Analisi delle serie storiche parte V Modelli autoregressivi

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1 Analisi delle serie storiche parte V Modelli autoregressivi a.a. 2016/2017 Economiche Internazionali 1

2 Definizioni introduttive Autoregressione: modello di regressione che spiega una serie temporale con i suoi valori passati Autocorrelazione o correlazione seriale: correlazione di una serie storica con i propri valori ritardati Si definisce p esima autocovarianza di una serie Y t la covarianza tra il valore assunto dalla serie al tempo t eil valoreassunto p periodi precedenti: autocovarianza p =cov(y t,y t p ) mentre la p esima autocorrelazione (o p esimo coefficiente di autocorrelazione) è data da: autocorrelazione p =corr(y t,y t p )= p = cov( Y t, Yt p) var( Y t ) var( Y t p ) Economiche Internazionali 2

3 Modelli autoregressivi Modello autoregressivo del primo ordine AR(1) Y t = Y t 1 +u t dove u t NID(0, σ u2 ) previsione al tempo T del valore al tempo T+1: prevy T+1lT = b 0 +b 1 Y T dove b 0 eb 1 sono gli stimatori OLS del modello di regressione delle osservazioni Y t sulla osservazione immediatamente precedente Economiche Internazionali 3

4 Modelli autoregressivi Modello autoregressivo del p esimo ordine AR(p) Y t = Y t p Y t p + u t dove u t NID(0, σ u2 ) previsione al tempo T del valore al tempo T+1: prevy T+1lT = b 0 + b 1 Y T + + b p Y T p+1 dove b 0,b 1, b p sono gli stimatori OLS del modello di regressione delle osservazioni Y t sulle p osservazioni precedenti Economiche Internazionali 4

5 Scelta dell ordine del modello AR Trade off fra la semplicità dei modelli di ordine più basso e la (eventuale) maggiore capacità esplicativa di quelli di ordine superiore. Se l ordine dell autoregressione è troppo basso si tralasceranno le informazioni contenute nei valori ritardati più lontani, se troppo alto si stimeranno più coefficienti del necessario, introducendo errori di stima aggiuntivi nelle previsioni Economiche Internazionali 5

6 Scelta dell ordine del modello AR Test di significatività del parametro autoregressivo di ordine più elevato Si inizia con un modello con molti ritardi e si verifica man mano la significatività del coefficiente relativo al ritardo finale. NB per p=1 si ha t t n 2p 1 n 3 b p p S bp b1 1 s( b1) ( Yt 1 Y ) 2 Economiche Internazionali 6

7 Scelta dell ordine del modello AR Se l ipotesi nulla H 0 : p =0 viene accettata, si passa da un modello AR(p) a un modello AR(p 1) C è però il rischio (pari all errore di I specie,, probabilità di rifiutare H 0 quando è vera) di stimare comunque modelli con ritardi troppo lunghi. Criteri alternativi: BIC Criterio d informazione bayesiano (detto anche SIC, Criterio d informazione di Schwarz) AIC Criterio d informazione di Akaike Economiche Internazionali 7

8 BIC Scelta dell ordine del modello AR indicando con SSR(p) la somma dei quadrati dei residui del modello AR(p) scegliamo il valore di p che rende minima la quantità SSR( p) lnt BIC ( p) ln ( p 1) T T si osservi che il primo termine diminuisce (o comunque non cresce) al crescere del numero dei p regressori Y t p mentre il secondo aumenta con l aumentare di p Economiche Internazionali 8

9 AIC Scelta dell ordine del modello AR SSR( p) 2 AIC( p) ln ( p 1) T T per un numero di osservazioni T superiore a 8 (ln8=2,08) il secondo termine è più piccolo rispetto al precedente: quindi basta una riduzione più piccola in SSR(p) per passare da un modello con p 1 ritardi ad uno con p ritardi. Teoricamente, dunque, l uso del criterio AIC potrebbe portare ad una sovrastima dell ordine del modello. Economiche Internazionali 9

10 Costruzione del modello AR(p) per una serie annuale Scelta dell ordine p del modello Stima del modello di regressione multipla AR(p) Si testa l ipotesi H 0 : p =0.SeHvienerifiutatail modello stimato viene usato per rappresentare la serie e fare previsioni. Se H 0 viene accettata si stima un modello AR(p 1) e si testa l ipotesi H 0 : p 1 =0. Il processo continua fino ad individuare un modello AR(k) per cui l ipotesi H 0 : k =0 viene rifiutata Economiche Internazionali 10

11 Scelta del tipo di modello per interpolare la serie storica Analisi dei residui errore standard della stima, s u deviazione media assoluta MAD Principio di parsimonia n t 1 Y t n Yˆ t Economiche Internazionali 11

12 Analisi delle serie storiche infra annuali Se la cadenza della serie storica è inferiore all anno, occorre tener conto della stagionalità Per inserire nel modello di regressione la componente stagionale si introducono delle variabili dummy stagionali. Ad es. per dati Y t mensili si introducono 11 variabili indicatrici M 1t =1 se il mese t è gennaio, 0 altrimenti M 11t =1 se il mese t è novembre, 0 altrimenti Economiche Internazionali 12

13 Analisi delle serie storiche infra annuali Per dati Y t trimestrali si introducono 3 variabili indicatrici Q 1t =1 se il trimestre t è il primo, 0 altrimenti Q 2t =1 se il trimestre t è il secondo, 0 altrimenti Q 3t =1 se il trimestre t è il terzo, 0 altrimenti Economiche Internazionali 13

14 Cenni sui modelli ARIMA I modelli autoregressivi e le medie mobili a livellamento esponenziale sono casi particolari di una classe molto generale di modelli per l analisi delle serie storiche, i cosiddetti modelli Autoregressivi a media mobile, ARMA(p,q). Nei modelli ARMA(p,q) si ipotizza che la serie storica sia costituita da una componente prevedibile, che dipende dai valori assunti dalla serie in p periodi precedenti e da una componente casuale, funzione degli shock casuali verificatisi nei q periodi precedenti: Y t =b 0 +b 1 Y t 1 +b 2 Y t b p Y t p +u t +c 1 u t 1 +c 2 u t 2 + +c q u t q Economiche Internazionali 14

15 Cenni sui modelli ARIMA Una ulteriore generalizzazione dei modelli ARMA è costituita dai cosiddetti modelli ARIMA(p,d,q) modelli autoregressivi integrati a media mobile in cui il modello ARMA viene applicato non ai valori delle osservazioni Y t ma alle differenze di ordine d delle osservazioni, dove d Y t =(Y t Y t 1 ) (Y t 1 Y t 2 ) (Y t d+1 Y t d ) Un modello autoregressivo di ordine p, AR(p), costituisce pertanto un modello ARIMA di ordine p,0,0 ARIMA(p,0,0). Economiche Internazionali 15