Università di Pavia Econometria Esercizi 5

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1 Università di Pavia Econometria Esercizi 5 Maggio, Una regressione lineare multipla di y su una costante, x 2 e x 3 produce i seguenti risultati: ŷ t = x t x t3 con X X = ɛ ɛ = 520 N = 29 Testate l ipotesi nulla che = 0. Per testare l ipotesi = 0 contro 0 usiamo il test t s.e.( ) s.e.( ) = [ s 2 e 1(X X) 1 e 1 ] 1/2 dove e 1 = (0, 1, 0). Per calcolare lo standard error di abbiamo bisogno di (X X) 1 = = s 2 = = /

2 la statistica test t è s 2 e 1(X X) 1 e 1 = s.e.( = [ [ ] s 2 e 1(X X) 1 ] 1/2 16 1/2 e 1 = = 0, , 4 = 0, , 6405 con p value = 0, 0818, accettiamo l ipotesi nulla al 5% di significatività. 2. Considerate il seguente modello di regressione lineare multipla con disturbi gaussiani y t = β 1 + x t2 + β 3 x t3 + β 4 x t4 + ɛ t t = 1, 2,..., 25 dove ɛ t N(0, σ 2 ). Riparametrizzate il modello in modo tale che le ipotesi seguenti (a) H 0 : β 3 = vs H 1 : β 3 >. (b) H 0 : β 1 = 1 vs H 1 : β 1 1 possano essere verificate con un test t. Indicate i valore critici dei test corrispondenti ad un livello di significatività del 5%. (a) H 0 : = β 3 vs H 1 : β 1 > β 3. Possiamo definire = β 3 + γ quindi l ipotesi nulla corrisponde a γ = 0 mentre l alternativa è γ > 0 (ipotesi complessa unilaterale). Il modello può essere riscritto come: y t = β 1 + γx t2 + β 3 (x t2 + x t3 ) + β 4 x t4 + ɛ t t = 1, 2,..., 25 Sotto l ipotesi nulla γ = 0 la statistica test t è: γ s.e.( γ) Sotto l ipotesi nulla il rapporto t è distribuito come una t 21, il valore critico per un test unilaterale al 5% di significatività è 1, 721. (b) H 0 : β 1 = 1 vs H 1 : β 1 1 possono essere riscritte come H 0 : β 1 β 3 = 0 vs H 1 : β 1 0. Definiamo α = β 1 da cui β 1 = α + + β 3 2

3 (1) (2) (3) costante 6,0131 5,6700 5,0603 s.e. 0,0787 0,2305 0,1125 S 0,1032 0,1134 0,1224 s.e. 0,0058 0,0086 0,0059 PWE - 0, s.e. 0,0065 AWE - - 0,0435 s.e. 0,0038 R 2 0,1274 0,1284 0,1776 RSS ,8 987,7 sostituiamo nel modello ed otteniamo: y t = α + (1 + x t2 ) + β 3 (1 + x t3 ) + β 4 x t4 + ɛ t t = 1, 2,..., 25 L ipotesi nulla di partenza corrisponde ora a α = 0 e la statistica test t è: α s.e.( α) che, sotto l ipotesi nulla, è distribuita come una t 21 con valori critici di ±2, 080 al 5% di significatività. 3. Un ricercatore analizza un data set costituito dalle risposte, registrate nell anno 2000, di un campione di 2185 uomini statunitensi con età compresa tra 35 e 42 anni. Il data set include gli anni di scolarità S, l età AGE ed i guadagni orari in dollari EARN IN GS. Definendo LGEARN come il logaritmo naturale degli EARN IN GS, il ricercatore regredisce LGEARN su S con i risultati riportati nella colonna (1) della tabella (dove s.e. indica gli standard error e RSS è la Residual Sum of Squares). Il ricercatore si rende conto che l esperienza di lavoro è una determinante dei guadagni ma non dispone di questi dati per i rispondenti. A questo fine, definisce una misura della esperienza potenziale di lavoro, P W E come P W E = ETA S 6 dove S sono gli anni di scuola. Regredisce LGEARN su S e P W E con i risultati riportati nella colonna (2). Se il data set includesse anche l esperienza di lavoro effettiva, AW E e il ricercatore avesse regredito LGEARN su S e AW E egli avrebbe ottenuto i risultati mostrati nella colonna (3). Ai fini di questo esercizio possiamo assumere che la terza regressione sia la specificazione corretta. (a) Lo standard error della stima del coefficiente di S nella terza regressione è più piccolo di quello nella seconda regressione. Da che cosa dipende questo risultato? 3

4 (b) La riduzione nella RSS aggiungendo P W E alla regressione è molto minore della riduzione che si ottiene aggiungendo AW E nella (3). Mostrate numericamente la relazione tra la RSS in ogni equazione e la rispettiva statistica t per P W E e AW E. (a) Per capire perchè lo standard error di S è minore in una delle due regressioni dobbiamo esaminarne l espressione. Partiamo con la seconda regressione LGEARN t = β 1 + S t + β 3 P W E t + ɛ t riesprimiamo la regressione in variabili in deviazione dalla media. Questo significa che la costante viene eliminata LGEARN t LGEARN = (S t S) + β 3 (P W E t P W E) + ɛ t definiamo y t LGEARN t LGEARN, x t1 (S t S) e x t2 P W E t P W E y t = x t1 + β 3 x t3 + ɛ t con il teorema di Frisch-Waugh-Lowell abbiamo lo stimatore di = (X 1M X2 X 1 ) 1 X 1M X2 y lo standard error di è: [ s 2 (X 1M X2 X 1 ) 1] 1/2. Ora X 1M X2 X 1 = X 1X 1 X 1P X2 X 1 X 1X 1 = t (S t S) 2 X 1P X2 X 1 = X 1X 2 (X 1X 1 ) 1 X 1X 1 = [ t (S t S)(P W E t P W E)] 2 t (P W E t P W E) 2 X 1M X2 X 1 = X 1X 1 X 1P X2 X 1 = t (S t S) 2 [ t (S t S)(P W E t P W E)] 2 t (P W E t P W E) 2 ( X 1 M X2 X 1 ) 1 = = [ [ t (S t S) (1 2 (S t S)(P W E t P W E) ] 2 t t (P W E t P W E) 2 t (S t S) 2 [ NV ] 1 ar(s) (1 ρ 2 S,P W E ) 1 )] 1 4

