazione. 2

3 STAGIONALITA (S): spiega l influenza delle stagioni, in termini di effetti di natura climatica o di calendario; osservabile se i dati sono rilevati con cadenza inferiore all anno. ACCIDENTALITA (A): insieme di cause non esplicitate nelle precedenti componenti, totalmente imprevedibili, casuali. 1.1 METODO DECOMPOSITIVO Ogni valore osservato è esprimibile come risultato dell azione combinata delle componenti sistematica e accidentale. MODELLO ADDITIVO: Y t = T t + C t + S t + A t MODELLO MOLTIPLICATIVO: Y t = T t x C t x S t x A t MODELLI MISTI: alcuni esempi Y t = [T t x C t ] + S t + A t Y t = [T t x C t x S t ] + A t Y t = [T t x S t ] + A t MODELLO ADDITIVO: Y t = T t + C t + S t + A t l ipotesi di base è che le componenti della serie storica corrispondenti alla tendenza generale (T), alle variazioni stagionali (S), al ciclo (C) e alle oscillazioni aleatorie (A) siano fra loro indipendenti. MODELLO MOLTIPLICATIVO: Y t = T t x C t x S t x A t presuppone che le componenti ciclica, stagionale e aleatoria risultino legate al trend da una relazione di proporzionalità. Tale modello può essere espresso in forma additiva ricorrendo alla trasformazione logaritmica: log Y t = log T t + log C t + log S t + log A t VANTAGGI DEL METODO DECOMPOSITIVO Semplicità dei modelli utilizzati Applicabile a serie storiche di lunghezza limitata Utile come punto di partenza per analisi successive, con modelli stocastici 3

4 LIMITI DEL METODO DECOMPOSITIVO Arbitrarietà delle scelte Convenzionalità della scomposizione Decomposizione non unica (ad es.: se il trend cresce o decresce lentamente, la differenza tra modello additivo e moltiplicativo si vanifica) 1.2 DETERMINAZIONE DELLA COMPONENTE SISTEMATICA (TREND-CICLO): MEDIE MOBILI Le MEDIE MOBILI non sono altro che medie aritmetiche di n osservazioni successive della serie. Se il numero dei termini è dispari, le medie mobili sono automaticamente centrate, nel senso che corrispondono al centro dell intervallo. Se il numero dei termini è pari, la media mobile si può centrare calcolandola su n+1 termini ponderati con i pesi ½,1,1,1,...,1,1,1,½ Se una serie storica presenta forti fluttuazioni stagionali, per eliminare la stagionalità si può ricorrere al calcolo di medie mobili centrate di 12 termini se i dati sono mensili, e rispettivamente di 4, 7 o 24 termini se i dati hanno periodicità trimestrale, giornaliera, oraria. L ipotesi implicita in questo procedimento è che le oscillazioni stagionali siano di periodicità costante pari a 12 mesi (o a 4, 7, 24 periodi). Il metodo consiste in una trasformazione lineare della serie, allo scopo di preservare una delle componenti (trend-ciclo) e annullare (approssimativamente) le altre due, stagionale e casuale. Quando la media mobile è di termine pari (ad esempio 12, quando si anno dati mensili) si calcola su n+1 termini: TC t * = 1/12 [½Y t-6 + Y t-5 + Y t Y t + + Y t+4 + Y t+5 + ½Y t+6 ] = 1/24 Y t-6 + 1/12 Y t-5 + 1/12 Y t /12 Y t + + 1/12 Y t+4 + 1/12 Y t+5 + 1/24 Y t+6 Quando la media mobile è di termine dispari (ad esempio 3, quando si anno dati quadrimestrali) si calcola: TC t * = 1/3 Y t-1 + 1/3 Y t + 1/3 Y t+1 4

