CAPITOLO 3 Esperimenti con un singolo fattore: l Analisi della Varianza

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1 Douglas C. Montgomery Progettazione e analisi degli esperimenti 006 McGraw-Hill CAPITOLO 3 Esperimenti con un singolo fattore: l Analisi della Varianza Metodi statistici e probabilistici per l ingegneria Corso di Laurea in Ingegneria Civile A.A Facoltà di Ingegneria, Università di Padova Docente: Dott. L. Corain Sommario Confrontare più di due livelli del fattore l analisi della varianza ANOVA: decomposizione della variabilità totale Test statistici e successive analisi Controllo di assunzioni e validità del modello. Post-ANOVA test sulle medie Determinazione della dimensione campionaria

2 Un esempio (pag. 70) Consideriamo un indagine per la formulazione di una nuova fibra sintetica che sarà usata per fare tessuti per camicie La variabile di risposta è la resistenza a trazione Lo sperimentatore vuole determinare il miglior livello % di cotone da combinare con le fibre sintetiche Il contenuto di cotone può variare tra il 10 40%, anche non linearmente Lo sperimentatore sceglie 5 livelli di contenuto di cotone: 15, 0, 5, 30 e 35% L esperimento è replicato 5 volte le prove sono ottenute in ordine casuale (randomizzazione) Un esempio (pag. 71) Il cambiamento del peso % di cotone cambia la resistenza media a trazione? C è un livello ottimale di percentuale di cotone?

3 L analisi della varianza In generale, ci sono a livelli del fattore, o a trattamenti, e n repliche (prove) dell esperimento in ordine casuale: esperimento completamente randomizzato (CRD) N = a n prove totali Consideriamo gli effetti fissi (effetti casuali saranno discussi in seguito) L obiettivo è di testare le ipotesi riguardo l uguaglianza delle medie degli a trattamenti L analisi della varianza Il nome analisi della varianza deriva da una partizione della variabilità totale della variabile di risposta, in componenti che sono riferibili ad un modello dell esperimento Il modello ( degli effetti ) dell ANOVA a un fattore è definito come: Y i= 1,,..., a = µ + τ + ε, j = 1,,..., n ij i ij µ = media generale, τ = effetto del trattamento i esimo, ε = ij errore sperimentale, NID(0, ) i σ

4 Modelli per i dati Ci sono più modi per scrivere un modello per i dati: Y ij i ij degli effetti Sia µ = µ + τ, allora Y = µ + τ + ε i = µ + ε ij i ij i è chiamato il modello è chiamato il modello delle medie Anche il modello di regressione può essere utilizzato L Analisi della varianza La variabilità totale è rappresentata dalla somma totale dei quadrati : a SS = ( y y ) T i= 1 j= 1 La scomposizione base dell ANOVA è: n a n a n ( yij y.. ) = [( yi. y.. ) + ( yij yi. )] i= 1 j= 1 i= 1 j= 1 ij.. a a n ( i...) ( ij i. ) i= 1 i= 1 j= 1 = n y y + y y SS = SS + SS T Trattamenti E

5 L Analisi della varianza SST = SSTrattamenti + SSE Un alto valore di SS Trattamenti riflette una ampia differenza tra i trattamenti medi Un piccolo valore di SS Trattamenti indica che probabilmente non ci sono differenze nelle medie dei trattamenti Le ipotesi statistiche formali sono: H H : µ = µ = L = µ : almeno una media è diversa a L Analisi della varianza Mentre le somme dei quadrati non possono essere direttamente comparate per testare l ipotesi di uguaglianza delle medie, le medie dei quadrati possono invece essere comparati. Una media dei quadrati è la somma dei quadrati divisa per i suoi gradi di libertà (gdl): gdltotale = gdltrattamenti + gdlerrore an 1= a 1 + a( n 1) SSTrattamenti SSE MSTrattamenti =, MSE = a 1 a( n 1) Se le medie dei trattamenti fossero uguali, la media dei quadrati del trattamento e dell errore sarebbero uguali, mentre se i trattamenti delle medie differissero, la media dei quadrati del trattamento sarebbe più grande dell errore quadratico medio