5 In conclusione lo standard error di diminuisce all aumentare della variabilità campionaria di S mentre aumenta al crescere della correlazione tra S e P W E e di s 2. Nel caso in esame s 2 nella seconda regressione è maggiore di quello della terza perche RSS è più grande. Inoltre potrebbe esserci una maggiore correlazione tra S e P W E di quella tra S e AW E; questi due fattori insieme producono un aumento dello standard error. (b) Le statistiche t per P W E e AW E nella seconda e nella terza regressione sono 0,0103 0,0435 0,0065 = 1, 58 e 0,0038 = 11, 45. Ma quando il numero delle restrizioni r = 1: t = F Inoltre la statistica F può essere calcolata come F = ɛ ɛ ɛ ɛ ɛ ɛ N K r cioè come un test per l aumento della somma dei quadrati dei residui del modello ristretto ( ɛ ɛ cioè la RSS della regressione 1) rispetto al modello non ristretto ( ɛ ɛ, cioè la RSS della 2 o della 3). La statistica F per la prima vs la seconda regressione (quindi per la significatività di P W E): , 8 F = 1046, 8/2182 = 2, 5 2, 5 = 1, 58. La statistica F della prima vs la terza (cioè per la significatività di AW E) , 7 F = = 133, , 7/ , 21 = 11, 54 (la differenza è dovuta agli arrotondamenti). 4. Considerate i dati nella tabella 1 sulla produzione e i costi di breve periodo di una certa merce: Stimate il seguente modello y t = β 1 + x t + β 3 x 2 t + β 4 x 3 t + ɛ t t = 1,..., 10 dove E(ɛ t x t ) = 0, E(ɛ 2 t x t ) = σ 2 e E(ɛ t ɛ τ x t ) = 0, τ t. Sottoponete a verifica le seguenti ipotesi H 0 : β 1 0 H 1 : β 1 < 0 H 0 : β 3 0 H 1 : β 3 < 0 H 0 : β 3 = β 4 H 1 : β 3 β 4 Si tratta di un modello di regressione polinomiale per i costi totali di produzione (y t ) 5

6 Output Costo totale Table 1: Dati costi e output in funzione dell output (x t ). Le prime due ipotesi nulle hanno alternative complesse unilaterali, il valore critico della densità t 6 è 1.94 con il 5% di significatività. Per il terzo sistema di ipotesi, trattandosi di un alternativa complessa bilaterale il valore critico della distribuzione F (1,6) è 5, 99 con il 5% di significatività. Model 1: OLS estimates using the 10 observations 1 10 Dependent variable: cost Variable Coefficient Std. Error t-statistic p-value const 141,767 6, ,2368 0,0000 output 63,4777 4, ,2837 0,0000 output 2 12,961 0, ,1501 0,0000 output 3 0, , ,8968 0,0000 Mean of dependent variable 276,100 S.D. of dependent variable 65,8136 Sum of squared residuals 64,7438 Standard error of residuals (ˆσ) 3,28491 Unadjusted R 2 0, Adjusted R 2 0, F (3, 6) 1202,22 Durbin Watson statistic 2,70021 First-order autocorrelation coeff. 0, Log-likelihood 23,528 Akaike information criterion 55,0573 Schwarz Bayesian criterion 56,2676 Hannan Quinn criterion 53,7296 Accettiamo le nulle β 1 0 e β 3 0. La terza ipotesi β 3 = β 4 ha una statistica test 6

7 F (1,6) = 177, 235 con un p value = 1, 11093e 005, rifiutiamo quindi l ipotesi nulla. 5. Nel file risparmi USA ci sono i dati dei risparmi e dei redditi personali disponibili negli USA negli anni Un semplice modello per il risparmio è s t = β 1 + y t + ɛ t con ɛ t i.i.d.n(0, σ 2 ) dove s t è il risparmio e y t è il reddito personale disponibile. L anno 1982 è un anno di forte recessione per gli Stati Uniti. Verificate che la propensione marginale al risparmio e la quota di risparmio indipendente dal reddito non siano diverse nei periodi pre e post I risultati della regressione OLS sull intero campione sono: Model 1: OLS estimates using the 26 observations Dependent variable: SAVINGS Variable Coefficient Std. Error t-statistic p-value const 62, ,7607 4,8918 0,0001 INCOME 0, , ,8938 0,0000 Mean of dependent variable 162,088 S.D. of dependent variable 63,2045 Sum of squared residuals 23248,3 Standard error of residuals (ˆσ) 31,1236 Unadjusted R 2 0, Adjusted R 2 0, Degrees of freedom 24 Durbin Watson statistic 0, First-order autocorrelation coeff. 0, Log-likelihood 125,23 Akaike information criterion 254,478 Schwarz Bayesian criterion 256,994 Hannan Quinn criterion 255,203 Il test di Chow per il cambiamento strutturale a partire dall anno 1982: F(2,22) = 10, con p value = 0, Concludiamo rifiutando l ipotesi nulla di stabilità dei parametri nella funzione del risparmio. 7