VARIETÀ. zona geografica A B C D

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1 Anova a 2 vie con repliche (( chiarire che non devono essere esattamente nello stesso numero per ogni cella ovvero per le ripetizioni dei de fattori ma che excel li legge così) Esercizio-esempio 1 Il valore nutritivo in Kj di un certo frutto commestibile è stato valutato in un insieme di 72 esemplari suddiviso in quattro varietà diverse provenienti da tre zone geografiche distinte. Ogni varietà e zona specifiche hanno fornito un campione di 6 esemplari. I risultati sono riportati nella tabella sottostante. Valutare le differenze tra medie delle varietà, zone geografiche e l interazione dei due fattori varietà-zona geografica. Sia alfa = 0.05 per tutti i test. VARIETÀ zona geografica A B C D Nord Centro Sud Var risposta= valore nutritivo in Kj Var trattamento 1 = colonne varietà diverse Var trattamento 2 = zone diverse Interazione = varietà diversa x zona diversa Unità sperimentali = singole misurazioni- frutti ripetute per varietà e zona H0 α : α 1 = α 2= α i = 0 gli effetti del trattamento A colonna sono uguali e nulli; HA α : non tutti gli α i = H0 β : β 1 = β 2. β j = 0 gli effetti del trattamento B riga sono uguali e nulli; HA β : non tutti gli β j = H0 α β : α 1 β 1 = α 1 β 2 = α β ij = 0 gli effetti della interazione AB sono uguali e nulli; HA α β: non tutti gli α β ij = 0

2 Numero trattamenti A colonne = k=4; numero trattamenti B righe B = j =3 Numero ripetizioni per interazione trattamento A x trattamento B = n = 6 Gradi di libertà totali =(k*j*n)-1= (4*3*6) -1 = 72-1= 71 Gradi di libertà tra trattamenti A -colonne = k-1 = 4-1= 3 Gradi di libertà tra trattamenti B -righe = j-1 = 3-1 = 2 Gradi di libertà della interazione =( k-1) (j-1)= 3*2 =6 Gradi di libertà della variazione residua-errore =k*j*(n-1)= 4*3*(6-1)= 60 F critico per RV trattamento A colonne : alfa= 0.05, 3 gdl al numeratore / 60 gdl al denominatore = 2.76 F critico per RV trattamento B righe: alfa= 0.05, 2 gdl al numeratore / 60 gdl al denominatore =3.15 F critico per RV interazione fattori colonne-righe: alfa= 0.05, 6 gdl al numeratore / 60 gdl al denominatore = 2.25 ANALISI VARIANZA Analisi Dati Excel Origine della variazione SQ gdl MQ F Valore di significatività F crit Campione-Righe-Zone Colonne-Varietà E Interazione residuo Totale Quindi rifiuto H0 α, rifiuto H0 β, non rifiuto H0 α β. Accetto le rispettive HA α e HA β e H0 α β. I risultati indicano che sia le varietà del frutto che le zone di coltivazione hanno un effetto significativo sulla valore nutritivo dello stesso, ma non l interazione dei due fattori. Con il programma STATA anova varrisposta variet##zona Number of obs = 72 R-squared = Root MSE = Adj R-squared = Source Partial SS df MS F Prob > F Model variet zona variet#zona Residual Total I risultati sono uguali

3 Risoluzione esercizio con il software R (v2.15.1) #Importazione dati data_frutti<-read.csv2(file.choose(), header= TRUE, sep= ";", dec=",", na.strings=" ") #importa dataset "anova2_1r.csv" #Visualizzo un estratto del dataset head(data_frutti) > head(data_frutti) zona risposta varietà #Uso il comando colnames che permette di visualizzare il nome delle variabili colnames(data_frutti) > colnames(data_frutti) [1] "zona" "risposta" "varietà" #Utilizzo il comando attach per gestire le variabili con il loro nome attach(data_frutti) #Comunico al software la natura nominale categorica delle variabili blocchi zona<-as.factor(zona) varietà<-as.factor(varietà) #Calcolo le statistiche di sintesi della variabile risposta, della variabile varietà e della variabile zona summary(risposta) > summary(risposta) Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max summary(varietà) > summary(varietà) summary(zona) > summary(zona) #Applico l analisi della varianza (ANOVA) a 2 vie con interazione anova(lm(risposta~varietà+zona+varietà:zona))

4 > anova(lm(risposta~varietà+zona+varietà:zona)) Analysis of Variance Table Response: risposta Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) varietà e-14 *** zona ** varietà:zona Residuals Signif. codes: 0 *** ** 0.01 *