5 EFFETTO: il calcolo delle medie mobili centrate riduce l ampiezza delle oscillazioni attribuibili agli effetti congiunti dei fattori stagionali e casuali, di periodo esattamente pari a n (o a un suo sottomultiplo). LIMITE (perdita di osservazioni): non si ottengono stime per gli n/2 dati iniziali e finali. LIMITE (effetto Slutzky-Yule): alterazione della componente accidentale con la creazione di onde cicliche regolari nella serie generata con le medie mobili (il metodo non elimina, infatti, fluttuazioni di periodo differente da n; tali fluttuazioni vengono di conseguenza deformate generando onde non presenti nella serie originale). 1.3 DETERMINAZIONE DELLA COMPONENTE SISTEMATICA (STAGIONALITA ): MEDIE MOBILI Una volta applicate le medie mobili alla serie originaria si ottiene la serie dei TC*, che rappresenta una stima della componente trend-ciclo. Se il modello ipotizzato era un modello additivo, allora la seguente differenza rappresenta l effetto congiunto dei fattori stagionalità e casualità: S t + A t = Y t TC t * Se il modello ipotizzato era un modello moltiplicativo, allora il seguente rapporto rappresenta l effetto congiunto dei fattori stagionalità e casualità: S t A t = Y t / TC t * RAPPORTO LORDO DI STAGIONALITA Se non si ha motivo di ritenere che nel corso del tempo la stagionalità si modifichi (stagionalità rigida o costante) allora si può procedere alla ulteriore scomposizione dei valori individuati in componente accidentale e stagionale. Se il modello ipotizzato era un modello additivo, allora una stima della componente stagionale si ottiene calcolando medie aritmetiche dei valori [S(t) + A(t)] relativi allo stesso periodo (medie nei diversi anni del valore relativo allo stesso mese o allo stesso quadrimestre, ecc.): S t * = MEDIA dei valori di [S t + A t ] 5

6 Se il modello ipotizzato era un modello moltiplicativo, allora una stima della componente stagionale si ottiene calcolando medie aritmetiche dei rapporti di stag. lorda (relativi ad uno stesso mese, o quadrim., ecc.): S t * = MEDIA dei valori di [S t A t ] RAPPORTO NETTO DI STAGIONALITA 1.4 ESEMPIO MEDIE MOBILI Y(t) TC*(t) 1 TRIMESTRE TRIMESTRE TRIMESTRE ,25 = 1/4 [(1/2) (1/2)350] 4 TRIMESTRE ,00 = 1/4 [(1/2) (1/2)300] 1 TRIMESTRE ,50 = 1/4 [(1/2) (1/2)100] 2 TRIMESTRE ,25 = 1/4 [(1/2) (1/2)150] 3 TRIMESTRE TRIMESTRE Y(t) SA*(t) 1 TRIMESTRE TRIMESTRE TRIMESTRE ,48 = 100 / 206,25 4 TRIMESTRE ,89 = 200 / 225,00 1 TRIMESTRE ,47 = 350 / 237,50 2 TRIMESTRE ,30 = 300 / 231,25 3 TRIMESTRE TRIMESTRE

7 Y(t) tempo TC*(t) tempo 1.5 DESTAGIONALIZZAZIONE In primo luogo va specificato il modello di stagionalità Rigido (o costante): gli indici di stagionalità lorda sono stabili nel tempo Variabile: gli indici di stagionalità lorda sono diversi nel tempo per forma e intensità Semi-rigido: gli indici di stagionalità lorda sono diversi nel tempo per forma o intensità Se il modello di stagionalità è rigido: si calcolano gli indici netti di stagionalità e quindi si DESTAGIONALIZZA la serie sottraendo o rapportano i dati osservati agli indici netti di stagionalità. Ad esempio, se il modello ipotizzato è moltiplicativo, la serie destagionalizzata si ottiene dal rapporto Y t d / S* t 7

8 Se il modello di stagionalità è variabile: si calcolano indici di stagionalità variabile (S V *), diversi per le diverse osservazioni. Ad esempio: Si considerano i rapporti di stagionalità lorda, di uno stesso mese (o periodo), per 5 anni consecutivi (SA t-2, SA t-1, SA t, SA t+1, SA t+2 ) Si ordinano i 5 termini in modo crescente Si calcola la media aritmetica sui 3 valori centrali e si sostituisce il valore ottenuto all indice di stagionalità del periodo centrale t Si applica il metodo in modo ricorsivo, come nel caso delle medie mobili Quindi si DESTAGIONALIZZA la serie sottraendo o rapportano i dati osservati agli indici netti di stagionalità. Ad esempio, se il modello ipotizzato è moltiplicativo, la serie destagionalizzata si ottiene dal rapporto Y t d / S V t* 2. MODELLO DI REGRESSIONE 2.1 DETERMINAZIONE DELLA COMPONENTE SISTEMATICA (TREND-CICLO): METODO ANALITICO Si utilizza l analisi della regressione per trovare una curva che descriva il modello matematico con il miglior adattamento ai dati della serie; si cerca quindi la miglior curva interpolatrice. Le forme funzionali più utilizzate sono le seguenti: Y t = f(t) = b 0 + b 1 t lineare Y t = f(t) = b 0 + b 1 t + b 2 t 2 parabolico Y t = f(t) = b 0 e b1t esponenziale Y t = f(t) = b 0 + b 1 log t semi-logartmico log Y t = f(t) = b 0 + b 1 log t log-logartmico Y t = f(t) = b 0 + b 1 / t iperbolico Y t = f(t) = 1 / (b 0 + b 1 b t 2 ) logistico Il metodo è consigliato quando l esame (grafico) dei dati della serie evidenzia la presenza di una relazione funzionale. È applicabile quando non compare la componente stagionale. 8