6 L Analisi della Varianza è riassunta nella tabella La distribuzione di riferimento per F 0 è la distribuzione F a-1, a(n-1) Rifiutiamo l ipotesi nulla (eguali medie dei trattamenti) se F0 > F α, a 1, a( n 1) ANOVA Computer Output (Design-Expert) Response:Strength ANOVA for Selected Factorial Model Analysis of variance table [Partial sum of squares] Sum of Mean F Source Squares DF Square Value Prob > F Model < A < Pure Error Cor Total Std. Dev..84 R-Squared Mean Adj R-Squared C.V Pred R-Squared PRESS Adeq Precision 9.94

7 La distribuzione di riferimento F Rappresentazione grafica dei risultati DESIGN-EXPERT Plot Strength X = A: Cotton Weight % 5 One Factor Plot Design Points 0.5 Strength A: Cotton Weight %

8 Norm al % probability Controllo dell adeguatezza del modello nell ANOVA Il controllo delle assunzioni è importante 1. Normalità. Varianza costante 3. Indipendenza Abbiamo considerato un modello adatto? Più tardi parleremo di cosa fare se alcune di queste assunzioni violate Controllo dell adeguatezza del modello nell ANOVA Analisi dei residui Residual e = y yˆ ij ij ij = y y ij i Design-Expert genera i residui I grafici dei residui sono molto utili Grafico della Probabilità Normale dei residui

9 Alti importanti grafici sui residui Residuals 0.7 Residuals Predicted Run Number Post-ANOVA: comparazione delle medie L analisi della varianza testa l ipotesi di uguaglianza delle medie dei trattamenti Tuttavia, se questa ipotesi è rifiutata, noi non sappiamo quali specifiche medie sono differenti Determinare quali specifiche medie differiscono seguendo l ANOVA è chiamato problema dei confronti multipli Ci sono molti approcci per far questo Useremo il test t di Student sulle medie, chiamato anche metodo LDS (Least Significant Difference) di Fisher

10 Design-Expert Output Treatment Means (Adjusted, If Necessary) Estimated Standard Mean Error Mean Standard t for H0 Treatment Difference DF Error Coeff=0 Prob > t 1 vs vs vs < vs vs vs vs vs vs vs < Comparazione Grafica delle Medie

11 Nel caso di Fattori Quantitativi, un Modello di Regressione è spesso Utile Response:Strength ANOVA for Response Surface Cubic Model Analysis of variance table [Partial sum of squares] Sum of Mean F Source Squares DF Square Value Prob > F Model < A A < A Residual Lack of Fit Pure Error Cor Total Coefficient Standard 95% CI 95% CI Factor Estimate DF Error Low High VIF Intercept A-Cotton % A A Il modello di Regressione Equazione finale in termini di fattori attuali: % 5 Resistenza trazione = * Peso cotone % * Peso cotone %^ E-003 * Peso cotone %^3 Strength Questo è un modello empirico dei risultati dell esperimento A: Cotton Weight %

12 Determinare la dimensione del campione La risposta ad un esperimento dipende da molti aspetti, incluso quale tipo di esperimento viene proposto, come sarà condotto, le risorse e la sensitività desiderata La sensitività si riferisce alla differenza tra le medie che lo sperimentatore desidera indagare e mettere in evidenza Generalmente, crescendo il numero di repliche cresce la sensitività o diventa più facile da indagare per piccole differenze tra le medie Determinare la dimensione del campione Si può scegliere una dimensione campionaria opportuna per indagare una specifica differenza tra le medie e raggiungere desiderati valori di errori di tipo I e di tipo II Errore di Tipo I rifiutare H 0 quando è vera ( α ) Errore di Tipo II non rifiutare H 0 quando è falsa (β) Potenza = 1 - β

13 Determinare la dimensione del campione A questo scopo sono state sviluppate le curve OC per il modello ad effetti fissi (Appendice) Un modo molto comune per usare queste carte è definire una differenza tra due medie D di interesse, il minimo valore di D/σ è nd Φ = aσ Tipicamente funziona in termini di rapporto tra Φ : si ricercano valori di n fino a che non sia raggiunta la potenza desiderata Ci sono anche altri metodi discussi nel testo