5 Esercizio-esempio 2 La tavola seguente riporta dei punteggi sulla maturità emotiva di 27 giovani maschi classificati secondo l età e secondo l uso di marijuana. Valutare le differenze tra le medie per maturità emotiva secondo i fattori A( uso di marijuana), B (età) e l interazione dei due A*B. Sia alfa = 0.05 per tutti i test. Var risposta= punteggio maturità emotiva Var trattamento A = colonne uso di marijuana Var trattamento B = righe- età Fattore A ( uso di marijuana) Fattore B (Età) Mai Occasionalmente Giornalmente Interazione =uso marijuana x età Unità sperimentali = singoli soggetti repliche per uso marijuana ed età H0 α : α 1 = α 2= α i = 0 gli effetti del trattamento A colonna sono uguali e nulli; HA α : non tutti gli α i = H0 β : β 1 = β 2. β j = 0 gli effetti del trattamento B riga sono uguali e nulli; HA β : non tutti gli β j = H0 α β : α 1 β 1 = α 1 β 2 = α β ij = 0 gli effetti della interazione AB sono uguali e nulli; HA α β: non tutti gli α β ij = 0 Numero trattamenti A colonne= k=3; numero trattamenti B righe = j =3 Numero ripetizioni per interazione trattamento A x trattamento B = n = 3 Gradi di libertà totali =(k*j*n)-1= (3*3*3) -1 = 27-1= 26 Gradi di libertà tra trattamenti A-colonne = k-1 = 3-1= 2 Gradi di libertà tra trattamenti B-righe = j-1 = 3-1 = 2 Gradi di libertà della interazione AB =( k-1) (j-1)= 2*2 =4 Gradi di libertà della variazione residua-errore =k*j*(n-1)= 3*3*(3-1)= 18 F critico per RV trattamento A: alfa= 0.05, 2 gdl al numeratore / 18 gdl al denominatore = 3.55 F critico per RV trattamento B: alfa= 0.05, 2 gdl al numeratore / 18 gdl al denominatore =3.55 F critico per RV interazione fattori AB colonne-righe: alfa= 0.05, 4 gdl al numeratore / 18 gdl denominatore = 2.93

6 Analisi varianza: a due fattori con replica RIEPILOGO Conteggio Somma Media Varianza Conteggio Somma Media Varianza Conteggio Somma Media Varianza Totale Conteggio Somma Media Varianza ANALISI VARIANZA Origine della variazione SQ gdl MQ F Valore di significatività F crit Campione-righe-età Colonne-uso marijuana E Interazione Errore residuo Totale Quindi rifiuto H0 α, rifiuto H0 β, rifiuto H0 α β. Accetto le rispettive HA. I risultati indicano che sia l uso di marijuana sia l età che l interazione dei due fattori hanno un effetto significativo sulla maturità emotiva. In particolare in presenza di interazione significativa dei fattori, l effetto dei singoli fattori viene subordinato a questa ultima, ovvero l uso di marijuana per età. Degno di nota è il valore di F e relativa significatività per il trattamento A uso di marijuana che indicherebbe un effetto più forte per questo fattore. Se osserviamo le medie della tabella riportata notiamo che effettivamente chi non fa mai uso di marijuana nella età minore ha maturità emotiva più alta di chi fa uso giornaliero nella età maggiore ulteriori valutazioni si rendono opportune per queste interazioni...

7 Controlliamo anche con il programma STATA. anova varrisposta usomarijuana##et Number of obs = 27 R-squared = Root MSE = Adj R-squared = Source Partial SS df MS F Prob > F Model usomariju~a et usomariju~a#et Residual Total Il risultato è uguale

8 Esercizio-esempio 3 Un esperimento in soggetti adolescenti è stato programmato per studiare gli effetti di tre farmaci diversi in tre tipi di condizioni da stress, che procuravano ansia. La tavola riporta le differenze tra i punteggi, pre e post- trattamento dei 18 soggetti che hanno partecipato all esperimento. Valutare se esistono differenze per livelli diversi dei due fattori e la loro interazione. Farmaco Condizioni (Fattore A) da stress (Fattore B) A B C I II III Var risposta= effetto dei farmaci espresso in punteggio Var trattamento A = colonne tipo di farmaco Var trattamento B = condizioni da stress Interazione =tipo farmaco x condizioni da stress Unità sperimentali = singoli adolescenti repliche per farmaco e condizioni da stress H0 α : α 1 = α 2= α i = 0 gli effetti del trattamento A colonna sono uguali e nulli; HA α : non tutti gli α i = H0 β : β 1 = β 2. β j = 0 gli effetti del trattamento B riga sono uguali e nulli; HA β : non tutti gli β j = H0 α β : α 1 β 1 = α 1 β 2 = α β ij = 0 gli effetti della interazione AB sono uguali e nulli; HA α β: non tutti gli α β ij = 0 Numero trattamenti A colonne= k=3; numero trattamenti B righe = j =3 Numero ripetizioni per interazione trattamento A x trattamento B = n = 2 Gradi di libertà totali =(k*j*n)-1= (3*3*2) -1 = 18-1= 17 Gradi di libertà tra trattamenti A -colonne = k-1 = 3-1= 2 Gradi di libertà tra trattamenti B -righe = j-1 = 3-1 = 2 Gradi di libertà della interazione AB =( k-1) (j-1)= 2*2 =4 Gradi di libertà della variazione residua-errore =k*j*(n-1)= 3*3*(2-1)= 9 F critico per RV trattamento A: alfa= 0.05, 2 gdl al numeratore / 9 gdl al denominatore = 4.26 F critico per RV trattamento B: alfa= 0.05, 2 gdl al numeratore / 9 gdl al denominatore =4.26 F critico per RV interazione fattori colonne-righe: alfa= 0.05, 4 gdl al numeratore / 9 gdl al denominatore = 3.63