9 In tal caso: selezionare la forma o l espressione generale per rappresentare il trend (specificazione del modello); effettuare l analisi della regressione, per stimare i parametri, controllare e validare il modello (stima e verifica del modello); fare previsioni attraverso l estrapolazione dell equazione del trend. 2.2 DETERMINAZIONE DELLA COMPONENTE SISTEMATICA (TREND-CICLO): ESEMPIO REGRESSIONE In generale, si attribuisce una forma funzionale a ciascuna delle componenti Per TC t la forma funzionale più frequente è un polinomiale di grado p nel tempo: TC t * = Σ b i t i i = 0,, p Per descrivere la componente stagionale S t si possono utilizzare variabili dummy (0, 1) che valgono 1 in corrispondenza del periodo di riferimento, 0 altrimenti. 2.3 DETERMINAZIONE DELLA COMPONENTE SISTEMATICA (TREND-CICLO): ESEMPIO REGRESSIONE SEMPLICE Con un trend di tipo lineare, se il modello non presenta stagionalità, si pone: Y t = TC t + A t = b 0 + b 1 t + e t Ricordando le condizioni sulla componente aleatoria (media nulla, varianza costante, normalità distributiva, covarianza nulla), con il metodo dei minimi quadrati si stimano i parametri del modello, si effettuano le opponune verifiche, e quindi lo si utilizza a fini previsivi, per estrapolazione. Con un trend di tipo lineare, con dati trimestrali e presenza di stagionalità (uso di variabili dummy): Y t = TC t + S t + A t = b 0 + b 1 t + c 1 S 1t + c 2 S 2t + c 3 S 3t + c 4 S 4t + e t Anche in questo caso devono valere le condizioni ricordate sulla componente aleatoria. Con il metodo dei minimi quadrati si stimano quindi tutti i parametri del modello, compresi quelli relativi alle variabili dummy, ponendo su di questi almeno un vincolo. Il più usuale è (gli effetti stagionali si compensano nell anno): Σ c j = c 1 + c 2 + c 3 + c 4 = 0 9

10 2.4 DETERMINAZIONE DELLA COMPONENTE SISTEMATICA (TREND-CICLO): ESEMPIO DESTAGIONALIZZAZIONE Le ipotesi più restrittive di tale modello sono: il polinomio che descrive il ciclo-trend è lo stesso per tutto il periodo e quindi non è previsto vi possano essere variazioni strutturali nell andamento di fondo della serie i coefficienti stagionali c j sono costanti per tutto il periodo e quindi non si prevedono effetti stagionali variabili. Una volta ottenute le stime dei parametri si può ricavare la serie DESTAGIONALIZZATA: Y t d = Y t S t = Y t Σ c j S jt 3. METODO DI BOX-JENKINS 3.1 INTRODUZIONE Per utilizzare il modello di regressione su serie temporali, gli errori in corrispondenza di valori differenti delle variabili esplicative devono essere indipendenti. Ciò in generale non è vero: le osservazioni prese in tempi successivi tendono ad essere in relazione le une alle altre. Pertanto, i modelli di regressione con dati che derivano da serie storiche devono essere modificati per tener conto della correlazione tra i valori della Y. Da qui deriva l impostazione dell analisi tramite modelli stocastici. 3.2 I MODELLI STOCASTICI ARIMA L analisi stocastica delle serie temporali consiste in una procedura messa a punto da G.E.P. Box e G.M. Jenkins, che utilizza modelli di tipo ARIMA (Auto Regressive Integrated Moving Avarage). È fondata sul presupposto che le osservazioni di un fenomeno nel corso del tempo siano generate da una struttura probabilistica sconosciuta al ricercatore, ma alla quale si può giungere stimando i parametri, cercando di riconoscere se e che tipo di legami temporali sussistano tra i dati osservati. 10

11 Punti centrali della teoria sono: - il ricorso ad una classe di processi stocastici a parametro discreto che godono di particolari proprietà, - le nozioni di funzione di autocorrelazione e di funzione di autocorrelazione parziale. Il PROCESSO STOCASTICO identifica una famiglia di variabili casuali Z t ordinate secondo il tempo. Le variabili casuali sono descritte sostanzialmente dal parametro t (in questo caso discreto) appartenente a un determinato insieme T, che è appunto l insieme dei suoi possibili valori (se T è finito, si tratta di una n-pla di variabili casuali). Si può dunque definire una serie temporale come una particolare realizzazione finita di un processo stocastico assunto come meccanismo generatore: ogni valore z t della serie è interpretato come una osservazione della corrispondente variabile casuale Z t. Del processo stocastico che rappresenta il meccanismo generatore della serie esaminata, si può cercare di stimare alcune caratteristiche, a partire dalla serie stessa. Più precisamente: si punta all individuazione di un modello con caratteristiche e proprietà simili a quelle del meccanismo generatore del processo. Tale modello potrà essere poi utilizzato per fare previsioni. La conoscenza del processo stocastico generatore equivale alla conoscenza di tutte le distribuzioni di probabilità congiunte delle variabili aleatorie Z t. Poiché tale obiettivo è molto difficile da raggiungere, ci si limita a prendere in esame i momenti primo e secondo del processo. I momenti di interesse di un processo stocastico sono: la media la varianza la funzione di autocovarianza la funzione di autocorrelazione 11

12 MEDIA: µ t = E[Z t ] VARIANZA: σ 2 t = VAR[Z t ] = E[(Z t - µ t ) 2 ] FUNZIONE DI AUTOCOVARIANZA: γ (t, t-k) = COV[Z t, Z t-k ] = E[(Z t - µ t )(Z t-k µ t-k )] FUNZIONE DI AUTOCORRELAZIONE: COV[Z t, Z t-k ] γ (t, t-k) ρ (t, t-k) = CORR[Z t, Z t-k ] = = ( VAR[Z t ] VAR[Z t-k ] ) 1/2 σ t σ t-k La funzione di autocovarianza ha un ruolo fondamentale nella misura delle relazioni lineari esistenti tra variabili casuali con sfasamento temporale uguale a k. A loro volta, le funzioni di autocorrelazione globale e parziale vengono utilizzate per la specificazione di particolari modelli statistici, sulla base di osservazioni empiriche. La funzione di autocorrelazione ha le seguenti proprietà: -1 < ρ (t, t-k) < +1 ρ (t, t) = 1 ρ (t, t-k) = ρ (t-k, t) Vi è autocorrelazione globale quando i valori di z t sono positivamente o negativamente correlati con i valori di z t+k. Per k=1, vi è autocorrelazione di primo ordine, per k=2, vi è autocorrelazione di secondo ordine, e così via. La funzione di autocorrelazione parziale di ordine k definisce la correlazione tra z t e z t+k, al netto degli effetti dei valori assunti da z nei tempi intermedi. Il procedimento inferenziale nell analisi delle serie temporale è particolarmente complesso perché si dispone di una sola osservazione per ogni indice temporale corrispondente al processo stocastico. Il problema si semplifica restringendo la classe dei processi stocastici a cui fare riferimento introducendo alcuni vincoli, ovvero limitandosi a quei processi che godono di particolari proprietà: 12