9 Analisi varianza: a due fattori con replica RIEPILOGO A B C Totale Stress I Conteggio Somma Media Varianza Stress II Conteggio Somma Media Varianza Stress III Conteggio Somma Media Varianza Totale Conteggio Somma Media Varianza ANALISI VARIANZA Origine della variazione SQ gdl MQ F Valore di significatività F crit Campione-righe-stress Colonne-farmaco Interazione Residuo Totale Quindi rifiuto H0 α, rifiuto H0 β, non rifiuto H0 α β. Accetto le rispettive HA α e HA β e H0 α β. I risultati indicano che sia il tipo di farmaco che le condizioni da stress danno risultati significativamente sugli effetti del farmaco, ma non l interazione dei due fattori. Lo stress inoltre appare avere un effetto più forte rispetto al tipo di farmaco sulla variabile risposta.

10 Controlliamo anche con il programma STATA anova varrisposta stress##farmaco Number of obs = 18 R-squared = Root MSE = Adj R-squared = Source Partial SS df MS F Prob > F Model stress farmaco stress#farmaco Residual Total Il risultato è uguale

11 Esercizio-esempio 4 La seguente tavola riporta le misure sulla capacità vitale di 60 maschi adulti classificati secondo l età ed il tipo di lavoro. Valutare le differenze tra i tipi di lavoro, le classi d età e l interazione delle due, alfa = 0.05 Tipo di lavoro classe età A B C D Var risposta= capacità vitale Var trattamento 1 = colonne tipo di lavoro Var trattamento 2 = righe -classi d età Interazione = tipo lavoro x classi età Unità sperimentali = soggetti diversi repliche misurati per le combinazioni di lavoro e classe età H0 α : α 1 = α 2= α i = 0 gli effetti del trattamento A colonna sono uguali e nulli; HA α : non tutti gli α i = H0 β : β 1 = β 2. β j = 0 gli effetti del trattamento B riga sono uguali e nulli; HA β : non tutti gli β j = H0 α β : α 1 β 1 = α 1 β 2 = α β ij = 0 gli effetti della interazione AB sono uguali e nulli; HA α β: non tutti gli α β ij = 0

12 Numero trattamenti A colonne = k=4; numero trattamenti-blocchi righe B = j =3 Numero ripetizioni per interazione trattamento A x trattamento B = n = 5 Gradi di libertà totali =(k*j*n)-1= (4*3*5) -1 = 60-1= 59 Gradi di libertà tra trattamenti A -colonne = k-1 = 4-1= 3 Gradi di libertà tra trattamenti B righe = j-1 = 3-1 = 2 Gradi di libertà della interazione AB=( k-1) (j-1)= 3*2 =6 Gradi di libertà della variazione residua-errore =k*j*(n-1)= 4*3*(5-1)= 48 F critico per RV trattamento A: alfa= 0.05, 3 gdl al numeratore / 48 gdl al denominatore = 2.80 F critico per RV trattamento B: alfa= 0.05, 2 gdl al numeratore / 48 gdl al denominatore =3.20 F critico per RV interazione AB fattori colonne-righe: alfa= 0.05, 6 gdl al numeratore / 48gdl al denominatore = 2.30 ANALISI VARIANZA Origine della variazione SQ gdl MQ F Valore di significatività F crit Campione E Colonne E Interazione E In Totale Quindi rifiuto H0 α, rifiuto H0 β, rifiuto H0 α β. Accetto le rispettive HA. I risultati indicano che sia il tipo di lavoro che l età che l interazione dei due fattori hanno un effetto significativo sulla capacità vitale. In particolare in presenza di interazione significativa dei fattori, l effetto dei singoli fattori viene subordinato a questa ultima, ovvero il tipo di attività lavorativa per la classe d età. Verifica con STATA anova varrrisposta et##tipolavoro Number of obs = 60 R-squared = Root MSE = Adj R-squared = Source Partial SS df MS F Prob > F Model et tipolavoro et#tipolavoro Residual Total Il risultato è uguale