13 stazionarietà normalità invertibilità ergodicità STAZIONARIETA : per essere stazionario (in senso debole) un processo deve avere media e varianza costanti nel tempo e autocovarianza indipendente dal tempo (cioè funzione del lag k ma non di t). NORMALITA : il processo deve essere gaussiano; devono cioè risultare normali le distribuzioni di probabilità delle variabili casuali che costituiscono il processo. INVERTIBILITA : devono essere rispettate condizioni che consentono di evitare la molteplicità di modelli corrispondenti a date strutture statistiche. ERGODICITA : osservazioni convenientemente lontane devono risultare incorrelate; consente di ottenere stime consistenti dei parametri che caratterizzano il processo. Sotto le precedenti ipotesi (in pratica, valide le precedenti condizioni), le espressioni degli stimatori dei momenti del processo stocastico sono: per la MEDIA: m = Σ z t / n per la VARIANZA: s 2 t = Σ (z t m) 2 / n per l AUTOCOVARIANZA: γ k = Σ (z t m) (z t+k m) / n Nel contesto delineato assumono un rilievo particolare i seguenti processi puramente aleatori, appartenenti alla classe dei processi lineari: AUTOREGRESSIVI (auto-regressive) AR(p) MEDIA MOBILE (moving average) MA(q) AUTOREGRESSIVI-MEDIA MOBILE ARMA(p,q) AUTOREGRESSIVI-INTEGRATI-MEDIA MOBILE ARIMA(p,d,q) 13

14 Tali processi sono identificabili tramite l esame delle funzioni di autocorrelazione globale e parziale, a condizione che rispettino le proprietà già citate. Tra i processi stocastici utilizzati in questo ambito, si definisce: PROCESSO PURAMENTE ALEATORIO, o RUMORE BIANCO o WHITE NOISE, una sequenza di prove indipendenti, effettuate sulla stessa variabile casuale e t, con Media = 0 Varianza = costante Autocovarianze = IL PROCESSO AUTOREGRESSIVO DI ORDINE p: AR(p) Vi sono serie temporali rispetto alle quali si può assumere che il valore osservato al tempo t, ovvero z t, sia esprimibile mediante la combinazione lineare di p termini immediatamente precedenti e di una componente casuale white noise. z t = φ 1 z t-1 + φ 2 z t φ p z t-p + φ 1 z t-1 + e t I coefficienti φ i caratterizzano la dinamica del processo IL PROCESSO MEDIA MOBILE DI ORDINE q: MA(q) Il modello assume che il valore osservato al tempo t, ovvero z t, sia esprimibile come combinazione lineare di una variabile aleatoria white noise al tempo t e in q tempi precedenti. z t = e t + θ 1 e t-1 + θ 2 e t θ q e t-q Il processo MA consente una adeguata rappresentazione di alcune categorie di fenomeni economici, in particolare quando è ragionevole assumere che esista una situazione di equilibrio verso il quale il fenomeno tende a tornare una volta che se ne è allontanato dopo uno shock di natura casuale IL PROCESSO AUTOREGRESSIVO-MEDIA MOBILE DI ORDINE p,q: ARMA(p,q) Rappresenta una generalizzazione dei due precedenti. 14

15 Si assume che z t dipenda sia da p valori precedenti sia dalla componente aleatoria al tempo t e in q tempi precedenti. z t = Σ θ i z t-i + Σ θ j e t-j IL PROCESSO AUTOREGRESSIVO-INTEGRATO-MEDIA MOBILE DI ORDINE p,q integrato d volte: ARIMA(p,d,q) Quando una serie non è stazionaria in media, può essere ricondotta alla stazionarietà attraverso l operatore differenza, che in simboli è: D d z t = D d-1 z t D d-1 z t-1 con D 0 z t = z t, D 1 z t = z t z t-1 Un processo ARMA riferito alle differenze d-esime anziché ai dati originari della serie è denominato processo autoregressivo di ordine p, integrato d volte e a media mobile di ordine q (Auto-Regressive Integrated Moving Average) I MODELLI STOCASTICI ARIMA: FASI DELL ANALISI Se di dispone di una serie stazionaria e convenientemente lunga, per stabilire da quale modello possa derivare occorre precedere per fasi: a) identificazione del modello attraverso l esame delle funzioni di autocorrelazione globale e parziale b) stima dei parametri attraverso varie procedure: minimi quadrati per modelli AR, metodo della massima verosimiglianza o dei minimi quadrati non lineari per MA c) verifica della idoneità del modello a descrivere le caratteristiche della serie attraverso l analisi dei residui per controllarne indipendenza e normalità Se il modello identificato e stimato è accettato, può essere utilizzato per scopi previsivi o di simulazione. Se il modello non è accettato, si procede alla iterazione delle tre fasi descritte, fino a quando non si ottiene un modello soddisfacente. 15

16 3.2.6 IL MODELLO AR(1) La formula del MODELLO AUTOREGRESSIVO DEL PRIMO ORDINE è data da: z t = φ 1 z t-1 + e t Per analizzare una serie rispetto a questo particolare modello, seguendo le fasi sopra citate occorre procedere nel modo seguente: a) identificazione del modello: z t = φ 1 z t-1 + e t NB: nel modello AR(1) - la condizione di stazionarietà è soddisfatta se φ 1 < 1 - la funzione di autocorrelazione globale tende a zero in modo monotono per φ 1 > 0 - la funzione di autocorrelazione globale varia tra -1 e +1 a segni alterni per φ 1 < 0 b) stima dei parametri - attraverso il metodo dei minimi quadrati c) verifica del modello - analisi grafica dei residui + test d ipotesi Si supponga di avere a disposizione una serie storica relativa ad una variabile Y. Per decidere se il modello AR(1) è adeguato, si può procedere calcolando il coefficiente di autocorrelazione del primo ordine r 1, oppure osservando il diagramma di dispersione delle coppie (y t, y t-1 ). Se si osserva una correlazione o una relazione lineare tra le coppie di valori (y t, y t-1 ), la formula del modello autoregressivo utilizzabile per questa serie sarà: y t = β 0 + β 1 y t-1 + e t Le inferenze su questo modello possono essere effettuate utilizzando gli stessi strumenti utilizzati nel caso generale del modello di regressione semplice, con y t-1 che svolge il ruolo della varabile esplicativa x. 16

17 Quando i dati sono raccolti con cadenza infrannuale, è verosimile che vi sia un legame tra osservazioni sfasate di un anno. Se i dati sono raccolti con cadenza mensile, il legame rilevante è tra y t e y t-12, se la cadenza è trimestrale tra y t e y t-4, e così via. Pertanto, per dati mensili, il modello diventa: y t = β 0 + β 1 y t-12 + ε t Per la valutazione del modello si procede quindi con gli strumenti tipici dell analisi di regressione. Se il test t su β 0 porta a NON rifiutare l ipotesi nulla H 0 : β 0 = 0, e se non possiamo rifiutare l ipotesi nulla H 0 : β 1 = 1, allora il modello autoregressivo assume la forma del cosiddetto random walk : y t = y t-1 + ε t oppure y t = y t-12 + ε t Si è detto che un elemento chiave per accertare la presenza di legami lineari tra osservazioni sfasate di una serie temporale è il coefficiente di autocorrelazione campionario, allo sfasamento (lag) k. Il suo stimatore è: Σ n-k t=1 [y t media(y)] [y t+k media(y)] r k = Σ n t=1 [y t media(y)] 2 Per accertare la significatività dei coefficienti di autocorrelazione occorre procedere alla verifica dell ipotesi contro l ipotesi alternativa H 1 : ρ k 0. H 0 : ρ k = 0 Si procede con l usuale test t di student, stimando l errore standard di r k con la formula: Σ k-1 j=1 (r j ) 2 s rk =[ ] 1/2 n 17

18 Un altro criterio per accertare la presenza di autocorrelazione di primo ordine è il test d di DURBIN-WATSON. Una ulteriore verifica dell assenza di autocorrelazione nella serie può essere compiuta sottoponendo a verifica l ipotesi nulla H 0 : ρ 1 = ρ 2 = = ρ k = 0 contro l ipotesi alternativa che almeno un coefficiente di autocorrelazione sia diverso da zero. Per saggiare tale ipotesi si procede con una statistica test nota come Q di Liung e Box, che la seguente formula: Q = n (n+2) Σ K k=1 (n-k) -1 (r k ) 2 La statistica segue una distribuzione del chi-quadrato con k gradi di libertà. 4. Analisi dell errore di previsione ERRORE di previsione: è definito come differenza tra valore osservato Y t e valore previsto (o stimato) Y t * e t = Y t Y t * L analisi degli errori di previsione serve a: Verificare se un modello è accurato Suggerire come correggere un modello Confrontare modelli diversi 4.1 DEFINIZIONI Media quadratica degli errori di previsione: D 2 = 1/k (Σ e 2 t+i) i=1,,k 18

19 Saggio effettivo di variazione: Y t+1 Y t Y t Saggio previsto di variazione: Y* t+1 Y t Y t 4.1 RAPPRESENTAZIONE GRAFICA saggi previsti Sovrastima dell aumento Sottostima dell aumento Sottostima diminuzione della saggi effettivi Sovrastima diminuzione della 19